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1、第六节第六节 定定积积分的几何分的几何应应用用引引 从定积分的定义可知，定积分可以用于求解曲边从定积分的定义可知，定积分可以用于求解曲边梯形的面积梯形的面积. .那么定积分在几何上还有其它方面的应那么定积分在几何上还有其它方面的应用吗？定积分应用的一般方法和步骤是什么呢？用吗？定积分应用的一般方法和步骤是什么呢？一、微元法一、微元法 微元法也称微元分析法微元法也称微元分析法, 它是定积分应用的基础它是定积分应用的基础, 给出了用定积分方法解决各种求和问题的一般方法给出了用定积分方法解决各种求和问题的一般方法. 定积分作为一种数学方法定积分作为一种数学方法, 研究的是某些量的计算问研究的是某些量
2、的计算问题题. 记所研究的量为记所研究的量为 Q , 量量 Q 如果符合下列条件如果符合下列条件: (1) Q 是与一个变量是与一个变量 x 的变化区间的变化区间a, b有关的量有关的量; (2) Q 对于区间对于区间 a , b 具有可加性具有可加性, 也就是说也就是说, 如如果把区间果把区间 a , b 分成许多部分区间分成许多部分区间, 则则 Q 相应地分相应地分成许多部分量成许多部分量, 而而 Q 等于所有部分量之和等于所有部分量之和; (3) Q = dQ ( x ) + o ( x ). 则整体量则整体量 微元法或微元分析法遵循如下三个步骤微元法或微元分析法遵循如下三个步骤: 第一
3、步第一步: 确定整体量确定整体量 Q 的变化区间的变化区间, 比如比如 Q ( x ) 的变化区间为的变化区间为 a , b . 第二步第二步: 对具有可加性的对具有可加性的 Q ( x ) , 考察增量考察增量 Q ( x ) , 如能写成如能写成 Q ( x) = dQ ( x ) + o ( x ) .第三步第三步: 求出整体量求出整体量 Q , 即即 由于第二步考证比较复杂由于第二步考证比较复杂, 在以后的讨论中在以后的讨论中, 一般略一般略去这一步去这一步. 二、平面图形的面积二、平面图形的面积 由定积分的几何意义知由定积分的几何意义知, 在区间在区间 a , b 上上, 当当 f
4、( x ) 0时时, 由连续曲线由连续曲线 y = f ( x ) , 直线直线 x = a , x = b 与与 x 轴轴所围成的曲边梯形的面积为所围成的曲边梯形的面积为 其中被积表达式其中被积表达式 f ( x ) dx 是是直角坐标系下的面积元素直角坐标系下的面积元素, 它它表示高为表示高为 f ( x ), 底为底为 dx 的的小矩形面积小矩形面积, 见图见图5-7. y = f (x)f (x)xyax x + dxbOdA 一般地一般地, 平面图形以连续曲线平面图形以连续曲线 y = f ( x )与与 y = g ( x )为上下曲边的曲边形的面积元素为为上下曲边的曲边形的面积元
5、素为dA = f (x) g (x)dx.这样这样, 由由 x = a , x = b , y = f ( x ) 和和 y = g ( x ) 所所围图形围图形( 如图如图5 8 ) 的面积为的面积为 y = f (x)xyax x + dxbOy = g (x) 类似地类似地, 若平面图形由连续曲线若平面图形由连续曲线 x = ( y ) 与与 x = ( y ) 及直线及直线 y = c , y = d 围成围成, 见图见图5 8 , 则其面积为则其面积为 x = (y)x = (y)Oxycdyy + dy 例例1 求由曲线求由曲线 y = x 2 与与 y = 2 x 2 所围成的平
6、面所围成的平面图形的面积图形的面积. 解解 解方程组解方程组 求得两抛物线的交点求得两抛物线的交点 为为( 1 , 1 ) , ( 1 , 1 ) , 故所求平面图形故所求平面图形 ( 如图如图5 10 )的面积为的面积为 (1, 1)(-1, 1)Oxy1-1y = x 2y = 2 - x 2x x+dx 例例2 求由抛物线求由抛物线 y 2 = 2 x 及直线及直线 y = x 4 所围图所围图形的面积形的面积. 解解 解方程组解方程组 得交点为得交点为( 2, 2 ), ( 8 , 4 ), 见图见图5 11 . 故所求平面图形的面积为故所求平面图形的面积为 yy 2= 2xy = x
