频域响应和时域响应之间的关系

《频域响应和时域响应之间的关系》由会员分享，可在线阅读，更多相关《频域响应和时域响应之间的关系（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、 5-7 频域响应和时域响应之间的关系 频域响应（频率特性）和时域响应都是描述控制系统固有特性的工具，因此两者之间必然 存在着某种内在联系，这种联系通常体现在控制系统频率特性的某些特征量与时域性能指标之间的关系上。本节将着重讨论系统闭环幅频特性的特征量与系统性能指标之间的关系。 典型闭环幅频特性如图570所示，特性曲线随着频率变化的特征可用下述一些特征量加以概括： (1) 闭环幅频率特性的零频值 ； (2) 谐振频率和相对谐振峰值 ； （3） 截止频率 和系统带宽（0 ）。 下面分别讨论这些特征量与系统性能指标之间的关系。1 一、闭环幅频特性零频值A(O)与系统无差度v之间的关系 单位反馈系统

2、的开、环传递函数可写成下列形式令 则 （5138） 图5-70 典型闭环幅频特性式中 K系统的开环放大系数； v系统的无差度，即开环传递函数中积分环节的重数； 开环传递函数 中除开环放大系数K和积分项 以外的表达式，它满足2用 代入式（5-138）得到系统的开环频率特性为对于单位反馈系统，闭环频率特性为即 （5139）由此得到系统闭环幅频特性的零频值是 （5-140）其中3当系统无差度 时，由式（5140）得 （5-141） 综上分析，对于无差度 的无差度系统，闭环幅频特性的零频值 ；而对于无差度 的有差系统，闭环幅频率特性的零频值 。式（5141）说明， 系统开环放大系数K越大， 闭环幅频特

3、性的零频值 愈接近于1，有差系统的稳态误差将愈小。 当系统无差度 时，由式（5-140）得4其对应的闭环频率特性为 （5-142） 由52中的式（540）知，二阶系统的谐振峰值 与阻尼比 之间的关系为 （5-143）或写成 （5-144）二、谐振峰值Mr与系统超调量 的关系 单位反馈的二阶控制系统的开环传递函数的标准形式为5对于二阶系统，系统的超调量 为 （5-145） 将式（5144）代入式（5145）便可得到二阶系统的相对谐振峰值 与系统超调量 之间的关系为 （5-146） 图 5-71是式（5-146）的关系曲线，由图可见，二阶系统的相对谐振峰值 =1.21.5时，对应的系统超调量 =

4、2030%，这时系统可以获得较为满意的过渡过程。如果 2，则系统的超调量 将超过40%。 6 由52中的式（5-39）知，二阶系统的谐振频率 与无阻尼自然振荡频率 和阻尼 比之间的关系为 （0 ） (5-147） 在第三章，介绍了二阶系统的峰值时间 及过渡过程时间 与阻尼比 之间的关系,它们分别是 （5-148） 图5-71 超调量与相对谐振峰值的函数关系曲线三、谐振频率 及系统带宽与时域性能指标的关系（5-149）7 将式（5-147）的等号两边分别乘以式（5-148）和式（5-149）的等号两边得到 （5-150）和 （5-151） 式（5-150）和式 （5-151）说明，对于给定的阻比

5、 ,二阶系统的峰值时间 和过渡过程时间 均与系统的谐振频率 成反比。也就是说，谐振频率 愈高，系统的反应速度愈快；反之，则系统的反应速度愈慢。所以系统的谐振频率 是表征系统响应速度的量。 如图570所示， 系统的带宽是指系统的幅频特性 由频率为零的零频值 变化到 时所对应的截止频率 的频率变化范围，即 。换言之，系统的截止频率反映了系统的带宽。 二阶系统的截止频率可由下式求出由此得到截止频率 与阻尼自然振荡频率 及阻尼比 的关系为8 （5-152）将式（5152）等号两边分别乘以式（5148）和式（5149）两边得到和 （5-153） （5154） 式（5-153） 和式（5-154）说明，对

