振动波动要点ppt课件

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1、8/31/20241 振动与波动复习要点振动与波动复习要点振动与波动复习要点振动与波动复习要点 振动和波是自然界中一种最为普遍的运动形振动和波是自然界中一种最为普遍的运动形式之一，本质上看是一种式之一，本质上看是一种周期运动周期运动或或准周期运准周期运动动 (但振动不一定都是周期运动但振动不一定都是周期运动)。物体有振动和波动物体有振动和波动 物体就是物体就是“形变体形变体 (弹性体弹性体弹性体弹性体) )”从力学上讲，研究弹性体有两个方面：从力学上讲，研究弹性体有两个方面：弹性体内质元的运动弹性体内质元的运动 振动振动弹性体整体内部运动弹性体整体内部运动 波动波动8/31/20242什么叫什

2、么叫振动振动：任何一个物理量在某一：任何一个物理量在某一定值定值附近附近 的的反复反复变化皆可称为变化皆可称为 。不同的振动对应不同的物理量，不同的振动对应不同的物理量， 电磁振动电磁振动E、H；机械振动机械振动质元的位移。质元的位移。机械振动机械振动：物体在同一路径上一定：物体在同一路径上一定平衡位置平衡位置 附近的重复往返运动。附近的重复往返运动。即质元的位置在一定平衡位置附近的反复变化。即质元的位置在一定平衡位置附近的反复变化。一、振动一、振动一、振动一、振动8/31/202431.机械振动的运动学特征：机械振动的运动学特征： 有一个平衡位置；有一个平衡位置； 在平衡位置附近往复运动。在

3、平衡位置附近往复运动。2.机械振动的动力学特征：机械振动的动力学特征：特征特征1：外界：外界破坏平衡破坏平衡 数学上就是有一个初条件数学上就是有一个初条件正好振动的解有两个待定常数正好振动的解有两个待定常数 A 、 。8/31/20244特征特征2：内部：内部 有恢复力与惯性有恢复力与惯性 因此描述振动的物理量就必然有：因此描述振动的物理量就必然有：标志系统恢复力的如标志系统恢复力的如 k、g、M；标志系统惯性的如标志系统惯性的如 m、J、L；标志周期的如标志周期的如 、 、T；由初条件决定的振幅由初条件决定的振幅 A 和初位相和初位相 。 在初条件破坏平衡后，糸统的恢复力和惯在初条件破坏平衡

4、后，糸统的恢复力和惯性的交互作用形成振动。性的交互作用形成振动。8/31/202453. 弹簧振子及其简谐振动弹簧振子及其简谐振动ll0弹簧振子：包括两个基本弹簧振子：包括两个基本 特征的系统。特征的系统。 把系统的所有惯性把系统的所有惯性集中在集中在 质点质点 m上（上（弹簧的质量不计）弹簧的质量不计） 把系统的所有恢复力把系统的所有恢复力集中集中 在弹簧在弹簧 k上（上（质点的恢复力不计）质点的恢复力不计）k：弹簧的倔强系数弹簧的倔强系数单位：牛顿单位：牛顿/米（米（N/m）8/31/20246 这种系统（称为这种系统（称为“mk”系统）在不计任何系统）在不计任何阻力时作简谐振动！阻力时作

5、简谐振动！在平衡位置在平衡位置 o 附近作附近作周期周期往复运动！往复运动！1 从机构上给出简谐振动的定义：从机构上给出简谐振动的定义：“mk”系统的振动就是简谐振动。系统的振动就是简谐振动。从弹簧振子的恢复力：从弹簧振子的恢复力：F = k x 力与物体的位移成正比力与物体的位移成正比(线性关糸线性关糸)，但方向，但方向始终与位移相反始终与位移相反始终指向平衡位置。得：始终指向平衡位置。得：8/31/20247作简谐振动的系统统称为谐振子！作简谐振动的系统统称为谐振子！2 从受力方面给出简谐振动的定义：从受力方面给出简谐振动的定义： 物体在弹性力和准弹性力物体在弹性力和准弹性力F q，即力与

6、即力与对平衡位置的位移或者角位移成正比且反向的对平衡位置的位移或者角位移成正比且反向的作用下的振动是简谐振动。作用下的振动是简谐振动。 注意：机械振动中所指的位移注意：机械振动中所指的位移都是指都是指离离开平衡位置开平衡位置的位移。的位移。负号负号都是对都是对平衡点平衡点来说指来说指向平衡位置。向平衡位置。8/31/20248从谐振子的质点从谐振子的质点 m 的加速度的加速度3 从运动学的观点给出简谐振动的定义：从运动学的观点给出简谐振动的定义： 如果一个物体的加速度如果一个物体的加速度 ax与位移与位移 x 恒成恒成正比正比且且方向相反方向相反，则这个物体一定作简谐振动。，则这个物体一定作简

7、谐振动。由系统本身属性决定，与外界无关。由系统本身属性决定，与外界无关。圆频率圆频率 ( 角频率角频率 )单位：单位：1/s8/31/20249 从数学上看，一个函数从数学上看，一个函数求导两次求导两次，还正比它自己且，还正比它自己且还必须是周期函数，这个函数只可能是余弦或者正弦还必须是周期函数，这个函数只可能是余弦或者正弦函数，而它们也只差函数，而它们也只差 /2，所以可猜出上面方程的解所以可猜出上面方程的解4 从运动方程给出简谐振动的定义：从运动方程给出简谐振动的定义： 如果某个物理量如果某个物理量 q 是用时间是用时间 t 的的正弦或余弦函数正弦或余弦函数来来描述的振动，则该物理量作简谐

8、振动。描述的振动，则该物理量作简谐振动。8/31/2024104. 简谐振动的描述简谐振动的描述 以水平弹簧振子为例以水平弹簧振子为例系统的恢复力是系统的恢复力是弹性力弹性力：F = k x依牛顿第二定律有：依牛顿第二定律有：由于由于m、k是大于零的常数，令：是大于零的常数，令：得出：得出：谐振动微分方程谐振动微分方程8/31/202411从这也可以给出简谐振动的另一定义：从这也可以给出简谐振动的另一定义：5 从运动微分方程给出简谐振动的定义：从运动微分方程给出简谐振动的定义： 如果某个物理量如果某个物理量 q 的运动方程满足的运动方程满足二阶线性齐次常二阶线性齐次常微分方程微分方程，则该物理

