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1、第1页 自自 学学 导 引引 (学生用学生用书P80) 会用空会用空间向量向量证明明线与与线、线与面、面与面之与面、面与面之间的平行的平行,垂直垂直关系关系,掌握用向量解决立体几何掌握用向量解决立体几何问题的方法步的方法步骤.第2页 课 前前 热 身身(学生用学生用书P80) 第3页 1.空空间中的平行关系主要有中的平行关系主要有_、_、_,空空间中的垂直关系主要有中的垂直关系主要有_、_、_.2.证明两条直明两条直线平行平行,只要只要证明明这两条直两条直线的方向向量是的方向向量是_即可即可. 线线平行线线平行线面平行线面平行面面平行面面平行线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直共线
2、向量共线向量 第4页 3.证明明线面平行的方法面平行的方法(1)证明直明直线的方向向量与平面的法向量的方向向量与平面的法向量_.(2)证明能明能够在平面内找到一个向量与已知直在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量的方向向量_.(3)利用共面向量的定理利用共面向量的定理,即即证明直明直线的方向向量与平面内两的方向向量与平面内两个不共个不共线的向量是的向量是_.垂直垂直共线共线共面向量共面向量 第5页 4.证明面面平行的方法明面面平行的方法(1)转化化为_、_处理理;(2)证明明这两个平面的法向量是两个平面的法向量是_.5.证明明线线垂直的方法是垂直的方法是证明明这两条直两条直线的方向向量的方向
3、向量_.6.证明明线面垂直的方法面垂直的方法(1)证明直明直线的方向向量与平面的法向量是的方向向量与平面的法向量是_;(2)证明直明直线与平面内的与平面内的_.线线平行线线平行线面平行线面平行共线向量共线向量互相垂直互相垂直共线向量共线向量两条不共线向量互相垂直两条不共线向量互相垂直第6页 7.证明面面垂直的方法明面面垂直的方法(1)转化化为_、_;(2)证明两个平面的法向量明两个平面的法向量_.线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直互相垂直互相垂直第7页 名名 师 讲 解解(学生用学生用书P80) 第8页 1.利用空利用空间向量向量证明明线与面平行与面平行:只要在平面只要在平面内找到一条直内找到一
4、条直线的方向向量的方向向量为b,已知直已知直线的方向向量的方向向量为a,问题转化化为证明明a=b即可即可.2.利用空利用空间向量向量证明两条异面直明两条异面直线垂直垂直:在两条异面直在两条异面直线上各上各取一个向量取一个向量a、b,只要只要证明明a b,即即ab=0即可即可.第9页 3.证明明线面垂直面垂直:直直线l,平面平面,要要让l ,只要在只要在l上取一个非零上取一个非零向量向量p,在在内取两个不共内取两个不共线的向量的向量a、b,问题转化化为证明明p a且且p b,也就是也就是ap=0且且bp=0.4.证明面面平行、面面垂直明面面平行、面面垂直,最最终都要都要转化化为证明明线线平行、平
5、行、线线垂直垂直.第10页 典典 例例 剖剖 析析(学生用书学生用书P80)第11页 题型一型一 证明明线面平行面平行例例1:在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中中,M、N分分别是是C1C、B1C1的的中点中点,求求证:MN 平面平面A1BD.分析分析:分析分析1,如下图如下图,易知易知MN DA1因此得方法因此得方法1.第12页 第13页 第14页 第15页 第16页 变式式训练1:ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱是正四棱柱,侧棱棱长为3,底面底面边长为2,E是棱是棱BC的中点的中点,求求证:BD1 平面平面C1DE.第17页 证明明:以以D为坐坐标原点原点,以以DA,DC,DD
6、1为坐坐标轴建系如右建系如右图,则B(2,2,0),D1(0,0,3),E(1,2,0),C1(0,2,3),第18页 第19页 题型二型二 证明明线面垂直面垂直例例2:如下如下图所示所示,在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中中,E、F分分别是是BB1、D1B1的中点的中点.求求证:EF 平面平面B1AC.第20页 分析分析:转化化为线线垂直或利用直垂直或利用直线的方向向量与平面的法向量的方向向量与平面的法向量平行平行.第21页 证明明:方法方法1:设A1B1的中点的中点为G,连结EG,FG,A1B.则FG A1D1,EG A1B. A1D1 平面平面A1B. FG 平面平面A1B.
