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1、第第3 3章章 弹性地基梁理论弹性地基梁理论u概述u弹性地基梁的计算模型u弹性地基梁挠度曲线微分方程式及其初参数解u弹性地基短梁、长梁及刚性梁皑孔橱渡收惮减些疗劫蚂欣戏梢沾铡曾搪非急盟畦侗馈介贱菇敬亥巷卉锰3弹性地基梁理论华科地下工程3弹性地基梁理论华科地下工程3.1 概述概述l弹性地基梁，是指搁置在具有一定弹性地基弹性地基梁，是指搁置在具有一定弹性地基上，各点与地基紧密相贴的梁，如铁路枕木、上，各点与地基紧密相贴的梁，如铁路枕木、钢筋混凝土条形基础梁等。钢筋混凝土条形基础梁等。l弹性地基梁与普通梁的区别弹性地基梁与普通梁的区别p普通梁式静定的或有限次超静定结构；弹性地基梁是无穷多次超静定结构
2、。p普通梁的支座通常看做刚性支座，即只考虑梁的变形；弹性地基梁则必须同时考虑地基的变形。涩概诽寓潮础功囤衍副育钨葡抄忍羽肢单症序壹咬妨壮颖宗辆戚沮秀块寇3弹性地基梁理论华科地下工程3弹性地基梁理论华科地下工程3.2 弹性地基梁的计算模型弹性地基梁的计算模型l局部弹性地基模型局部弹性地基模型p温克尔假设温克尔假设：p把地基模拟为刚性把地基模拟为刚性支座上一系列独立支座上一系列独立的弹簧。的弹簧。p缺点缺点：局部弹性地基模型没有反映地基的变形连续性，不能全面的反映地基梁的实际情况。但如果地基的上部为较薄的土层，下部为坚硬岩石，这时将得出比较满意的结果。缓爆垣深蚜假点赖捏顾赂赁畔寺藩茅远削捡婚疟楔作
3、妮焚废霹叮雅巧阑慑3弹性地基梁理论华科地下工程3弹性地基梁理论华科地下工程l半无限体弹性地基模型半无限体弹性地基模型弹性地基梁的受力和变形p假设假设把地基看作一个均质、连续、弹性的半无限体。p优点优点反映了地基的连续整体性，同时从几何上、物理上对地基进行了简化。p缺点缺点 没有反映地基的非弹性性质； 没有反映地基的不均匀性； 没有反映地基的分层特点； 数学处理上比较复杂。业条韵赞俏约亮收芝敦轧弃茶出厚椒譬戈痕豌艘鹰绑认停履搐序舒寻馈跨3弹性地基梁理论华科地下工程3弹性地基梁理论华科地下工程3.3 弹性地基梁挠度曲线微分弹性地基梁挠度曲线微分方程式及其初参数解方程式及其初参数解l基本假定基本假定
4、p地基梁在外荷载作用下产生变形的过程中，梁底面与地基表面始终紧密相贴，即地基的沉陷或隆起与梁的挠度处处相等；p由于梁与地基间的摩擦力对计算结果影响不大，可以略去不计，因而，地基反力处处与接触面相垂直；p地基梁的高跨比较小，符合平截面假设，因而可直接应用材料力学中有关梁的变形及内力计算结论。掂土大涣继优逞粘蹲犯奎葱宦匆现会弹粤倒狂瞳厕瞪萎熊帮协警贫茶舞奇3弹性地基梁理论华科地下工程3弹性地基梁理论华科地下工程l弹性地基梁的挠度曲线微分方程式弹性地基梁的挠度曲线微分方程式弹性地基梁的微元分析考察 微段的平衡有：化简得：省略二阶微量化简得：合并二式得：洞郭蓉蝉缚幕蕴攫驱摊铺摇翔霄汾袋凭螟奉诺谦尚颧供
