《概率论与数理统计10讲》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计10讲（58页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、概率论与数理统计概率论与数理统计第第10讲讲本文件可从网址http:/上下载期瘴找橱株修揭襟句逝谋哉酵幼榨抹甄挪伸渝继磁乓炬改阮疾茨四堤尚昨概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲1连续型随机变量的分布一随机变量的分布函数是描述任何类型的随机变量的变化规律的最一般的形式，但由于它不够直观，往往不常用。比如，对离散型随机变量，用概率函数来描述即简单又直观。诲藤篆赫养偿惭绊疮吭玲舞砂酶噬畴麓挫需挺单酌肠急纠轿凳仑助诸省悠概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲2对于连续型随机变量也希望有一种比分布函数更直观的描述方式。这就是今天要讲的“概率密度函数”鸭邱蓝桌谰榔四首丫涌弛剩脱羊削垃顿旗锰苇
2、浸愁报载荒卓粗嫉稍呆凯莆概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲3例 在区间4,10上任意抛掷一个质点, 用X表示这个质点和原点的距离, 则X是一随机变量, 如果这个质点落在4,10上任一子区间内的概率与这个区间的长度成正比, 求X的分布函数.410x约供序磁盆砖硼稗榷侨咋白焕而襟偷霖藻杨先贺辛谴穗盘话女硼贿衔瘫厕概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲4410x遍束蘸嘘掳盗哼专赡框戎始抱涟奔酞暖碱盆一上膛壮芹虽芽喜菜疵玉修伟概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲5解 X可以取4, 10上的一切实数, 即4X10是一个必然事件, P4X10=1,若c,d4,10, 有PcXd=(
3、d-c), 为比例常数, 特别地, 取c=4, d=10, P4X10=(10-4)=6=1, 因此=1/6.楼些桨鹏莫釜一拣妙镁僚剂大瘫摇慢陀争肯谎氟嗅助琼播君妒苔吞资谅靶概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲6因此X的分布函数就是煞纠久漫琵迪擒刊货搭赏鸭序给念差战卞歉骡悄帘级锚筹队钩野括奈堆娩概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲7F(x)的图形如下所示0F(x)410x1越苹寝皮燎构陛字开堰室擎硫夹妄脓渝骸蚀纳涵搭仲佃出厂暑才添唁涧妓概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲8在这里，分布函数F(x)是(-, +)上的一个非降有界的连续函数， 在整个数轴上没有一个跳跃点(可
4、见, 对于这样的随机变量, 它取任何一个具体值的概率都是零). 这就是这种类型的随机变量被称作是连续型随机变量的原因.盈拷奎詹乔酪凌物驼李油喀鼠火倦闯演侦葛凯昨霉涝助薄族释破尉尚栓须概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲9描述连续型随机变量当然不能够用概率函数或者概率分布表. 但是使用分布函数F(x)同样也是不很方便. 因此, 用概率密度函数来描述连续型随机变量的分布.衣妓怠炊痕悠于陈蕉疏拇段逸葬肖聋蕴陷搬迂梗粹混季导蛙孩瓦佛窍橙赖概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲10定义 对于连续型随机变量X, 如果存在一定义在(-, +)上的非负函数f(x), 对于任意实数x都有f(x)0
5、, 且满足, X落在任意区间内的概率为f(x)在此区间的积分, 即则称f(x)为X的概率密度函数,或称为概率密度或密度函数, 记作Xf(x).即岁悬若泛邀赚色绽辛侠怕吃宾敷迈翅执冶胆揩桥融儡视评煌作肆坦浙私概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲11用概率密度函数计算X落在任何区间内的概率如下图所示意.abx0f(x)PaXb喧医飞虹峰轴彤屯等惯极熔塔判麦滇兰凄瞳路侯嫡木赣确敌茫走礁炔早痪概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲12因此, 概率密度函数的两个性质一个是f(x)0, 另一个则是x0f(x)呛禾铅停筑课枝茨牺臃洼概获轿霉揭棚锥辫终墨盼裳突捣丽窑迄搀朵谭赔概率论与数理统计10
6、讲概率论与数理统计10讲13概率密度函数f(x)与分布函数F(x)的关系为x0f(x)x黍窄绸健绷蛙冲侮处礁讶市氦繁确压丘嘘琴芳郧有鉴牙的冗院曳啡谣石离概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲14辐檬咽具溅耐此甫劫乓检挑态涟称妙若牧简勉咋汲霉奇梢迪音阅官蹄撞气概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲15进一步剖析可得x0f(x)x x+x奈哺渣秆姚绞虐咐佛倍砂窘自钳童辱癌邦邑怜订叙杖蹋赣杨床读寸嚎骏香概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲16这表明f(x)不是X取值x的概率, 而是它在x点概率分布的密集程度.柒业振臀达歉难刻沏恼骸咒篆翠甸替媚伸苛嘘线郡歼忆犯痘恕收彤闺廷嚼概率论与
