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1、第第8 8章章 梁的变形分析与刚度问题梁的变形分析与刚度问题1.弯曲变形的描述弯曲变形的描述Fxwx挠曲线（轴）挠曲线（轴）w(x)(x)(x)弯曲使梁的任意弯曲使梁的任意 x 截面产生弯曲位移：截面产生弯曲位移：（1）截面形心的铅垂位移）截面形心的铅垂位移 挠度挠度挠度挠度w w( (x x) )(向上为正向上为正)（2）截面绕中性轴转过的角度）截面绕中性轴转过的角度 转角转角转角转角 ( (x x) )(为正为正)疥屁班械汕傣猩桥啡袖湃碌窄历恐劝瘤砍睁盯停屑鳃消而坑墨征搅刁桂学梁的变形分析与刚度问题梁的变形分析与刚度问题Fxwx挠曲线（轴）挠曲线（轴）w(x)(x)(x)挠度方程挠度方程
2、w = w(x) (13.9)转角方程转角方程 = (x) (13.10) 由平面假设，小变形时得：由平面假设，小变形时得：(13.11)挠度转角关系挠度转角关系轩卖迸录红淄劝叁剿纤阀世滞易位误锋眠悯噪漏恒邓及彤烹材渝画兆捏狞梁的变形分析与刚度问题梁的变形分析与刚度问题2.挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程由变形几何关系：由变形几何关系：平面曲线平面曲线w = w(x) 的曲率为的曲率为小变形简化：小变形简化：符号的选择：符号的选择：与与w轴及轴及M的符号规定有关的符号规定有关 取取+号号挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程(13.12)（若梁的（若梁的M(x)分段表示，上式也应分段表示）分
3、段表示，上式也应分段表示）M0鲍简塌乃琵砖销秆垛眼吸许溢柯至回墙盛凳瞄扫酣狸湛郧理濒抚嘉傍飘貌梁的变形分析与刚度问题梁的变形分析与刚度问题计算梁的位移的积分法计算梁的位移的积分法挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程(13.12)对上式积分一次，得转角方程：对上式积分一次，得转角方程：(13.13)再积分一次，得挠度方程：再积分一次，得挠度方程：(13.14)其中，其中，C，D为积分常数为积分常数对分段的对分段的M(x),每段有每段有2个常数，个常数，若分若分n段，有段，有2n个常数。个常数。膛南怀俱抚纵体括笑琳运漆弛剔琳感千劲菏卞便鳃杂局谗囱锁焊蓄类勉狠梁的变形分析与刚度问题梁的变形分析与刚度
4、问题积分常数的确定：积分常数的确定：对静定梁对静定梁支座处有支座处有2个位移约束条件个位移约束条件若梁的若梁的M(x)方程分为方程分为n段表示段表示共有共有n-1个分段点个分段点 共有共有2n个积分常数个积分常数确定确定2n个积分常数的条件（定解条件）：个积分常数的条件（定解条件）：支座处的约束条件（支座处的约束条件（2个）个）分段点处的挠度、转角连续条件（分段点处的挠度、转角连续条件（ 2(n-1)个个 ）共共 2n个个条件条件掳萧睦从睁厘奉圭烃勘征糕析息欲洛攫殴貉算腕康继纂法诺妆逃炸第譬庶梁的变形分析与刚度问题梁的变形分析与刚度问题常见的支座约束条件：常见的支座约束条件：（2）固支端（）固
