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1、7.1 7.1 7.1 7.1 应力状态概述应力状态概述应力状态概述应力状态概述 7.3 7.3 7.3 7.3 二向应力状态分析二向应力状态分析二向应力状态分析二向应力状态分析解析法解析法解析法解析法7.4 7.4 7.4 7.4 二向应力状态分析二向应力状态分析二向应力状态分析二向应力状态分析图解法图解法图解法图解法7.2 7.2 二向和三向应力状态实例二向和三向应力状态实例二向和三向应力状态实例二向和三向应力状态实例7.5 7.5 7.5 7.5 三向应力状态三向应力状态三向应力状态三向应力状态 7.8 7.8 7.8 7.8 广义胡克定律广义胡克定律广义胡克定律广义胡克定律 7.9 7
2、.9 7.9 7.9 复杂应力状态的应变能密度复杂应力状态的应变能密度复杂应力状态的应变能密度复杂应力状态的应变能密度 7-1 7-1 应力状态的基本概念应力状态的基本概念 一、一、什么什么是是应力状态？应力状态？三、三、如何描述如何描述一点的应力状态一点的应力状态? ? 二、二、为什么为什么要研究应力状态要研究应力状态? ? 一、什么是一、什么是应力状态？应力状态？应力的点的概念应力的点的概念应力的点的概念应力的点的概念: :各不相同各不相同各不相同各不相同; ;同一截面上不同点的应力同一截面上不同点的应力同一截面上不同点的应力同一截面上不同点的应力横截面上的正应力分布横截面上的正应力分布F
3、 F FQ QQ同一面上不同点的应力各不相同，即同一面上不同点的应力各不相同，即应力的点的概念应力的点的概念。横截面上的切应力分布横截面上的切应力分布结果表明：结果表明：轴向拉压轴向拉压同一横截面上各点应力相等：同一横截面上各点应力相等：FF同一点在斜截面上时：同一点在斜截面上时： 应力的面的概念应力的面的概念应力的面的概念应力的面的概念 应力的面的概念应力的面的概念应力的面的概念应力的面的概念各不相同；各不相同；各不相同；各不相同；过同一点不同方向面上的应力过同一点不同方向面上的应力过同一点不同方向面上的应力过同一点不同方向面上的应力F FP PF FP P受轴向拉力作用的杆件，受力之前受轴
4、向拉力作用的杆件，受力之前受轴向拉力作用的杆件，受力之前受轴向拉力作用的杆件，受力之前, , , ,表面的正方形表面的正方形表面的正方形表面的正方形受拉后，正方形变成了矩形，直角没有改变。受拉后，正方形变成了矩形，直角没有改变。受拉后，正方形变成了矩形，直角没有改变。受拉后，正方形变成了矩形，直角没有改变。横截面上没有切应力；横截面上没有切应力；横截面上没有切应力；横截面上没有切应力；受拉之前受拉之前受拉之前受拉之前, , , ,表面斜置的正方形表面斜置的正方形表面斜置的正方形表面斜置的正方形 受力之前受力之前受力之前受力之前, , , ,在其表面斜置的正方形在受拉后，在其表面斜置的正方形在受
5、拉后，在其表面斜置的正方形在受拉后，在其表面斜置的正方形在受拉后，正方形变成了菱形。正方形变成了菱形。正方形变成了菱形。正方形变成了菱形。这表明：拉杆的斜截面上存在切应力。这表明：拉杆的斜截面上存在切应力。这表明：拉杆的斜截面上存在切应力。这表明：拉杆的斜截面上存在切应力。F FP PF FP P 应力的面的概念应力的面的概念应力的面的概念应力的面的概念 受扭之前受扭之前受扭之前受扭之前，圆轴圆轴圆轴圆轴表面表面表面表面的的的的圆圆圆圆轴扭转时，其斜截面上存在着正应力。轴扭转时，其斜截面上存在着正应力。轴扭转时，其斜截面上存在着正应力。轴扭转时，其斜截面上存在着正应力。 MMx xMMx x
6、受扭后，受扭后，受扭后，受扭后，变为变为变为变为一斜置一斜置一斜置一斜置椭圆椭圆椭圆椭圆，长轴长轴长轴长轴方向伸方向伸方向伸方向伸长长长长，短短短短轴轴轴轴方向方向方向方向缩缩缩缩短。短。短。短。这是为什么？这是为什么？这是为什么？这是为什么？ 应力的面的概念应力的面的概念应力的面的概念应力的面的概念拉中有切拉中有切根据微元的局部平衡根据微元的局部平衡根据微元的局部平衡根据微元的局部平衡切中有拉切中有拉根据微元的局部平衡根据微元的局部平衡根据微元的局部平衡根据微元的局部平衡MMx xMMx x即使同一点即使同一点即使同一点即使同一点不同方向面上不同方向面上不同方向面上不同方向面上的应力也是各不
7、相同的，此即应的应力也是各不相同的，此即应的应力也是各不相同的，此即应的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。力的面的概念。力的面的概念。力的面的概念。微元平衡分析结果表明：微元平衡分析结果表明：微元平衡分析结果表明：微元平衡分析结果表明：不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力。不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力。不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力。不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力。应 力指明指明哪一个面上哪一个面上哪一个面上哪一个面上？ 哪一点哪一点哪一点哪一点？ 哪一点哪一点哪一点哪一点？哪个方向面哪个方向面哪个方向面哪个方向面？应力的点的概念与面的概念应力的点的概