6、于给定的阻尼比 ，二阶系统的截止频率 与峰值时间 和过渡过程时间 也是成反比的。截止频率 愈大，系统的响应速度愈快,反之亦然。所以，由截止频率 决定的系统带宽也是表征系统响应速度的特征量，一般来说，频带宽的系统有利于提高系统的响应速度，但同时它又容易引入高频噪声，从抑制噪声的角度，系统带宽又不宜过大。因此，在设计控制系统时，要恰当处理好这个矛盾，在全面衡量系统性能指标的基础上，选择适当的频带宽度。9四、相角裕度 与阻尼比 的关系 二阶系统的开环频率特性为由54知，系统的幅值穿越频率 （又称剪切频率）满足 ，因此即由此得到 （5155）10二阶系统的相角裕度是 （5-156）将式（5-155）代

7、入式（5-156）得到 （5-157） 二阶欠阻尼系统的相角裕度 与阻尼比之间的关系曲线如图572所示。 由图 572可以看出，在阻尼比 0.7的范围内，它们之间的关系可近似地用一条直线表示，即 上式表明，选择300600 的相角裕度时，对应的系统阻尼比约为0.30.6。图5-72 相角裕度和阻尼比的关系11式中 为系统的被控信号， 分别是系统的闭环频率特性和控制信号的频率特性。一般情况下，直接应用式（5159）求解高阶系统的时域响应是很困难的。在第三章和第四章我们介绍了主导极点的概念，对于具有一对主导极点的高阶系统，可用等效的二阶系统来表示，在这种情况下，可以利用前面介绍的方法对高阶系统进行

8、分析。实践证明，只要满足主导极点的条件，分析的结果是令人满意的。对于不具有一对主导极点的高阶系统，除了利用式（5159）的傅立叶变换外，尚无简便的方法可循。 五、高阶系统的频域响应和时域响应 控制系统的频域和时域响应可由傅立叶积分进行变换，即（5-159）12 (1)对于零型（ ）的有差系统，闭环幅频特性的零频值 反映了系统精度，即系统误差的大小。系统的开环放大K愈大， 愈接近于1，系统的稳态误差愈小，反之误差愈大。但系统的开环放大系数 K太大，会对系统的稳定性产生不利影响。因此在系统设计中，应全面考虑性能指标的要求，恰当地选择系统参数。对于I型或I型以上（v 1）的无差系统，闭环幅频特性的零

9、频值 。 (2) 对于二阶系统或可以等效为二阶系统的高阶系统， 相对谐振峰值 反映了系统的相对稳定性。当1 1.5 时，相应的系统阻尼比约为0.35 0.707,系统的超调量是4.3% 1.5时，系统的阶跃响应将出现几次超调。 （3）谐振频率 和截止频率 的大小反映了系统的响应速度。 与 的值愈大，系统响应速度愈快，反之愈慢。但频带太宽（ 的值大），系统对高频噪声的滤波性能差，因此在系统设计中，必须兼顾系统的快速性和抗干扰能力，妥善处理好这一对矛盾。返回综上所述，控制系统的频域响应和时域响应之间的关系可大致概括如下：135.8 MATLAB在频域分析中的运用5.8.1 用MATLAB绘制频率响

10、应图 本节介绍如何用MATLAB来绘制Bode图，再次讨论频率性能指标与时域性能的联系，并举例说明频域内的控制系统设计。 本节介绍的MATLAB函数有bode函数和 logspace函数。其中，bode函数用于绘制Bode图， logspace函数用于生成频率点数据是按照数的相等间隔生成的。在这些频率点上，计算机将根据 Bode图的需要，进行相应的计算。 尽管在控制系统的分析与设计中可以用MATLAB绘制出精确的Bode图，但我们只能将它视为辅助工具。在学习过程中，培养手工绘制Bode图的能力才是最基础，最重要的工作，勤于动手才能深入理解和掌握控制系统的理论和方法。 14图5.73给出了用Bo