9、量则该物理量 q 作简谐振动。作简谐振动。8/31/202412谐振子任意谐振子任意 t 时刻离开平衡位置的位移。时刻离开平衡位置的位移。数学上能严格证明它的唯一可能解数学上能严格证明它的唯一可能解是二阶微分方程解的积分常数，可以由是二阶微分方程解的积分常数，可以由初始条件决定。初始条件决定。的通解：的通解：即：即： 简谐振动的运动方程：简谐振动的运动方程：谐振子的运动方程谐振子的运动方程8/31/202413弹簧振子的速度弹簧振子的速度弹簧振子的加速度弹簧振子的加速度 可知：弹簧振子的速度、加速度作与位移同可知：弹簧振子的速度、加速度作与位移同频率的简谐振动！只是振幅、初位相不同。频率的简谐

10、振动！只是振幅、初位相不同。 弹簧振子作弹簧振子作变变加速的直线运动加速的直线运动8/31/2024145. 描述简谐振动特征的三个物理量描述简谐振动特征的三个物理量(1) 周期周期 T 物体完成一次完全振动所需的时间物体完成一次完全振动所需的时间 (求的是最小周求的是最小周期，即一次往复运动所需时间期，即一次往复运动所需时间 )。 这样这样 t 与与 t + T 时刻，物体的状态时刻，物体的状态(位置、速度等状位置、速度等状态量态量)完全复原。完全复原。单位：秒单位：秒 (s)从从不影响研究周期不影响研究周期每隔每隔T 时间运动完全重复时间运动完全重复8/31/202415频率频率： 单位时

11、间内物体完成的完全振动的次数单位时间内物体完成的完全振动的次数它是表它是表征振动快慢的物理量。征振动快慢的物理量。单位：赫之单位：赫之(Hz=1/s)圆频率或角频率圆频率或角频率：T、 、 都是反映振动周期性的物理量！都是反映振动周期性的物理量！单位时间内单位时间内相位相位的变化值的变化值8/31/202416对对 mk系统：系统：m系系统惯性的代表统惯性的代表k恢复力的代表恢复力的代表 T 固有周期固有周期 固有频率固有频率简谐振动的简谐振动的周期性仅由系统的内因周期性仅由系统的内因决定！决定！8/31/202417(2) 振幅振幅 A 振动物体离开平衡位置的振动物体离开平衡位置的最大距离最

12、大距离。也就是位移。也就是位移最大值的绝对值。最大值的绝对值。 它给出物体的运动范围，反映振动物体偏离平衡它给出物体的运动范围，反映振动物体偏离平衡位置的最大程度，即位置的最大程度，即振动的强弱振动的强弱。速度的振幅：速度的振幅：vmax = A 加速度的振幅：加速度的振幅：amax = A 2速度最大值的绝对值速度最大值的绝对值加速度最大值的绝对值加速度最大值的绝对值8/31/202418(3)相位相位 ：也称位相、周相也称位相、周相 决定谐振动物体的运动状态决定谐振动物体的运动状态(位移和速度位移和速度)，反映振动，反映振动周期性的物理量。周期性的物理量。给定任意给定任意 t 时振动物体的

13、状态时振动物体的状态 x、v 确定确定反映振动的特征反映振动的特征周期性周期性t = 0 （计时起点）计时起点）时：时：初相位初相位 ，由初绐条件决定。由初绐条件决定。取这个范围的值，对计算方便。取这个范围的值，对计算方便。8/31/202419依谐振动的周期性，我们看出：依谐振动的周期性，我们看出： 相位差为相位差为 2k ( k = 0，1，2 ， ) 的任意两个的任意两个时刻（时间差为时刻（时间差为T 的整数倍）物体的振动状态相同。的整数倍）物体的振动状态相同。 相位决定振动的状态，并能充分反映振动的相位决定振动的状态，并能充分反映振动的周期性。周期性。8/31/202420从：从： 可

14、知：作谐振动的物体的位移、速度、加速度都可知：作谐振动的物体的位移、速度、加速度都作同频率的谐振动，振幅分别为作同频率的谐振动，振幅分别为 A、A 、A 2，相相位依次位依次落后落后 / 2。8/31/202421vavaxxtoT位移的相位比速度的位相落后位移的相位比速度的位相落后 / 2位移比加速度的相位落后位移比加速度的相位落后 反相反相8/31/202422(4) 由二阶微分方程的初始条件决定由二阶微分方程的初始条件决定已知已知 t = 0 时时：x = x0 ，v = v0 由谐振动的运动方程由谐振动的运动方程解得：解得：到底取什么值，要看到底取什么值，要看x0、v0的正负！的正负！

15、8/31/202423讨论：讨论： 做题时，往往不必死背公式。做题时，往往不必死背公式。 例：例：t = 0 时，时， x0=A /2，且振子且振子(质点质点 m )向向 x 正正向运动，则由向运动，则由 换个计时起点换个计时起点 ，则初相位随之变化，如，则初相位随之变化，如t = 0 时，时， x0= A / 2，且向且向 x 负向运动，则负向运动，则8/31/202424 是系统的固有圆频率，由系统自身性质是系统的固有圆频率，由系统自身性质(惯性惯性与恢复力与恢复力) 决定，与外界、计时起点、运动状态都无决定，与外界、计时起点、运动状态都无关关反映谐振动的周期性。反映谐振动的周期性。 从从

16、初始机械能初始机械能 E0 初相与时间起点的选择有关，与坐标的取向有初相与时间起点的选择有关，与坐标的取向有关，而与振动系统的物理性质无关。关，而与振动系统的物理性质无关。8/31/202425而谐振子系统的机械能守恒而谐振子系统的机械能守恒 E = E0 振幅振幅 A取决于系统的总能量与计时起点无关取决于系统的总能量与计时起点无关振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还反映振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还反映振动系统总能量的大小及振动的强度。振动系统总能量的大小及振动的强度。 一旦描述简谐振动的一旦描述简谐振动的三个三个特征量特征量周期周期 T ( 角频角频率率 、频率频率 )、振幅、振

17、幅 A，初相初相 确定，则谐振动方程确定，则谐振动方程就被就被唯一唯一确定。确定。8/31/2024266. 简谐振动的能量简谐振动的能量以以“mk”系统为例：系统为例：m代表整个系代表整个系统的惯性统的惯性k代表整个系代表整个系统的统的恢复性质恢复性质任意任意 t 时刻：时刻：依谐振动的运动方程依谐振动的运动方程有：有：8/31/202427谐振子系统的动能和势能谐振子系统的动能和势能谐振子系统的机械能谐振子系统的机械能= 常数常数系统的机械能守恒系统的机械能守恒8/31/202428 在振动过程中，动能和势能相互转化，总能量在振在振动过程中，动能和势能相互转化，总能量在振动过程中的保持恒定