8、念与面的概念应力的点的概念与面的概念应力的点的概念与面的概念 应力状态应力状态应力状态应力状态: :过同一点不同方向面上应力的集合，称过同一点不同方向面上应力的集合，称过同一点不同方向面上应力的集合，称过同一点不同方向面上应力的集合，称为这一点的应力状态；为这一点的应力状态；为这一点的应力状态；为这一点的应力状态；请看下列实验现象请看下列实验现象请看下列实验现象请看下列实验现象： 低碳钢和铸铁的拉伸实验低碳钢和铸铁的拉伸实验低碳钢和铸铁的拉伸实验低碳钢和铸铁的拉伸实验 低碳钢和铸铁的扭转实验低碳钢和铸铁的扭转实验低碳钢和铸铁的扭转实验低碳钢和铸铁的扭转实验二、为什么要研究二、为什么要研究应力状
9、态？应力状态？低碳钢拉伸低碳钢拉伸低碳钢拉伸低碳钢拉伸塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁拉伸铸铁拉伸铸铁拉伸铸铁拉伸两种材料的拉伸试验两种材料的拉伸试验为什么脆性材料扭转时沿为什么脆性材料扭转时沿为什么脆性材料扭转时沿为什么脆性材料扭转时沿4545螺旋面断开？螺旋面断开？螺旋面断开？螺旋面断开？低碳钢扭转低碳钢扭转低碳钢扭转低碳钢扭转铸铁扭转铸铁扭转铸铁扭转铸铁扭转两种材料的扭转试验两种材料的扭转试验试件的破坏不只在试件的破坏不只在横截面横截面，有时也沿有时也沿斜截面斜截面发生破坏；发生破
10、坏；为什么要研究为什么要研究为什么要研究为什么要研究应力状态应力状态应力状态应力状态不仅要研究横截面上的应力，不仅要研究横截面上的应力，不仅要研究横截面上的应力，不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的应力。而且也要研究斜截面上的应力。而且也要研究斜截面上的应力。而且也要研究斜截面上的应力。d dx xd dy yd dz z微元微元微元微元三、如何描述一点的应力状态三、如何描述一点的应力状态三、如何描述一点的应力状态三、如何描述一点的应力状态微元及其各面上的应力来微元及其各面上的应力来描描述一点述一点的的应力状态。应力状态。约定约定:微元体的体积为无穷小；微元体的体积为无穷小；相对面
11、上的应力等值、反向、共线相对面上的应力等值、反向、共线;三个相互垂直面上的应力；三个相互垂直面上的应力；一般空间应力状态一般空间应力状态一般空间应力状态一般空间应力状态yxz一般平面应力状态一般平面应力状态一般平面应力状态一般平面应力状态 xy xyyxxyxy单向应力状态单向应力状态单向应力状态单向应力状态纯剪应力状态纯剪应力状态纯剪应力状态纯剪应力状态一般单向应力状态或纯剪切应力状态一般单向应力状态或纯剪切应力状态一般单向应力状态或纯剪切应力状态一般单向应力状态或纯剪切应力状态三三向向应应力力状状态态平平面面应应力力状状态态单向应力状态单向应力状态纯剪应力状态纯剪应力状态特例特例特例特例特
12、例特例特例特例一点的应力状态一点的应力状态主单元体主单元体主平面主平面主应力主应力常用术语常用术语单元体的某个面上切应力等于零时的正应力单元体的某个面上切应力等于零时的正应力;约定：约定：空间（空间（三向三向）应力状态：）应力状态：平面（二向）应力状态：平面（二向）应力状态：单向应力状态：单向应力状态：应力状态应力状态三个主应力均不为零；三个主应力均不为零；两个主应力不为零；两个主应力不为零；一个主应力不为零一个主应力不为零;提取危险点处应力状态；提取危险点处应力状态；本章难点本章难点应力状态是一切应力分析的基础；应力状态是一切应力分析的基础；1 提取提取拉压变形拉压变形杆件危险点的应力状态杆
13、件危险点的应力状态单向应力状态单向应力状态FF2 提取提取拉压变形拉压变形杆件任一点沿杆件任一点沿斜截面斜截面的应力状态的应力状态3 提取提取扭转变形扭转变形杆件危险点的应力状态杆件危险点的应力状态纯剪切应力状态纯剪切应力状态4 提取提取横力弯曲横力弯曲变形杆件变形杆件下边缘一点下边缘一点的应力状态的应力状态单向应力状态单向应力状态5 提取提取横力弯曲横力弯曲变形杆件任意一点的应力状态变形杆件任意一点的应力状态平面应力状态平面应力状态6 提取提取横力弯曲横力弯曲变形杆件中性层上一点的应力状态变形杆件中性层上一点的应力状态纯剪切应力状态纯剪切应力状态FPl/2l/2S平面平面7提取工字形截面梁上
14、一点的应力状态提取工字形截面梁上一点的应力状态123S平面平面5 5 5 55 54 44 43 33 32 22 21 1 1 11 145FPlaS S7 7 提取直角拐固定端截面上一点的应力状态提取直角拐固定端截面上一点的应力状态M=FPLT=FPa判定变形判定变形铅锤面内弯曲铅锤面内弯曲xzy4321S平面平面yxzMz FQyMx4321143FFS S平面平面118 8 同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式. .1FFS S平面平面1n练习练习1 1 提取危险点的应力状态提取危险点的应力状态PM2 2 提取点的应力状态提取点的应力状态PM
