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1、高等数学高等数学第六节第六节 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量二、无穷小量的比较二、无穷小量的比较一、无一、无 穷穷 小小 量量三、无穷大量三、无穷大量四、小四、小 结结重点重点: 无穷小（大）量（阶）的定义与性无穷小（大）量（阶）的定义与性质质难点：难点：（1）无穷小量性质的灵活运用无穷小量性质的灵活运用 （2）无穷大量与无界的关系理解）无穷大量与无界的关系理解高等数学高等数学一、无穷小量一、无穷小量1.定义定义极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小量无穷小量.定义定义1 1 高等数学高等数学例如例如,注意注意1.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;2.零
2、是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.高等数学高等数学2.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系证证 必要性必要性充分性充分性定理定理1说明说明 对对x的其它变化过程定理仍成立的其它变化过程定理仍成立. 此定理非常重要！此定理非常重要！高等数学高等数学意义意义: :1.将一般极限问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小无穷小);3.无穷小的运算性质无穷小的运算性质:定理定理2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.证证高等数学高等数学注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未
3、必是无穷小. .高等数学高等数学定理定理3 有界量与无穷小的乘积是无穷小有界量与无穷小的乘积是无穷小.证证高等数学高等数学推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小都是无穷小高等数学高等数学3. 3. 极限运算法则的证明极限运算法则的证明（定理（定理1 13 3的应用）的应用）定理定理另证另证由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得高等数学高等数学高等数学高等数学推论推论1 1常数因子可
4、以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.推论推论2 2有界，有界，高等数学高等数学二、无穷小量的比较二、无穷小量的比较例如例如,极限不同极限不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.不可比不可比.观观察察各各极极限限高等数学高等数学定义定义: :高等数学高等数学例例1 1解解例例2 2解解高等数学高等数学常用等价无穷小常用等价无穷小: :用等价无穷小可给出函数的近似表达式用等价无穷小可给出函数的近似表达式:例如例如,高等数学高等数学*无穷小替换无穷小替换*定理定理4 4 ( (等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理) )证证高等数学高等数学例例3 3解解高等数
5、学高等数学例例4 4解解解解错错等价无穷小代换有适用条件等价无穷小代换有适用条件.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换. .结论结论高等数学高等数学三、无穷大三、无穷大绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大量无穷大量.定义定义:高等数学高等数学特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大注意注意1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3. 无穷大量是一种特殊的无界变量无穷大量是一种特殊的无界变量,但是但是无界变量未必是无穷大量无界变量未必是无穷大量.高等数学高等数学不是无穷大不是无穷大无界无界例例5 5证证高等
6、数学高等数学证证例例6 6高等数学高等数学* *无穷小与无穷大的关系定理无穷小与无穷大的关系定理* *定理定理5 5 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷都可归结为关于无穷小的讨论小的讨论.高等数学高等数学定理定理2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是有限个无穷小的代数和仍是无穷小无穷小.定理定理3 有界量与无穷小的乘积是无穷小有界量与无穷小的乘积是无穷小.推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷
7、小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.定理定理1定理定理5 5 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .定理定理4 4高等数学高等数学四、小结四、小结1、主要内容、主要内容:两个定义两个定义;五个定理五个定理;三个推论三个推论.2、几点注意、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.(1) 无穷小（无穷小（ 大）
8、是变量大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；零是唯一的无穷小的数；(3)无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小. .(4) 无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.(2)无穷小的比较无穷小的比较反映无穷小趋于零速度的快慢反映无穷小趋于零速度的快慢,等价无等价无穷小的替换作为求穷小的替换作为求极限的一种方法应注意适用条件极限的一种方法应注意适用条件;高等数学高等数学思考题思考题1.任何两个无穷小量都可以比较吗？任何两个无穷小量都可以比较吗？2.无穷小量与零有什么关系？无穷小量与零有什么关系？高等数学高
9、等数学思考题解答思考题解答1. 不能不能例当例当 时时都是无穷小量都是无穷小量但但不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大故当故当 时时2.无穷小量是变量无穷小量是变量, 零是常数零是常数; 零是无穷小量零是无穷小量,无穷小量不一定是零无穷小量不一定是零.高等数学高等数学 作作 业业P41: 1(2,3,5), 2, 3(2,3,5,6); P45: 1, 2, 5(1,2), 7, 8.高等数学高等数学课课 堂堂 练练 习一（习一（20分钟）分钟）高等数学高等数学课堂练习二（课堂练习二（20分钟）分钟）1.3.2.解答解答提示提示高等数学高等数学课课 堂堂 练练 习习 题题 三（三（20分钟）分钟）练习题答案练习题答案高等数学高等数学* *无穷小与无穷大的关系定理无穷小与无穷大的关系定理* *定理定理5 5 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .证证高等数学高等数学意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷都可归结为关于无穷小的讨论小的讨论.高等数学高等数学例例5 5解解
