集合的概念和表示法

《集合的概念和表示法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《集合的概念和表示法（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、一一 集集合合的的概概念念二二 集合的表示法集合的表示法 三三 元元素素和和集集合合之之间间的的关关系系四四 集合间的包含关系集合间的包含关系五五 特特殊殊集集合合六六 小小结结一、集合的基本概念一、集合的基本概念1、集合的定、集合的定义具具有有某某种种共共同同属属性性的的事事物物的的全全体体称称为例如：例如：集合集合。计算机网算机网络是是计算机之算机之间以信息以信息传输为主要主要目的而目的而连接起来的接起来的计算机系算机系统的集合。的集合。如今流行的如今流行的WWW(World Wide Web)环球网。球网。计算机内存的全体算机内存的全体单元构成一集合。元构成一集合。一、集合的基本概念一、

2、集合的基本概念2、集合的元素、集合的元素1、集合的元素表示的事物可以是、集合的元素表示的事物可以是具体具体的，的，注：注：也可也可以是以是抽象抽象的。的。2、集合的元素是任意的，、集合的元素是任意的，但必但必须是确定的是确定的和可和可以区分的。以区分的。集合里含有的集合里含有的对象或客体象或客体称称为集集合合的的元素元素。一、集合的基本概念一、集合的基本概念3、集合的分、集合的分类1) 有限有限集合集合集合的元素个数是集合的元素个数是有限有限的。的。2) 无限无限集合集合集合的元素个数是集合的元素个数是无限无限的。的。二、集合的表示法二、集合的表示法1、符号表示法、符号表示法通常用大写字母通常

3、用大写字母A, B, C, 代表集合代表集合;用小写字母用小写字母a, b, c, 代表元素。代表元素。 1)如果如果a是是集合集合A的一个元素的一个元素,则记为aA,读做做“a属于属于A”, 或或 “a在集合在集合A中中”。2)如果如果a不是不是集合集合A的一个元素的一个元素,则记为读做做“a不属于不属于A”, 或或 “a不在不在集合集合A中中”。aA,任一元素任一元素, 对某一集合而言某一集合而言, 或属于或属于该集合集合, 或不属于或不属于该集合集合, 二者必居其一二者必居其一, 且只居其一。且只居其一。注：注：二、集合的表示法二、集合的表示法1、符号表示法、符号表示法绝不容不容许界限不

4、分明或含糊不清的情况存在。界限不分明或含糊不清的情况存在。注：注：离散数学中，只离散数学中，只讨论界限清楚、无二界限清楚、无二义性的描述，性的描述，不清晰的不清晰的对象构成的集合象构成的集合属于模糊属于模糊论的研究范畴。的研究范畴。著名著名理理发师问题就属于模糊就属于模糊论的研究范畴。的研究范畴。二、集合的表示法二、集合的表示法2、描述集合中元素的方法、描述集合中元素的方法 1) 列列举法法 a、全部列、全部列举法法：以任意以任意顺序写出集合的序写出集合的所有所有元素元素,隔开，隔开，元素元素间用用逗号逗号并将其放在花括号内并将其放在花括号内。例如例如“所有小于所有小于5的正整数的正整数”，这

5、个集合的元素个集合的元素为1, 2, 3, 4, 再没有再没有别的元素了。的元素了。如果把如果把这个集合命名个集合命名为A, A=1, 2, 3, 4就可就可记为二、集合的表示法二、集合的表示法2、描述集合中元素的方法、描述集合中元素的方法 1) 列列举法法 b、部分列、部分列举法法：列列举集合的集合的部分部分元素，元素，素素其他元素可从列其他元素可从列举的元的元用省略号代替。用省略号代替。例如例如A表示表示“全体小写英文字母全体小写英文字母”的集合，的集合，A=a, b, , y, z则归纳出来出来 ，列列举法法仅适用于描述元素个数有限的集合适用于描述元素个数有限的集合注：注：或或元素具有明

6、元素具有明显排列排列规律的集合。律的集合。二、集合的表示法二、集合的表示法2、描述集合中元素的方法、描述集合中元素的方法 2) 描述法描述法 把集合元素的共同属性描述出来。把集合元素的共同属性描述出来。集合中元素的属性。集合中元素的属性。P(x)表示任何表示任何谓词，则A= x | P(x) 即用即用谓词概括概括表示所有使表示所有使谓词P(x)成立的元素成立的元素x所所组成的集合。成的集合。例：例：x | x2-3x+2=0、x | x=2n-1nN如果如果P(a)为真，真，则 aA，否否则aA,(谓词表示法表示法)集合的元集合的元素素集合的元素集合的元素必必须满足的足的条件条件二、集合的表示

