固体电子物理PPT课件

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1、固 体 电 子 理 论 2.7 2.7 晶体中电子的运动晶体中电子的运动 布洛赫电子运动的速度、加速度、有效质量布洛赫电子运动的速度、加速度、有效质量 在讨论外场作用下晶体中电子的运动规律时，首先要知道晶体电子在在讨论外场作用下晶体中电子的运动规律时，首先要知道晶体电子在波矢波矢k0状态的平均速度。由量子理论可知，粒子运动的平均速度相当于状态的平均速度。由量子理论可知，粒子运动的平均速度相当于以波矢以波矢k0为中心的波包移动的速度。该波包由以为中心的波包移动的速度。该波包由以k0为中心的在为中心的在k范围内范围内的一系列布洛赫波叠加而成的一系列布洛赫波叠加而成,k应当满足应当满足 关系。在这样

2、的关系。在这样的k范范围可以认为围可以认为 ，描述波包的函数（一维）为，描述波包的函数（一维）为在在k内，内，k值偏离值偏离k0的值用的值用表示，即表示，即固 体 电 子 理 论波包的波函数波包的波函数 可以改写为可以改写为相应的几率分布为相应的几率分布为波包中心移动的速度（即电子的速度）为波包中心移动的速度（即电子的速度）为当当 时，上式有最大值，根据几率密度的意义，时，上式有最大值，根据几率密度的意义，波包中心在波包中心在 处。处。固 体 电 子 理 论波包在空间上集中在波包在空间上集中在x范围，有范围，有且且 。波波包包的的大大小小如如果果大大于于许许多多个个原原胞胞，则则晶晶体体中中电

3、电子子的的运运动动可可以以看看作作是是波波包包的的运运动动。波波包包的的运运动动同同经经典典粒粒子子一一样样，波波包包移移动动的的速速度度等等于于粒粒子子处处于波包中心那个状态所具有的平均速度。于波包中心那个状态所具有的平均速度。下面考虑在外力下面考虑在外力F Fx x 作用下，晶体电子的加速度。在作用下，晶体电子的加速度。在d dt t 时间内电子获得的能时间内电子获得的能量等于外力所作的功，即量等于外力所作的功，即单位时间内能量的增量为单位时间内能量的增量为电子的加速度为电子的加速度为固 体 电 子 理 论由以上两式可得由以上两式可得与牛顿第二定律与牛顿第二定律 相比较，如果令相比较，如果

4、令则晶体中电子的运动，在形式上可写为则晶体中电子的运动，在形式上可写为：m*称为电子的称为电子的有效质量有效质量，在一维情况下它是标量。在三维晶体中，电子的速度为，在一维情况下它是标量。在三维晶体中，电子的速度为 电子的加速度电子的加速度 固 体 电 子 理 论写成分量形式：写成分量形式：由由 ,则得到则得到 固 体 电 子 理 论与牛顿第二定律对比，上式中的与牛顿第二定律对比，上式中的 与质量的倒数相对应，它就是前式中与质量的倒数相对应，它就是前式中由九个元素组成的矩阵，称为倒有效质量张量。其分量可表示为由九个元素组成的矩阵，称为倒有效质量张量。其分量可表示为：其缩写形式为其缩写形式为由此可

5、见，这是一个对称张量。经过适当坐标变换可以使其对角化，前式所代由此可见，这是一个对称张量。经过适当坐标变换可以使其对角化，前式所代表的九个元素中只有表的九个元素中只有I =j 的三个元素不为零，即的三个元素不为零，即i,j = 1,2,3 固 体 电 子 理 论 上式说明有效质量是状态的函数，取决于该状态中的上式说明有效质量是状态的函数，取决于该状态中的 关系。仅表示晶关系。仅表示晶体中电子在外力场作用下，加速度与外力之间的比例关系，量纲与质量相同。它不体中电子在外力场作用下，加速度与外力之间的比例关系，量纲与质量相同。它不同于自由电子的质量同于自由电子的质量m。m*是与电子所受的内力（晶格势

6、场引起）密切相关，概括是与电子所受的内力（晶格势场引起）密切相关，概括了晶格势场对电子的作用。一般情况下有效质量是张量，晶体中电子的加速度一般了晶格势场对电子的作用。一般情况下有效质量是张量，晶体中电子的加速度一般与外力方向不同。只有外力沿等能面主轴方向时才是相同的。有效质量是波矢与外力方向不同。只有外力沿等能面主轴方向时才是相同的。有效质量是波矢K函函数，它可以大于惯性质量，也可以小于惯性质量甚至可以是负的。只有在带底与带数，它可以大于惯性质量，也可以小于惯性质量甚至可以是负的。只有在带底与带顶附近，可以近似认为是常数。在带底附近顶附近，可以近似认为是常数。在带底附近 ，而带顶附近，而带顶附