15、M2M13 3 提取危险点处应力状态提取危险点处应力状态MPPM2M14 4 提取提取 点的应力状态点的应力状态PL/2L/45 5 提取提取 各点的应力状态各点的应力状态L/6PL/3PL/36 6 提取危险点处应力状态提取危险点处应力状态hbP2P1L/27 7 提取危险点处应力状态提取危险点处应力状态P1P28 8 提取危险点处应力状态提取危险点处应力状态PMq9 9 提取危险点处应力状态提取危险点处应力状态bhP P10 1、2、3、4的应力状态中，哪一个是错误的的应力状态中，哪一个是错误的？12341234圆柱型压力容器圆柱型压力容器圆柱型压力容器圆柱型压力容器7-2 7-2 7-2
16、 7-2 二向和三向应力状态实例二向和三向应力状态实例二向和三向应力状态实例二向和三向应力状态实例球型压力容器球型压力容器球型压力容器球型压力容器一、承受内压圆柱型薄壁容器任意点的应力状态一、承受内压圆柱型薄壁容器任意点的应力状态一、承受内压圆柱型薄壁容器任意点的应力状态一、承受内压圆柱型薄壁容器任意点的应力状态（壁厚为（壁厚为（壁厚为（壁厚为t t，内直径为，内直径为，内直径为，内直径为D D，tDtD，内压为，内压为，内压为，内压为p p）L圆柱型薄壁容器任意点的应力状态圆柱型薄壁容器任意点的应力状态圆柱型薄壁容器任意点的应力状态圆柱型薄壁容器任意点的应力状态 DtDpx轴线方向的应力轴线
17、方向的应力 横向应力横向应力x y x y 承受内压圆柱型薄壁容承受内压圆柱型薄壁容器任意点的应力状态器任意点的应力状态:二向不等值拉伸应力状态二向不等值拉伸应力状态二、承受内压球型薄壁容器任意点的应力状态二、承受内压球型薄壁容器任意点的应力状态二、承受内压球型薄壁容器任意点的应力状态二、承受内压球型薄壁容器任意点的应力状态（壁厚为（壁厚为（壁厚为（壁厚为t t，内直径为，内直径为，内直径为，内直径为D D，tDt 2 2 3 3 0 0）的应力状态。）的应力状态。）的应力状态。）的应力状态。 过一点所有方向面中的最大切应力过一点所有方向面中的最大切应力过一点所有方向面中的最大切应力过一点所有
18、方向面中的最大切应力 x=3, ,y=2，xy0这就是这就是组组方向面内的最大切方向面内的最大切应应力力。在在平平行行于于主主应应力力1方方向向的的任任意意方方向向面面上上，正正应应力力和和剪剪应应力力都都与与1无无关关。因因此此，当当研研究究平平行行于于1的的这这一一组组方方向向面面上上的的应应力时，所研究的应力状态可视为一平面应力状态：力时，所研究的应力状态可视为一平面应力状态： 过一点所有方向面中的最大切应力过一点所有方向面中的最大切应力过一点所有方向面中的最大切应力过一点所有方向面中的最大切应力 在在平平行行于于主主应应力力2方方向向的的任任意意方方向向面面上上，正正应应力力和和剪剪应
19、应力力都都与与2无无关关。因因此此，当当研研究究平平行行于于2的的这这一一组组方方向向面面上上的的应应力力时时，所所研研究究的的应应力力状状态态可可视视为一平面应力状态：为一平面应力状态： x=1, ,y=3，xy0。 组组方向面内的最大切方向面内的最大切应应力力；过一点所有方向面中的最大剪应力过一点所有方向面中的最大剪应力过一点所有方向面中的最大剪应力过一点所有方向面中的最大剪应力 x=1, ,y=2，xy0； 在在平平行行于于主主应应力力3方方向向的的任任意意方方向向面面上上，正正应应力力和和剪剪应应力力都都与与3无无关关。因因此此，当当研研究究平平行行于于3的的这这一一组组方方向向面面上
20、上的的应应力力时时，所所研研究究的的应应力力状状态态可可视视为一平面应力状态：为一平面应力状态： 组组方向面内的最大切方向面内的最大切应应力力。过一点所有方向面中的最大剪应力过一点所有方向面中的最大剪应力过一点所有方向面中的最大剪应力过一点所有方向面中的最大剪应力 一点应力状态中的最大剪应力，必然是上述三者中最大的；一点应力状态中的最大剪应力，必然是上述三者中最大的；一点应力状态中的最大剪应力，必然是上述三者中最大的；一点应力状态中的最大剪应力，必然是上述三者中最大的； 过一点所有方向面中的最大剪应力过一点所有方向面中的最大剪应力过一点所有方向面中的最大剪应力过一点所有方向面中的最大剪应力 例
21、例 1 1 薄薄壁壁圆圆管管受受扭扭转转和和拉拉伸伸同同时时作作用用（如如图图所所示示）。已已知知圆圆管管的的平平均均直直径径D50 mm，壁壁厚厚2 mm。外外加加力力偶偶的的力力偶偶矩矩Me600 Nm，轴轴向向载载荷荷FP20 kN。薄薄壁壁管管截截面面的的扭扭转转截面系数可近似取截面系数可近似取为为 求：求：求：求：1圆管表面上过圆管表面上过D点与圆管母线夹角为点与圆管母线夹角为30的斜截的斜截 面上的应力；面上的应力； 2. D点主点主应应力和最大剪力和最大剪应应力。力。 2、确定微元各个面上的应力、确定微元各个面上的应力 1 1取微元：取微元： 围绕围绕D点用横截面、纵截面和圆柱面
22、截取微元。点用横截面、纵截面和圆柱面截取微元。3 3 求斜截面上的应力求斜截面上的应力 x63.7 MPa，y0， xy一一76.4 MPa，120。 三维投影成二维三维投影成二维求斜截面上的应力求斜截面上的应力 3 3确定主应力与最大剪应力确定主应力与最大剪应力 确定主应力与最大剪应力确定主应力与最大剪应力 D点的最大切点的最大切应应力力为为 例例 2已知已知已知已知: : : :应力状态如图所示。应力状态如图所示。试：试：试：试： 1写出主应力写出主应力 1、 2、 3的表达式；的表达式； 2若已知若已知 x63.7 MPa， xy=76.4 MPa， 当坐标当坐标 轴轴x、y反时针方向旋