7、法二、集合的表示法1、有些集合可以用两种方法表示，、有些集合可以用两种方法表示，注：注：但是有些但是有些集合不可以用列元素法表示，集合不可以用列元素法表示，如如实数集合。数集合。2、集合的元素是彼此不同的，、集合的元素是彼此不同的，如果同一个元如果同一个元素在集合中多次出素在集合中多次出现应该认为是一个元素。是一个元素。如如:3,4,4,4,5、 3,4,5、 5,4,3是同一个集合。是同一个集合。3、集合的元素是无序的。、集合的元素是无序的。4、集合的元素可以是一个集合，、集合的元素可以是一个集合，但不允但不允许以以集合自身集合自身为其元素。其元素。如如:S=a,b,S=a,b,S,aS，b

8、S,A，三、元素和集合之间的关系三、元素和集合之间的关系元素和集合之元素和集合之间的关系的关系,是是隶属隶属关系，关系，即属于即属于或不属于，或不属于，属于属于记作作，不属于不属于记作作 。例如：例如：A=1，1，2，3，311，23A，A，3A，23 A， A。可以用一种可以用一种树形形图表示表示集合与元素的隶属关系。集合与元素的隶属关系。A11,233123321，2，AB ( )四、集合间的包含关系四、集合间的包含关系1、子集、子集如果集合如果集合A中每个元素中每个元素都是集合都是集合B中的元素，中的元素，则称称A是是B的的或或A包含于包含于B，子集，子集，或者或者B包含包含A，记作作A

9、B如果如果A不是不是B的子集，的子集，或或 BA。AB( x) x Ax B则在在A中中至至少少有有一一个个元元素素不属于不属于B时，称称B不包含不包含A，记作作或或 BA。注：注：1) AA，2) AB，BC，则AC。B( )四、集合间的包含关系四、集合间的包含关系2、集合相等、集合相等1)定定义两个集合相等两个集合相等当且当且仅当当它它们有有相同相同的元素。的元素。若若A和和B相等，相等，记作作 A=B( x) x Ax (外延性原理外延性原理) A=B。两个集合不相等，两个集合不相等， 记作作A B。 x ( )( )( )( )( )四、集合间的包含关系四、集合间的包含关系2、集合相等

10、、集合相等2)判断判断A与与B互互为子集。子集。定定理理 若若A和和B相相等等当且当且仅当当AB且且BA。即即证明：证明：BA=B( x) x Ax ( x) x ABx ( )x BAx ( x) ABx ( x) x BAx ABBA证毕。A( ) ( )四、集合间的包含关系四、集合间的包含关系3、真子集、真子集如果集合如果集合A中每个元素中每个元素都都属属于于集集合合B，但但B中中不不属于属于A，则称称A是是B的的记作作A B或或 BA。AB( x) x Ax B至少有一个至少有一个元素元素真子集。真子集。 ( x)x Bx ABA B例例 A=a，bB=a，b不不是是的的 子集。子集。

11、（真）（真）四、集合间的包含关系四、集合间的包含关系3、真子集、真子集可以用文氏可以用文氏图了表示集合了表示集合间的包含关系。的包含关系。 文氏文氏(Venn) 图是一种利用平面上的点构成的是一种利用平面上的点构成的图形来形象展示集合的一种方法。形来形象展示集合的一种方法。 集合用矩形、园面集合用矩形、园面如果如果AB， 或一封或一封闭曲曲线来表示。来表示。则表示表示A的的圆面面一般完全落在一般完全落在表示表示B的的圆面内。面内。 ABBAAB四、集合间的包含关系四、集合间的包含关系4、隶属和包含关系的区、隶属和包含关系的区别例例 A=a，a，B=aBA，B A，B是是A的元素，的元素，B的元

12、素的元素a是是A的元素，的元素，B是是A的子集。的子集。隶隶 属属是是元元素素和和集合集合的关系，的关系，包包 含含是是集集合合和和集合集合的关系，的关系，某些集合可以同某些集合可以同时成立成立这两种关系。两种关系。是个体与整体的关系，是个体与整体的关系，是部分与整体的关系。是部分与整体的关系。五、特殊集合五、特殊集合1、空集、空集 定定义不含任何元素的集合不含任何元素的集合空集，空集，称称为记作作。例例 两条平行两条平行线交点的集合交点的集合为。例例 x| x 0 x 0 x R=。注：注：1) 与与 的区的区别。是集合，没有元是集合，没有元素素有有1个元素的集个元素的集合合2) ， 五、特

13、殊集合五、特殊集合1、空集、空集 定理定理空集空集是任一集合是任一集合A的子集，的子集，即即 A。设x是是论述域中任意元素述域中任意元素, 则x永永假假，x x A永永真真，( x) (x xA)为 T， A。下列命下列命题是否是否为真。真。 1); 2) ; 3) ; 4) 。证明：明：五、特殊集合五、特殊集合1、空集、空集 推理推理空集空集是唯一的。是唯一的。设1，2是两个空集是两个空集, 则1 2，且且2 1，得得1= 2，所以空集是唯一的。所以空集是唯一的。证明：明：证明唯一性证明唯一性一般采用反一般采用反证法证法(绝对唯一唯一)证毕。五、特殊集合五、特殊集合1、空集、空集 2)证明一