18、：动过程中的保持恒定：初条件给定初条件给定( A 一一 定定) ：系统一定系统一定(m、k、 2一定一定)：8/31/202429 注意：无论弹簧水平放置还是竖直放置，势能零注意：无论弹簧水平放置还是竖直放置，势能零点怎么选，只要以点怎么选，只要以平衡位置为坐标原点平衡位置为坐标原点则任意时刻则任意时刻质点相对平衡位置的位移为质点相对平衡位置的位移为x ，速度为速度为v，由系统的由系统的机械能守恒总有机械能守恒总有成立！成立！8/31/2024307. 简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法旋转矢量描述旋转矢量描述oxyjt=0tAMPx圆频率圆频率A 的长度：的长度：振幅振幅 AA 的旋转

19、角速度：的旋转角速度：t 时旋转矢量时旋转矢量 A 与与 x 的夹角：的夹角：相位相位 旋转矢量旋转矢量 A 以以 沿逆时针方向匀速转动，其沿逆时针方向匀速转动，其端点端点 M 在在 x 轴上投影点轴上投影点 P 的运动的运动规律：规律： 正是沿正是沿x 轴作谐振动的物体在轴作谐振动的物体在 t 时相对时相对o的位移。的位移。 O平衡位置平衡位置8/31/202431oxyAM注意：端点注意：端点 M 作半径为作半径为 A的的匀速圆周运动！匀速圆周运动！方向切向方向切向在在 x 轴上的投影：轴上的投影：正是沿正是沿 x 轴作谐振动的物体在轴作谐振动的物体在 t 时的速度时的速度v 。 矢量矢量

20、 A 的端点的端点M 的速度：的速度：8/31/202432oxyAM矢量矢量 A的端点的端点M 的加速度：的加速度：向心加速度向心加速度在在 x 轴上的投影：轴上的投影：正是正是 x 轴作谐振动的物体在轴作谐振动的物体在 t 时的加速度时的加速度a。 8/31/202433 应用应用 ： 求初相位求初相位jxy例：例：t =0，x0= 0从图知，从图知，A 在在 y 方向方向如果如果 v0 0如果如果 v0 0初相位在初相位在、象限时，象限时， v0 0 。8/31/202434xyA/2o例：例：t = 0，x0 = A/2如果如果 v0 0如果如果 v0 0如果如果 v0 0 ，求质点第

21、求质点第 二二 次次 通过通过 x =2cm 的时刻的时刻 t =？xyA/2o解：依题意解：依题意 t = 0 时时 x =2 cm =A/2v0 08/31/202436xyA/2o t + j =2 / 3 的位置的位置解得：解得：第二次质点通过第二次质点通过 x =2cm，即即 A 以以 匀速转到匀速转到A 以以 匀速转了匀速转了4 /3的角度的角度如果开始在如果开始在x =2cm ， v0 0 的位置，则的位置，则A 以以 匀速转了匀速转了2 / 3 的角度的角度8/31/202437只有用旋转矢量时，只有用旋转矢量时， A 以以匀速匀速 转动，可用转动，可用 讨论两个同频率的简谐振

22、动的步调是否一致？讨论两个同频率的简谐振动的步调是否一致？如果不一致，差多少？以及合成时都方便。如果不一致，差多少？以及合成时都方便。8/31/2024388. 简谐振动的合成简谐振动的合成 同方向同频率的简谐振动的合成同方向同频率的简谐振动的合成 设质点参与两个在同一直线上进行的同频率的谐振设质点参与两个在同一直线上进行的同频率的谐振动：以振动方向为动：以振动方向为 x 轴，平衡位置为坐标原点则两轴，平衡位置为坐标原点则两个分振动的运动方程为个分振动的运动方程为xyo8/31/202439仍做沿仍做沿 x 方向的频率为方向的频率为 (不变不变)的简谐振动！的简谐振动！实验证明，两振动的合振动

23、满足叠加原理实验证明，两振动的合振动满足叠加原理用用旋转矢量法旋转矢量法求合振幅求合振幅 A、合振动的初相合振动的初相 xyox1x2jx = x1 + x2 是是在在 x 轴上的投影。轴上的投影。x8/31/202440 由于两个谐振动的频率一样，使任意由于两个谐振动的频率一样，使任意 t 时刻两个时刻两个旋转矢量的相对位置与旋转矢量的相对位置与 t = 0 时的相对位置一样，两时的相对位置一样，两分振动分振动任意任意 t 时刻的相差时刻的相差 可用可用 t = 0 时刻的情况，求出任意时刻的情况，求出任意 t 时刻的合振时刻的合振动问题。动问题。=初相差初相差8/31/202441从图由余

24、弦从图由余弦定理易得：定理易得：xyoj 2 1合振幅合振幅 A合成矢量合成矢量 A 的大小：的大小： 2 18/31/202442xyox10x20jx0y20y10y0合振动初相合振动初相 A 与与 x 轴的夹角轴的夹角8/31/202443依合振幅依合振幅 A 的公式的公式 合振动是加强还是减弱？在合振动是加强还是减弱？在 A1、A2 给定时就取决于给定时就取决于 为何值，即为何值，即A1、A2 一定时：一定时：位相差的函数位相差的函数这样当：这样当：8/31/202444两振动同相：合振幅最大，合振动加强。两振动同相：合振幅最大，合振动加强。 当当x(t)x1(t)x2(t)xto质点

25、振动最为强烈！质点振动最为强烈！ 任意任意 t 时，两个分振动振动同步。时，两个分振动振动同步。当当 A1 = A2 时，时，A= 2 A18/31/202445 当当两振动反相：合振幅最小，合振动两振动反相：合振幅最小，合振动减弱减弱。x(t)x1(t)xtox2(t)xtox1(t)x2(t) 当当 A1 = A2 时，时，A= 0 质点处质点处于于静止静止状态状态两振动两振动相消相消。x(t) 合振动的初相与合振动的初相与振幅大的振动相同。振幅大的振动相同。8/31/202446 上面我们谈的是质点参与两个在同一直线上上面我们谈的是质点参与两个在同一直线上进行的同频率谐振动的合成，下面要

