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1、第三章随机变量的数字特征3.3.3 3 关于数学期望的定理关于数学期望的定理 定理定理11 常量的数学期望等于这个常量：其中 是常量.证证：常量可以看作这样一个随机变量，取得一个值显然， 它取得这个值的概率等于 .所以它只可能证证：对于离散随机变量，我们有对于连续随机变量我们有常量与随机变量的乘积的数学期望等于这个常量与随机变量的数学期望的乘积： 定理定理22两个随机变量的和的数学期望等于它们的数学期望的和：证证：对于离散随机变量， 定理定理33对于连续随机变量，有限个随机变量的和的数学期望等于它们的数学期望的和: 定理定理44注意：注意：由定理2,定理3可得（1）其中为实数.（2） 利用数学
2、归纳法可将定理3推广到有限多个随机变量的情形:例例1 一台设备由三大部件构成， 在运行中各个部件需要调整的概率分别为设表示同时需要调整的部件数.求的数学期望分析分析: 易知 为离散随机变量， 其可能取的值为但由于不知各部件的运行状态是否相互独立，但可将分解成一些随机变量的和， 定理3来计算数学期望 . 无法求的概率分布.利用解解：设随机变量则同理由数学期望的性质得而两个独立随机变量的乘积的数学期望等于它们数学期望的乘积：证证：因为 与 独立， 所以对于离散随机变量，对于连续随机变量类似可证. 定理定理55利用数学归纳法可以把这个定理推广到有限多个独立随机变量的情形：有限个独立随机变量的乘积的数学期望等于它们的数学期望的乘积： 定理定理66则有则有 则有则有 则有则有 推广：小小 结结则推广：相互独立，若已知离散随机变量服从参数为 的泊松分布， 即求随机变量的数学期望解：解： 已知则于是思考题思考题
