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1、一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法(1)（3 3）一元二次方程）一元二次方程 的解与二次函数的解与二次函数 的图象的图象有什么联系？有什么联系？复习提问：复习提问：（1）如何解一元二次方程）如何解一元二次方程?（2）二次函数）二次函数 的图象是的图象是什么曲线？什么曲线？一元二次方程一元二次方程 的解实的解实际上就是二次函数际上就是二次函数与与x x轴交点的横坐标。轴交点的横坐标。下面我们来研究如何应用二次函数的图象下面我们来研究如何应用二次函数的图象来解一元二次不等式。来解一元二次不等式。例例1：解不等式解不等式: x22x150 解：解： =b2-4ac= 22 +4 15 0 方程
2、方程x22x150的两根为的两根为: x3，或，或x5y-350x 不等式的解集为不等式的解集为:x x 3 或或x 5。设设y=y=a ax x2 2+bx+c+bx+c( (a a0),0),且设方程且设方程y=0y=0在在0 0时时的两个根分别是的两个根分别是x x1 1、x x2 2，且，且x x1 1x x2 2。下面我们一起来看下表：下面我们一起来看下表：b24ac 0 0 0y0的解集 Ry0的解集y 0的解集 R Ry 0的解集 ROxyx1x2Oxyxb2aOxy 练习练习1.解不等式解不等式4x2-4x+10解：解： =0，方程，方程4x2-4x+1=0的的 解是解是x1=
3、 x2=1/2 1/2 X练习练习2.解不等式解不等式-x2+2x-30解：整理得解：整理得x2-2x+30 0解：解： 0，方程，方程2x2-3x-2=0的的 解是解是 x1=-1/2 , x2=2 -1/2 2 X练习练习4.解不等式解不等式-5x2+6x1解：整理得，解：整理得，5x2-6x+10，方程，方程5x2-6x+1=0的解是的解是x1=1/5 , x2=1 1/5 1 X不等式的解集是不等式的解集是 x|x2原不等式的解集是原不等式的解集是x|1/5x0)： ax2+bx+c0 或或 ax2+bx+c0作业作业: 1.解不等式解不等式(1)4x2-4x+10(3)2x2-3x-
4、202.(4)-5x2+6x1二、二、二次不等式的简单应用二次不等式的简单应用 解法解法1：(换元法）换元法） 设设x =t,则则t 0原不等式可化为原不等式可化为 t2 2t150 由例由例1 可知解为可知解为t5或或t3 t 0 不等式的解集为不等式的解集为tt5 x5 原不等式的解为原不等式的解为xx5或或x5 。例例3： 解不等式解不等式 分析分析1：不同于不同于x22x150的根本点在于不的根本点在于不等式中含等式中含x，由于由于x 2 = x2 ，则可以通过换则可以通过换元令元令x =t，将不等式转化为将不等式转化为t 22 t 150求解。求解。x22 x 150x22x150
5、解法解法2：当当x0时，时， 原不等式可化为原不等式可化为x2 2x150 则不等式的解为则不等式的解为x5或或 x3 x0 不等式的解集为不等式的解集为xx5 当当x 0时，时， 原不等式可化为原不等式可化为x2 2x150 则不等式的解为则不等式的解为x3或或x 5 x0 不等式的解集为不等式的解集为xx5 由以上可知原不等式的解为由以上可知原不等式的解为xx5或或x5 。 分析分析2：也可用绝对值定义去掉绝对值将也可用绝对值定义去掉绝对值将不等式转化为不含绝对值的求解。不等式转化为不含绝对值的求解。例例3：解不等式解不等式: x22x150 例例4 . 已知一元二次不等式已知一元二次不等
6、式a x2 bx+60 的解集为的解集为x 2 x3, 求求ab的值的值. 解：解：由条件可知由条件可知 ： 方程方程a x2 bx+60的根的根2，3 又解在两根之间又解在两根之间;分析分析:二次不等式的解是通过二次方程的二次不等式的解是通过二次方程的根来确定的，根来确定的，a0 6 /a 2 3 6 a1 b /a 231 b1 则则ab2 由此可以理解为由此可以理解为 a x2 bx+60的根为的根为2，3。 例例4 . 已知一元二次不等式已知一元二次不等式a x2 bx+60 的解集为的解集为x 2 x3, 求求ab的值的值.4a2b+609a3b+60 另解：另解：由条件可知由条件可
7、知 ： 方程方程 a x2 bx+60的根的根2、3 ， 代入方程可得：代入方程可得：则则ab2a1b1解解方程组得：方程组得：练习练习:已知不等式已知不等式ax2 + bx + 20的解为的解为 求求2x2 + bx + a0 的解集是的解集是(-1/2 (-1/2 , 1/3 ) ), 求求 a, b, c 的取值范围的取值范围.解解: 由已知由已知, 二次方程二次方程 ax2+bx+c - -250 有实根有实根. = =b2- -4a(c - -25)0. 又不等式又不等式 ax2+bx+c0 的解集是的解集是(- (- , ) ),1213 a0. 1616 b=- -c, c2+2
8、4c(c - -25)0. 解得解得: c24. b- -24, a- -144. 故故 a, b, c 的取值范围分别是的取值范围分别是 a- -144, b- -24, c24. 代入代入 b2- -4a(c - -25)0 得得: 例例6、已知集合已知集合A=x x2 (a+1)x+a0 , B=x1x3，若，若AB=A , 求实数求实数a取值范围。取值范围。解：解：A B=A，则，则 A B若若a1 ， 则则A x 1xa ， 若若a1 ， 则则 A x a x 1 ，a取值范围是取值范围是1a3X31aABBAaX13则则 1 a3那么那么, A不可能是不可能是B的子集的子集 ；分析分析: 观察不难发现：观察不难发现：a、1是是 x2 (a+1)x +a=0的根的根. 若若a1 ， 则则A 1 ，满足条件满足条件 ; a 1 解一元二次不等式的方法步骤是：解一元二次不等式的方法步骤是： （3）根据图象写出解集）根据图象写出解集 步骤：步骤：（1）化成标准形式）化成标准形式 (a0)： ax2+bx+c0 或或 ax2+bx+c 0时，时，只要只要 0f(x)的定义域为的定义域为R时，时， k的取值范围为的取值范围为变式：函数f(x)= lg(kx2 6kx+k+8）的值域为 R , 求k的取值范围。思考思考