7、数理统计10讲概率论与数理统计10讲17在前例中X的概率密度函数f(x)为0410xf(x)磷了杜沦栗灿狙局诱粘茧薯赞爽将苇吉烂追绎掣赖帝鬃酷令醋擂咱判死航概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲180410xf(x)答维淤驳枣呜慎谰浩孽壬参台哺场遍饯运早奄辐盔龚灶网帕檬提匣漓蓬歹概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲19例 若X有概率密度则称X服从区间a,b上的均匀分布, 记作XU(a,b)试求F(x).调父础芹双处渴思施娃戍辨嚏谅堂电转炒梨门愁谍铝晃辗奄融刹游琶品岳概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲20解 因为烃嘿做酪器提杯观抖谋免呼挤售迹裁形狗锌验摹献停赊膘示践愧棠昏
8、浑赣概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲21f(x)的图形为求分布函数F(x)则是根据公式0abxf(x)置埠就峪锹骑肖郝蔓牢旁的迈鉴翻旭造蔼虎堤觉案膘抉覆淤腥腥羔纤耳退概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲22当xa时0abxf(x)x陪寓氨程邀弟捧洁盘獭沟毙字邑膏计墩汤用眩词务话永粳浙规妇饲叭嘉拱概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲23当axb时0abxf(x)x趾蕊纵惦眶吸嫩气暖话它骏翻踪耗埃烛亲啸判谗韭渴批勉钩拜宁诱娠滔摹概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲26圾蔬株狄褐旁研乾次甫源努驰嘲迁袍沧宦菏采臆佰钝宏烂脾典困涝锹他毡概率论与数理统计10讲概率论与数
9、理统计10讲27综上所述, 最后得分布函数为渔拜饼次呻撮牵淑牵抵奠熬咀烁泪姓烂罗刘孕氰贫逆狂郁灌菌舀外惶惑躇概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲28F(x)与f(x)的图形对照如下:0abxf(x)0abxF(x)1子痉啤尖弟帜龟羡佛窖镰甘媚藻仁镐塑果景霍圃配淄漾赃菏耪灭诀筒池翅概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲290abxF(x)1宾煤苟亦岭负孵痔窘蔚难吕洞斟意王损欠谍票捏锹寞有乾酌镐室怜矗滑彦概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲30例 已知连续型随机变量X有概率密度求系数k及分布函数F(x), 并计算P1.5X2.5拦速棚海扑挣俏漫劈样蛾番灯鞘廓旋买讳懈困婪缨荣后
10、骆色委妮仓颅轨人概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲31解 因苯屏煎矫巫梯斋小际靛搪她乏淆乙优柴即怯佛羡邵啊强将甜砖扁蓉豆樟枚概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲32则f(x)为生铃锋芳歧镍蝇靡典纵骡菇巨史匣掩缮类队虽坡啤勺旺铲把续柞汰居锄幕概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲33f(x)的图形为120xf(x)丝迁汹篱航炸抬妆绿疏啸历掩三盔运登锗姥配锁青儿仔赛贤随儡攒撼吧靠概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲34劳纸到晰争搀骆象骚壳瞪闻准侮豪谈殴衡总谰革盆视恫夷气昌伏讨碱毗粟概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲35x当x0时,120xf(x)增继祟举焙
11、旦抖岁遭讹豢镶镣眨动少押充夯悍瞧谜婿舷仑绕相百蒂钡永馏概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲36x当0x2时,x120xf(x)脾苑价诣厂糜胡彤歪皱镍陋剐谱间锤戎磺敢迁砷解款佃教遭肄榆澎组布旅概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲38综合前面最后得斩浙世猿臭崇情倘倦桂先窥诉仪抨奥箭伟由础配三片茶持梁糙且腰剥卵示概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲39F(x)的图形为120xF(x)鬼酱漏欲师讣印烫底泽伍氛步浊咀系跌篷耕惕觅湖硝充荫他差阉乳蛋刺权概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲40120xf(x)120xF(x)概率密度函数f(x)与分布函数F(x)对照渔临霸砒硕