7、近 ，说明此处所，说明此处所外加力与加速度反向。对于自由电子来说这是不可理解的。但对于晶格中的电子，外加力与加速度反向。对于自由电子来说这是不可理解的。但对于晶格中的电子，由于除受外力作用外，还受到晶格内场的作用。由于除受外力作用外，还受到晶格内场的作用。 ，就是电子受到晶体势场强，就是电子受到晶体势场强烈作用的结果，此时晶体传递给电子的动量大于外力传递给电子的动量，电子能克烈作用的结果，此时晶体传递给电子的动量大于外力传递给电子的动量，电子能克服外力影响作负加速运动。服外力影响作负加速运动。 外层电子的能带宽，外层电子的能带宽， 小，内层电子的能带窄，小，内层电子的能带窄， 大。大。 0 E

8、固 体 电 子 理 论金属、半导体和绝缘体金属、半导体和绝缘体 满带对电导无贡献满带对电导无贡献 由由N N个元胞组成的晶体，其简约布里渊区波矢个元胞组成的晶体，其简约布里渊区波矢K K 的数目为的数目为N N。考虑电子的。考虑电子的自旋，每个子能带包含有自旋，每个子能带包含有2 2N N个电子态，即每个子能带可填充个电子态，即每个子能带可填充2 2N N个电子。如个电子。如果一个能带内的全部状态均为电子所填充，则称之为满带。如果一个能带果一个能带内的全部状态均为电子所填充，则称之为满带。如果一个能带未被电子所填满，则称之为不满的带。例如，半导体硅、锗，它们的价带未被电子所填满，则称之为不满的

9、带。例如，半导体硅、锗，它们的价带由四个子能带组成，共有由四个子能带组成，共有2 2N N448 8N N个电子态。而硅、锗是个电子态。而硅、锗是4 4价的，每个原价的，每个原子有子有4 4个价电子。个价电子。N N个元胞组成的晶体便有个元胞组成的晶体便有8 8N N个价电子。在基态这个价电子。在基态这8 8N N个价电个价电子正好填满价带，价带的四个子能都是满带。子正好填满价带，价带的四个子能都是满带。 已经知道，电子的能量是波矢的偶函数已经知道，电子的能量是波矢的偶函数, ,即即电子的速度电子的速度固 体 电 子 理 论 上式说明速度是波矢的奇函数。波矢为上式说明速度是波矢的奇函数。波矢为

10、k 的状态和波矢为的状态和波矢为k 的状态中电子的速的状态中电子的速度是大小相等但方向相反。度是大小相等但方向相反。 当没有外电场存在时，在一定的温度下，电子占据某个状态的几率只同该状态当没有外电场存在时，在一定的温度下，电子占据某个状态的几率只同该状态的能量有关。是的能量有关。是k 的偶函数，电子占有的偶函数，电子占有k 状态的几率同占有状态的几率同占有k状态的几率相等。因状态的几率相等。因此在这两个状态的电子电流互相抵消，晶体中总的电流为零。此在这两个状态的电子电流互相抵消，晶体中总的电流为零。满带满带 不满的带不满的带kkkk固 体 电 子 理 论外场不改变满带电子的分布外场不改变满带电

11、子的分布 当当有有外电场外电场E存在时，满能和不满的带对电流的贡献有很大区别。存在时，满能和不满的带对电流的贡献有很大区别。 对对于于满满带带的的情情况况，所所有有的的电电子子状状态态都都以以相相同同的的速速度度（反反电电场场方方向向）运运动动。在在点点A 的的状状态态和和点点A 的的状状态态完完全全相相同同。因因此此，有有外外电电场场存存在在时时，电电子子的的运运动动并并不不改改变变布布里里渊渊区区内内电电子子分分布布的的情情况况。由由布布里里渊渊区区一一边边出出去去的的电电子子，就就在在另另一一边边同同时时填填了了进进来来。可可见见对对于于一一个个所所有有状状态态都都被被电电子子充充满满的

12、的能能带带，即即使使有有电电场场晶晶体体中中也也没没有有电流，电流，即满带对电导没有贡献。即满带对电导没有贡献。 0 固 体 电 子 理 论 对于一个不满的带，对于一个不满的带，在电场作用下，每个电子的波矢都随时间改变相同的量在电场作用下，每个电子的波矢都随时间改变相同的量. 由于散射的存在，使得电子在各个状态上的分布达到一个稳定状态，它与平衡分由于散射的存在，使得电子在各个状态上的分布达到一个稳定状态，它与平衡分布不同，电子在布里渊区内分布不再是对称分布。此时向左方向运动的电子比较布不同，电子在布里渊区内分布不再是对称分布。此时向左方向运动的电子比较多，总的电流不再是零。多，总的电流不再是零