7、AB1 平面平面A1B, FG AB1, A1B AB1, EG AB1. EF AB1.同理同理EF B1C.又又AB1B1C=B1, EF 平面平面B1AC.第22页 第23页 方法方法3:设正方体的棱正方体的棱长为2,建立如下建立如下图所示的空所示的空间直角坐直角坐标系系,第24页 第25页 规律技巧律技巧:(1)方法方法1是是传统的几何法的几何法证明明,利用利用线面垂直的性面垂直的性质及判定及判定,需添加需添加辅助助线.方法方法2选基底基底,将相关向量用基底表示出来将相关向量用基底表示出来,然后利用向量的然后利用向量的计算来算来证明明.方法方法3建立空建立空间直角坐直角坐标系系,利用向
8、量利用向量,且将向量的运算且将向量的运算转化化为实数数(坐坐标)的运算的运算,以达到以达到证明的目的明的目的. (2)几何的几何的综合推理有合推理有时技巧性技巧性较强,而向量代数运算属程序而向量代数运算属程序化操作化操作,规律性律性较强,但有但有时运算量大运算量大,两种两种处理方法各有理方法各有优点点,不能偏不能偏废.第26页 第27页 分析分析:由判定定理由判定定理,只要只要证明明CD垂直于面垂直于面PAC中的两条相交直中的两条相交直线即可即可,或者用向量法或者用向量法证明明CD的方向向量与平面的方向向量与平面PAC的法的法向量平行向量平行.第28页 证明明:方法方法1:如下如下图,分分别以
9、以AB、AD、AP所在直所在直线为x,y,z轴建立空建立空间直角坐直角坐标系系,则C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1),第29页 第30页 第31页 题型三型三 证明面与面垂直明面与面垂直例例3:三棱柱三棱柱ABC-A1B1C1是各条棱是各条棱长均均为a的正三棱柱的正三棱柱,D是是侧棱棱CC1的中点的中点.求求证:平面平面AB1D 平面平面ABB1A1.分析分析:转化化为线线垂直、垂直、线面垂直或者利用法向量垂直面垂直或者利用法向量垂直.第32页 证明明:方法方法1:取取AB的中点的中点E. 三棱柱三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱正三棱柱, CE AB且且AA1 CE,得得
10、CE 面面ABB1A1.第33页 另取另取AB1中点中点M,得得MD CE. MD 面面ABB1A1.又又MD 面面AB1D, 面面AB1D 面面ABB1A1.第34页 第35页 方法方法3:建系如下建系如下图,正三棱柱底面正三棱柱底面边长为a,高高为a,取取AB1的中的中点点M,则相关点的坐相关点的坐标如下如下:第36页 第37页 规律技巧律技巧:证明面面垂直有明面面垂直有传统方法和向量法两种途径方法和向量法两种途径,传统方法考方法考查逻辑思思维能力能力较多多,常需作常需作辅助助线解决解决,思思维量大量大,向量法思向量法思维量小量小,但有但有时运算量运算量较大大,特特别是建系是建系时一定要一
11、定要根据根据题目所目所给空空间体建立合适的坐体建立合适的坐标系系,建系不当建系不当,会人会人为增加增加计算的算的难度度.第38页 变式式训练3:如如图所示所示,在六面体在六面体ABCD-A1B1C1D1中中,四四边形形ABCD是是边长为2的正方形的正方形,四四边形形A1B1C1D1是是边长为1的的正方形正方形,DD1 平面平面A1B1C1D1,DD1 平面平面ABCD,DD1=2. (1)求求证:A1C1与与AC共面共面,B1D1与与BD共面共面;(2)求求证:平面平面A1ACC1 平面平面B1BDD1.第39页 证明明:以以D为原点原点,以以DA,DC,DD1所在直所在直线分分别为x轴、y轴
