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1、电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返章目录返章目录8.2 8.2 一阶一阶电路的电路的暂态分析暂态分析 8.1 8.1 换路换路定律定律8.3 8.3 一阶电路的阶跃响应第8章 电路的暂态分析8.4 二阶电路的零输入响应 电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录本章的学习目的和要求 了解“暂态”与“稳态”之间的区别与联系；熟悉“换路”这一名词的含义；牢固掌握换路定律；理解暂态分析中的“零输入响应”、“零状态响应”“全响应”及“阶跃响应”等概念；充分理解一阶电路中暂态过程的规律；熟练掌握一阶电路暂态分析的三要素法；了解二阶电路自由振荡的过程。
2、电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录8.1 换路定律学习目标：了解暂态分析中的一些基本概念；理解“换路”的含义；熟悉换路定律的内容及理解其内涵，初步掌握其应用。8.1.1 基本概念1、状态变量：状态变量：代表物体所处状态的可变化量称为状态 变量。如电感元件的iL及电容元件的uC。2、换路：换路：引起电路工作状态变化的各种因素。如：电 路接通、断开或结构和参数发生变化等。 电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录3、暂态：暂态：动态元件L的磁场能量WWL L=0.5=0.5LILI2 2和C的电场能 量WWC C
3、=0.5=0.5CUCUC C2 2，在电路发生换路时必定产生 变化，由于这种变化持续的时间非常短暂，通 常称为“暂态”。 4、零输入响应：零输入响应：电路发生换路前，动态元件中已储有 原始能量。换路时，外部输入激励为零，仅在 动态元件原始能量作用下引起的电路响应。5、零状态响应：零状态响应：动态元件的原始储能为零，仅在外部 输入激励的作用下引起的电路响应。6、全响应：全响应：电路中既有外部激励，动态元件的原始储能 也不为零，这种情况下换路引起的电路响应。 8.1 换路定律电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录8.1.2 换路定律 由于能量不能发生跃变
4、，与能量有关的iL和uC，在电路发生换路后的一瞬间，其数值必定等于换路前一瞬间的原有值不变。换路定律用公式可表示为：换路定律用公式可表示为： 换路发生在t=0时刻，(0-)为换路前一瞬间，该时刻电路还未换路还未换路；(0+)为换路后一瞬间，此时刻电路已经换已经换路路。 电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录电阻电路 电阻元件是耗能元件，其电压、电流在任一瞬间均遵循欧姆定律的即时对应关系。因此，电阻元件上不存在暂态过程。(t = 0)US_SRIIt 0暂态过程产生的原因电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录R-
5、L电路 电感元件是储能元件，其电压、电流在任一瞬间均遵循微分(或积分)的动态关系。它储存的磁能：(t = 0)US_SLiLiLt 0R 因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电感的电路存在过渡过程电感的电路存在过渡过程。电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录 电容元件也是储能元件，其电压、电流在任一瞬间也遵循微分(或积分)的动态关系。它储存的电能： 因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电容电容的电路也存在过渡过程。的电路也存在过渡过程。(t = 0)US_SCiCuCt 0RuC_USR-C电路 电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础
6、返节目录返节目录返节目录返节目录电路初始值的确定1.2.根据换路后的等效电路，应用电路基本定律确定其它电量的初始值。初始值初始值（起始值）：（起始值）：电路中电路中 u、i 在在在在 t t=0=0+ + 时时时时 的大小。的大小。根据换路前一瞬间的电路，应用电路基本定律确定iL(0+）和uC(0+）。电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录已知 iL(0 ) = 0，uC(0 ) = 0，试求 S 闭合瞬间，电路中所标示的各电压、电流的初始值。(t = 0)_S0.1Hu2u120101F20ViC_iiLuL_uC_根据换路定律可得：可得t = 0+