11、de函数生成的Bode图，并对Bode函数进行了说明。在输入指令中，如果缺省了左边的参数说明，bode函数将自动生成完整的Bode图，否则，将只计算幅值和相角，并将结果分别存放在向量mag 和phase中。在此情况下，只有再调用plot函数和向量mag ，phase，才能绘制出Bode图. 图5.7315 数据向量w给出的是参与运算的频率点数据（以rad/s为单位）,在这些频率点上，计算机将计算系统的幅频特性和相频特性。当没有事先给定w时，MATLAB将自动选取参与运算的频率点，并能在频率响应变化较快时，自动加大频率点选 取密度。当需要完全指定w时，可以用logspace函数来生成所需的数据向

12、量。图5.74给出了logspace函数的说明。图5.7416 它的Bode图如图5.75所示，其中既有幅频特性曲线，又有相频特性曲线。图5.73 考虑传递函数:17图5.76图5.76则给出了一段MATLAB程序文本。该段程序旨在调用bode函数，在w=0.1和w=1000rad/s之间自动选取参与运算的频率点，然后画出如图5.75中所示的Bode图。18例1：雕刻机控制系统考察图5.77所示的雕刻机该雕刻机配有个驱动电机，用来驱动雕刻针运动，使之到达指定的位置，其中，一个用于x方向，另一个用于y,z方向图.7（b）给出了x方向位置控制系统的框图 图图5.73 图图5.7719本例的设计目标

13、是：用频率响应法选择增益K的值，使系统阶跃响应的各项指标保持在允许的范围内设计的基本思路是：首先选择增益k的初始值，绘制系统的开环和闭环Bode图，然后用闭环Bode图来估算系统时间响应的各项指标；若得到的系统不能满足设计要求，则调整K的取值，勤再重复前面的设计过程；最后，再用实际计算来检验设计结果为此，我们先取K的初始值，为表5.1列出了开环频率特性函数G(jw)的部分计算结果，由此得到的开环Bode图如图8所示图图5.74表表5.1图图5.78表5.120为了进一步得到闭环传递函数：的Bode图，令s=jw,可得到闭环频率特性函数为：据此图可画出闭环Bode图如图所示从中可以看出，当Wr=

14、0.8时，对数幅值增益达到最大，因此有：再假设系统的阶极点为主导极点，则系统有如图所示的幅频特性曲线再根据图给出的关系曲线，由pw可以估设出对应的阻尼系数为=0.29,据此,可进一步估计出对应的标准化谐振频率为Wr/Wn=0.91.若取定Wr=0.8,则有:21于是,雕刻机控制系统的2阶近似模型应为:根据该近似模型,估计得到的系统超调量为37%, 调节时间(2%准则)为:再按实际系统进行计算,得到的超调量为34%,调节时间为17s.这些结果表明,式(5.3)是一个合理的2阶近似模型,在控制系统的分析和设计工作中,可以用它来调节系统的参数.在本例中,如果要求更小的超调量,可以将K的取值调整为K=

15、1,然后再重复上面的设计过程.图图5.7922 考虑5.77给出的框图模型，本例的设计目标是：选择增益K的合适取值，使得闭环系统阶跃响应的各项指标保持在允许的范围内。图5.80给出了频域设计的流程框图，其基本步骤是：首先取定增益K的初始值（如K=2），然后分析与之对应的雕刻机系统，若所得系统不能满足性能要求，就需要更新K的取值，并重复前面的设计过程。例5.1 雕刻机系统用MATLAB来设计23图图5.8024 就能最终得到调节时间和超调量的估算结果。如果时域指标的估算结果不能满足设计要求，就需要更新K的取值，并重复前面的设计计算过程。 当K=2时，运行所给的MATLAB文本，可以估计得到雕刻机

16、系统的阻尼系统为=0.29，固有频率为wn=0.99,进而由估计得到超调量为P.O.=37%，调节时间为Ts=15.7s.图5.81给出了雕刻机系统的实际阶跃响应，从中可以看出，本例的估算结果是相当精确的。 对雕刻机系统而言，2阶系统模型是合理的近似模型，因此，我们在频域内得到了满意的设计结果。但要注意，只有在一定的条件下，采用2阶系统近似才能得到满意的设计结果，2阶系统近似模型并不是处处适用的灵丹妙药.图图5.81 雕刻机系统的单位阶跃响应及其雕刻机系统的单位阶跃响应及其MATLAB文本文本25 利用MATLAB，我们还可以开发出交互式的辅助设计平台。借助这种设计平台，我们既能方便地使用各种