7、 - 4(8, 4)(-2, 2)4-2Oxyy + dy以以 y 为积分变量为积分变量, 则则 y -2, 4, 面积元素面积元素为为 例例3 求椭圆求椭圆 所围成区域的面积所围成区域的面积. 解解 椭圆关于坐标轴对称椭圆关于坐标轴对称, 见图见图5 12 , yOxx x + dxba它在第一象限部分面积的它在第一象限部分面积的4倍倍, 因此因此 所求面积为所求面积为三、旋转体的体积三、旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体线旋转一周而成的立体, 这条直线叫做旋转轴这条直线叫做旋转轴. 由连续曲线由连续曲线 y =
8、 y ( x ) , 直线直线 x = a , x = b 及及 x 轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体轴旋转一周所得的旋转体的体积可用定积分计算的体积可用定积分计算. 以以 x 为积分变量为积分变量, x a , b 取取 x, x+dx a , b , 在在 x , x + dx上立体的体积可以近似看成以上立体的体积可以近似看成以 y (x) 为底为底面面yOxxx+dxy = f (x)ab元素为元素为 dV = f ( x ) 2 dx. 旋转体的体积为旋转体的体积为 半径半径, 高为高为 dx 的小圆柱体的体积的小圆柱体的体积, 见图见图5-17,
9、则体积则体积 类似地类似地, 如果旋转体是由连续曲线如果旋转体是由连续曲线 x = ( y ) , 直直线线 y = c , y = d 及及 y 轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转轴旋转yOxdx = (y)一周而成的立体一周而成的立体, 见图见图5 18 , 则体积为则体积为例例4 计算由椭圆计算由椭圆 所围成的图形所围成的图形 绕绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积轴旋转一周而成的旋转体的体积. 解解 这个旋转体可以看成由半个椭圆这个旋转体可以看成由半个椭圆 而成的立体而成的立体, 见图见图5-19, 及及 x 轴围成的图形绕轴围成的图形绕 x 轴旋转一周轴旋转一周图图
10、5-19yOxx x+dxab特殊地特殊地, 当当 a = b 时时, 得球的体积得球的体积 例例5 求曲线求曲线 y = sin x ( 0 x ) 及及 x 轴所围成的轴所围成的图形绕图形绕 y 轴旋转所成的旋转体的体积轴旋转所成的旋转体的体积. 解解 选选 y 为积分变量为积分变量, 则平面图形必定是与则平面图形必定是与 y 轴轴围成的围成的. 因此因此, 曲线弧曲线弧 y = sin x ( 0 x ) 必须分成必须分成左、右两条曲线弧左、右两条曲线弧, 其方程分别表示成其方程分别表示成 x = arcsin y , x = arcsiny , 见图见图. 图图 5-20yO x /2
11、CBx = - arcsinyx = arcsinyA所得旋转体的体积可以看成平面图形所得旋转体的体积可以看成平面图形 OABC 和和 OBC 分别绕分别绕 y 轴旋转所成的旋转体的体积之差轴旋转所成的旋转体的体积之差. 利用旋转体的体积公式得利用旋转体的体积公式得 由曲线由曲线 y = f ( x ) , 直线直线 x = a , x = b 及及 x 轴所围轴所围成的曲边梯形绕成的曲边梯形绕 y 轴旋转所成的旋转体的体积的计算轴旋转所成的旋转体的体积的计算还可以从另一个角度考虑还可以从另一个角度考虑. 取取 x , x + dx a , b , 以以 x , x + dx 为底为底, y
12、= f ( x ) 为曲边的小曲边梯形绕为曲边的小曲边梯形绕 y 轴旋转可以近似看成两个圆柱轴旋转可以近似看成两个圆柱体的体积差体的体积差, yxay = f (x)xx+dxb设设 f (x) 0, 以以 x 为积分变量为积分变量, x a, b,如图如图,即即 (x +dx)2f (x) - (dx)2 f (x) = 2 x f (x)dx - f (x)(dx)2. 利用上述公式计算例利用上述公式计算例5, 则有则有 上式中后一项是前一项关于上式中后一项是前一项关于 dx 的高阶无穷小的高阶无穷小, 因此体因此体积元素为积元素为 dV = 2 s f ( x ) dx . 旋转体的体积为旋转体的体积为
