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1、2.3.1 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程二二0 0一三年一三年2 2月月肇庆市第一中学肇庆市第一中学 姚河生姚河生椭圆的定义？椭圆的定义？探索研究平面内与两个定点平面内与两个定点F1、F2的的距离的和距离的和等于常数（大于等于常数（大于F1F2）的点轨迹叫做椭圆。）的点轨迹叫做椭圆。思考思考：如果把椭圆定义中的如果把椭圆定义中的“距离之和距离之和”改为改为“距距离之差离之差”，那么点的轨迹是怎样的曲线？，那么点的轨迹是怎样的曲线？即“平面内与两个定点平面内与两个定点F1、F2的距离的差等于常数的距离的差等于常数的点的轨迹的点的轨迹 ”是什么？如图如图如图如图(A)(A)， |MF1|-
2、|MF2|=|F2F|=2a如图如图如图如图(B)(B)，|MF2|- -|MF1|=2a由由由由可得：可得：可得：可得： | |MF1|- -|MF2| | = 2a （差的绝对值差的绝对值）上面上面上面上面 两条曲线两条曲线两条曲线两条曲线合起来叫做合起来叫做合起来叫做合起来叫做双曲线双曲线双曲线双曲线, ,每一条叫做双曲线每一条叫做双曲线每一条叫做双曲线每一条叫做双曲线的一支。的一支。的一支。的一支。看图分析动点看图分析动点M满足的条件：满足的条件：双曲线的定义 平面内与两定点平面内与两定点F F1 1，F F2 2 的距离的差的绝对值等的距离的差的绝对值等 于常数（小于于常数（小于|F
3、|F1 1F F2 2|)|)的点的轨迹叫做双曲线的点的轨迹叫做双曲线. .F1,F2 -焦点焦点|F1F2| -焦距记为焦距记为2c| |MF1| - |MF2| | = 2aF2F1M(这里这里ca)设设M（x , y）,双曲线的焦双曲线的焦距为距为2c（c0）,F1(-c,0),F2(c,0)常数为常数为2aM以以F1,F2所在的直线为所在的直线为X轴，线轴，线段段F1F2的中点的中点o o为原点建立直角为原点建立直角坐标系坐标系1. 建系建系. .2.设点设点3.列式列式|MF1| - |MF2|= 2a如何求这优美的曲线的方程？如何求这优美的曲线的方程？4.4.化简化简. .F1F2
4、xOy焦点在焦点在y轴上的双曲线轴上的双曲线的标准方程是什么？的标准方程是什么？想一想想一想化简为：化简为：F1 (0,-c) , F2 (0,c)三三. .双曲线两种标准方程的比较双曲线两种标准方程的比较 方程用方程用“”号连接。号连接。 分母是分母是 但但 大小不定。大小不定。 。 如果如果 的系数是正的，则焦点在的系数是正的，则焦点在 轴上；如果轴上；如果 的系数是正的，则的系数是正的，则焦点在焦点在 轴上。轴上。OMF2F1xyF2F1MxOy定定 义义 方方 程程 焦焦 点点a.b.c的关的关系系F（c，0）F（c，0）a0，b0，但，但a不一不一定大于定大于b，c2=a2+b2ab
5、0，a2=b2+c2四、双曲线与椭圆之间的区别与联系四、双曲线与椭圆之间的区别与联系|MF1|MF2|=2a |MF1|+|MF2|=2a 椭椭 圆圆双曲线双曲线F（0，c）F（0，c）例例1、已知双曲线的焦点为已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6，则，则 (1) a=_ , c =_ , b =_ (2) 双曲线的标准方程为双曲线的标准方程为_(3)双曲线上一点，双曲线上一点，若若 |PF1|=10, 则则|PF2|=_3544或或16| |PF1| - |PF2| | =6题后反思：求标准方程要做
6、到求标准方程要做到先定型，后定量。先定型，后定量。例例2 已知双曲线的焦点在已知双曲线的焦点在x轴上，并且双曲线上轴上，并且双曲线上 的两点的两点P1、P2的坐标分别（的坐标分别（ ），）， （ ），求双曲线的标准方程。），求双曲线的标准方程。 设法一：设法一：设法二：设法二：设法三：设法三：变式变式 已知双曲线上的两点已知双曲线上的两点P1、P2的坐标分别为的坐标分别为 （ ），（），（ ），求双曲线的），求双曲线的 标准方程。标准方程。 这些方法叫待定系数法随堂练习随堂练习变式变式变式变式: : 上述方程表示双曲线，则上述方程表示双曲线，则上述方程表示双曲线，则上述方程表示双曲线，则mm的
7、取值范围是的取值范围是的取值范围是的取值范围是 _m2或或m1求适合下列条件的双曲线的标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程a=4,b=3，焦点在，焦点在x轴上；轴上；焦点为焦点为(0,6),(0,6)，经过点，经过点(2,5)已知方程已知方程 表示焦点在表示焦点在y轴的轴的双曲线，则实数双曲线，则实数m的取值范围是的取值范围是_m2 使使A、B两点在两点在x轴上，并轴上，并且点且点O与线段与线段AB的中点重合的中点重合解解: : 由声速及在由声速及在A A地听到炮弹爆炸声比在地听到炮弹爆炸声比在B B地晚地晚2 2s, ,可知可知A A地与爆炸点地与爆炸点的距离比的距离比B B地与爆炸点的
8、距离远地与爆炸点的距离远680680m. .因为因为|AB|680|AB|680m, ,所以所以爆炸点的爆炸点的轨迹是以轨迹是以A A、B B为焦点的双曲线在靠近为焦点的双曲线在靠近B B处的一支上处的一支上. . 例例2 2已知已知A,BA,B两地相距两地相距800800m, ,在在A A地听到炮弹爆炸声比在地听到炮弹爆炸声比在B B地地晚晚2 2s, ,且声速为且声速为340340m/ /s, ,求炮弹爆炸点的轨迹方程求炮弹爆炸点的轨迹方程. .如图所示，建立直角坐标系如图所示，建立直角坐标系xO Oy, ,设爆炸点设爆炸点P的坐标为的坐标为( (x, ,y) )，则则即即 2a=680，a=340xyoPBA因此炮弹爆炸点的轨迹方程为因此炮弹爆炸点的轨迹方程为1、双曲线及其焦点，焦距的定义，双曲线的标准方程、双曲线及其焦点，焦距的定义，双曲线的标准方程 以及方程中的以及方程中的abc之间的关系之间的关系课时小结：课时小结：2、焦点位置的确定方法、焦点位置的确定方法3、求双曲线标准方程关键（定位，定量）、求双曲线标准方程关键（定位，定量）作业作业 ：P54 习题习题2.3 A. 2