26、讨论进行的同频率谐振动的合成，下面要讨论 N个个振幅相同振幅相同、初相、初相依次依次相差一个恒量相差一个恒量 在在同一同一直直线上同方向线上同方向同频率同频率的简谐振动的合成：的简谐振动的合成：设这设这 N 个分振动的方程为个分振动的方程为用用旋转矢量法旋转矢量法求合振幅求合振幅 A、合振动的初相合振动的初相 合振动为：合振动为：8/31/202447ox aaaaaPCRRN 从图中看，从图中看， OCP 是一是一个等腰三角形，显然有：个等腰三角形，显然有：而而 + 2 = 易证：每个分振幅矢量所对应的易证：每个分振幅矢量所对应的圆心角等于初相差圆心角等于初相差 ，所有振幅所所有振幅所对应的

27、圆心角对应的圆心角 8/31/202448这样合振幅这样合振幅上两式相除解得上两式相除解得在在 OCP 中：中：合振动的初相合振动的初相 8/31/202449合振动的表达式：合振动的表达式： 合振动的加强和减弱：当合振动的加强和减弱：当 为任意值时，合为任意值时，合成情况比较复杂，我们关心两种特殊情况：成情况比较复杂，我们关心两种特殊情况：8/31/202450 各分振动同相各分振动同相 (振动状态同步振动状态同步)即各分振动同相位时，合振动的振幅最大。即各分振动同相位时，合振动的振幅最大。aaaaA 各分振幅矢量方向相同各分振幅矢量方向相同因而得到大的合振幅。因而得到大的合振幅。8/31/

28、202451 各分振动的初相差各分振动的初相差k 为不等于为不等于Nk ( k = 0，1，2)的整数的整数 注意：如果注意：如果 k = Nk，则则 = 2k ，对应的是对应的是振幅有极大值，振动同相的情况。振幅有极大值，振动同相的情况。合振幅有极小值合振幅有极小值 A= 0 ！8/31/202452 在振幅矢量图上各分振动矢量在振幅矢量图上各分振动矢量依次相接依次相接，构，构成成闭合闭合的的正多边形正多边形，从而合振动的振幅为零。，从而合振动的振幅为零。 实际上，合振幅有极小值实际上，合振幅有极小值 A= 0 的情况对应的的情况对应的是是 N 个振动的总位相差个振动的总位相差k 为不等于为

29、不等于Nk 的整数的整数ox例：例：N = 8， k =1 8 = 2 8/31/202453 二、波动二、波动 从物理学上说，振动是一定的物理量在某一从物理学上说，振动是一定的物理量在某一定值定值附近的附近的反复反复变化，波动是一定的物理量的变化，波动是一定的物理量的周期性变化在空间的传播。周期性变化在空间的传播。 不过不过非非周期振动周期振动 (称为称为扰动扰动) 在空间的传播所在空间的传播所产生的波就不一定具有周期性。产生的波就不一定具有周期性。波动是振动的传播，振动是波动的根源。波动是振动的传播，振动是波动的根源。8/31/2024541. 机械波的形成及产生的条件机械波的形成及产生的

30、条件 媒质：由无穷多个质元组成，各部分之间媒质：由无穷多个质元组成，各部分之间有相互作用，可以有相对运动的有相互作用，可以有相对运动的连续连续系统。系统。 机械波产生的条件：机械波产生的条件： 要有波源要有波源(振动源振动源) 外因外因 要有有相互作用能传播振动的要有有相互作用能传播振动的媒质媒质内因内因 机械波是机械振动状态机械波是机械振动状态 位相和能量在位相和能量在介质中的传播介质中的传播 (不是质点和介质的传播不是质点和介质的传播)。8/31/202455波波动动 质元质元的运动的运动相对于各自平衡位置的相对于各自平衡位置的振动速度振动速度 波波传播传播振动状态在媒质中的传播速度振动状

31、态在媒质中的传播速度即即波速波速与这两个条件相应的有两个速度：与这两个条件相应的有两个速度：与波源的振动与波源的振动没有没有关系关系由介质的由介质的惯性惯性和和弹性弹性决定。决定。与波源的振动与波源的振动有有关系关系 两个速度的方向有各种可能，典型的有两个速度的方向有各种可能，典型的有平行平行和和垂直垂直，就有，就有纵波纵波和和横波横波之分。之分。8/31/202456横波：振动方向横波：振动方向波的传播方向波的传播方向oyx波峰波峰波谷波谷uEH 如电磁波如电磁波场量场量 E 与与 H 作振动，与波速作振动，与波速 u 均垂直。均垂直。 形成横波必须有形成横波必须有切应切应力力，波形有峰谷之

32、分波形有峰谷之分。看到的是波峰和波谷在波速方向上前进。看到的是波峰和波谷在波速方向上前进。手手抖抖动动8/31/202457纵波：振动方向纵波：振动方向波的传播方向波的传播方向手推拉手推拉纵波波形是波疏波密，看到波疏波密在前进。纵波波形是波疏波密，看到波疏波密在前进。媒质中各体积元形变，因而各处媒质的密度媒质中各体积元形变，因而各处媒质的密度周期性变化，这个变化方向即各质元振动方向周期性变化，这个变化方向即各质元振动方向为为 ，疏密结构疏密结构即波的传播方向即波的传播方向。8/31/2024582. 波的几何描述波的几何描述 波面波面(相面、波阵面相面、波阵面)：某时刻介质内某时刻介质内振动相

33、振动相位相同位相同的点组成的面。的点组成的面。 波前波前：某时刻处在最前面的波面某时刻处在最前面的波面。 波线波线(波射线波射线)：沿着波的传播方向作出的带沿着波的传播方向作出的带箭头的直线。箭头的直线。 它也是能量传输的方向。在各向同性的媒质它也是能量传输的方向。在各向同性的媒质中，中，波线波线总是与总是与波面波面垂直垂直。8/31/2024593. 描述波的物理量描述波的物理量 波速波速 u：单位时间内一定振动状态单位时间内一定振动状态 (相位相位) 传播的距离。传播的距离。 反映振动状态在媒质中的传播快慢。在反映振动状态在媒质中的传播快慢。在简谐波中，波速也称为简谐波中，波速也称为相速度

34、相速度。 注意：注意： 波速与波源、介质中质元的振动无关波速与波源、介质中质元的振动无关而与质元间的相互作用有关，由介质的而与质元间的相互作用有关，由介质的弹性弹性和和惯性惯性性质决定。即介质的性质决定。即介质的弹性模量弹性模量和介质的和介质的密密度度决定这种波在媒质中传播的机构。决定这种波在媒质中传播的机构。8/31/202460 可证：在无限大均匀各向同性的固体介质中可证：在无限大均匀各向同性的固体介质中传播的横波波速传播的横波波速式中：式中：N 为切变弹性模量为切变弹性模量 为介质的密度为介质的密度在弹性固体棒中传播的纵波的波速为：在弹性固体棒中传播的纵波的波速为：式中：式中：Y 为媒质

