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1、3.3 逆阵及其求法逆阵及其求法1.逆矩阵的概念及其求法逆矩阵的概念及其求法2.逆矩阵的性质逆矩阵的性质1定义定义10 对于对于n阶方阵阶方阵A,若有一个若有一个n阶方阵阶方阵B,使使AB=BA=E,则称方阵则称方阵A可逆可逆,并称方阵并称方阵B为为A的的逆阵逆阵,记作记作A 1.注注: 如果方阵如果方阵A可逆可逆,则逆阵是唯一的则逆阵是唯一的.设设B、C 均为均为A的逆阵的逆阵,则则逆阵是唯一的逆阵是唯一的.一、逆矩阵的概念及其求法一、逆矩阵的概念及其求法则则B=A 1.B=BE=B(AC)=(BA)C =EC=C2定理一定理一 若方阵若方阵A可逆可逆,则则|A| 0.证证 A可逆可逆有有A
2、 1,使使AA 1=E|A|A 1|=|E|=1|A| 03定理二定理二 若若|A| 0,则方阵则方阵A可逆可逆,且且其中其中A*称为方阵称为方阵A的的伴随方阵伴随方阵,它是它是|A|的各的各个元素的代数余子式所构成的如下方阵个元素的代数余子式所构成的如下方阵:4证证设设5=E由逆阵的定义有由逆阵的定义有:同样同样注注: AA*=A*A=|A|E6推论推论 若若AB=E(或或BA=E),则则B=A 1.证证|A|B|=|E|=1|A| 0A 1存在存在B=EB=(A 1A)B=A 1(AB)=A 1E=A 172.若若A可逆可逆,则则A 1也可逆也可逆,且且(A 1) 1=A证证由推论得由推论
3、得二、逆矩阵的性质二、逆矩阵的性质1.若若A可逆可逆,则有则有|A 1|=|A| 1证证AA 1=E|A|A 1|=1|A 1|=|A| 1A 1A=E(A 1) 1=A|A 1|=|A| 1 0 A 1可逆可逆83.若若A可逆可逆,数数 0,则则 A可逆可逆,且且( A) 1=证证由推论得由推论得4.若若A、B为同阶方阵为同阶方阵,且均可逆且均可逆,则则AB亦可逆亦可逆,且且(AB) 1=B 1A 1证证由推论得由推论得:| A|= n|A| 0 A可逆可逆=E|AB|=|A|B| 0AB可逆可逆(AB)(B 1A 1)=A(BB 1)A 1=AEA 1=AA 1=E(AB) 1=B 1A
4、19证证由推论得由推论得另外另外,定义定义:当当|A| 0时时, A0=E, A k=(A 1)k. k为正整数为正整数5.若若A可逆可逆,则则A 也可逆也可逆,且且(A ) 1=(A 1) |A |=|A| 0 A 可逆可逆A (A 1) =(A 1A) =E =E(A ) 1=(A 1) 有有: A A =A + , (A ) =A. , 为整数为整数 10例例1 求方阵求方阵 的逆阵的逆阵.解解:=2 0A可逆可逆11A13=7, A21=2, A22= 2, A23= 2, A31= 1, A32=2, A33=112例例2 求求X:解解: 方程两端左乘矩阵方程两端左乘矩阵,得得13得
5、得解解:方程两端右乘矩阵方程两端右乘矩阵14例例3 设方阵设方阵A满足满足A2 A 2E=0,证明证明:A, A+2E都可逆都可逆,并求它们的逆阵并求它们的逆阵.证证A2 A 2E=0A(A E)=2E|A| 0A可逆可逆15A2 A 2E=0(A+2E)(A 3E)+4E=0|A+2E| 0 A+2E可逆可逆16利用逆阵可用于解线性方程组利用逆阵可用于解线性方程组: AX=B若若A可逆可逆,则则X=A 1B例例4 解线性方程组解线性方程组解解: 把方程组写为把方程组写为: AX=B其中其中17|A|=15 0A可逆可逆求得求得X=A 1B1819例例5 设设A为一个三阶方阵为一个三阶方阵, A*为为A的的伴随矩阵伴随矩阵,求求|(3A) 1 2A*|解解:A*=|A|A 1|(3A) 1 2A*|A 1|=|A| 1=2|(3A) 1 2A*|20