13、。因此在电场作用下，不满的带才对电导有贡献。因此在电场作用下，不满的带才对电导有贡献。满带满带 不满的带不满的带固 体 电 子 理 论综上所述：在上所述：在电场作用下，一个充作用下，一个充满了了电子的能子的能带不可能不可能产生生电流。如果孤立流。如果孤立原子的原子的电子都形成子都形成满壳壳层，当有，当有N N 个原子个原子组成晶体成晶体时，能，能级过渡成能渡成能带。能。能带中的中的状状态是能是能级中的状中的状态数目的数目的N N 倍。因此，原有的倍。因此，原有的电子恰好充子恰好充满能能带中所有的状中所有的状态，这些些电子并不参与子并不参与导电。如果原来孤立原子的壳如果原来孤立原子的壳层并不并不

14、满，如金属，如金属钠，一共有，一共有1111个个电子子每个每个3 3s s状态可有状态可有2 2个电子，所以当个电子，所以当N N 个原子组成晶体时，个原子组成晶体时，3 3s s 能级过渡成能带，能级过渡成能带，能带中有能带中有2 2N N个状态，可以容纳个状态，可以容纳2 2N N 个电子。但钠只有个电子。但钠只有N N个个3s3s电子，能带是半满的。因电子，能带是半满的。因此在电场作用下，可以产生电流。此在电场作用下，可以产生电流。固 体 电 子 理 论金属、半导体和绝缘体金属、半导体和绝缘体u 对于金属，对于金属，价电子处在未被充满的带，这种能带称为价电子处在未被充满的带，这种能带称为

15、价带价带。一价金属（锂、。一价金属（锂、钠、钾等）都属于这种情况，这些元素晶体都是良导体。钠、钾等）都属于这种情况，这些元素晶体都是良导体。u 对于碱土元素所形成的晶体，例如镁，孤立原子有对于碱土元素所形成的晶体，例如镁，孤立原子有2 2个个3 3s s电子，照理晶体中电子，照理晶体中的的3 3s s能带应该是满带。如按照上述原则，镁应该是不导电的。但实际上镁及其它能带应该是满带。如按照上述原则，镁应该是不导电的。但实际上镁及其它碱土族晶体都是导体。这是由于镁的碱土族晶体都是导体。这是由于镁的3 3s s能带和较高的能带有交迭的现象。因此仍能带和较高的能带有交迭的现象。因此仍有电子在不满的带。

16、以上结果说明，价电子在有电子在不满的带。以上结果说明，价电子在不满的带或能带的交叠不满的带或能带的交叠，都可以使，都可以使晶体具有导电的性质。金属能带的交迭，已由晶体具有导电的性质。金属能带的交迭，已由x x射线发射谱实验得到证实。射线发射谱实验得到证实。u 对于三维晶体，沿某一个方向的周期为对于三维晶体，沿某一个方向的周期为a1 1, , 沿另一个方向的周期为沿另一个方向的周期为a2, ,在在k 空空间相应的波矢为间相应的波矢为k1 1和和k2 2，它们分别在，它们分别在 和和 处出现禁带，但禁带所在的能量处出现禁带，但禁带所在的能量值及宽度不一样，可能发生交叠。从整个晶体看，某一个方向上周

17、期性势场产生值及宽度不一样，可能发生交叠。从整个晶体看，某一个方向上周期性势场产生的禁带被另一个方向上许可的能带覆盖，的禁带被另一个方向上许可的能带覆盖，晶体不存在真正的禁带晶体不存在真正的禁带。固 体 电 子 理 论 能带交叠能带交叠 0u对于绝缘体对于绝缘体，它的价电子正好把价，它的价电子正好把价带填满，而更高的许可带与价带之间带填满，而更高的许可带与价带之间隔着一个很宽的禁带。除非外电场非隔着一个很宽的禁带。除非外电场非常强，上面许可带总是没有电子的。常强，上面许可带总是没有电子的。因此，在电场作用下不会产生电流。因此，在电场作用下不会产生电流。u半导体的能带结构基本上与绝缘体半导体的能

