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1、高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期 第一章第一章 二、最大值与最小值问题二、最大值与最小值问题第一节第一节函数及其表示 第三章第三章 第五节函数的极值与函数的极值与 最最大最小值大最小值一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期引例引例观察点（观察点（1，2）和（）和（2，1）一、函数的极值一、函数的极值高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期定义定义1:在其中当在其中当时时,(1) 则称则称 x0 为为f(x) 的的极
2、大点极大点 ,称称f(x0) 为函数的为函数的极大值极大值 ;(2) 则称则称 x0 为为f(x) 的的极小点极小点 ,称称 f(x0) 为函数的为函数的极小值极小值 .极大点与极小点统称为极大点与极小点统称为极值点极值点 .设函数设函数f(x) 在在(a,b)内有定义内有定义,若存在若存在x0 的一个邻域的一个邻域 ,高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例如例如为极大点为极大点 , 是极大值是极大值 是极小值是极小值 为极小点为极小点 , 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期注意注意:为极大点为极大点
3、为极小点为极小点不是极值点不是极值点2) 对常见函数对常见函数, 极值可能出现在极值可能出现在导导数为数为 0 或不存在的点或不存在的点.1) 函数的极值是函数的函数的极值是函数的局部性质局部性质.高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期 设函数设函数f(x)在点在点x0处可导处可导, 且在且在x0处取得处取得极值极值,那么那么f (x0) 0. 驻点驻点 使导数使导数f (x)为零的点为零的点(方程方程f (x) 0的的 实根实根)称为函数称为函数f(x)的驻点的驻点.定理定理1(必要条件必要条件) 讨论：讨论：1)极值点是否一定是驻点？极值点是否一
4、定是驻点？ 2)驻点是否一定是极值点？驻点是否一定是极值点？高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期 o 点不可导，但点不可导，但x=0 是极小点是极小点是极大点，可是是极大点，可是如如: : 但它不是极值点但它不是极值点的驻点的驻点 x = 0高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期定理定理 2 (第一充分条件第一充分条件)且在空心邻域且在空心邻域内有导数内有导数,(1) “左左正正右右负负”,(2) “左左负负右右正正”,(3) “左右同左右同负负(正正)”,高等数学高等数学 化学化学141、142 201
5、42015学年第一学期学年第一学期求极值的步骤求极值的步骤: :(2)求出求出f(x)的全部驻点与导数不存在的点；的全部驻点与导数不存在的点； (4)求出各极值点的函数值；求出各极值点的函数值； 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期解解例例1. 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期定理定理3 （极值的第二充分条件）（极值的第二充分条件）证证 (1)则则f(x)在在x0取得极小值取得极小值 则则f(x)在在x0取得极大值取得
6、极大值 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期根据定理根据定理2知，知，f(x)在在x0取得极小值取得极小值 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例2. 求函数求函数的极值的极值 . 解解: 1) 求导数求导数2) 求驻点求驻点令令得驻点得驻点高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例2. 求函数求函数的极值的极值 . 解解: 3) 判别判别因因故故 f(0)0 为极小值为极小值 ;又又故需用第一充分条件判别故需用第一充分条件判别.处没有极值处没有极值左右邻域
7、不变号左右邻域不变号高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期二、函数的最大、最小值二、函数的最大、最小值( A ) 闭区间上连续函数的闭区间上连续函数的最大、最小值最大、最小值方法如下方法如下:设设(1)求求 f (x)在在 (a,b)上所有驻点和导数不存上所有驻点和导数不存 在的点在的点 xi (i=1,2,n);高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期( B ) 最大、最小值应用问题最大、最小值应用问题高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例3求求的在的在 上上
8、的最大值与最小值的最大值与最小值.解解解方程解方程得得计算计算最大值最大值最小值最小值比较得比较得高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期解解例例4. 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例5. 铁路上铁路上 AB 段的距离为段的距离为100 km , 工厂工厂 C 距距 A 处处20km，AC AB ,要在要在 AB线上选定一点线上选定一点 D 向工厂修一条向工厂修一条 公路，公路，已知铁路与公路每公里货运价之比为已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 ,为使货物从为使货物从B 运到工厂运到工厂C 的
9、运费的运费最省最省,问问D 点应如何选取点应如何选取? 20解解: 设设则则总运费总运费高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期( k 为某一常数为某一常数 )20令令得得 又又所以所以 x =15 为唯一的为唯一的极小点极小点 ,故故 AD =15 km 时运费最省时运费最省 .总运费总运费从而为最小点从而为最小点 ,高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例6某房地产公司有某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定套公寓要出租，当租金定为每月为每月180元时元时,公寓会全部租出去公寓会全部租出去.当租金每当
10、租金每月增加月增加10元时元时,就有一套公寓租不出去，而就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费租出去的房子每月需花费20元的整修维护费元的整修维护费.试问房租定为多少可获得最大收入？试问房租定为多少可获得最大收入？解解设房租为每月设房租为每月x元，元，租出去的房子有租出去的房子有 套，套，每月总收入为每月总收入为高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期（唯一驻点）（唯一驻点）故每月每套租金为故每月每套租金为350元时收入最高。元时收入最高。最大收入为最大收入为高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期作业作业P154 习题习题3-4 10 (2),(4),(6); P166 习题习题3-5 1 (1)(3) 4
