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1、第一章 集合与函数概集合与函数概念念 1.1 集合一集合的含义到20以内的所有质数;我国从1991到2003年的13年内所发射的所有 人造卫星; 金星汽车厂2003年生产的所有汽车; 一般地，我们把研究对象统称为一般地，我们把研究对象统称为元素元素，把一，把一些元素组成的总体叫做些元素组成的总体叫做集合集合(简称集简称集)2集合中元素具的有几个特征集合中元素具的有几个特征确定性确定性因集合是由一些元素组成的总体，当然，我们所说的“一些元素”是确定的互异性互异性即集合中的元素是互不相同的，如果出现了两个(或几个)相同的元素就只能算一个，即集合中的元素是不重复出现的无序性无序性即集合中的元素没有次
2、序之分3.常用的数集及其记法v全体非负整数组成的集合称为自然数集，记为v所有正整数组成的集合称为正整数集，记为v全体整数组成的集合称为整数集，记为v全体有理数组成的集合称为有理数集，记为v全体实数组成的集合称为实数集，记为我们通常用大写拉丁字母，表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，表示集合中的元素4元素与集合之间的关系v如果是集合中的元素，就说属于集合，记作；v如果不是集合中的元素，就说属于集合，记作；例如，所有能被整除的整数 二集合的几种表示方法 列举法列举法将所给集合中的元素一一列举出将所给集合中的元素一一列举出来，写在大括号里，元素与元素之间用逗号来，写在大括号里，元素与元素之间用逗号分
3、开分开(2) 描述法描述法用集合所含元素的共同特征表示用集合所含元素的共同特征表示集合的方法集合的方法.(2) 描述法描述法用集合所含元素的共同特征表示集合用集合所含元素的共同特征表示集合的方法的方法. 具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及以取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.(3) 图示法图示法-画一条封闭曲线画一条封闭曲线,用它的内部来用它的内部来表示一个集合表示一个集合.常用于表示不需给具体元素的常用于表示不需给具体元素的抽象集合抽象集合.对已给出了具体元素的集合也当然对已给出了具体元素的集合也当然可以用图示法来表示可以用图示法
4、来表示.如: 集合1,2,3,4,5用图示法表示为:A 1 2 3 4 5*有限集与无限集有限集与无限集* 有限集有限集-含有有限个元素的集合叫有含有有限个元素的集合叫有限集限集 无限集无限集-含有无限个元素的集合叫无含有无限个元素的集合叫无限集限集例如例如: A=120以内所有质数以内所有质数例如例如: B=不大于不大于3的所有实数的所有实数1.并集并集 一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集,记作AB,(读作“A并B”).即 AB=x|xA,或xB1.1.3 集合的基本运算集合的基本运算 一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B
5、的交集,记作AB,(读作“A交B”),即 AB=x|xA,且xB.2.交集交集3.并集与交集的性质4.补集 一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U. 对于一个集合A,由全集U中不属于A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集.补集可用Venn图表示为:U CUAA一般地，我们有：一般地，我们有： 设设A、B是非空数集，如果按照某种确定的是非空数集，如果按照某种确定的对应关系对应关系f，使对于集合，使对于集合A中的任意一个数中的任意一个数x，在，在集合集合B中都有唯一确定的数中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称
6、和它对应，那么称f：AB为从集合为从集合A到集合到集合B的一个函数的一个函数 ，记作：，记作：y=f(x)， x A（1）x 自变量自变量（2）A 定义域定义域（3）值域）值域函数的表示法函数的表示法就是用数学表达式表示两个变量之就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。间的对应关系。就是用图象表示两个变量之就是用图象表示两个变量之间的对应关系。间的对应关系。就是列出表格来表示两个变量之间就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系。的对应关系。映射映射一般地，我们有：一般地，我们有： 设设A、B是非空集合，如果按照某种确定的是非空集合，如果按照某种确定的对应关系对应关系f，使对于集合，使对于集
7、合A中的任意一个数中的任意一个数x，在，在集合集合B中都有唯一确定的数中都有唯一确定的数y和它对应，那么称和它对应，那么称f：AB为从集合为从集合A到集合到集合B的一个映射。的一个映射。 要研究函数，我们必须了解区间区间：设区间：设a,b是两个实数，且是两个实数，且ab，规定：，规定：定义定义 名称名称 符号符号 几何表示几何表示x|ax b 闭区间闭区间 a,bx|axb 开区间开区间 (a,b)x|a xb 左闭右开区间左闭右开区间a,b)x|ax b 左开右闭区间左开右闭区间(a,b 1.求函数的定义域方法求函数的定义域方法: （1）f(x)是整式时，则函数的定义域为R （2）f(x)是
8、分式时，则函数定义域为使分 母不等于0的实数的集合（3）二次根式时，则函数定义域是使根 号内的式子大于0的实数的集合(4) 如果f(x)是由几个数学式子构成时，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合。1.3.1 函数的最大（小）值 1最大值最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的xI，都有f(x)M; （2）存在x0I，使得f(x0) = M那么，称M是函数y=f(x)的最大值 2最小值最小值 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果存在实数，如果存在实数M满足：满足： （1）对于任意的）对于任意的xI，都有，