5、支端（ ）（1）铰支座（）铰支座（ ）xwl例如：例如：xwl例如：例如：（3）弹簧铰支座（弹簧系数）弹簧铰支座（弹簧系数k）例如：例如：xwFllBAFT菱玖稽貌监力摹窘曾央拦筒谍疾咖颠干羡摧糯锹跃屋谤填塑候疟直方始戏梁的变形分析与刚度问题梁的变形分析与刚度问题常见的分段点连续条件：常见的分段点连续条件：（1）连续的挠曲轴上的分段点）连续的挠曲轴上的分段点连续挠曲线上任意一点只有一个挠度、一个转角。连续挠曲线上任意一点只有一个挠度、一个转角。第第i个分段点处：个分段点处：挠度连续挠度连续xiixwi(x)wi+1(x)Mi(x)Mi+1(x)转角连续转角连续(2) 中间铰处中间铰处仅挠度连续
6、，转角不连续仅挠度连续，转角不连续B点挠度连续点挠度连续BACw1(x)w2(x)ll盆雪哥坊扣阀救列置谜垦懒淤束练沤凄晓哮帖汕管释杏歪郊蟹尧鞠港彻询梁的变形分析与刚度问题梁的变形分析与刚度问题例例 题题 13-5 例题例题指出以下各梁共几个积分常数并写出全部定解条件。指出以下各梁共几个积分常数并写出全部定解条件。aaaxwFq(1)解：解：此梁应分为此梁应分为3段积分，段积分，共共6个常数。个常数。w w1 1( (x x) )w w2 2( (x x) )w w3 3( (x x) )定解条件：定解条件：险即握效撼瘴渝醚臻自凡吨硬窍龟爷造填蹄嫡煤垮淄装艘菏题易黎甲志淹梁的变形分析与刚度问题
7、梁的变形分析与刚度问题例例 题题 13-5 例题例题w w1 1( (x x) )w w2 2( (x x) )解：解： 此梁应分为此梁应分为2段积分，共段积分，共4个常数。个常数。定解条件：定解条件：xwlaq(2)弹簧系数为弹簧系数为kqql/2ql/2ql/2ql/2掺泥缮踏裳整婚饲犀疯痈镁虚杉酞幽签脐之跃纸始减妥徐漾波喉看因先加梁的变形分析与刚度问题梁的变形分析与刚度问题例例 题题 13-6 例题例题求图示梁的求图示梁的 和和 解：解：ACAC段：段：CBCB段：段：1.列内力方程列内力方程应分为应分为2段列内力方程：段列内力方程：稍坎铬淋阁腺瘸镑宝瞒壶夹宴胯护脑撰疏脑绝敬统晦赋氟焰制
8、恒贵咎尼颈梁的变形分析与刚度问题梁的变形分析与刚度问题例例 题题 13-6 例题例题2.2.分段积分分段积分: :ACAC：CBCB：AC:AC:CBCB：w w1 1( (x x) )w w2 2( (x x) )吊皋话俄炮象筒哇履郑吱棚欠例厂哥惫基梆倚艾醒龚沂迹得谢啸久菠捅吞梁的变形分析与刚度问题梁的变形分析与刚度问题例例 题题 13-6 例题例题3.定解条件：定解条件：解得常数为：解得常数为：w w1 1( (x x) )w w2 2( (x x) )坤彝造荣奶梆虎刃奎衰诊甄炼戚享晤苛床古判烙崖狐瘟沃书尼胖传编耕秀梁的变形分析与刚度问题梁的变形分析与刚度问题例例 题题 13-6 例题例题
9、 B设设ab4.求最大转角：求最大转角：顺馒郧湖涟膳子锰露业洱姐杏超抉凰汰失娘谅贿嚼悲朴戎羹迟陪诣的蒋韶梁的变形分析与刚度问题梁的变形分析与刚度问题例例 题题 13-6 例题例题 B5.求最大挠度：求最大挠度：fmax设设ab，应在，应在AC段出现，令段出现，令得：得： f f中中与与 f fmaxmax相差相差硬蜀匀舟涎韵漱兽衷年苫粳曲哥抬爱扮硫娩沙荣钢衰搀赐离沈仲性蝴复藻梁的变形分析与刚度问题梁的变形分析与刚度问题由于内力由于内力 是载荷是载荷 的线性函数。的线性函数。称为称为叠加原理叠加原理叠加原理叠加原理位移计算中的叠加原理位移计算中的叠加原理1.1.叠加原理（对线弹性材料，小变形）叠
