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1、Probability Theory and Mathematical Statistics29 八月八月 20243第四章 随机变量的数字特征 本章主要内容 1 数学期望数学期望 2 方方 差差 3 协方差与相关系数协方差与相关系数 29 八月八月 20244 在第二、三章我在第二、三章我们讨论了随机了随机变量的分布，量的分布，这是是关于随机关于随机变量的一种完整性描述但在量的一种完整性描述但在实际问题中，中，要确定一个随机要确定一个随机变量的分布往往是比量的分布往往是比较困困难的另一的另一方面，在某些方面，在某些实际问题中，未必一定需要去全面考察中，未必一定需要去全面考察随机随机变量的量的
2、变化情况，而只需知道随机化情况，而只需知道随机变量的某些特量的某些特征，因而并不需要求出它的分布函数例如，气象分征，因而并不需要求出它的分布函数例如，气象分析中常常考察某一析中常常考察某一时段的雨量、湿度和日照等气象要段的雨量、湿度和日照等气象要素的平均素的平均值和极端和极端值以判定气象情况，而不必掌握每以判定气象情况，而不必掌握每一个气象一个气象变量的分布函数在量的分布函数在这些用来作些用来作为显示随机示随机变量分布特征的数字中，最重要的就是随机量分布特征的数字中，最重要的就是随机变量的数量的数学期望、方差以及各学期望、方差以及各阶矩本章主要矩本章主要讨论随机随机变量的量的常用数字特征：常用
3、数字特征：数学期望、方差、相关系数数学期望、方差、相关系数和矩和矩 4.1 数学期望 29 八月八月 202454.1 数学期望 一、数学期望的概念一、数学期望的概念 从分布律并不能直从分布律并不能直观地看出答案，地看出答案，这说明分布律明分布律虽然完整然完整地描述了随机地描述了随机变量，但却不量，但却不够“集中集中”地反映出它的地反映出它的变化情化情况因此我况因此我们有必要找出一些量来更集中、更概括地描述有必要找出一些量来更集中、更概括地描述随机随机变量，量，这些量常是某种平均些量常是某种平均值 29 八月八月 202464.1 数学期望 29 八月八月 20247定义定义1.1 4.1 数
4、学期望 29 八月八月 202484.1 数学期望 29 八月八月 202494.1 数学期望 29 八月八月 2024104.1 数学期望 29 八月八月 2024114.1 数学期望 29 八月八月 202412例例1-5 (一种一种验血新技血新技术)在一个很多人的在一个很多人的团体中普体中普查某某种疾病，种疾病，为此要抽此要抽验N个人的血，可以用两种方法个人的血，可以用两种方法进行：行：(1)将每个人的血分将每个人的血分别去去验，这就需就需验N次；次；(2)按按k个人一个人一组进行分行分组，把从，把从k个人抽来的血混合在一起个人抽来的血混合在一起进行行检验，如果如果这个混合血液呈阴性反个
5、混合血液呈阴性反应，就，就说明明k个人的血都呈阴个人的血都呈阴性反性反应，这样，这k个人的血就只需个人的血就只需验一次若呈阳性，一次若呈阳性，则再再对这k个人的血液分个人的血液分别进行化行化验这样这k个人的血个人的血总共要化共要化验k+1次假次假设每个人化每个人化验呈阳性的概率呈阳性的概率为p，且且这些人的些人的试验反反应是相互独立的是相互独立的试说明当明当p较小小时，选取适当的取适当的k，按第二种方法可以减少化，按第二种方法可以减少化验次数，并次数，并说明明k取什么取什么值最适宜最适宜 4.1 数学期望 29 八月八月 2024134.1 数学期望 29 八月八月 2024144.1 数学期
6、望 29 八月八月 2024154.1 数学期望 29 八月八月 2024164.1 数学期望 29 八月八月 2024174.1 数学期望 29 八月八月 2024184.1 数学期望 29 八月八月 2024194.1 数学期望 29 八月八月 2024204.1 数学期望 29 八月八月 202421二、二、 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 4.1 数学期望 29 八月八月 2024224.1 数学期望 29 八月八月 2024234.1 数学期望 29 八月八月 2024244.1 数学期望 29 八月八月 2024254.1 数学期望 29 八月八月 2024264.1
7、 数学期望 29 八月八月 202427例例1-12 假设市场上对某种产品每年的需求量为假设市场上对某种产品每年的需求量为X(吨吨)，它服从它服从2000， 4000上的均匀分布己知每出售上的均匀分布己知每出售1吨产品吨产品可赚可赚3万元；若售不出去，则每吨需付仓库保管费万元；若售不出去，则每吨需付仓库保管费1万元万元试问每年应进该产品多少吨，才能使销售商获得的平均收试问每年应进该产品多少吨，才能使销售商获得的平均收益最大？并求最大平均收益益最大？并求最大平均收益 4.1 数学期望 29 八月八月 2024284.1 数学期望 29 八月八月 202429三、三、 数学期望的性质数学期望的性质