23、转反时针方向旋转=120 后至后至 x、y ，求，求: 、 。 1.确定主应力确定主应力 应用平面应力状态主应力公式应用平面应力状态主应力公式 因为因为 y0，所以有，所以有又因为是平面应力状态，故有又因为是平面应力状态，故有+- =2234212xyxx =20+=2214212xyxx2.计算方向面法线旋转后的应力分量计算方向面法线旋转后的应力分量 x63.7 MPa， y0； xy yx=76.4 MPa，=120 试求试求（1 1） 斜面上的应力；斜面上的应力； （2 2）主应力、主平面；）主应力、主平面； （3 3）绘出主应力单元体。）绘出主应力单元体。例题例题3 3：一点处的应力状
24、态如图。：一点处的应力状态如图。 已知已知（1 1） 斜面上的应力斜面上的应力 =-30=-30=-30=-30（2 2）主应力、主平面）主应力、主平面 主平面的方位：主平面的方位： 代入代入 表达式可知表达式可知主应力主应力 方向：方向：主应力主应力 方向：方向：（3 3）主应力单元体：）主应力单元体： 1、求下列主单元体的方位、主应力的大小、最大、求下列主单元体的方位、主应力的大小、最大剪应力（应力单位取剪应力（应力单位取MP）406050707050202、求下列主单元体的方位、主应力的大小、最大、求下列主单元体的方位、主应力的大小、最大剪应力（应力单位取剪应力（应力单位取MP）4020
25、403、求主应力的大小及方向、求主应力的大小及方向601.414P1.414P2P2P4、图示中单元体，求、图示中单元体，求3030150120805、x+y=120MPa，=50MPa，求单元体的三个，求单元体的三个主应力及最大剪应力主应力及最大剪应力x x=80=8060xyy6、等腰直角三角形单元体上，二直边上只有剪、等腰直角三角形单元体上，二直边上只有剪应力，那么斜边表示的截面上的正应力应力，那么斜边表示的截面上的正应力、剪应、剪应力力各有多大？各有多大？7-4 7-4 7-4 7-4 二向应力状态分析二向应力状态分析二向应力状态分析二向应力状态分析- - - -图解法图解法图解法图解
26、法一、一、一、一、 应力圆方程应力圆方程应力圆方程应力圆方程 二、二、二、二、 应力圆的画法应力圆的画法应力圆的画法应力圆的画法 三、三、三、三、 应力圆的应用应力圆的应用应力圆的应用应力圆的应用 四、四、四、四、 三向应力状态的应力圆三向应力状态的应力圆三向应力状态的应力圆三向应力状态的应力圆一、一、一、一、 应力圆方程应力圆方程应力圆方程应力圆方程 RO OC C半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍；半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍；半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍；半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍；半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；半径旋转方向与方向面法线
27、旋转方向一致；半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；应力圆上某应力圆上某应力圆上某应力圆上某一点的坐标值一点的坐标值一点的坐标值一点的坐标值对应着微元某一对应着微元某一对应着微元某一对应着微元某一方向面方向面方向面方向面上的正应力和剪应力；上的正应力和剪应力；上的正应力和剪应力；上的正应力和剪应力；二、二、二、二、 应力圆的画法应力圆的画法应力圆的画法应力圆的画法 1 1、点面对应、点面对应、点面对应、点面对应2 2、转向对应、转向对应、转向对应、转向对应3 3、二倍角对应、二倍角对应、二倍角对应、二倍角对应点面对应点面对应C CEeC CDen E2 转
28、向对应转向对应二倍角对应二倍角对应与二倍角对应与二倍角对应xdOCD( x , xy)D( y , yx)建立坐标系建立坐标系建立坐标系建立坐标系由面找点由面找点由面找点由面找点确定圆心和半径确定圆心和半径确定圆心和半径确定圆心和半径AB具体作圆步骤具体作圆步骤ABOCD( x , xy)B BD( y , yx)建立坐标系建立坐标系建立坐标系建立坐标系由面找点由面找点由面找点由面找点确定圆心和半径确定圆心和半径确定圆心和半径确定圆心和半径ABA AB B再将上述过程重复一次再将上述过程重复一次再将上述过程重复一次再将上述过程重复一次在应用过程中，应当将应力圆作为思考、分在应用过程中，应当将应
29、力圆作为思考、分在应用过程中，应当将应力圆作为思考、分在应用过程中，应当将应力圆作为思考、分析问题的工具，而不是计算工具。析问题的工具，而不是计算工具。析问题的工具，而不是计算工具。析问题的工具，而不是计算工具。三、三、三、三、 应力圆的应用应力圆的应用应力圆的应用应力圆的应用 信息源信息源信息源信息源 xy x y yx oDA ABE E点的横、纵坐标即位该任意斜截面上的正应力和切应力。点的横、纵坐标即位该任意斜截面上的正应力和切应力。C1 从应力圆上确定任意斜截面上的应力从应力圆上确定任意斜截面上的应力nE2 D xy x y yx oDDA AB应力圆和横轴交点的横坐标值。应力圆和横轴