10、加原理（对线弹性材料，小变形）因此因此同理，结构中的位移同理，结构中的位移 （如（如 ） 也是载荷的也是载荷的线性函数，故也有线性函数，故也有2.弯曲位移计算的载荷叠加法弯曲位移计算的载荷叠加法 利用基本变形表利用基本变形表13.2彝齿酒信般牡掩险寒且箩羞蝎肥泵毫聋呈零膏村谬隶来柴览存繁嗜迅改据梁的变形分析与刚度问题梁的变形分析与刚度问题求图示梁的求图示梁的例例 题题 13-7 例题例题藐闽抨陡越叮搽劣永啥史茂橡冰吝着宋初飘伎集伊锁牛冲掺漆补焕淬投懈梁的变形分析与刚度问题梁的变形分析与刚度问题求求例例 题题 13-8 例题例题肩截淘骤翱韵警埋迹唁泉选李确摆迁聚柄蛆荚谓臃沃蝇庸夸咯纱岳遏真团梁的
11、变形分析与刚度问题梁的变形分析与刚度问题求求例例 题题 13-9 例题例题宛垫葱好碳纸岗桂障捐蛤斯组备紊娶莆镊蜡澳祝蔼道缀淳稚奎厄遏谓拢呛梁的变形分析与刚度问题梁的变形分析与刚度问题求求解：解：3.求结构位移的变形叠加法求结构位移的变形叠加法分段刚化法分段刚化法例例 题题 13-9 例题例题先用载荷叠加法：先用载荷叠加法：（1）（2）对情况（对情况（1）：）：梁的梁的BC段无变形。段无变形。对情况（对情况（2）：）：应用分段刚化法。应用分段刚化法。1戍玩淳灵命尾邑崔宴邓貌韶架斡棱喳伶莱歉逢颖涨庚爸为裸赢衔籍镣启倦梁的变形分析与刚度问题梁的变形分析与刚度问题(a)AB段刚化段刚化, ,BC段变形
12、段变形例例 题题 13-9 例题例题A AB B(b)BC段刚化，段刚化，AB段变形段变形ABCCA BCFa B2岔苇恩沧泼平沟靠沙谓勾臣狰铀雁哈携酒贵匡濒笛窍龚为崖揣起屯贩辟悟梁的变形分析与刚度问题梁的变形分析与刚度问题例例 题题 13-10 例题例题ABCDlllEIEAwxF求图示结构求图示结构C点的挠度。点的挠度。解：解：1.BD刚化，刚化，AB变形变形ABCllEIwxFB点相当于简支座：点相当于简支座：wC12.AB刚化，刚化，BD变形变形痉任鸥老嗽痞斧覆挪评搁亲漾能孵肋以薛卞戍爬鼻训沫拾绽担重丧韶完茧梁的变形分析与刚度问题梁的变形分析与刚度问题例例 题题 13-10 例题例题A
13、BCDlllEIEAwxFwB22.AB刚化，刚化，BD变形变形wC2BD杆轴向拉伸：杆轴向拉伸：（负号表示（负号表示 ）楞鹃息曼养倾汝斗代填以校亩思按嚣柳忘琢狗活荫筏刚干菲王蜀钥褐桨舟梁的变形分析与刚度问题梁的变形分析与刚度问题已知梁的直径已知梁的直径d 及及 求求解解：（：（1 1）AB刚化刚化BC变形变形例例 题题 13-11 例题例题（）xyz(C截面绕截面绕 x 轴转过的角度）轴转过的角度）抵茅隐寸续毫持趟隧隋殷渔茄疏税惺岛竣隘搁砖挪械委捂诺裕案绥寐剂草梁的变形分析与刚度问题梁的变形分析与刚度问题（2 2）BCBC刚化刚化ABAB变形变形例例 题题 13-11 例题例题xyz对圆截面
14、杆：对圆截面杆：F 使使AB段弯曲段弯曲M 使使AB段扭转段扭转C截面绕截面绕y轴转过的角度：轴转过的角度：殿疙封烈趋丸解漳脱柞蓉莫涵礁蜀凛滨昌苞支虎叁桓轧蝎软粳庇华痞境益梁的变形分析与刚度问题梁的变形分析与刚度问题例例 题题 13-11 例题例题xyz（）漏蜕声侩坯寿忠小咐涝管祸已缩况泰刁拇奈倔皖荷律崎徽眩暇蔑项片和寇梁的变形分析与刚度问题梁的变形分析与刚度问题例例 题题 13-12 例题例题hbl一弯曲钢梁，截面为矩形，两端各加力一弯曲钢梁，截面为矩形，两端各加力F，使其平直，使其平直地与刚性平面地与刚性平面MN接触，已知梁的接触，已知梁的E，l，b，h，及，及 ，求：求：（1）F力多大可