8、 (1) 设C是常数，是常数，则有有E(C)=C (2) 设X是随机是随机变量，量，C是常数，是常数，则有有E(CX)=CE(X) (3) 设X，Y是随机是随机变量，量，则有有E(X+Y)=E(X)+E(Y) 这一性一性质可推广到有限个随机可推广到有限个随机变量之和的情况量之和的情况结合合(2)和和(3)，我，我们有有 对于任意的常数于任意的常数a,b，随机，随机变量量X,Y，则 E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y) (4) 设X，Y是相互独立的随机是相互独立的随机变量，量，则有有 E(XY)= E(X) E(Y) 这一性一性质可推广到有限个相互独立的随机可推广到有限个相互独立的随机变量之
9、量之积的情况的情况 4.1 数学期望 29 八月八月 202430我我们来来证明明(3)和和(4)我我们仅就就连续型情形型情形给出出证明，离散型明，离散型情形情形类似可似可证 4.1 数学期望 29 八月八月 202431性质性质(4)得证得证 例例1-13 设随机随机变量量XB(n,p)，试利用性利用性质求求E(X) 4.1 数学期望 29 八月八月 2024324.1 数学期望 29 八月八月 202433将随机将随机变量分解量分解为有限个有限个简单随机随机变量之和，然后利用量之和，然后利用性性质(3)来求来求E(X)，这种方法有着普遍的意种方法有着普遍的意义 例例1-14 一民航送客一民
10、航送客车载有有20位旅客自机位旅客自机场开出，旅客开出，旅客有有10个个车站可以下站可以下车如到达一个如到达一个车站没有旅客下站没有旅客下车就就不停不停车以以X表示停表示停车的次数，求平均停的次数，求平均停车次数次数E(X)(设每位旅客在各个每位旅客在各个车站下站下车是等可能的，并是等可能的，并设各旅客是否各旅客是否下下车相互独立相互独立) 4.1 数学期望 29 八月八月 2024344.1 数学期望 29 八月八月 2024354.1 数学期望 返回返回29 八月八月 2024364.2 方 差 29 八月八月 202437一、 方差的概念 4.2 方 差 29 八月八月 2024384.
11、2 方 差 29 八月八月 2024394.2 方 差 29 八月八月 2024404.2 方 差 29 八月八月 2024414.2 方 差 29 八月八月 2024424.2 方 差 29 八月八月 2024434.2 方 差 29 八月八月 2024444.2 方 差 29 八月八月 202445二、 方差的性质 4.2 方 差 29 八月八月 2024464.2 方 差 29 八月八月 2024474.2 方 差 29 八月八月 2024484.2 方 差 29 八月八月 2024494.2 方 差 29 八月八月 2024504.2 方 差 29 八月八月 202451定义定义 4.
12、2 方 差 29 八月八月 2024524.2 方 差 29 八月八月 2024534.2 方 差 29 八月八月 202454返回返回4.2 方 差 29 八月八月 2024554.3 协方差与相关系数 29 八月八月 202456一、协方差及相关系数的定义一、协方差及相关系数的定义 定义定义3.1 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)，如果，如果EX-E(X)Y-E(Y)存存在，则称在，则称EX-E(X)Y-E(Y)为随机变量为随机变量X X与与Y Y的的协方差协方差记记为为Cov(X,Y)，即，即Cov(X,Y)= EX-E(X)Y-E(Y) 4.3 协方差与相关系数 29 八月八月
13、2024574.3 协方差与相关系数 29 八月八月 202458二、协方差与相关系数的性质二、协方差与相关系数的性质 4.3 协方差与相关系数 29 八月八月 2024594.3 协方差与相关系数 29 八月八月 2024604.3 协方差与相关系数 29 八月八月 2024614.3 协方差与相关系数 29 八月八月 2024624.3 协方差与相关系数 29 八月八月 202463注意：注意：4.3 协方差与相关系数 29 八月八月 2024644.3 协方差与相关系数 29 八月八月 2024654.3 协方差与相关系数 29 八月八月 2024664.3 协方差与相关系数 29 八月八月 202467三、矩三、矩 4.3 协方差与相关系数