9、都有f(x)M; （2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0) = M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最小值最小值 2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，都有f(x)M（f(x)M） 注意：1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x0I，使得f(x0) = M；（二）利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法 1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值 2. 利用图象求函数的最大(小)值 3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值 如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b
10、处有最大值f(b) ； 如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)； xyO（-，00上上 随随 x x 的的增大增大而而减小减小00，+ +）上）上 随随 x x 的的增大增大而而增大增大xyomnf（x1）x1x2f（x2） 如果对于区间如果对于区间I 内的内的任意任意两个值两个值那么就说那么就说 在区间在区间I上是单调上是单调增增函数函数 I 称为称为 的单调的单调增增区间区间f（x1）x1x2f（x2） 如果对于区间如果对于区间I 内的内的任意任意两个值两个值那么就说那么就说 在区间在区间I上是单调上是单调减减函数函数
11、 I 称为称为 的单调的单调减减区间区间Oxy（1）函数的）函数的单调性单调性也叫函数的也叫函数的增减性增减性；（2）函数的单调性是对某个区间而言的，它是个）函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概念局部概念。这个区间是定义域的。这个区间是定义域的子集子集。（3）单调区间：针对自变量）单调区间：针对自变量 x 而言的。而言的。若函数在此区间上是增函数，则若函数在此区间上是增函数，则区间区间为单调递为单调递增增区间区间若函数在此区间上是减函数，则若函数在此区间上是减函数，则区间区间为单调递为单调递减减区间区间1. 1. 1. 1. 取量定大取量定大小小:2.2.2.2.作差定符号作差定符号:
12、 3. 3. 3. 3. 给出结论：给出结论：给出结论：给出结论：判断函数单调性的一般步骤判断函数单调性的一般步骤 ： f(x 1)f(x 2)的结果化积或化完全的结果化积或化完全平方式的和；平方式的和；在给定区间上任取两个实数在给定区间上任取两个实数在给定区间上任取两个实数在给定区间上任取两个实数x1 , x2 , x1 , x2 , 且且且且 x1 x2 .x1 x2 .结论一定要指出在那个区间上。结论一定要指出在那个区间上。1偶函数偶函数 一般地，对于函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个的定义域内的任意一个x，都有都有f(x)=f(x)，那么，那么f(x)就叫做就叫做偶函数偶
13、函数 例如，函数 都是偶函数，它们的图象分别如下图(1)、(2)所示.2奇函数奇函数 一般地，对于函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个的定义域内的任意一个x，都有都有f(x)= f(x)，那么，那么f(x)就叫做就叫做奇奇函数函数 注意：注意： 1 1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数的奇偶性是函数的整体性质；2 2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则，则x也一定是定义域
14、内的一个自变量（即定义域关也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）于原点对称）3 3、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即 若若f(x)f(x)为奇函数，则为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立有成立. . 若若f(x)f(x)为偶函数，则为偶函数，则f(- -x)=f(x)有成立有成立. .4、如果一个函数、如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我是奇函数或偶函数，那么我们就说函数们就说函数f(x)具有奇偶性具有奇偶性.3.用定义判断函数奇偶性的步骤：(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；、先求定义域，看是否关于原点对称；(2)、再判断、再判
15、断f(-x)=-f(x)或或f(-x)=f(x)是否恒成立是否恒成立.3.奇偶函数图象的性质1、奇函数的图象关于原点对称奇函数的图象关于原点对称. 反过来，如果一个函数的图象关于原反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数点对称，那么就称这个函数为奇函数.2、偶函数的图象关于偶函数的图象关于y轴对称轴对称. 反过来，如果一个函数的图象关于反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，轴对称，那么就称这个函数为偶函数那么就称这个函数为偶函数.说明说明：奇偶函数图象的性质可用于：奇偶函数图象的性质可用于： a、简化函数图象的画法、简化函数图象的画法. B、判断函数的奇偶性、判断函数的奇偶性本课小结1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x, 如果都有f(x)=-f(x) f(x)为奇函数为奇函数 如果都有f(x)=f(x) f(x)为偶函数为偶函数2、两个性质： 一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数 它的图象关于y轴对称