12、、z轴建立空建立空间直角坐直角坐标系系D-xyz,如如图所示所示,则有有D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(1,0,2),B1(1,1,2),C1(0,1,2),D1(0,0,2).第40页 第41页 第42页 技技 能能 演演 练练(学生用书学生用书P82)第43页 基基础强化化1.在空在空间直角坐直角坐标系中系中,平面平面xOz的一个法向量是的一个法向量是( )A.(1,0,0) B.(0,1,0)C.(0,0,1) D.(0,1,1)答案答案:B第44页 2.平面平面的一个法向量的一个法向量为(1,2,0),平面平面的一个法向量的一个法向量为(2
13、,-1,0),则平面平面与平面与平面的关系是的关系是( )A.平行平行 B.相交但不垂直相交但不垂直C.相交且垂直相交且垂直 D.无法判定无法判定答案答案:C第45页 3.在空在空间四四边形形ABCD中中,E、F分分别是是AB、BC的中点的中点,则AC与平面与平面DEF的位置关系是的位置关系是( )A.平行平行 B.相交相交C.在平面内在平面内 D.不能确定不能确定答案答案:A解析解析:如图所示如图所示,易知易知EFAC,又又AC 平面平面DEF,EF 平面平面DEF, AC 平面平面DEF.第46页 4.在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中中,若若E为A1C1的中点的中点,则直直线C
14、E垂直于垂直于( )A.AC B.BDC.A1D D.A1A答案答案:B第47页 解析解析:如如图, B1D1 CC1,B1D1 A1C1,又又CC1A1C1=C1, B1D1 平面平面AA1C1C,而而CE平面平面AA1C1C, B1D1 CE,又又B1D1 BD, CE BD.第48页 5.平面平面ABC中中,A(0,1,1),B(1,2,1),C(-1,0,-1),若若a=(-1,y,z),且且a为平面平面ABC的法向量的法向量,则y2等于等于( )A.2 B.0C.1 D.无意无意义答案答案:C第49页 第50页 6.若直若直线l的方向向量的方向向量a=(-2,3,1),平面平面的一个
15、法向量的一个法向量n=(4,0,8),则直直线l与平面与平面的位置关系是的位置关系是_.解析解析: a5n=(-2)4+30+81=0, a n, l 或或l .答案答案:l 或或l 第51页 能力提升能力提升7.在正方体在正方体AC1中中,O、M分分别是是DB1、D1C1的中点的中点.证明明:OM BC1.第52页 证明明:如如图,以以D为原点原点,分分别以以DA、DC、DD1为x、y、z轴建建立空立空间直角坐直角坐标系系D-xyz.第53页 第54页 8.在棱在棱长为a的正方体的正方体OABC-O1A1B1C1中中,E、F分分别是是AB、BC上的上的动点点,且且AE=BF,求求证:A1F
16、C1E.第55页 证明明:以以O为坐坐标原点建立如原点建立如图所示的空所示的空间直角坐直角坐标系系,则A1(a,0,a),C1(0,a,a).设AE=BF=x, E(a,x,0),F(a-x,a,0).第56页 9.如右如右图所示所示,在平行六面体在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中中,E、F、G分分别是是A1D1、D1D、D1C1的中点的中点.求求证:平面平面EFG 平面平面AB1C.第57页 第58页 品味高考品味高考10.(北京卷北京卷)如如图在直三棱柱在直三棱柱ABC-A1B1C1中中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点点D是是AB的中点的中点,求求证:AC1 平平面面CDB1.第59页 证明明:因直三棱柱因直三棱柱ABC-A1B1C1底面三底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,所以所以AC2+BC2=AB2.所以所以AC BC,第60页
