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1、2024/8/301第九节第九节 随机变量函数的分布随机变量函数的分布X-2123pk0.30.20.10.4一、一维随机变量函数的分布一、一维随机变量函数的分布求Y=X2-1的分布律例1 设随机变量X的分布律如下，解：Y的所有可能取值为0,3,82024/8/302例例2. 一提炼纯糖的生产过程，一天可生产纯糖一提炼纯糖的生产过程，一天可生产纯糖1吨，但由于吨，但由于机器损坏和减速，一天实际产量机器损坏和减速，一天实际产量X是一个随机变量是一个随机变量,设设X的的概率密度为概率密度为解：分别记解：分别记X，Y的分布函数为的分布函数为一天的利润一天的利润Y=3X-1，Y也是随机变量，求也是随机
2、变量，求Y的概率密度。的概率密度。2024/8/303例例3. 设随机变量设随机变量X在区间在区间-1,2上服从均匀分布，上服从均匀分布，解解: 当当X在区间在区间-1,2上取值时上取值时,Y在在0,1或或1,4取值取值求随机变量求随机变量Y=X2的概率密度。的概率密度。由于由于y=x2不是单调的，不是单调的，解解: (1)因为因为X在在(0, 1)上取值，所以上取值，所以Y=eX 在在(1，e)上取值。上取值。2024/8/304例例3. 设随机变量设随机变量X在区间在区间(0,1)上服从均匀分布，上服从均匀分布，(1)求随机变量求随机变量Y=eX的概率密度的概率密度;上式对上式对y求导数，
3、得求导数，得Y的概率密度为的概率密度为例例3. 设随机变量设随机变量X在区间在区间(0,1)上服从均匀分布，上服从均匀分布， (2)求求Y=-2lnX的概率密度。的概率密度。 解解: (1)因为因为X在在(0, 1)上取值，所以上取值，所以Y=-2lnX 在在(0，+)上取值。上取值。2024/8/305上式对上式对y求导数，得求导数，得Y的概率密度为的概率密度为2024/8/3061）3） 在实际问题中，常常会遇到需要求随机变量函在实际问题中，常常会遇到需要求随机变量函数的分布问题。例如：在下列系统中，每个元件的数的分布问题。例如：在下列系统中，每个元件的寿命分别为随机变量寿命分别为随机变量
4、 X,Y ，它们相互独立同分布。，它们相互独立同分布。我们想知道系统寿命我们想知道系统寿命 Z 的分布。的分布。这就是求随机变量函数的分布问题。这就是求随机变量函数的分布问题。2）二、多维随机变量函数的分布二、多维随机变量函数的分布2024/8/307解题步骤：解题步骤：1.一般情形问题一般情形问题 已知二维随机变量（已知二维随机变量（X,Y）的联合密度为）的联合密度为 f ( x , y ), g ( x , y ) 是二元连续函数，欲求随机变量是二元连续函数，欲求随机变量 Z=g (X,Y)的概率密度。的概率密度。2024/8/3082 2）连续型随机变量和的分布）连续型随机变量和的分布x
5、 + y = z2024/8/3092024/8/3010由于由于 X , Y 的对称性可得的对称性可得2024/8/30112024/8/3012解解: 利用卷积公式利用卷积公式求求Z=X+Y的概率密度。的概率密度。例例5. 设随机变量设随机变量X与与Y相互独立，概率密度分别是相互独立，概率密度分别是y = zy = z - 12024/8/30133.极值分布极值分布解：2024/8/3014解：2024/8/30152024/8/3016解解: （1）串联的情况）串联的情况例例6. 设系统设系统L由两个独立的电子元件由两个独立的电子元件L1,L2连接而成，连接连接而成，连接方式分别为方式分别为(1)串联；（串联；（2）并联）并联, 设设L1,L2的寿命分别为的寿命分别为X,Y，已知，已知X,Y的概率密度分别是的概率密度分别是其中其中10 20，求上述两种连接方式中系统的寿命，求上述两种连接方式中系统的寿命Z的概率密度。的概率密度。，由题设由题设X、Y的分布函数分别为的分布函数分别为2024/8/3017，所以所以Z=min(X, Y)的概率密度为的概率密度为2024/8/3018解解: （2）并联的情况）并联的情况所以所以Z=max(X, Y)的概率密度为的概率密度为2024/8/3019习题二(P73)：24, 26(1),27, 29, 32作业作业