14、个集合是空集，或明一个集合是空集，或证明集合的唯一性，明集合的唯一性，常采用反常采用反证方法，方法，即假即假设该集合不是空集，集合不是空集，或不唯一，或不唯一，导致与已知条件的矛盾或致与已知条件的矛盾或导致唯一。致唯一。 注：注：1)任何非空集合任何非空集合A，至少至少有有 子集：子集：两个两个、和和A。只只有有 子集子集一个一个。五、特殊集合五、特殊集合2、全集、全集 定定义在在一一定定范范围内内，如如果果所所有有集集合合都都是是某某一一集集合合的子集，的子集，则称此集合称此集合为全集全集,记作作E。注：注： 1) 全集是相全集是相对的，不同的的，不同的问题有不同的全集，有不同的全集，即使是

15、同一个即使是同一个问题也可以取不同的全集。也可以取不同的全集。2) 一般地一般地说，全集取得小一些，全集取得小一些，问题的描述和的描述和 处理会理会简单些。些。3) 全集全集E 用一个矩形的内部表示，用一个矩形的内部表示， E五、特殊集合五、特殊集合3、幂集集 定定义由集合由集合A的的所有子集所有子集为元素所元素所组成的集合成的集合称称 为 A的的幂集幂集,记作作注：注： 1) 幂集的元素都是集的元素都是集合。集合。或或P(A)或或2 A。2) 任一集合的任一集合的幂集集都非空。都非空。3) 在在 A 的所有子集中，的所有子集中，A 和和又叫平凡子集。又叫平凡子集。 (A) 、 a 五、特殊集

16、合五、特殊集合3、幂集集例例 的的幂集：集： =A=a的的幂集：集：= 、 、 、 a A=a，b的的幂集：集：=ba、b有有 个元素个元素1有有 个元素个元素2有有 个元素个元素4202122(A)五、特殊集合五、特殊集合3、幂集集 一般地，一般地，集合集合A=a1、 a2、 an，则有有 个元素。个元素。2n它的它的m (0 m n)元子集有元子集有 个，个，不同的子集共有不同的子集共有+ + +=(1+1)n=2n个。个。 、 a、 b、c 、 、 、 、 、 、五、特殊集合五、特殊集合3、幂集集 例例 S=a、 b、c，其其幂集集为 a=ba、b a、c b、c c引引进一种一种编码，

17、用来唯一的表示有限集的，用来唯一的表示有限集的幂集的元素。集的元素。a =S100b =S010c =S001a、b=S110a、c=S101b、c=S011a、b、c=S111 =S000=S000, S001, S010, S011, S100, S101, S110, S111五、特殊集合五、特殊集合3、幂集集例例 A=，B=(A) ，下列命，下列命题是否成立。是否成立。a) B, Bb) B, Bc) B, B解解()=,=, 显然所有命然所有命题均成立。均成立。B=(A)六、小结六、小结1、集合、集合 具有某种共同属性的事物的全体。具有某种共同属性的事物的全体。2、集合的元素、集合的

18、元素 集合里含有的集合里含有的对象或客体。象或客体。3、集合的表示法、集合的表示法 1) 符号表示法符号表示法 2) 描述集合中元素的方法描述集合中元素的方法 a、列、列举法法 b、描述法、描述法六、小结六、小结4、集合和元素、集合和元素间的关系的关系 是隶属关系是隶属关系5、集合和集合、集合和集合间的关系的关系 子集、真子集、相等子集、真子集、相等6、特殊集合、特殊集合 空集、全集、空集、全集、幂集集A= x| ，理发师问题理发师问题 在一个很僻静的孤在一个很僻静的孤岛上，住着一些人家，上，住着一些人家，岛上只上只有一位理有一位理发师，该理理发师专给那些并且只那些并且只给那些自己那些自己不刮

19、不刮脸的人刮的人刮脸。那么，。那么，谁给这位理位理发师刮刮脸？解：解：设不不给自己刮自己刮脸的人的人x 是是b是是这位理位理发师。1) 若若 bA，则b是不是不给自己刮自己刮脸的人，的人，而由而由题意，意，b只只给集合集合A中的人刮中的人刮脸。b 要要给b 刮刮脸，即即b A。2) 若若b A，理发师问题理发师问题 在一个很僻静的孤在一个很僻静的孤岛上，住着一些人家，上，住着一些人家，岛上只上只有一位理有一位理发师，该理理发师专给那些并且只那些并且只给那些自己那些自己不刮不刮脸的人刮的人刮脸。那么，。那么，谁给这位理位理发师刮刮脸？解：解：则b是要是要给自己刮自己刮脸的人，的人，而由而由题意，意，理理发师只只给自己不刮自己不刮脸的人刮的人刮脸。b 是不是不给自己自己 刮刮脸的人，的人，即即bA。无无论1) 和和2) ，都都有有bA 及及b A同同时成立。成立。这种情况称种情况称为罗索悖索悖论，是模糊是模糊论的范畴。的范畴。返回返回