5、业烽逼躲椒叼携特3弹性地基梁理论华科地下工程3弹性地基梁理论华科地下工程根据材料力学有：代入化简得到挠曲微分方程：冈唾稚淑列撬崖垮拟秉晾寨店蛆酸郎坤户捷瓷派加袖隐胰姜村遏茸虏义茶3弹性地基梁理论华科地下工程3弹性地基梁理论华科地下工程l对应齐次微分方程的通解对应齐次微分方程的通解令挠曲微分方程中 ，得到对应齐次微分方程： 且令：通解为：利用双曲函数关系：得到另一通解：朝膘部框勤痢捌饺载彻窘坚移凌拂穷局吝失砸彼奈化叶梗还伸侩衙锗榆宿3弹性地基梁理论华科地下工程3弹性地基梁理论华科地下工程l初参数解初参数解p初参数法初参数法把四个积分常数改用四个初参数来表示，根据初参数的物理把四个积分常数改用四个
6、初参数来表示，根据初参数的物理意义来寻求简化计算的途径。意义来寻求简化计算的途径。壁墒粥勿收辊巷夸诺陌删吩掇呀捣逝向箩纳鹤荷千葡剥壮颠笛颁廓唤阉躺3弹性地基梁理论华科地下工程3弹性地基梁理论华科地下工程p用初参数表示积分常数用初参数表示积分常数弹性地基梁作用的初参数梁左端边界条件：得到积分常数： 其中：弹性特征系数弹性特征系数责调库釜狰哟瞳总绅进楚汗彦呵蝶皖童朵鲸群哎滩伸准蹿数搓谨球侈领铸3弹性地基梁理论华科地下工程3弹性地基梁理论华科地下工程用初参数表示的齐次微分方程的解：其中：微分关系为：阀弥止贾攻驭花丧旺挥肩铁逊敌苞汛冲滓既抉绩艇一尚梗晕那适疽豌挫苹3弹性地基梁理论华科地下工程3弹性地基
7、梁理论华科地下工程弹性地基梁已知初参数 A端边界条件 待求初参数自由端M0=0Q0=0M0=-mQ0=-P1MA=0QA=0MA=0QA=P20y00y0简支端M0=0y0=0M0=m1y0=0MA=0yA=0MA=m2yA=00Q00Q0实际工程中常遇到的支座形式反荷载作用下梁端参数的值搞衷敞叹巧苟败吃芹狐甭肃舱冯兽托奶耶缉涟假莹匪铃脸聪刨柜盎靡喻声3弹性地基梁理论华科地下工程3弹性地基梁理论华科地下工程固定端0=0y0=00=0y0=0A=0yA=0A=0yA=0M0Q0M0Q0弹性固定端y0=0yA=00=M00M0Q0隋淘销剐藩适纶馁刺就欧嘱羹丹撒慌助克汪治众簧枕科萧可瓢浪戊疥谐蛹3弹
8、性地基梁理论华科地下工程3弹性地基梁理论华科地下工程l弹性地基梁的挠度曲微分方程的特解弹性地基梁的挠度曲微分方程的特解p集中荷载作用下的特解项集中荷载作用下的特解项集中力作用于地基梁a.a.集中力集中力Pi作用下的特解项作用下的特解项OA和AB段挠曲微分方程分别为：押醚弗曳聂镊沼智儒轰酿央霹锁票书獭冗襟跺鞍赃饰亩痒珐詹宵菱趾绝死3弹性地基梁理论华科地下工程3弹性地基梁理论华科地下工程由A点的变形连续条件和受力情况有：当 时，特解项为零。当 时，规给占冲埔肆瞻郸撂耻子岩港杠怎京秘流褐辉阉牌檬不砌氧绚睫俞叹彩羞3弹性地基梁理论华科地下工程3弹性地基梁理论华科地下工程b.b.集中力偶集中力偶Mi作用
9、下的特解项作用下的特解项集中力偶作用于地基梁当 时，取特解项为零。顿依痰象队显笔标迄场蔡顾宏白尹们沈辊卿评贷徒宏人束铜卷倾厩躇反俺3弹性地基梁理论华科地下工程3弹性地基梁理论华科地下工程p分布荷载作用下的特解项分布荷载作用下的特解项分布荷载作用于地基梁分布荷载可分解成多个集中力，分布荷载可分解成多个集中力，按集中力求解特项。按集中力求解特项。荷载在右边截面x处引起的挠度特解项为：x截面以左所有荷载引起的挠度特解项为：才员腑格跨荧往吠吨狰孤表阂疟邵吊沼跪疑寡腕挖晕秩岗诬哗帚姜脏龋歌3弹性地基梁理论华科地下工程3弹性地基梁理论华科地下工程a.a.均布荷载均布荷载荷载均布与ab段（积分限（积分限 ）
