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1、多元函数极值多元函数极值一、多元函数的极值和最值一、多元函数的极值和最值1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义(1)(2)(3)2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件证证 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的的点，均称为函数的驻点驻点.注意：注意：驻点驻点极值点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？解解3 3、多元函数的最值、多元函数的最值 与一元函数相类似，我们可以利用函数的与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值极值来求函数的最大值和最小值.求最
2、值的一般方法求最值的一般方法设设 f ( x , y ) 在在D上连续，上连续，D内可微且在内可微且在D内至多有有限个驻点内至多有有限个驻点,这时若这时若 f ( x , y ) 在在D内取得最值内取得最值,则这个最值也一定是极值则这个最值也一定是极值将函数在将函数在 D D 内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在 D D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值大者即为最大值，最小者即为最小值. .故一般方法是故一般方法是 在实际问题中，往往根据问题的性质就可在实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定函数在
3、区域内部确有最大值（最小值），以断定函数在区域内部确有最大值（最小值），这时如果函数在区域内只有一个驻点，则可以断这时如果函数在区域内只有一个驻点，则可以断定该点处的函数值就是函数在区域上的最大值定该点处的函数值就是函数在区域上的最大值（最小值）（最小值）解解如图如图,解解由由无条件极值无条件极值：对自变量除了限制在定义域内对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件外，并无其他条件.二、条件极值与拉格朗日乘数法二、条件极值与拉格朗日乘数法条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值 一些较简单的条件极值问题可以把它转化为一些较简单的条件极值问题可以把它转化为无条件极值来
4、求解无条件极值来求解降元法，但这种方法需要降元法，但这种方法需要经过解方程和代入的手续，对于较复杂的方程就经过解方程和代入的手续，对于较复杂的方程就不容易作到，有时甚至是不可能的不容易作到，有时甚至是不可能的解决条件极值问题的一般方法是解决条件极值问题的一般方法是Lagrange乘数法乘数法升元法升元法求求 z = f ( x , y )其几何意义是其几何意义是其中点其中点 ( x , y ) 在曲线在曲线 L 上上假定点假定点P (x0 , y0 ) 为条件极值点为条件极值点在在(x0 , y0 ) 的某个邻域内的某个邻域内 且不同时为且不同时为0f( x , y )可微可微确定了一个隐函数
5、确定了一个隐函数y = y(x) 故故 z= f x , y(x)在在P(x0 , y0)处取得极值处取得极值故故即即又由隐函数的微分法知又由隐函数的微分法知代入上式代入上式令令得得P (x0 ,y0 )为条件极值点的必要条件为为条件极值点的必要条件为xyzoz=f(x,y)LM无条件极值点无条件极值点.P条件极值点条件极值点.例例4求内接于椭球求内接于椭球 的最大长方体的体积的最大长方体的体积,长方体的各面平行于坐标面长方体的各面平行于坐标面解一解一 设内接于椭球且各面平行于坐标面的长方体在第设内接于椭球且各面平行于坐标面的长方体在第一卦限的顶点的坐标为一卦限的顶点的坐标为( x , y ,
6、 z )则长方体的体积为则长方体的体积为V=8xyz令令解得解得或或两式相除两式相除同理同理即即代入解得代入解得三式相加得三式相加得解二解二任意固定任意固定 z0 (0 z0 0且且u 在在D上连续，故必存在上连续，故必存在 最大值，且一定在最大值，且一定在D内取得内取得另一方面另一方面由于由于 u 和和 lnu 在在D内有相同的极值点内有相同的极值点故问题转化为求故问题转化为求lnu 在条件在条件 x + y + z = m 下的极值。下的极值。令令则则与与 x + y + z = m 联立解得联立解得注注若一元函数若一元函数 f(u) 在区间在区间 I 上严格单调增上严格单调增一般情形一般情形多元函数多元函数 g(P) 在区域在区域D上有定义上有定义则则 f(u) 与复合函数与复合函数 f g(P) 有相同的极值点有相同的极值点利用这一结论可将求利用这一结论可将求f g(P) 的驻点转化为的驻点转化为f(u) 的驻点的驻点或相反地将求或相反地将求f(u) 的驻点转化为求的驻点转化为求f g(P) 的驻点的驻点使问题简化使问题简化 转移大法转移大法四、小结四、小结多元函数的极值多元函数的极值（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值多元函数的最值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法思考题思考题思考题解答思考题解答练练 习习 题题练习题答案练习题答案