7、时等效电路如下 iL(0+) = iL(0) = 0，相当于相当于开路开路开路开路 uC(0+) = uC(0) = 0，相当于相当于短路短路短路短路_S0.1Hu2u120101F20ViC_iuL_其他各量的初始值为：电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录换路前电路已达稳态，t=0时S打开，求 iC(0+) 。根据换路前电路求uC(0+） R140k10kSiCuCi10V R2画出t=0+等效电路图如下： R140k10kSic(0+）10V R28V根据t=0+等效电路可求得iC(0+）为：电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目
8、录返节目录返节目录返节目录根据换路前电路求iL(0+）换路前电路已达稳态，t=0时S闭合，求 uL(0+) 。画出t=0+等效电路图如下：根据t=0+等效电路可求uL(0+)为 R11SiLuL10V R24 R11SuL10V R24iL(0+） uL(0+)为负值，说明它的真实方向与图上标示的参考方向相反，即与与i iL L(0+)(0+)非关非关联，实际向外供出能量联，实际向外供出能量。电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录求初始值的一般步骤1、由换路前电路（稳定状态）求 uC(0-) 和 iL(0-)；2、由换路定律得 uC(0+) 和 iL(
9、0+)；3、画出t=0+的等效电路图： uC(0+)=0时相当短路；uC(0+)0时相当电压源； iL(0+)=0时相当开路；iL(0+)0时相当电流源；电压源或电流源的方向与原电路假定的电容电压、电感电流的参考方向应保持相同。4、由t=0+的等效电路图进而求出其它响应的0+值。电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录8.2 一阶电路的暂态分析学习目标：学习目标：理解一阶电路暂态分析中响应的规律；深刻理解时间常数的概念及物理意义；牢固掌握一阶电路的三要素法。8.2.1 一阶电路的零输入响应1. RC电路的零输入响应 只含有一个动态元件（因变量）的一阶微分
10、方程描述的电路，称为一阶电路一阶电路。 R1SiC (0+)uC(0+）t=0US C2 左图所示电路在换路前已达稳态。t=0时开关由位置1迅速投向位置2，之后由uC (0+)经R引起的电路响应称为RCRC电电路的零输入响应路的零输入响应。电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录 RC电路的零输入响应 R1SiC (0+)uC(0+）t=0US C2 根据RC零输入响应电路可列写出电路方程为： 这是一个一阶的常系数齐次微分方程，对其求解可得： 式中的 = =RCRC称为一阶电路的时间常数时间常数。如果让电路中的US不变而取几组不同数值的R和C，观察电路响
11、应的变化可发现：RC值越小，放电过程进行得越快；RC值越大，放电过程进行得越慢，这说明RC放电的快慢程度取决于时间常数R和C的乘积。电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录 式中R用，C用F时，时间常数的单位是秒s。如果我们让上式中的时间t 分别取1、2直至5，可得到如下表所示的电容电压在各个时刻的数值：1 2345e-10.368USe-20.135USe-30.050USe-4 0.018USe-50.007US 由表可知，经历一个的时间，电容电压衰减到初始值的36.8%；经因两个的时间，电容电压衰减到初始值的13.5%；经历35时间后，电容电压的数
12、值已经微不足道，虽然理论上暂态过程时间为无穷，但在工程上一般认工程上一般认为为3 355暂态过程基本结束暂态过程基本结束。电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录RC过渡过程中的响应规律曲线tiCuCiCuCUSiC(0+)00.368US RC过渡过程响应的波形图告诉我们：它们都是按指数规律变化，其中电压在横轴上方，电流在横轴下方，说明二者方向上非关联，电容放电电流为：电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录2. RL电路的零输入响应 左图所示电路在换路前已达稳态。t=0时开关闭合，之后电流源不起作用，暂态过程在