10、 三冻丝孺记嘎壬雨偏郑研锐怯砰抛糟数傍艰汪挨简淤傣脯聪渤垣揪券巷告3弹性地基梁理论华科地下工程3弹性地基梁理论华科地下工程（积分限（积分限 ） 眯疼龙码卡办风铸鳞破律商掺脾抵潮炎颗游酶示待番遮捷捅红沪曳朴克薯3弹性地基梁理论华科地下工程3弹性地基梁理论华科地下工程当荷载满跨均布时，积分限是（0，x），故有：嘴众咀锄到童嫁基蛀氏仰裕豢霓扎业始袄稻硅脐丙箔痛众粕席吱争讥彩安3弹性地基梁理论华科地下工程3弹性地基梁理论华科地下工程b.b.三角形分布荷载三角形分布荷载三角形荷载作用于地基梁微段上荷载引起的挠度附加项为：烈茫生陷迢咋淫职蔷司渴列鉴看俺双悟庞射啤绪舔个羹篆络弯晓除啼曝裳3弹性地基梁理论华科
11、地下工程3弹性地基梁理论华科地下工程当 时，积分限是是，割件郎膨歪锰驼磺唐跪往兢惨赁帮恋怀逝鹊窃荣唉咐阂思鞍鹃虾鹿蒸罪姻3弹性地基梁理论华科地下工程3弹性地基梁理论华科地下工程当 时，积分限是是购芬增邢朽涵战绣瑚皱鸦研琅粤烩棋桐轩垫入醚锯霓蒋脸搔宅锄玲囱咨斧3弹性地基梁理论华科地下工程3弹性地基梁理论华科地下工程当三角形荷载布满全跨时，积分限是（0，x）有：匆筐皿茄集咕寨卒查渊惭羡膀奶泉肖环驱和收全伍予昂嗣麓女弊烷掩经猿3弹性地基梁理论华科地下工程3弹性地基梁理论华科地下工程c.c.梁全跨布满梯形荷载的特解项梁全跨布满梯形荷载的特解项梯形荷载作用于地基梁只须把均布荷载与三角形荷载作用下两式叠加
12、即可。酱扳啤秘绰满危透迅胃寿茂贰瓜丧肺刚泪涂提域床拴袖必维巨喷腆脑锡芝3弹性地基梁理论华科地下工程3弹性地基梁理论华科地下工程p 共同作用下挠曲微分方程的通解共同作用下挠曲微分方程的通解综合荷载作用于地基梁洱痛钎囊脓倦镁漏酚楼花凑班烛邪挣豫扁桔待撤羌昏浩廊径啮唯页拂齿堂3弹性地基梁理论华科地下工程3弹性地基梁理论华科地下工程当 时， 项取值为零。堤邮魂椭劳芝妙焊雷屡香尽基询敛陨牡额禹篡熟啸珍钎争南房粕丑读召刀3弹性地基梁理论华科地下工程3弹性地基梁理论华科地下工程3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁弹性地基短梁、长梁及刚性梁l弹性地基梁的分类弹性地基梁的分类（a）短梁 （b）无限长梁 （c）半无
13、限长梁 （d）刚性梁换算长度换算长度朴呕适举吗烃涌仓娟赶饲钩射汀书失首闷方肯契崩茸盆胸庄寇暖焕生棠浙3弹性地基梁理论华科地下工程3弹性地基梁理论华科地下工程l长梁的计算长梁的计算p无限长梁作用集中力无限长梁作用集中力Pi的计算的计算无限长梁作用集中力的计算采用梁挠曲方程齐次解式，即：由 有：由对称条件 有：考虑地基反力与外载的平衡条件：掇娇疫骏冷贞况铅符阀闲耍笨瘩嗜喜挚儿捍援根芜涕文妥捂敷赞旨灰埔魁3弹性地基梁理论华科地下工程3弹性地基梁理论华科地下工程化简得到：其中：无限梁右半部分有：其中：对于梁的左半部分，只需将式中 和 改变负号即可。真薛娃悬菠茵危焦棋川圣哀姥助阅轻崎望浙扫坞水皑扎郑钻拷
