《函数的凸凹性与函数作图》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数的凸凹性与函数作图（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4-6 函数的凸凹性与函数作图函数的凸凹性与函数作图1. 函数的凸凹性函数的凸凹性函数的函数的凸凸(向上凸向上凸)凹凹(向下凸向下凸)性性定义定义设设 在在 上可导上可导, 若对于每一点若对于每一点 ,都有都有则称则称 在在 是是凸凸的的;则称则称 在在 是是凹凹的的.(曲线弧总是在它的切线的下方曲线弧总是在它的切线的下方)(曲线弧总是在它的切线的上方曲线弧总是在它的切线的上方)几何意义：几何意义：曲线弧总是在它的切线的下方，曲线弧总是在它的切线的下方，曲线弧总是在它的切线的上方曲线弧总是在它的切线的上方.定理1 (曲线凹凸性的判定法) 设f(x)在(a b)内具有二阶导数 对于每一点 若在(
2、a b)内f (x)0 则f(x)在(a b)上的图形是凹的 证证若在(a b)内f (x)0 则证毕.例例1研究函数的凹凸区间.解解于是当解得根据定理1， 拐点连续曲线yf(x)上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点 定理是的拐点，是的拐点，设在 内有连续的二阶导数, 若点则则证证 用反证法用反证法 .补例补例 判断曲线的凹凸性.解解故曲线在上是向上凹的.说明说明:1) 若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在 两侧异号异号, 则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变 .在其两侧二阶导数不变号,拐点拐点在拐点处不存在. 如果在的左右
3、两侧异号, 则是拐点. 补例补例 求曲线的拐点. 解解不存在因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线的拐点 .凹凸补例补例 求曲线的凹凸区间及拐点.解解 1) 求2) 求拐点可疑点坐标令得对应3) 列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及均为拐点.凹凹凸思考题：思考题：2. 函数作图函数作图1. 确定函数的定义域 ,期性 ;2. 求并求出及3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;4. 求渐近线 以及其他变化趋势；为 0 和不存在的点 ,并考察其对称性及周步骤 :用这些点把函数的定义域化分成几个部分区间; 5. 算出 的零点以及不存在的点所对应的 函数值定出图形
4、上相应的点；确定某些特殊点 , 描绘函 数图形 .无渐近线 .点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 曲线的渐近线曲线的渐近线定义定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点时,则称直线 L 为曲线C 的渐近线渐近线 .例如, 双曲线有渐近线但抛物线或为“纵坐标差纵坐标差”1. 水平与铅直渐近线水平与铅直渐近线若则曲线有水平渐近线若则曲线有垂直渐近线例例 求曲线的渐近线 .解解为水平渐近线;为垂直渐近线. 设函数设函数 在在 上有定义上有定义,则直线则直线 是是 当当 时之渐近线时之渐近线定理定理32. 斜渐近线斜渐近线若当若当 或或( 或或 )时时 或或，此时为，此时为垂直渐近线垂
5、直渐近线此时此时 为为水平渐近线水平渐近线；若若斜渐近线若证证例例2 求曲线的渐近线 .解解所以有铅直渐近线及又因为曲线的斜渐近线 .例例3描绘的图形.解解 1) 定义域为2) 求关键点3) 判别曲线形态(极大极大)(极小极小)无无定定义义4) 求渐近线为铅直渐近线又因即为斜渐近线5) 求特殊点6）绘图斜渐近线铅直渐近线特殊点(极大极大)(极小极小)无无定定义义补例补例 描绘的图形.解解 1) 定义域为无对称性及周期性.2)3)(极大)(拐点）(极小)4)5）变化趋势M1M2N1N2 观察曲线的弯曲线程度与切线的关系观察曲线的弯曲线程度与切线的关系：* 4-7 曲线的曲率曲线的曲率 一条曲线的
6、一条曲线的弯曲程度弯曲程度可以根据它在单位长度内切线转过的可以根据它在单位长度内切线转过的角度的大小来表达角度的大小来表达.CM0MM Ds)sxyO 设设曲曲线线 C是是光光滑滑的的，曲曲线线 线线C上上从从点点 M 到到 点点 M 的的弧弧长长为为 D Ds切切 线线 的的 转转 角角 为为 设在 上连续，且在 内有二阶导数曲线弧 上任一点处的切线与轴的夹角定义定义: 曲线的曲率曲线的曲率所以曲线弧 上处的曲率曲率为时，称为曲线在该点处的时，称为曲线在该点处的曲率半径曲率半径曲线在M点的曲率中心 y=f(x)xyOD r曲线在M点的曲率半径曲线在M点的曲率圆M 习题习题 4-5 1.2.4.5.7. 第四章总练习题第四章总练习题 6. 7.15.18.19.23.24.(1),(3).