35、的杨氏模量为媒质的杨氏模量 为媒质的密度为媒质的密度 。8/31/202461电磁波的波速也是由介质的性质决定的：电磁波的波速也是由介质的性质决定的：在真空中：在真空中：在介质中：在介质中：在液体和气体中纵波的速度为：在液体和气体中纵波的速度为：式中：式中：B 为媒质的体变弹性模量为媒质的体变弹性模量 为媒质的密度为媒质的密度得空气中的声速得空气中的声速8/31/202462 波长波长 (wavelength) ：相邻的两个振动相邻的两个振动状态相同的质元之间的距离。状态相同的质元之间的距离。 或：同一波线上两个位相差为或：同一波线上两个位相差为 2 的两个质的两个质元之间的距离；元之间的距离

36、；任一同相面在一个周期中推进任一同相面在一个周期中推进的距离。的距离。 yxoxyo 8/31/202463 周期周期 ( period ) T：媒质质元振动状态复原媒质质元振动状态复原所需的所需的最短最短时间。时间。 或：波前进一个波长所需的时间；一个完整或：波前进一个波长所需的时间；一个完整的波通过波线上某一点所需要的时间；某个相的波通过波线上某一点所需要的时间；某个相位传播一个波长距离所需的时间。位传播一个波长距离所需的时间。 频率频率( frequency ) =1 / T： 单位时间内，波单位时间内，波在前进距离中的完整波在前进距离中的完整波(以波长为单位以波长为单位)的数目。的数目

37、。描述波在时间上的周期性！描述波在时间上的周期性！每隔每隔T时间介质中各质元的振动状态完全复原时间介质中各质元的振动状态完全复原!8/31/202464 从波的形成可知从波的形成可知 ，波源完成一次完全振动，波源完成一次完全振动相位从相位从 0 2 ，则振动传播一个波长，所以则振动传播一个波长，所以波的波的T、 = 波源波源(介质中各质点介质中各质点)的振动的振动T、 虽然它们意义上有差异：质点振动的虽然它们意义上有差异：质点振动的 T、 是说质点作一个往复运动所需的时间与单位时是说质点作一个往复运动所需的时间与单位时间内质点完成的完全振动的次数。间内质点完成的完全振动的次数。波的波的 T、

38、由波源振动的周期和频率确定。由波源振动的周期和频率确定。8/31/202465三者的关系：三者的关系：注意：注意：u 介质决定；介质决定；T、 波源确定波源确定 波源和介质决定波源和介质决定相同频率的波在不同介质中传播时，相同频率的波在不同介质中传播时， 随介质不同而不同；随介质不同而不同；不同频率的波在相同介质中传播时，不同频率的波在相同介质中传播时， 随波的频率不同而不同。随波的频率不同而不同。8/31/202466 4. 平面简谐波平面简谐波：波面是：波面是平面平面的简谐波的简谐波 最最简单的行波简单的行波平面行波。平面行波。 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数(波动方程波动方程)：定

39、量给出的定量给出的波动沿波线传播的解析表达式波动沿波线传播的解析表达式。 平面谐波的波动方程只需研究媒质中某一波平面谐波的波动方程只需研究媒质中某一波线上各质元任意线上各质元任意 t 时刻离开自己平衡位置时刻离开自己平衡位置 x 的的位移位移 y 与与 x，t 的函数关系即的函数关系即其中：其中：x 是媒质中某一质元的平衡位置是媒质中某一质元的平衡位置yx 横波横波y / x 纵波纵波8/31/202467推导：推导：已知：已知： o 处质元的简谐振动方程为处质元的简谐振动方程为oyxPx选为坐标原点选为坐标原点不是波源不是波源 o 为为 o 点在点在 t = 0 时刻的初相位。时刻的初相位。

40、 考虑考虑 x 轴上任一点轴上任一点 P 的振动：的振动：P 作与作与 o点点同频率同振幅，但同频率同振幅，但相位落后相位落后 o 点的简谐振动。点的简谐振动。8/31/202468 u 与振动状态无关，只与振动状态无关，只由介质定；由介质定； o点点 t 时刻的状态传到时刻的状态传到P点所要的时间为点所要的时间为 t = x / u。oyxPx 即：即： P 点点 t 时的振动状态与时的振动状态与 o 点点(t t)的的振动状态相同，有振动状态相同，有可见：可见：P 点比点比 o 点位相点位相落后落后 x / u8/31/202469 如果如果 P 点点任意任意，则，则 P点的振动方程就是点

41、的振动方程就是 任一位置任一位置 x 处的质元在任一时刻处的质元在任一时刻 t 离开各自离开各自平衡位置的位移平衡位置的位移即平面行波的波函数为即平面行波的波函数为oyxP-x 如如 P 点在点在 o点左边，则是点左边，则是 P 点振动比点振动比 o点点超前超前，注意，注意这时这时 P 点坐标点坐标 x 0，有有“、”为正为正自动表示自动表示超前超前8/31/202470右右行波的波动方程行波的波动方程(向向 x 轴正向传轴正向传) 如果是波源在如果是波源在 x =，向向 x 轴轴负向负向传的平传的平面行波，则将上式中面行波，则将上式中uu，得其波函数为得其波函数为 oyxPx 也说明各点振动

42、状态在也说明各点振动状态在波速方向上依次落后。波速方向上依次落后。左左行波的波动方程行波的波动方程8/31/202471 对平面谐波对平面谐波(平面行波平面行波)波函数的讨论：波函数的讨论： 波函数的各种表示：波函数的各种表示：“+” 波向波向 x 负负向传向传“- ” 波向波向 x 正正向传向传k 角波数：角波数：2 长度内完整波的数目，单位长度上波的相位变化。长度内完整波的数目，单位长度上波的相位变化。8/31/202472任意任意 P 点与点与 o 点在点在 t 时的相位差为时的相位差为 从波动方程可知，在波线上的各点的振动从波动方程可知，在波线上的各点的振动状态在波的传播方向上状态在波

43、的传播方向上依次落后依次落后。任意任意 P1 与与 P2 点在点在 t 时的相位差为时的相位差为8/31/202473可见：可见： 表示表示 x 处的质元比坐标原点处的质元比坐标原点 o 处质元处质元落后或超前的相位。落后或超前的相位。x 可正可负可正可负x 处质元比处质元比 o 处质元处质元超前超前的相位；的相位；x 处质元比处质元比 o 处质元处质元落后落后的相位；的相位； x 处质元比处质元比 o 处质元振动处质元振动超前超前的时间。的时间。 x 处质元比处质元比 o 处质元振动处质元振动落后落后的时间。的时间。8/31/202474 这说明这说明 t 时间内，某一振动状态时间内，某一振