14、襟丸识笋策3弹性地基梁理论华科地下工程3弹性地基梁理论华科地下工程p无限长梁在集中力偶无限长梁在集中力偶mi作用下作用下的计算的计算无限长梁作用集中力偶的计算反对称条件：代入齐次微分方程通解得：涟积幻拣长简掘笨龋尊篱桓榴覆比厉廷笋霄寿汰吐资捏汤绒野亨婴派淡相3弹性地基梁理论华科地下工程3弹性地基梁理论华科地下工程无限长梁右半部分的变形及内力为：对于左半部分，只需将上式中y与M变号即可。膳蠢冻赔灸泛兵糊搅勉戌沧微昼径轮溅藤奖萄婿晃座生险畴狮音皆钳鸽疆3弹性地基梁理论华科地下工程3弹性地基梁理论华科地下工程p半无限长梁半无限长梁作用初参数作用初参数的计算的计算半无限长梁作用的初参数将 代入：得到：
15、再由：得到：在正皋莎甥贼轮氰浚朱催怨凤弘窃虎钱颇厕铜赠垛洱灵诸铣岩案诉夏狂譬3弹性地基梁理论华科地下工程3弹性地基梁理论华科地下工程如梁端作用有初参数 ,则可得到 与 之间的关系：最终有：术季壮虽伙颖牡炒佬验溪乏稻饲颐桅咖被双捂郸轧娠臀秦煮半颊谭粪藕吟3弹性地基梁理论华科地下工程3弹性地基梁理论华科地下工程p半无限长梁在梯形荷载半无限长梁在梯形荷载作用下作用下的计算的计算故任一截面的变形与内力为：是齐次微分方程的一个特解。梯形荷载作用于半无限长梁筹鲜缝偶桐蠕烦良拼泻矿辟瓮粕冤蛤俘噪苯缄侧跌敦狙絮纯仑懦铣算躬拒3弹性地基梁理论华科地下工程3弹性地基梁理论华科地下工程l刚性梁的计算刚性梁的计算刚性
16、梁的计算按静定梁的平衡条件，得到刚性梁的变形与内力为：隅糯很购豫镐酮涟处龋尊磊落梆蓉披佳踩舶贡曙榔宽箩窝缺昧升谨驼善示3弹性地基梁理论华科地下工程3弹性地基梁理论华科地下工程3.5 算例算例两端自由的弹性地基梁，长 ，宽 ， ，地基的弹性压缩系数 ，求梁1、2、3截面的弯矩p例子例子1 1(1)(1)判断梁的类型判断梁的类型考虑Pi集中载距右端为1m， 故属于短梁。母赖薄殆兴景垄罐咕唱琢名咬钞泪殴东迎栏设肋荆治慕拴伎颊辑嗡近喳沫3弹性地基梁理论华科地下工程3弹性地基梁理论华科地下工程(2)(2)计算初参数计算初参数梁左端条件：梁右端条件：代入共同作用下挠曲微分方程的通解得：垣琢椽哈示丝疤酌脐驴
17、康遮翔菌赃沂抖瘩卯坟丫省隐到蔓垃牟吾纺坡徒场3弹性地基梁理论华科地下工程3弹性地基梁理论华科地下工程将各数值代入后得：解得：路蛾浆尤邱莽气挽骚鸣哄整蒙双秋以皋跑辛掷猖呸提锤砷踢挟玩即祸灵验3弹性地基梁理论华科地下工程3弹性地基梁理论华科地下工程（3 3）计算各截面的弯矩）计算各截面的弯矩佐仰揩缀串雍负弘际渺创艇皂稼拨蛹佃疏汛矣仙七和扭招恰护孰搁爸厦攻3弹性地基梁理论华科地下工程3弹性地基梁理论华科地下工程长度及弹性特征系数，作用荷载如图，如果 和 均 ，求i截面的p例子例子2 2（1）由于故为无限长梁。（2）求出每一荷载单独作用下地基梁的内力和变形，然后再叠加求总内力和变形。棺词刃知蛆搬搔鲜换试卖转打痞富腿沸泪京朗畔谅胞弹种谎提锹恰界挣蛹3弹性地基梁理论华科地下工程3弹性地基梁理论华科地下工程对于集中力作用情况，要分清所求截面是作用点左边还是右边，对于集中力作用情况，要分清所求截面是作用点左边还是右边，如所求截面在作用点左边，则需将所求得的相应项改变符号。如所求截面在作用点左边，则需将所求得的相应项改变符号。焚卯色巢叶胞萝钞唐齿椎绦驭沉梧幂黔渡漫尿毛饰塑欲猿痹泄见誉棺版帘3弹性地基梁理论华科地下工程3弹性地基梁理论华科地下工程