18、带结构基本上与绝缘体相似，只是禁带较窄，一般在相似，只是禁带较窄，一般在2eV以下。以下。因此可以靠热激发，将满带（价带）因此可以靠热激发，将满带（价带）的电子激发到最靠近价带的空带（称的电子激发到最靠近价带的空带（称为导带），于是有导电的本领。由于为导带），于是有导电的本领。由于热激发的电子数目随温度按指数规律热激发的电子数目随温度按指数规律变化，所以半导体的电导率随温度的变化，所以半导体的电导率随温度的变化也是指数型的，这是半导体的主变化也是指数型的，这是半导体的主要特征。要特征。固 体 电 子 理 论绝缘体和半导体的能带结构示意图绝缘体和半导体的能带结构示意图 空空带带禁带禁带k空带空带

19、禁带禁带k固 体 电 子 理 论硅硅和和锗锗的的每每个个元元胞胞有有两两个个原原子子。每每个个原原子子有有4个个价价电电子子，一一个个处处于于ns态态，三三个个处处于于np态态。由由N个个元元胞胞形形成成的的晶晶体体中中共共有有8N个个价价电电子子。在在形形成成晶晶体体的的过过程程中中，随随着着原原子子间间距距的的减减小小，相相同同能能级级发发生生扰扰动动，成成为为能能带带。如如果果认认为为，原原来来的的ns能能级级变变成成ns能能带带，np能能级级变变成成np能能带带，则则价价带带将将可可容容纳纳16N个个电电子子。这这样样硅硅和和锗锗应应该该是是金金属属而而不不是是半半导导体体。对对于于原

20、原子子的的内内层层电电子子，原原子子的的能能级级同同晶晶体体的的能能带带一一一一对对应应的的关关系系是是正正确确的的。对对于于价价电电子子，这这种种对对应应关关系系不不一一定定能能保保持持。一一般般认认为为当当原原子子间间距距较较大大时时，上上述述对对应应关关系系成成立立 ；当当原原子子间间距距减减小小，达达到到某某个个数数值值r 时时，由由于于ns态态电电子子与与np态态电电子子之之间间有有强强的的交交叠叠，使使晶晶体体能能带带发发生生强强烈烈的的变变化化。例例如如当当原原子子间间距距为为r0是是，产产生生为为禁禁带带所所隔隔开开的的两两个个能能带带，每每一一个个带带有有4N个个能能级级，8

21、N个个价价电电子子恰恰好好填填满满下下面面的的能能带带成成为为满满带带，而而上上面面的的带带成成为为空空的的导导带带，中中间由禁带隔开。因此，硅和锗都是半导体。间由禁带隔开。因此，硅和锗都是半导体。 Ernpnsr0 rc固 体 电 子 理 论空穴空穴 上上式式表表明明，从从k态态失失去去一一个个电电子子后后，整整个个能能带带中中的的电电子子电电流流等等效效于于一一个个由由正正电电荷荷e所所产产生生的的电电流流，其其运运动动速速度度等等于于k态态电电子子运运动动的的速速度度，这这种种空空的的状状态态称称为为空空穴。在电磁场作用下，穴。在电磁场作用下， 随时间变化随时间变化作用于作用于k态电子上

22、的力为态电子上的力为设想想满带中有一个中有一个 K 态没有电子，成为不满的带，在电场作用下，将产生电流，态没有电子，成为不满的带，在电场作用下，将产生电流，用用I（k）表示。如果将一个电子放入）表示。如果将一个电子放入k态中去，这个电子的电流为态中去，这个电子的电流为 ，能带，能带又成为满带，总电流应为零，即又成为满带，总电流应为零，即式中式中E和和B分别为电场强度和磁感应强度。设电子的有效质量为分别为电场强度和磁感应强度。设电子的有效质量为 me* 固 体 电 子 理 论由式前述由式前述me*表达式及上式，可得表达式及上式，可得实际上，空状态往往在能带顶附近，由实际上，空状态往往在能带顶附近，由 ，上式可写成，上式可写成方括号内的式子恰好表示一个带正电荷方括号内的式子恰好表示一个带正电荷e的粒子在电磁场中所受的力。上述的粒子在电磁场中所受的力。上述讨论说明，当满带顶附近存在空穴状态时，整个能带中的电子电流及其在电讨论说明，当满带顶附近存在空穴状态时，整个能带中的电子电流及其在电磁场下的变化，完全等同于一个具有正电荷磁场下的变化，完全等同于一个具有正电荷e、正的有效质量、正的有效质量 、速度为、速度为 （k）的粒子。的粒子。 由于满带顶的电子比较容易受到热激发到导带，因此空穴多位于价带顶。由于满带顶的电子比较容易受到热激发到导带，因此空穴多位于价带顶。