44、动状态 (一定的位一定的位相相)， 在波的传播方向上前进在波的传播方向上前进 x = u t 的距离。的距离。 注意：注意： 平面谐波的波动方程描述的是一个沿平面谐波的波动方程描述的是一个沿 x 轴轴正向或负向传播的正向或负向传播的行波行波反映波动的物理本反映波动的物理本质是质是位相的传播，波速是相速度。位相的传播，波速是相速度。8/31/202475 波动波动方程与坐标系的原点和取向的选取方程与坐标系的原点和取向的选取有关；而波中某质元的有关；而波中某质元的振动振动方程却方程却不不受影响。受影响。作业中注意：作业中注意： 因为波动研究介质中因为波动研究介质中所有所有质元相对质元相对各自各自平

45、衡平衡位置的位移问题，而振动只研究其中位置的位移问题，而振动只研究其中一个一个质点质点的位移随时间的变化问题。的位移随时间的变化问题。 已知波动方程已知波动方程求某一质元振动方程求某一质元振动方程只需代这点的坐标即可！只需代这点的坐标即可！ 求波动方程求波动方程8/31/202476a) 先求坐标原点或者某点质元的振动方程先求坐标原点或者某点质元的振动方程 关键：根据已知条件，或依关键：根据已知条件，或依振动曲线振动曲线 、波形波形图图求出求出 A、 、u、 、 或或 T、坐标原点的初相坐标原点的初相 0、或某或某点的初相点的初相 a 。难点：求难点：求 0 或或 用解析法与旋转矢量法用解析法

46、与旋转矢量法正确判断正确判断 o 点或点或 a 点的初条件：点的初条件：从从 t 时的波动曲线和时的波动曲线和t + t 的波动曲线知的波动曲线知!或从或从o 点、点、 a点的振动曲线知！点的振动曲线知！ 8/31/202477oyxaxpt = 0 0= 0 a = / 2T a = / 2如波朝如波朝 x 负向传则负向传则 t =0，ya=0，v0 0 b) 从已知点的振动方程从已知点的振动方程波动方程波动方程8/31/202479oxyxaa图示下的任意图示下的任意P点比点比a 点的振动相位点的振动相位落后落后xP 如果已知如果已知的是坐标原的是坐标原点的振动方点的振动方程，这些式程，这

47、些式子中子中 xa = 0即可！即可！8/31/202480图示下的任意图示下的任意P点比点比a 点的振动相位点的振动相位超前超前oxyxaaxP波朝波朝 x 正正向传向传x 前面一定是前面一定是“”号号!8/31/202481oxyxaa图示下的任意图示下的任意P点比点比a 点的振动相位点的振动相位超前超前xP8/31/202482图示下的任意图示下的任意P点比点比a 点的振动相位点的振动相位落后落后oxyxaaxP波朝波朝 x 负负向传向传x 前面一定是前面一定是“+”号号!8/31/2024835. 波的能量波的能量质元质元 dm = dV 的的振动动能与振动动能与dV内的内的势能各为势

48、能各为dV 内的内的总机械能总机械能+ 如果波是向如果波是向 x 负向传负向传这些式子有怎样的变化？这些式子有怎样的变化？8/31/202484 注意波的能量随振动状态由近及远注意波的能量随振动状态由近及远传播传播，任，任一质元都在不断地从前一质元中接受能量，而一质元都在不断地从前一质元中接受能量，而向后一质元释放能量向后一质元释放能量开放系统开放系统。与单个质。与单个质点做简谐振动是点做简谐振动是孤立孤立系统系统 (能量守恒能量守恒 ) 不同！不同！ 平面谐波中，体元中质元的动能和势能平面谐波中，体元中质元的动能和势能同位同位相相地随时间变化地随时间变化在任意时刻，这一质元的在任意时刻，这一

49、质元的动能和势能都有动能和势能都有相同相同的值。的值。 孤立孤立的的振动系统振动系统在平衡位置时动能最大，而在平衡位置时动能最大，而势能最小；总机械能势能最小；总机械能守恒，守恒，不向外不向外传播能量。传播能量。8/31/202485波的能量密度波的能量密度平均能量密度平均能量密度(对时间平均对时间平均)对电磁波：对电磁波：正弦平方在一周期正弦平方在一周期内的平均值为内的平均值为 1/2！8/31/202486 能流密度能流密度：单位时间单位时间内通过内通过垂直于波动传播垂直于波动传播方向方向的的单位面积单位面积上的能量。上的能量。 平均能流密度平均能流密度(波的强度波的强度) I：单位时间内

50、通过单位时间内通过垂直于波速方向的单位截面的垂直于波速方向的单位截面的平均平均能量。能量。即通过垂直于即通过垂直于 u 的的单位单位截面的平均能流。截面的平均能流。8/31/2024876. 惠更斯原理惠更斯原理 惠更斯原理：惠更斯原理：媒质中波动传到的各点媒质中波动传到的各点 ，都可，都可看作是发射看作是发射子波子波的新波源，其后任一时刻，这的新波源，其后任一时刻，这些子波的些子波的包络面包络面(包迹包迹)就是该时刻的波前。就是该时刻的波前。 包迹包迹：与所有子波的波前：与所有子波的波前相相切切的曲面。的曲面。 子波子波：与真正波源的：与真正波源的有差有差别别，它没有，它没有后退后退波。波。

51、平面波平面波球面波球面波8/31/202488用波的独立性语言：讨论波用波的独立性语言：讨论波相遇后分开相遇后分开的情形的情形波的独立传播原理：波的独立传播原理： 即它们相遇后分开，各自将以原有的振幅即它们相遇后分开，各自将以原有的振幅 A、频率频率 、和波长和波长 独立传播；独立传播；7. 波的独立传播原理与波的叠加原理波的独立传播原理与波的叠加原理 媒质中的每一个波列都有保持其独立的传播媒质中的每一个波列都有保持其独立的传播特性，不因其它波的存在而改变。特性，不因其它波的存在而改变。8/31/202489用波的叠加性语言：讨论波用波的叠加性语言：讨论波相遇区间相遇区间的情形的情形 当几列波