30、交点的横坐标值。Cbe2 从应力圆上确定主应力大小从应力圆上确定主应力大小maxmin x y yxA AB xy0E0B oDDCbe 3 从应力圆上确定主平面方位从应力圆上确定主平面方位2 0 主应力排序：主应力排序：主应力排序：主应力排序： 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 oc20ad o o 有几个主应力有几个主应力？ oadCbe oadCbe adCbe adCbe 确定下列应力圆的主应力确定下列应力圆的主应力 oC 4 4 从应力圆上确定面内最大切应力从应力圆上确定面内最大切应力应力圆上的最高点的纵坐标应力圆上的最高点的纵坐标对应对应 “ 面内最大切应力面内最大切
31、应力” 。max与主应力的夹角为与主应力的夹角为45度。度。 x x o245245beABDDCbe4545例例1：轴向拉伸的最大正应力和最大切应力：轴向拉伸的最大正应力和最大切应力eb x x 轴向拉伸时轴向拉伸时45方向面上既有方向面上既有正应力又有切应力，但正应力不正应力又有切应力，但正应力不是最大值，切应力却最大。是最大值，切应力却最大。轴向拉伸的最大正应力和最大切应力轴向拉伸的最大正应力和最大切应力最大正应力所在的面上切应力一最大正应力所在的面上切应力一定是零；定是零；o 245245-45-45 4545 be D(0,- )CD (0, )eb例例2：纯剪切状态的主应力：纯剪切
32、状态的主应力A AB -45 4545 beBA A 纯剪切状态的主单元体纯剪切状态的主单元体 -45 4545 be在纯剪应力状态下，在纯剪应力状态下，4545方向面上只有正应力没有剪应力，方向面上只有正应力没有剪应力，而且正应力为最大值。而且正应力为最大值。 例例3：一点处的平面应力状态如图所示。已知：一点处的平面应力状态如图所示。已知 试求试求（1） 斜面上的应力；斜面上的应力；（2）主应力、主平面；）主应力、主平面； （3）绘出主单元体。）绘出主单元体。 o cdfe主应力单元体：主应力单元体：例例4：一点处的平面应力状态如图所示。已知：一点处的平面应力状态如图所示。已知 求（求（1）
33、主应力；（）主应力；（2）绘出主单元体。）绘出主单元体。120o a120（1 1）作应力圆）作应力圆（2 2）确定主应力）确定主应力120o a120b半径半径因此主应力为：因此主应力为：（3）绘出主单元体。）绘出主单元体。120o a120b 1 2讨论：讨论：讨论：讨论：1 1 1 1、本题可用解析法求解吗？、本题可用解析法求解吗？、本题可用解析法求解吗？、本题可用解析法求解吗？2 2 2 2、在某些情况下，单元体可以不取立方体，如平面应、在某些情况下，单元体可以不取立方体，如平面应、在某些情况下，单元体可以不取立方体，如平面应、在某些情况下，单元体可以不取立方体，如平面应 力状态问题，
34、零应力面可以取矩形、三角形等，只要力状态问题，零应力面可以取矩形、三角形等，只要力状态问题，零应力面可以取矩形、三角形等，只要力状态问题，零应力面可以取矩形、三角形等，只要 已知和零应力面垂直的任意两个面上的应力，就可以已知和零应力面垂直的任意两个面上的应力，就可以已知和零应力面垂直的任意两个面上的应力，就可以已知和零应力面垂直的任意两个面上的应力，就可以 求出其它任意斜截面上的应力以及主应力。求出其它任意斜截面上的应力以及主应力。求出其它任意斜截面上的应力以及主应力。求出其它任意斜截面上的应力以及主应力。4 4 4 4、一点处的应力状态有不同的表示方法，而用、一点处的应力状态有不同的表示方法
35、，而用、一点处的应力状态有不同的表示方法，而用、一点处的应力状态有不同的表示方法，而用主应力表示最为重要。主应力表示最为重要。主应力表示最为重要。主应力表示最为重要。o a3、已知任意两个斜面上的应力，确定主应力、已知任意两个斜面上的应力，确定主应力四、四、四、四、 三向应力状态的应力圆三向应力状态的应力圆三向应力状态的应力圆三向应力状态的应力圆只能画出主单元体的应力圆草图只能画出主单元体的应力圆草图 由由 2 、 3可作出应力圆可作出应力圆 I 3 2II 1 2 3由由 1 、 3可作出应力圆可作出应力圆IIIIII 1 3III 2 3 O 2 3 1III O 3由由 1 、 2可作出
36、应力圆可作出应力圆 IIIIII 2 1III 2 1 3 1III 3III 2O 微元任意微元任意方向面上的应方向面上的应力对应着三个力对应着三个应力圆之间某应力圆之间某一点的坐标。一点的坐标。ob ba a max20030050(MPa)1 1 1 1、求：、求：、求：、求：平面应力状态的主应力平面应力状态的主应力 1 1、 2 2 、 3 3和最大切应和最大切应 力力 max。A AB BOb b2005030050(MPa) max2 2 2 2 求：求：求：求：平面应力状态的主应力平面应力状态的主应力 1 1、 2 2 、 3 3和最大剪应力和最大剪应力 max。a aA AB