17、经典或现代的控制系统设计方法，又能减轻人工计算负担。能满足设计要求，我们就需要运用第6章的设计方法，对系统进行校正，进一步对数幅相曲线的形状。265.8.2 利用MATLAB分析频域稳定性 本节民MATLAB为工具，重新讨论了与频域稳定性有关的Nyquist图、Nichols图、 和Bode图，并用两个实例说明了控制系统设计的频域方法，所采用的系统模型是开环和闭环的频率特性函数，即GH(jw)和T(jw)。此外，本节介绍了处理时延系统的Pade近似公式6，并通过举例说明了它的应用。 本节涉及的MATLAB函数有nyquist函数、nichols函数、margin函数、pade函数、ngrid函

18、数等。 与Bode图相比较，手工绘制Nyquist图是一项更加困难的工作，但采用MATLAB绘制Nyquist图却是相当简便的。如图5.82所示，调用nyquist函数就可以绘制出系统Nyquist图在输入指令中，如果缺省了左边的参数说明， nyquist函数将只计算频率响应的实部和虚部，并将计算结果存放在数据向量re 和 im之中。 在此情况下，只有再调用plot函数和向量re 、 im，才能生成Nyquist图。 27 值得注意的是，由于nyquist函数自动生成的坐标尺度固定不变， nyquist函数可能会生成异常的Nyquist图，也可能会丢失一些重要的信息。在这种情况下，为了重点关注

19、Nyquist图在（-1，0）点附近的形状，着重分析系统的稳定性，需要首先调用axis函数，自行定义坐标轴的显示尺度，以提高图形的分辨率，而在生成Nyquist图时，需要以左边带有参数说明 的完整的形式调用nyquist函数，再调用plot函数来绘制更细致的Nyquist图。28图图5.8229图图5.8330利用Nyquist图和Bode图，可以直接求得系统的增益裕度和相角裕度。在MATLAB中，用来计算上述指标的函数是margin 函数。 margin 函数与bode函数等结合时，能直接在Bode图或Nyquist图上标注所得的计算结果，margin函数的使用说明如图5.85所示。在输入指

20、令中，如果缺省了左边的参数说明， margin 函数将在Bode图上自动标注系统的增益裕度和相角裕度，否则， margin 函数只会计算有关的结果。图图5.8431图图5.8532图图5.8633以图5.84给出的系统为例，标注有增益裕度和相角裕度的Bode图如图5.86所示，图5.87则给出了对应的Nyquist图以及所使用的MATLAB文本。从图5.95可以看出， Nyquist映像曲线按逆时针议程包围（-1，0）点的周数为0，又因为GH(s)的极点都没有正实部，因此，图5.89给出的系统是暑环稳定的图图5.8734 利用nichols函数可以生成系统的 Nichols图。 nichols

21、函数的使用说明如图5.88所示，要输入指令中，如果缺省了左边的参数说明， nichols函数将自动生成Nichols图；否则，只有同时调用了nichols函数和plot函数，才能绘制出Nichols图，此外，调用ngrid函数还可以在Nichols图上画出风格坐标。 margin函数主要与bode函数结合使用，但它也可以同nichols函数结合使用，以便在Nichols图上标注系统的增益裕度和相角裕度，因此，在调用 margin函数时，我们最好在指令中带上参数说明，以便将计算结果存放在工作区内，供其他函数使用。 图5.29给出了频率特性函数：图图5.8835我们用MATLAB绘制了NICHOL

22、S图及其文件,如图5.89所示.图图5.89对下列频率特性函数对下列频率特性函数:36例2 液面高度控制系统考虑图9.32给出的液面高度控制系统（见例9.9）并要求系统的相角裕度达到30o.为此，我们用MATLAB来完成系统的设计。该系统有一个时延环节，其开环传递函数为：利用图9.46所示的pade函数，我们可以得到e-sT的近似表达式，从而将式（9.93）的分子和分母都变成s的多项式。如果系统时延为T=1s，近似式的阶数取为n=2,运行pade函数后可得：再将式（1）代入式（2），于是有37 至此，我们可以建立一个文本，绘制Bode图来研究系统的相对稳定性。相应的文本如图.（b）所示。该文本