52、在媒质中某点相遇时，该点的振动当几列波在媒质中某点相遇时，该点的振动为为各列波各列波在此引起的在此引起的振动的合成振动的合成 ( 该点质元的该点质元的位移等于各列波单独传播时在该处引起的位移等于各列波单独传播时在该处引起的位移位移的的矢量和矢量和 ) 。 波的叠加原理：波的叠加原理： 这两种说法是从波的不同侧面来看的，其实这两种说法是从波的不同侧面来看的，其实质一样，主要是任何复杂波都可以是简谐波的质一样，主要是任何复杂波都可以是简谐波的叠加。叠加。8/31/2024908. 波的干涉波的干涉 最简单的波的叠加情况最简单的波的叠加情况干涉现象：干涉现象：当两列或几列当两列或几列在空间相遇在空间

53、相遇 ，使得空间有些地方的振动，使得空间有些地方的振动始终始终加加强，另一些地方的振动强，另一些地方的振动始终始终减弱或完全抵消减弱或完全抵消(而而其它位置，振动的强弱介乎二者之间其它位置，振动的强弱介乎二者之间)的的稳定分稳定分布布的现象的现象波的干涉。波的干涉。 具有具有恒定的相位差恒定的相位差 振动方向相同振动方向相同 频率相同频率相同的波的波8/31/202491 相干条件：相干条件：两列或几列波两列或几列波 具有具有恒定的相位差恒定的相位差 振动方向相同振动方向相同 频率相同频率相同(两同一定两同一定)不是不是 t 的函数，但可以的函数，但可以是空间位置是空间位置的函数。的函数。 以

54、上相干条件是必要条件以上相干条件是必要条件要相干必须满足要相干必须满足这些条件，但满足这些条件的波不一定相干。这些条件，但满足这些条件的波不一定相干。 满足相干条件而能产生干涉现象的波称为满足相干条件而能产生干涉现象的波称为相相干波干波；发射相干波的波源称为；发射相干波的波源称为相干波源相干波源。8/31/202492干涉现象的理论解释干涉现象的理论解释PS1S2 从两个从两个相干波源相干波源 S1 和和 S2发出两列相干波在发出两列相干波在P点相遇点相遇相干波源的振动表达式为：相干波源的振动表达式为： 它们产生的两相干波在它们产生的两相干波在 P 点引起的振动，依点引起的振动，依波线上各点振

55、动依次落后，可得波线上各点振动依次落后，可得8/31/202493PS1S2两波传播到两波传播到 P 点引起的分振动为：点引起的分振动为： A1 A10A2 A20因为波在媒质中传播，能量有损失！因为波在媒质中传播，能量有损失！ 1 2波的强度波的强度8/31/202494干涉干涉研究波在空间各点相对强度的稳定分布研究波在空间各点相对强度的稳定分布 在媒质、波源确定，在媒质、波源确定， 、u、 一定时一定时，波的波的强度正比于振幅的平方，强度正比于振幅的平方， P 点合振动的强度：点合振动的强度： 其中：其中： 为为两相干波在相遇点引起的分振动两相干波在相遇点引起的分振动在同一时刻的相位差在同

56、一时刻的相位差干涉项干涉项8/31/202495 要位相差要位相差 恒定，即要两波源在不同时刻恒定，即要两波源在不同时刻发出的波列的初相差发出的波列的初相差 20 10 = 常数！常数！ 相干迭加的合振动的振幅相干迭加的合振动的振幅 A 和合振动的强度和合振动的强度 I 仅由两相干波源到仅由两相干波源到 P 点的位置点的位置 r1 和和 r2决定。决定。PS1S2P 点不同，点不同， 随随 r1 和和 r2变；变；P 点固定，点固定， 是与是与 t 无关的定值。无关的定值。8/31/202496由由定出空间各点振动的强弱条件：定出空间各点振动的强弱条件： 干涉相长干涉相长(极大、加强极大、加强

57、)条件：条件：干涉相消干涉相消(极小、减弱极小、减弱)条件：条件：A = A1+A28/31/202497在任意相位差的在任意相位差的迭加点迭加点，波的强度，波的强度ImaxminI1I2I+21I2II4 2 2 4 0 I1=I2I4 2 2 4 0 2I14I18/31/202498 从而可知：由于从而可知：由于干涉干涉的结果，合成波在空间的结果，合成波在空间各处的强度并各处的强度并不等于不等于两个分波强度之和，波的两个分波强度之和，波的能量在空间发生了能量在空间发生了重新分布重新分布(总能量守恒总能量守恒)。 非非相干波的迭加，因有不同的振动方向、不相干波的迭加，因有不同的振动方向、不

58、同的频率、不恒定的相差导致合成波的情况相同的频率、不恒定的相差导致合成波的情况相当复杂，然而合成波的强度当复杂，然而合成波的强度到处均匀到处均匀分布。分布。 两强度相等的相干波两强度相等的相干波 (两列波的振幅相等两列波的振幅相等)相相干迭加产生的干涉效果最明显。干迭加产生的干涉效果最明显。8/31/202499通常相干波源通常相干波源 S1 和和 S2 取自同一波面，取自同一波面， 20= 10 波程差波程差 = r1 r2离波源的离波源的 为波长整数倍的空间各点振动加强！为波长整数倍的空间各点振动加强！离波源的离波源的 为半波长的奇数倍的各点振动减弱！为半波长的奇数倍的各点振动减弱！ 干涉

59、极大条件：干涉极大条件： 干涉极小条件：干涉极小条件：8/31/2024100对光波：对光波：S1S2Pn1r1n2r2光程光程 nr，光程差光程差 = n2r2n1r1 20= 108/31/20241019. 驻波：驻波：从从现象现象上看，就是上看，就是有不随有不随 t 变的稳定波形变的稳定波形不像行波，波形在不像行波，波形在波的传播方向上行进。波的传播方向上行进。从物理从物理本质本质上看，驻波是一种特殊的干涉上看，驻波是一种特殊的干涉 两列振幅相等的两列振幅相等的相干波相干波在同一直线上沿着在同一直线上沿着相相反反方向传播时，在叠加区域内形成的一种稳定方向传播时，在叠加区域内形成的一种稳

60、定波形的波。波形的波。同频率、同振动方向、有恒定的相差！同频率、同振动方向、有恒定的相差！8/31/2024102驻波方程：驻波方程： 设这两列相干波的波动表达式为设这两列相干波的波动表达式为 1、 2 分别是这分别是这两列波在坐标原点两列波在坐标原点 x = 0 处的处的初相位初相位。按叠加原理，波线上按叠加原理，波线上任一任一 x 点处的点处的合合振动振动8/31/2024103由三角函数和差化积公式得由三角函数和差化积公式得如果如果 2= 1= ，则有：，则有：描述波线上各点的振动描述波线上各点的振动(离开平衡位置的位移离开平衡位置的位移)！驻波方程驻波方程如果如果 1 = 2 = /2