37、BO300100(MPa) max3 3 3 3求：求：求：求：平面应力状态的主应力平面应力状态的主应力 1 1、 2 2 、 3 3和最大切应力和最大切应力 max。 abA AB B 应力的点的概念应力的点的概念应力的点的概念应力的点的概念; ; ; ; 应力的面的概念应力的面的概念应力的面的概念应力的面的概念; ; ; ; 应力状态的概念应力状态的概念应力状态的概念应力状态的概念. . . .变形体力学变形体力学基基 础础一、关于应力状态的几点重要结论一、关于应力状态的几点重要结论一、关于应力状态的几点重要结论一、关于应力状态的几点重要结论 结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论A A
38、A A 关于关于A点的应力状态有多种答案，请点的应力状态有多种答案，请用平衡的概念分析哪一种是正确的？用平衡的概念分析哪一种是正确的？二、平衡方法是分析应力状态最重要、最基本的方法二、平衡方法是分析应力状态最重要、最基本的方法二、平衡方法是分析应力状态最重要、最基本的方法二、平衡方法是分析应力状态最重要、最基本的方法 怎样确定怎样确定C点处的主应力点处的主应力2 2s s2 2s sA AB B60o三、怎样将应力圆作为思考和分析问题的三、怎样将应力圆作为思考和分析问题的三、怎样将应力圆作为思考和分析问题的三、怎样将应力圆作为思考和分析问题的 重要工具，求解复杂的应力状态问题重要工具，求解复杂
39、的应力状态问题重要工具，求解复杂的应力状态问题重要工具，求解复杂的应力状态问题 请分析图示四种应力状态中，哪几种是等价的请分析图示四种应力状态中，哪几种是等价的? ? 04545 0 0 0 0 4545 0 0 四、关于应力状态的不同的表示方法四、关于应力状态的不同的表示方法四、关于应力状态的不同的表示方法四、关于应力状态的不同的表示方法 五、注意区分两种最大切应力五、注意区分两种最大切应力五、注意区分两种最大切应力五、注意区分两种最大切应力 注意区分面内最大切应力注意区分面内最大切应力;所有方向面中的最大切应力所有方向面中的最大切应力 一点处的最大切应力一点处的最大切应力;最大切应力最大切
40、应力 xy xoadcbe20 0 1 1 2 2 max 已知已知已知已知: : 三向应力状态如三向应力状态如图所示，图中应力的单位图所示，图中应力的单位为为MPa。例例 题题 试试试试求求求求：主应力及微元主应力及微元内的最大切应力。内的最大切应力。 7-5 三向应力状态解析法三向应力状态解析法作应力圆草图作应力圆草图所给的应力状态中有一个主应力是已知的；所给的应力状态中有一个主应力是已知的； x x=20 MPa， xyxy=40 MPa。微元内的最大切应力微元内的最大切应力 三个主应力三个主应力MPa23513.-=MPa23312.=MPa601=1、求下列单元体的三个主应力、求下列
41、单元体的三个主应力4030304050253020502、求下列单元体的三个主应力、求下列单元体的三个主应力3、求下列单元体的三个主应力，并作应力圆草图、求下列单元体的三个主应力，并作应力圆草图4030304050a4、杆件内某点的应力状态如图，求、杆件内某点的应力状态如图，求主应力；主应力；最大剪应力；最大剪应力；画出该点的应力圆草图。画出该点的应力圆草图。8040601005、杆件内某点的应力状态如图，、杆件内某点的应力状态如图，E200Gpa,u=0.25求求主应力；主应力；最大剪应力；最大剪应力； 最大线应变；最大线应变；画画出该点的应力圆草图。出该点的应力圆草图。6070501. 1
42、. 基本变形的胡克定律基本变形的胡克定律yx1 1）轴向拉压胡克定律）轴向拉压胡克定律横向线应变横向线应变2 2）纯剪切胡克定律）纯剪切胡克定律 7-8 7-8 广义胡克定律广义胡克定律纵向线应变纵向线应变2 2、三向应力状态的广义胡克定律、三向应力状态的广义胡克定律叠加法叠加法3 3、广义胡克定律的一般形式、广义胡克定律的一般形式各向同性、线弹性材料各向同性、线弹性材料各向同性、线弹性材料各向同性、线弹性材料；适用性适用性适用性适用性y yz zx x4 4 4 4 平面应力状态的广义胡克定律平面应力状态的广义胡克定律平面应力状态的广义胡克定律平面应力状态的广义胡克定律5 5、三个弹性常数之
43、间的关系、三个弹性常数之间的关系、三个弹性常数之间的关系、三个弹性常数之间的关系讨论讨论讨论讨论1 1 1 1、即即2 2、当、当 时，即为二向应力状态：时，即为二向应力状态：3 3、当、当 时，即为单向应力状态；时，即为单向应力状态；即最大与最小主应变分别发生在最大、最小主应力方向。即最大与最小主应变分别发生在最大、最小主应力方向。一般的二向应力状态的广义胡克定律一般的二向应力状态的广义胡克定律请判断下列论述的正确性：请判断下列论述的正确性：请判断下列论述的正确性：请判断下列论述的正确性： 有应力一定有应变有应力一定有应变有应力一定有应变有应力一定有应变 有应力不一定有应变有应力不一定有应变