23、将增益的设计值式（.）给出的初值为. ，该文本能验证系统的相角裕度是否满足了设计要。若所得系统不能满足要求，只要更新值，就能重复上述设计验证过程。在采用阶pade近似的前提下，经过多次运行，我们最终得到的设计值为图图5.9138图图5.9239例例3：遥控侦察车：遥控侦察车遥控侦察车可以用于执行联合国的维和使命。图.93a给出了一种遥控侦察车的模型，其速度控制系统框图如图.93b所示，其中，预期速度R(s)由无线电传递给侦察车,干扰D(s)则代表了路面上的颠簸冲出，本例的设计要求是，侦察车速度，控制系统的单位阶跃响应有较低的稳态误差和超调量13图5.76图图5.9340首先考虑单位阶跃响应的稳

24、态误差，于是有： 当选取K=20时，系统的稳态误差仅为输入幅值的9%。为便于得到Bode图，我们将K=20代入系统开环函数G(s),并变换为以下形式：41以式(9.85)为基础，表5.2给出了在0w6的范围内典型频率点上的频率响应数据。图5.94则给出了系统的Nichols图。从图中可以看出，系统的谐振峰值Mpw为12dB,相角裕度为15o,由此可以推知，系统的阶跃响应为欠阻尼响应，最大超调量约为%。图图5.77表表5.2图图5.94表表5.242 其次考虑超调量的设计。为了减少超调量，我们应该减少系统增益。假定超调量限制为25%，由图可知，系统主导极点的阻尼数应为0.4，再由图8.11可得，

25、谐峰Mpw=1.3520logMpw=2.6dB。为此，在图9.94所示的Nichols图中，我们需要将K=20的对数幅相曲线与2.6dB的等M曲线相切。由平移后的曲线可以看出，幅值增益应降低13dB(4.5倍)，而K的取值应改为K=20/4.5=4.44。更新K的值取值之后，超调量满足了限定要求，但稳态误差却增加到 系统在K=4.44时的实际阶跃响应曲线如图9.36所示，可以看出超调量为32%：若取K=10,则系统的超调量变为48%，稳态误差变17%，相应的阶跃响应曲线也画在图9.36中。此外，为便于比较，图9.36还画出了K=20的阶跃响应曲线，表9.5则列出了K=4.44,10和20三种

26、情况下的时域指标。综合考虑上述结果，我们应该晚霞增益取为K=10。43 前面用时域方法验证了设计的结果。除此外，用Nichols图也可以估计系统的闭环频域指标和时域指标。以设计结果K=10为例，将图5.77中K=20时的开环对数幅相曲线垂直下移6dB（20log2=6),就得到了K=10时的开环对数幅相曲线。从中可以看出，此Mpw=7dB,相角裕度=26o,由此便可以估计得到闭环系统的阻尼系数为=0.34超调量为30%，带宽为wb=5,调节时间（按2%准则）为：表表5.3表表5.344 在估计调节时间Ts时，我们还可以用到了固有频率与带宽之间的近似关系式，即当=0.34时，wb1.4wn。由图5.78中的响应曲线可以看出，K=10时的实际调节时间约为5.4s，可见用频域方法估计时域指标，会带来一定的误差。 图图5.9445 由此，在系统的稳态响应中，单位干扰的影响被衰减为干扰输入1/(4+2K)。当K=10时Y()=1/24,稳态干扰影响被减少到只有干扰幅值的4%。 综上所述，K=10是一个很好的折衷设计结果。如果以为上面的超量和调节时间仍不能满足设计要求，必须运用第六章的设计方法，对系统进行校正，进一步改变对数幅相曲3线的形状. 最后，我们再来考察单位阶跃扰动对系统稳态响应的影响。为此，令R(s)=0,D(s)=1/s,由终值定理可得：46