61、 ，则有：则有：驻波方程驻波方程8/31/2024104讨论：讨论： 驻波方程是驻波方程是 x 的函数与的函数与 t 的函数的乘积的函数的乘积它不是行波，行波方程中它不是行波，行波方程中 x 与与 t 不能分开不能分开这一函数这一函数不不满足满足8/31/2024105简谐振动简谐振动简谐振动的振幅简谐振动的振幅 可见，各质点作振幅不随可见，各质点作振幅不随 t 变化，但随位置变化，但随位置 x 变化，频率都相同变化，频率都相同 ( 原来波的频率原来波的频率 ) 的简谐的简谐振动。振动。 严格地说，驻波并不是波，而是一个系严格地说，驻波并不是波，而是一个系统的特殊振动状态。统的特殊振动状态。8

62、/31/2024106 振幅分布振幅分布波腹处：波腹处：x = 0 波腹处波腹处离坐标原点为离坐标原点为半波长半波长的的整整数倍的地方是波腹！数倍的地方是波腹！由介质所占由介质所占空间长度定空间长度定相邻波腹间的间距相邻波腹间的间距 空间周期性的反映再一次证实。空间周期性的反映再一次证实。8/31/2024107波节处：波节处：相邻波节腹间的间距相邻波节腹间的间距离坐标原点为离坐标原点为 /4的的奇奇数倍的地方是波节！数倍的地方是波节！如果如果波节与波腹处与上面情况波节与波腹处与上面情况相反相反！x = 0 波节处波节处波腹与波节间的距离为波腹与波节间的距离为 /48/31/2024108 相

63、位分布相位分布当当则则 这些这些 x 处的质元处的质元振动的相位在任意振动的相位在任意 t 时刻都相同。时刻都相同。当当则则 这些这些 x 处的质元处的质元振动的相位在任意振动的相位在任意 t 时刻时刻也也都相同。都相同。不象行波，整个介质中各点相位依次落后！不象行波，整个介质中各点相位依次落后！8/31/2024109以以即波节为界，有即波节为界，有波节两侧的各点振动波节两侧的各点振动反反位相位相 (相差为相差为 )两相邻波节之间的各点振动两相邻波节之间的各点振动同同位相位相同相位：虽然振幅不同，但同相位：虽然振幅不同，但反相位：反相位：同时达到反向最大或同时达到反向最同时达到反向最大或同时

64、达到反向最小。小。速度速度方向方向相反相反。同时达到最大，同时最小！同时达到最大，同时最小！速度速度方向方向相同。相同。8/31/2024110 由于我们眼睛的停滞作用，把一个波形的由于我们眼睛的停滞作用，把一个波形的上下翻动上下翻动驻波实验，经常用来测波长。驻波实验，经常用来测波长。误认为是误认为是8/31/2024111 驻波是驻波是干涉干涉的特例。用干涉的相长相消条件的特例。用干涉的相长相消条件可以讨论波腹、波节的问题：可以讨论波腹、波节的问题：相长干涉相长干涉波腹处波腹处，满足条件，满足条件即即相消干涉相消干涉波节处波节处，满足条件，满足条件如如 2= 1如如 2= 18/31/202

65、411210. 半波损失半波损失 当波从当波从波疏波疏媒质垂直入射到媒质垂直入射到波密波密媒质界面上媒质界面上发生反射时，反射波的位相发生反射时，反射波的位相突变突变 ，相当于有相当于有半个波长半个波长的的波程损失波程损失的现象的现象 (光学中也有光学中也有) ！注意：半波损失与全反射现象的差别！注意：半波损失与全反射现象的差别！波从波从波密波密介质射向介质射向波疏波疏介质介质入射波全部返回原来介质，没有折射线的现象。入射波全部返回原来介质，没有折射线的现象。u1u2iAi n1n28/31/2024113 例：如图所示，一平面谐波沿例：如图所示，一平面谐波沿 x 轴正方向传轴正方向传播，播，

66、BC 为波密媒质的反射面，波由为波密媒质的反射面，波由 P 点反射点反射入射入射反射反射在在 t = 0 时，时，o 处质点的合振处质点的合振动是经过平衡位置向负方向动是经过平衡位置向负方向运动，求运动，求 D 点处入射波与反点处入射波与反射波的合振动方程。射波的合振动方程。设入射波和反射波的振幅皆为设入射波和反射波的振幅皆为A，频率为频率为 。解：此题有各种解法！解：此题有各种解法！xoPD /63 /4BCy8/31/2024114入射入射反射反射 先求先求oP 间的驻波方程：间的驻波方程：以以 o 点为坐标原点，设入射点为坐标原点，设入射波的方程为：波的方程为： 为了写出为了写出反射波反

67、射波的方程，考察反射波在波线的方程，考察反射波在波线上任意上任意 G 点引起的振动比入射波在点引起的振动比入射波在 o 点引起振点引起振动动落后落后的位相，注意有半波损失的位相，注意有半波损失xoP3 /4BCyGx3 /4x8/31/2024115反射波的方程反射波的方程驻波方程为驻波方程为半波损失半波损失经反射后经反射后 G点比点比 o 点点落后落后的位相的位相8/31/2024116由题给条件由题给条件 t = 0，x = 0解出解出 = /2 代代 D 点坐标，点坐标，xD = 3 /4 /6 = 7 / 128/31/2024117入射入射反射反射xoPD /63 /4BCy 此题最

68、简单的方法：此题最简单的方法：直接先找出入射波和反射波直接先找出入射波和反射波在在 D点引起振动比点引起振动比 o 点落后点落后的位相来求的位相来求 y1D 与与 y2D：入射波在入射波在 D 点引起的振动比点引起的振动比 o 点落后的位相点落后的位相 入射波在入射波在 o 点的振动式点的振动式8/31/2024118入射入射反射反射xoPD /63 /4BCy 反射波在反射波在 D 点引起的振点引起的振动比动比 o 点落后的位相点落后的位相 14 /6 = 2 + /3然后用旋转矢量合然后用旋转矢量合成得成得 D点的合振动点的合振动8/31/2024119由旋转矢量法求：由旋转矢量法求：yx /32 /3从图可知：从图可知： D = /28/31/2024120也可按解析法可解出也可按解析法可解出 D点的合振动的振幅为点的合振动的振幅为A1=A2=A D = /2