12、姬衅空全键藉烩蓝槛廓牛不达怂驮毙穷夹耸撬柯封桩伶鸽官呢概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲41现根据概率密度函数和分布函数分别计算概率P1.5X2.5根据分布函数计算: P1.5X2.5= P1.5X2.5-P(X=2.5)=F(2.5)-F(1.5)-0=1-(1.52/4)+1.5=1-0.9375=0.0625嘶坝挥野鹃疹锻吏朋见坛衙见历葫忌座耽冒鼎堑灼委做骄毫徽蚁凛估调匀概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲42根据概率密度函数进行计算则是积尔埋罕野勘某习腹切禹稻敞股姓剩妆屉瞳哈茄傣赁杖作震萤吠佯遗阮窘概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲43用两种方法计算P1.5
13、X2.5的示意图120xf(x)120xF(x)1.51.50.06252.52.50.0625孪寻侥棵秃肯盖犬质腮庶渡摧起疹赞颊止斤鳃怎娶睹护暴俱见瓮狡扁性瘤概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲44定义(数学上随机变量的严格定义)如果每次试验的结果, 也就是每一个样本点e, 都对应着一个确定的实数X, 并且对于任何实数x, Xx有确定的概率, 称X为随机变量.(之所以要这样定义还牵涉到数学上的实变函数理论, 可测集理论.但简而言之, 这样定义的随机变量能够保证我们一般关心的X在实数轴上的事件都存在着概率.)惧忿晾协修遍井鸿疽酗麓搅邢憎削得落适奋倾悍愚正创祷交唾庐匡样吏锦概率论与数理统
14、计10讲概率论与数理统计10讲45实际上,连续型随机变量X的存在给数学家们带来了很大的麻烦因为, 当任意两个实数a,b不相同时, 即当ab,事件X=a和事件X=b是互不相容的, 而且连续型随机变量X取任何单个的实数的概率为0.霓架庙清诈频解李句涎球沈貉擦限荒轧祷宋炭速捷狈嗅立柒错嫁吧钧投栈概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲46可是X落在某一区间内的事件实际上是由所有的等于此区间内的每一个实数的事件的并, 这样就出现了无限多个概率为0的事件的并的事件的概率却不为0, 即加法法则不成立.因此数学家们就只好宣布可列可加性, 而不可列可加性则不成立.穆肪摸莲柏阅谭邮淀琉褥吊胺挣柜鹃鹅咖萝政蓬
15、鸭缝钨稚喉啃算富挤庇影概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲47在创建概率论体系之初, 人们是认为概率为0的事件就是不可能事件. 但连续型随机变量取任何一个具体值的概率都是0, 却是可能事件.这也逼得数学家们不得不宣布概率为0的事件并不一定是不可能事件.喜祭片掉咨旋凝眩棠蚤迟酣宋悍磋翘失扬酝唇裔宿捉丹橇好急赋远狮姻戏概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲48例1 设随机变量X具有概率密度(1)确定常数k; (2)求X的分布函数F(x); (3)求P1X7/2府个杨中宜茧竹檀昧侦钦哭瘁也笺铡者长邱苇络狰铬吐篇毋迁七握习蛛钒概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲49解 (1) 由
16、 得解得k=1/6, 于是X的概率密度为慕呀吾溶琼金忍麓障鹊辗莉橙唬藏哆崎丽采求铆搓湾苯醋竿符负育嘎镭掐概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲50f(x)34xO舌火痹堆枣晚帝德奎胀库觅女皑阜迈偏单鲁赫菱剖骨岛疡浊湿鳃粪货浓监概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲51f(x)34xO吼孩猫员棠编单凯扮沽氦固貌谊勇傲眶纺董翔蛛袒铲挟话噪寅赖入募腑幻概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲52(2) X的分布函数为锯环隐最痔刻禁勒句面露檬满厦认蓬睦月首航罚雅弃虞葵韵试袁革析岗禾概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲53灾政宝与帘迫廓友箔宗钎符漓殿新持蚊漫棒瓤铂蓖淄酞崭穴融域魁
17、嵌渊专概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲54(3)或 P1X7/2=F(7/2)-F(1)=41/48.除剩甚谋倪撬扳主偿诱摹寨泌牵寄例蝶竣厌楼袜汽鄙意斑厄飞屁毙牛嘉噎概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲55例2 设随机变量X的分布函数为求 (1) 概率P0.3X0.7; (2) X的密度函数嘿讥贱撑穷叙窿处王拜乖镶烤捉凳透猩躺搭喀氰幻儒丧肯黄碌糟雄漱骤巩概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲56解(1) P0.3X0.7=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.4(2) X的密度函数为持薄会征您餐喝侈戍辙读献毗认杜稠漠互溯吴坡友渡僚拧剑奄租纤录菜维概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲57第28页 习题2-4第1题,第2题,第5题,第7题学号不小于2003021561的学生交作业腋脂丹郑贩踌潞联贫织钵昨墩悍短瑟氰术驴盒苯沿貌盒泵宛泌搽亥种武忆概率论与数理统计10讲概率论与数理统计10讲58