44、有应力不一定有应变有应力不一定有应变 有应变不一定有应力有应变不一定有应力有应变不一定有应力有应变不一定有应力 有应变一定有应力有应变一定有应力有应变一定有应力有应变一定有应力正确应用广义胡克定律正确应用广义胡克定律正确应用广义胡克定律正确应用广义胡克定律 例例1：已知一圆轴承受轴向拉伸及扭转的联合作用。为了已知一圆轴承受轴向拉伸及扭转的联合作用。为了测定拉力测定拉力F和力矩和力矩m，可沿轴向及与轴向成，可沿轴向及与轴向成45方向测出方向测出线应变。现测得轴向应变线应变。现测得轴向应变 ， 45方向的应变方向的应变为为 。若轴的直径。若轴的直径D=100mm,弹性模量弹性模量E=200Gpa,
45、泊松比泊松比 =0.3。试求。试求F和和m的值。的值。FmmFkuu45（1 1）提取应变片处的应力状态）提取应变片处的应力状态K（2 2）应用）应用广义胡克定律广义胡克定律（3 3）计算外力偶）计算外力偶m.1、60毫米毫米90毫米的矩形截面外伸梁，竖放。材毫米的矩形截面外伸梁，竖放。材料的弹性模量为料的弹性模量为E200GPa，泊松比为，泊松比为u=0.3。测得测得A点处点处-4520010-6。若已知。若已知P180KN，求求P2？1m2mP1P2A60902、圆轴的直径为、圆轴的直径为D10毫米，材料的弹性模量毫米，材料的弹性模量为为E100GP，泊松比，泊松比0.25，载荷，载荷P=
46、2KN，外力偶，外力偶M=PD/10。求圆轴表面上一。求圆轴表面上一点与轴线成点与轴线成30度角的线应变。度角的线应变。30APMPD/103、等截面圆杆受力如图，抗弯截面系数为、等截面圆杆受力如图，抗弯截面系数为WZ=6000mm3，材料的弹性模量为，材料的弹性模量为E200GP，泊松比泊松比0.25，a=0.5m，测得，测得A、B二点的线应二点的线应变分别为变分别为A4104，B3.75104。求外载荷。求外载荷P、M。PPMPPaaAB45AB4、圆截面直角拐的直径为、圆截面直角拐的直径为D10毫米，材料的弹性模毫米，材料的弹性模量为量为E200GP，泊松比，泊松比0.3。测。测K点与轴
47、线成点与轴线成45度角的线应变为度角的线应变为3.9104，求力，求力P？P31.4cm31.4cmKK5、等截面圆杆受力如图，直径为、等截面圆杆受力如图，直径为D30毫米，材料毫米，材料的弹性模量为的弹性模量为E200GP，泊松比，泊松比0.3，测得，测得A点沿轴向的线应变为点沿轴向的线应变为A5104，B点与轴线成点与轴线成45度角的线应变为度角的线应变为B4.26104。求外载荷。求外载荷M1、M2。ABM1M26、大体积刚块上有一圆孔，孔的直径为、大体积刚块上有一圆孔，孔的直径为D5.001厘厘米。孔内放一直径为米。孔内放一直径为5厘米的圆柱，圆柱上承厘米的圆柱，圆柱上承受受P300K
48、N的压力，圆柱材料的弹性模量为的压力，圆柱材料的弹性模量为E200GP，泊松比，泊松比0.3。求圆柱内的三个主应力。求圆柱内的三个主应力。P7、薄壁圆筒的内径为、薄壁圆筒的内径为D60毫米，壁厚毫米，壁厚1.5毫米。毫米。承受的内压为承受的内压为6MP，力偶为，力偶为M1KN。材料的弹性模量为材料的弹性模量为E200GP，泊松比，泊松比0.3。求求A点与轴线成点与轴线成45度角的线应变。度角的线应变。M45A8、直径为、直径为D20毫米的实心轴，受力偶毫米的实心轴，受力偶M126N的作用。测定的作用。测定A点与轴线成点与轴线成45度角的线应变为度角的线应变为A5104，材料的泊松比，材料的泊松
49、比0.25。求材料的弹性。求材料的弹性模量模量E与剪变模量与剪变模量G。M45A9、已知矩形截面简支梁的横截面尺寸宽、已知矩形截面简支梁的横截面尺寸宽60毫毫米，高米，高100毫米。梁的跨度为毫米。梁的跨度为L3米，载荷米，载荷F作用在梁的中点。图示中作用在梁的中点。图示中K点的两个主应变为点的两个主应变为15104，21.65104。材料的弹性模量为。材料的弹性模量为E200GP，泊松比，泊松比0.3。求主应力。求主应力1、2、及力及力FF1mK30bhK10、已知矩形截面杆宽、已知矩形截面杆宽b=40mm，高，高h=2b。材料的弹。材料的弹性模量为性模量为E200GP，泊松比，泊松比0.3
50、。测定。测定A、B二点沿轴向的线应变分别为二点沿轴向的线应变分别为A100106，B300106。求外载荷。求外载荷P、M。bhABPM11、等截面圆轴的直径为、等截面圆轴的直径为D40毫米，材料的弹性模量毫米，材料的弹性模量为为E200GP，泊松比，泊松比0.25。测定。测定A点与轴线成点与轴线成45o角的线应变分别为角的线应变分别为45-146106，-45446106。求外载荷。求外载荷P、M；如果构件的许用应力为；如果构件的许用应力为120MP，校核强度。，校核强度。PMAA11、矩形截面悬臂梁的截面宽、矩形截面悬臂梁的截面宽50毫米，高毫米，高100毫米。梁长毫米。梁长L1米，米，P
51、20KN。材料的弹性模量为。材料的弹性模量为E200GP，泊松比，泊松比0.3。求。求K点与轴线成点与轴线成30度度角方向上的线应变。角方向上的线应变。PbhL/2K3012、矩形截面简支梁跨度为、矩形截面简支梁跨度为L，在梁的中性层上贴应，在梁的中性层上贴应变片测得与轴线成变片测得与轴线成角的线应变为角的线应变为，材料的弹性，材料的弹性模量为模量为E，泊松比，泊松比，均已知。求载荷，均已知。求载荷FbhKFK0.3L0.5L13、圆截面杆的直径为、圆截面杆的直径为D，材料的弹性模量为，材料的弹性模量为E，泊松比泊松比，A处的两个主应变处的两个主应变1、3已知。求力已知。求力PaAM=PaaP