13、R和L构成的回路中进行，仅由iL (0+) =I0在电路中引起的响应称为RLRL电路的零输入电路的零输入响应响应。 RSISuLt=0uR LI0 根据RL零输入响应电路可列写出方程为 若以iL为待求响应，可得上式的解为：电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录式中称为RL一阶电路的时间常数时间常数，其大小同样反映了RL一阶电路暂态过程进行的快慢程度。电感元件两端的电压： 电路中响应的波形图如左下图所示：tiLuLuLiLI0RiL(0+)00.368I00.632I0R 显然RL一阶电路的零输入响应规律也是指数规律指数规律。电路分析基础电路分析基础电路
14、分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录1、一阶电路的零输入响应都是随时间按指数规律衰减到零的，这实际上反映了在没有电源作用下，储能元件的原始能量逐渐被电阻消耗掉的物理过程；一阶电路的零输入响应分析归纳2、零输入响应取决于电路的原始能量和电路特性，对于一阶电路来说，电路的特性是通过时间常数来体现的；3、原始能量增大A倍，则零输入响应将相应增大A倍，这种原始能量与零输入响应的线性关系称为零线性。电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录8.2.2 一阶电路的零状态响应1.、RC电路的零状态响应 RC电路的零状态响应和零输入响应一样，都是按指数规律
15、变化，显然这个暂态过程是电容元件的充电过程：充电电流iC按指数规律衰减；电容电压uC按指数规律增加，用曲线可描述为： 图示电路在换路前电容元件的原始能量为零，t=0时开关S闭合之后电容上电压、电流的变化称为RCRC电路的零状态响应电路的零状态响应。 RSiCuCt=0US CtiCuCiCuCUSiC(0+)00.632US 可见在RC充电电路中，电容元件上的电压与电流方向关方向关联联，元件向电路吸取电能建立吸取电能建立电场电场。电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录RC零状态响应电路中的计算公式 RSiCuCt0US C由RC零状态响应电路图可得过渡
16、过程结束时电容的极间电压(即换路后的新稳态值换路后的新稳态值) 则电容电压的零状态响应为： 电容支路电流的零状态响应： 电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录2. RL电路的零状态响应 图示电路在换路前电感元件上的原始能量为零，t=0时开关S闭合。之后电感上电压、电流的变化称为RLRL电路的零状态响应电路的零状态响应。 RSiL uLt=0US LuR RL电路的零状态响应也是按指数规律变化。其中元件两端的电压uL按指数规律衰减(即只存在过渡过程中)；电感电流iL按指数规律上升；电阻电压UR=iR按指数规律增长，用曲线可描述为： 可见，在RL零状态响应
17、电路中，电感元件是建立磁场建立磁场的过程，因此其电压、电流方向方向关联关联。tiCuCiLuLUSUS/R00.368USuR0. 632US/R电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录RL零状态响应电路中的计算公式 RL零状态响应电路换路结束时电感电流的新稳态值：新稳态值： 因此电感电流的零状态响应为： 电感元件自感电压的零状态响应： St0 RiL uLUS LuR电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录1、一阶电路的零状态响应也是随时间按指数规律变化的。其中电容电流和电感电压均随时间按指数规律衰减，因为它们只
18、存在于过渡过程中；而电容电压和电感电流则按指数规律增长，这实质上反映了动态元件建立磁场或电场时吸收电能的物理过程；一阶电路的零状态响应分析归纳一阶电路的零状态响应分析归纳2、零状态响应取决于电路的独立源和电路本身特性， 也是通过时间常数来体现其特性的。RL一阶电 路的时间常数=L/R；3、在零状态响应公式中的()符号，代表换路后的新稳态值，根据电路的不同情况一般稳态值也各不相同。电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录8.2.3 一阶电路的全响应 电路中既有外输入激励(即有独立源的作用)，动态元件上又存在原始能量(换路前uC和iL不为零)，当电路发生换路
19、时，在外激励和原始能量的共同作用下所引起的电路响应称为全在外激励和原始能量的共同作用下所引起的电路响应称为全响应响应。上述两电路为RC和RL典型的一阶全响应电路。 R1SiC uC（t=0）US C R2 R2SiL uL(t=0)US L R1 RC和RL全响应电路的解可表示为：全响应全响应 = = 零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录图示电路在换路前已达稳态，且UC(0-)=12V，试求t 0时的uC(t）和iC(t)。SiC uC（t=0） 2K 1mF 1K9V根据换路定律可得电路的时间常数零输入响应u