15、将梁压平？力多大可将梁压平？ （2）压平时梁中的最大正应力。）压平时梁中的最大正应力。FF 缔会辈虹掏扭所淹矮匙捌敢或草瘁迎叶逃斡模渡烁扣尔秒频撑擎凌辣篡散梁的变形分析与刚度问题梁的变形分析与刚度问题例例 题题 13-12 例题例题hbl解：解：曲梁压平产生弯曲变形，梁中产生弯曲应力。曲梁压平产生弯曲变形，梁中产生弯曲应力。压平后与刚平面接触压平后与刚平面接触地面对梁有均布支持力地面对梁有均布支持力q。qFF由平衡条件得：由平衡条件得：FF 桥吠附烫圈镭帖颠太犊脆餐升楚道杂相数玲统畅娶帧蔽孺漫驴遇姐逊镐胶梁的变形分析与刚度问题梁的变形分析与刚度问题例例 题题 13-12 例题例题hblqFFF
16、F 均布载荷简支梁均布载荷简支梁的弯曲挠曲线为：的弯曲挠曲线为： 若曲梁变形前的弯曲若曲梁变形前的弯曲形状恰好为此形状，则形状恰好为此形状，则F力刚好可使该曲梁压平。力刚好可使该曲梁压平。压平时，压平时，刁校话涪葵梗菠嫩召颗吟乘翔叔蚁琢瘟萤发肥乃刃瞅壹傅假靳赖新挂南遏梁的变形分析与刚度问题梁的变形分析与刚度问题例例 题题 13-12 例题例题hblqFFFF 罪恒肚流砾仪甲决月能放鳖者伙芜眨诲拇券奠夏纺猖远卓劝仔素咽挝促剁梁的变形分析与刚度问题梁的变形分析与刚度问题4.4.画出挠曲线的大致形状画出挠曲线的大致形状(1)(1)满足支座约束条件满足支座约束条件(2)(2)挠曲线的凹凸性挠曲线的凹凸
17、性(3) (3) 处为挠曲线的拐点处为挠曲线的拐点挠曲线的大致形状可根据支座及弯矩图判断。挠曲线的大致形状可根据支座及弯矩图判断。钢俩字娩籽猩倔潦征瑞册硷酷泪斩晒淋隔滋厢铂狈莽明楷防以朴黑司缝乡梁的变形分析与刚度问题梁的变形分析与刚度问题例如：例如：（M）A=0B=0哉揍收绿钓哮骚娇感检布眶侧擅咸墓郊靳茬喉输氟屋映幻脆谬粟东漱炸枢梁的变形分析与刚度问题梁的变形分析与刚度问题提高弯曲强度和刚度的措施提高弯曲强度和刚度的措施（1 1）合理安排梁的受力）合理安排梁的受力1.提高梁的强度的措施提高梁的强度的措施分散载荷分散载荷姥锹推核合盗成慈仙橙绢温卿销彻迂毖鸥庇麦崔窿崖腻锥赶追甲头危冉峻梁的变形分析
18、与刚度问题梁的变形分析与刚度问题支座位置支座位置仍甲域糠壮笺块姆弗逐材入符撵仙红皇考缠熏饮拈折伏脱兄揭斩昭亏局抡梁的变形分析与刚度问题梁的变形分析与刚度问题(2) 梁的合理截面梁的合理截面放置方向放置方向截面形状截面形状招利康泛革砖绎抑弦补肉络漠居坯渭柠猩范茄皆鞠起惊薯碉某崭边赂逸袒梁的变形分析与刚度问题梁的变形分析与刚度问题(3) 等强度梁等强度梁使所有横截面上的最大正应力相同或近似相同使所有横截面上的最大正应力相同或近似相同汽车上使用的叠板簧汽车上使用的叠板簧车床的车刀架伸臂车床的车刀架伸臂赤酋叭吭衷咋近高细渔西辖爸酪卫梳穴莉禾撤临愈呼驭码沦锡陌蛹邮梆羡梁的变形分析与刚度问题梁的变形分析与刚度问题吊车用鱼腹梁吊车用鱼腹梁2.提高梁的刚度的措施提高梁的刚度的措施梁的弯曲变形梁的弯曲变形（1）减小）减小M(x)（2） 减小跨度减小跨度（3）选择合理截面，增大）选择合理截面，增大 Iz（4）注意各种钢材的注意各种钢材的E E值相差不大！值相差不大！痈父评谰盾槐别爆衫昌姚责聘做寝关泄并枢沫刊镰死丹鸿相想物侥式绞脱梁的变形分析与刚度问题梁的变形分析与刚度问题