52、14、圆截面杆的直径为、圆截面杆的直径为D20毫米，材料的弹性模量毫米，材料的弹性模量为为E200GP，泊松比，泊松比0.3。测的构件表面上。测的构件表面上一点一点A的三个方向的线应变分别为：轴线方向的三个方向的线应变分别为：轴线方向a320106，与轴线垂直方向，与轴线垂直方向b96105，与轴线，与轴线成成45度角方向度角方向c565106，求外载荷，求外载荷P、MAMAPabc15、255的矩形截面钢杆竖放，用应变片测得杆件的矩形截面钢杆竖放，用应变片测得杆件的上、下表面轴向线应变分别为的上、下表面轴向线应变分别为a=1103，b=0.4103，材料的弹性模量为，材料的弹性模量为E200
53、GPa，绘制横截面上正应力的分布图绘制横截面上正应力的分布图求拉力求拉力P及偏心及偏心距离距离e。abPe1、广义虎克定律、广义虎克定律i=(i-u(j+k)/E 适用于适用于 。A：弹性体；：弹性体； B：线弹性体；：线弹性体； C：各向同性弹性体；：各向同性弹性体；D：各向同性线弹性体；：各向同性线弹性体；2、矩形板、矩形板ABCD，在，在AD、BC上作用有均匀压力上作用有均匀压力P1，在，在AB、CD上作用有均匀压力上作用有均匀压力P2，欲使，欲使AD、BC二面的相对距离保持不变，那么二面的相对距离保持不变，那么P1/P2=?ABCDP1P233 3、材料的、材料的弹弹性模量性模量E E
54、，泊松比，泊松比已知，已知，则则最大最大线应变线应变1 1=?=?ab4 4、圆圆板在受力前画二个板在受力前画二个圆圆，受均匀，受均匀载载荷的作用，受荷的作用，受力后二力后二圆圆会会变变成什麽形状成什麽形状( (圆圆、椭圆椭圆) )？5 5、受扭、受扭圆轴圆轴上上贴贴三个三个应变应变片，片，实测时应变实测时应变片的片的读读数数几乎是零？几乎是零？1236、工字形截面梁、工字形截面梁E200GP，在力偶，在力偶M的作用下的作用下测测定定A处纵处纵向向线应变线应变=310-4,那么梁内最大的正那么梁内最大的正应应力力 。A：30MP ；B：60 MP；C：120 MP D：180 MPAaaa7、
55、在下列说法中哪一个正确？、在下列说法中哪一个正确？A：在有正应力的方向必有线应变；：在有正应力的方向必有线应变；B：无正应力的方向必无线应变；：无正应力的方向必无线应变；C：线应变为零的方向正应力必为零；：线应变为零的方向正应力必为零；D：正应力最大的方向线应变也最大；：正应力最大的方向线应变也最大；8 8、已知、已知单单元体的元体的1 1、2 2、E E、,主主应变应变1 1、2 2均已知，那么均已知，那么3 3？ A：-(1+2) B：-(1+2) /EC：-(1+2) /E D：0129 9、现现有两个有两个单单元体，比元体，比较较x x与与y y： 。A A：x x、y y均相等；均相
56、等； B B：x x、y y均不等；均不等；C C：x x相等、相等、y y不等；不等； D D：x x不等、不等、y y相等。相等。xyxy 体应体应体应体应变变变变变形前单元体体积：变形前单元体体积：变形后单元体体积：变形后单元体体积：cba单位体积变形：单位体积变形：（体积应变）（体积应变）（体积应变）（体积应变）利用广义胡克定律：利用广义胡克定律：（体积弹性模量）（体积弹性模量）（体积弹性模量）（体积弹性模量）（平均正应力）（平均正应力）（平均正应力）（平均正应力）（体积变形（体积变形（体积变形（体积变形 虎克定律）虎克定律）虎克定律）虎克定律）讨论：讨论：讨论：讨论：1、单位体积变形
57、、单位体积变形 只与三个主应力之和有关，与主应只与三个主应力之和有关，与主应 力的大小比例无关。力的大小比例无关。2、因为、因为 ，因此，因此 与取轴方向无关，且三与取轴方向无关，且三 个相互垂直面上的正应变之和不变。个相互垂直面上的正应变之和不变。例如例如纯剪切应力状态纯剪切应力状态： 45453、若、若 或或 ，则，则 ，即体积不变。但，即体积不变。但 因此仅当因此仅当 时，时，结论：结论：纯剪切应力状态，具有体积不变性。说明体积纯剪切应力状态，具有体积不变性。说明体积纯剪切应力状态，具有体积不变性。说明体积纯剪切应力状态，具有体积不变性。说明体积改变与剪应力改变与剪应力改变与剪应力改变与
58、剪应力 无关；无关；无关；无关；但形状有改变，即形状但形状有改变，即形状但形状有改变，即形状但形状有改变，即形状改变与剪应力有改变与剪应力有改变与剪应力有改变与剪应力有关。关。关。关。1 1、微元应变能、微元应变能、微元应变能、微元应变能dydxdz7-9 7-9 7-9 7-9 复杂应力状态的复杂应力状态的复杂应力状态的复杂应力状态的应变能密度应变能密度应变能密度应变能密度力与力的作用点的位移力与力的作用点的位移U=dW=应变能应变能2 2、应变比能、应变比能、应变比能、应变比能体积改变能密度体积改变能密度体积改变能密度体积改变能密度不改变形状，但改变体积不改变形状，但改变体积不改变形状，但改变体积不改变形状，但改变体积形状改变比能形状改变比能形状改变比能形状改变比能( ( ( (畸变能密度畸变能密度畸变能密度畸变能密度) ) ) )不改变体积，但改变形状不改变体积，但改变形状不改变体积，但改变形状不改变体积，但改变形状返回到本章目录返回到本章目录