20、C(t) ：以电容电压为例，让其零输入响应用uC(t)表示；uC(t)“表示零状态响应，则有：一阶电路的全响应电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录全响应全响应u uC C( (t t) )：电容电流的全响应iC(t)：电容电压的稳态值：零状态响应uC(t)： 由全响应结果可以看出，前面的常数6为稳态分量，后一项按指数规律变化的为暂态分量，因此：全响应全响应= =稳态分量稳态分量+ +暂态分量暂态分量为什么为什么iC只有暂态分量只有暂态分量而没有稳态分量？而没有稳态分量？电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录
21、如用 f (t) 表示电路的响应，f (0+)表示响应的初始值，f () 表示响应的稳定值，表示电路的时间常数，则电路的全响应可表示为：8.2.4 一阶电路暂态分析的三要素法 上式称为一阶电路在直流电源作用下求解电压、电流响应的三要素公式。 式中初始值f (0+)、稳态值 f () 和时间常数称为一阶电路的三要素，按三要素公式求解响应的方法称为三要素法。 由于零输入响应和零状态响应是全响应的特殊情况，因此，三要素公式适用于求一阶电路的任一种响应，具有普遍适用性。 电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录一阶电路三要素法应用举例已知图中U1 = 3 V，
22、U2 = 6 V，R1= 1 k ，R2 = 2 k，C = 3 F ，t 0 时电路已处于稳态。用三要素法求 t 0 时的 uC(t)，并画出变化曲线。 R1SiC uC（t=0）U1 C R2U2先确定初始值uC(0+)：再确定稳态值uC()：最后确定时间常数：电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录电容电压的变化曲线为：uC/VuC(t) )00.632uC(t)2V4V2 2 3 3 4 4 5 显然，应用三要素法求解一阶电路全响应，只要求出其初始值、稳态值及时间常数，代入三要素法公式中即可。一阶电路三要素法应用举例电路分析基础电路分析基础电路分
23、析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录应用三要素法求解响应的步骤1、确定初始值 f (0+) 初始值f(0+)是指任一响应在换路后瞬间t=0+ 时的数值，与本章前面所讲的初始值的确定方法完全一样。 先作t=0- 电路。确定换路前电路的状态 uC(0-)或iL(0-), 这个状态即为t0阶段的稳定状态，因此，此时电路中电容C视为开路，电感L用短路线代替。 再作t=0+等效电路。这是利用换路后一瞬间的电路确定各变量的初始值。若uC(0+)=U0，iL(0+)=I0，在此电路中C用电压源U0代替， L用电流源I0代替;若uC(0+) =0 或iL(0+)=0，则C用短路线代替，L视为开路
24、。作t=0+ 等效电路后，即可按一般电阻性电路来求解其它响应的初始值。电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录2、确定稳态值 f () 作t=的等效电路，暂态过程结束后，电路进入 新的稳态，用此时的电路确定响应的稳态值f() 。在此电路中，电容C视为开路，电感L视为短路，可按一般电阻性电路来求各响应的稳态值。3、确定时间常数 RC电路中，=RC；RL电路中，=L/R；其中R等于：将电路中所有独立源置零后，从将电路中所有独立源置零后，从C C或或L L两端看两端看进去的等效电阻进去的等效电阻，(即戴维南等效电源中的R0)。参看课本P121页例题8.5 。电
25、路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录8.3 一阶电路的阶跃响应学习目标：学习目标：8.3.1 单位阶跃函数(t)的波形如右图示，它在(0-，0+)时域内发生了单位阶跃。单位阶跃函数用(t)表示，其定义如下：理解单位阶跃函数的概念及物理意义，明确单位阶跃响应的实质，了解单位阶跃响应在电路分析中的作用。(t) = 0 t 0-1 t 0+ (t) 01 t注意：(t) 在t=0处不连续，函数值由0跃变到1。电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录 单位阶跃既可以表示电压，也可以表示电流，通常在电路中用来表示开关在t=
26、0时的动作。 单位阶跃(t)实质上反映了电路在t=0t=0时刻时刻把一个零状态电路与一个1V或1A的独立源相接通的开关动作开关动作。USS（t=0）零状态电路(t)零状态电路ISS（t=0）零状态电路(t)零状态电路8.3.1 单位阶跃函数电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录(t-t0)的波形如右图示： 如果阶跃发生在t=t0时刻，则可认为是(t)在时间上延迟了t0后得到的结果，此时的阶跃称为延时单位阶延时单位阶跃跃，记作：(t-t0) = 0 t t0t08.3.1 单位阶跃函数电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目
27、录返节目录 下图所示矩形脉冲波f(t)，根据阶跃函数的原理，可以将其看作是由一个(t)与一个(t-t0)的合成波： f(t) 01 tt1t2 f(t) 01 tt0 (t) 01 t(t-t0) 01 tt0即：即： f f( (t t)=)= ( (t t) ) ( (t-tt-t0 0) ) (t-t1) 01 tt1 (t-t2) 01 tt2即：即： f f( (t t) ) = = ( (t-tt-t1 1) ) ( (t-tt-t2 2) )电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录8.3.2 单位阶跃响应已知u=51(t-2)V，uC(0+
28、)=10V，求电路的阶跃响应i。 当激励为单位阶跃函数(t)时，电路的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，一般用S(t)表示。uR=2C=1FuC(0+)_i零状态响应分两部分，先求uC(0+)单独作用下的初始值：再求u单独作用下的初始值：时间常数：应用叠加定理求得响应：电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录思考思考 练习练习 1、单位阶跃函数是如何定义的？其实质是什么？它在 电路分析中有什么作用？2、说说(-t)、(t+2)和(t-2)各对应时间轴上的哪一点？3、试用阶跃函数分别表示下图所示的电流和电压。 i/A 02 t/s23114 u/V
29、 02 t/s23114电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录8.4 二阶电路的零输入响应学习目标：学习目标： 前面讨论的一阶电路中只含一个动态元件，而含有两个储能元件的电路，往往需用二阶线性常微分方程来描述，因此称为二阶电路。了解二阶电路的概念，熟悉二阶零输入响应的三种情况。 RSuC（t=0）uR Ci0 uL LU0 图示RLC串联的零输入响应电路，已知uC(0+)=uC(0-)=U0，电流i(0+)=i(0-)=I0，电路在t=0时开关闭合，其过渡过程可描述为 显然此式是一个以uC为变量的二阶线性齐次微分方程式，其特征方程为：LCSLCS2 2
30、+ +RCSRCS+1=0+1=0电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录 特征方程LCS2+RCS+1=0中电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录 1、当 时，电路出现“过阻尼”情况，响应的波形ucictm2tmtU00uL “过阻尼”状态下，电容电压单调衰减最终趋于零，始终为放电状态，放电电流由零增大；对应tm时刻达到最大，之后衰减到零。显然这种情况下uC和i是非振荡的，没有正、负交替状况。电路中的原始能量全部消耗在电阻上电路中的原始能量全部消耗在电阻上。电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目
31、录返节目录返节目录返节目录 2、当 时，电路出现“欠阻尼”情况，响应的波形2tm 在“欠阻尼”状态下，电容电压和电路中的充、放电电流均为减幅振荡。显然，这种情况下电场和磁场交替建立和释放，能量随着在电阻上的消耗越来越少直至消耗完毕。tU00ucictm电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录 3、当 时，电路的电压和电流仍是非振荡的但此状态下电路响应临近临近振荡，因此称为“临界阻尼”状态。 4、当 时，电路出现“等幅振荡”情况。因为此时电路中没有消耗的因素，能量在L和C之间进行完全补偿交换，即在电场和交换的过程中能量始终不变，因此，这种情况属于一种理想状况。思考思考 回答回答 二阶电路的零输入响应有几种情况？各种情况下响应的条件是什么？二阶电路的零输入响应电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录
