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1、3.2 2 连续函数的性质 一、连续函数的局部性质一、连续函数的局部性质四、初等函数的连续性性四、初等函数的连续性性三、反函数的连续性三、反函数的连续性二、闭区间上连续函数的性质二、闭区间上连续函数的性质一、连续函数性质一、连续函数性质1 1、连续函数的四则运算性、连续函数的四则运算性定理定理 证证 定理22 2、复合函数的连续性、复合函数的连续性于是于是3、连续函数的局部有界性、连续函数的局部有界性故故证证定理定理4（局部有界性）（局部有界性）则则这就证明了4 4、连续函数的局部保号性、连续函数的局部保号性定理定理3（局部保号性）局部保号性）则则, )0)(0)(00 xfxf或或 均有均有
2、使得对一切使得对一切存在存在,0DxDx 二、闭区间上连续函数的性质二、闭区间上连续函数的性质定义定义若若点点, ,一、最大(小)值的定义1.闭区间上连续函数性质闭区间上连续函数性质定理定理（最大、最小值定理） 定理定理 ( (有界性有界性) ) 引理引理（零点定理）零点定理）则至少存在一点则至少存在一点使使定理定理（介值性定理）（介值性定理）上连续上连续, ,则则( (至少至少) )存在一点存在一点定理定理（介值性（介值性)上连续上连续, ,则则( (至少至少) )存在一点存在一点证证 不妨设不妨设 f (x) 严格增严格增, 那么那么 就是反就是反上连续上连续, 且与且与 f (x) 有相
3、同的单调性有相同的单调性.定理定理4.8 若函数若函数 f (x) 在在上严格单调且连续上严格单调且连续,则反函数则反函数三、反函数的连续性函数的定义域函数的定义域.1. 加加2. (如图所示如图所示)每一每一对应对应任给任给取取对应对应请请读者类似地证明该函数在端点的连续性读者类似地证明该函数在端点的连续性.这就说明了这就说明了上连续上连续.对于任意的正数对于任意的正数且严格增且严格增. 关于其它的反三角函数关于其它的反三角函数均可得到在定义域内连续的结论均可得到在定义域内连续的结论.例例 因此它的反函数因此它的反函数上也是连续上也是连续严格增严格增.例例连续且严连续且严在上亦为连续且在上亦
4、为连续且格增格增, 那么其反函数那么其反函数三、初等函数的连续性我们已经知道以下函数在定义域内是连续的我们已经知道以下函数在定义域内是连续的(i) 常常值函数值函数; (vi) 对数函数对数函数.(v) 指数函数指数函数;(iv) 幂函数幂函数;(iii) 反三角函数反三角函数;(ii) 三角函数三角函数;以上六种函数称为基本初等函数以上六种函数称为基本初等函数. 因为连续函数因为连续函数由上面的分析由上面的分析, 我们得到如下结论：我们得到如下结论：定义定义 由基本初等函数经过有限次四则运算与复由基本初等函数经过有限次四则运算与复上是连续的上是连续的. 合之后产生的新函数在其定义区间（如果存
5、在）合之后产生的新函数在其定义区间（如果存在）的基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复的基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复的四则运算与复合运算是保连续的，所以由上面的四则运算与复合运算是保连续的，所以由上面合运算所产生的函数称为初等函数合运算所产生的函数称为初等函数. 例例 求极限求极限定理定理 初等函数在其有定义的区间上是连续的初等函数在其有定义的区间上是连续的. 解解 因为因为是是初等函数初等函数, 所以在所以在 处连续处连续,从而从而例例 据理说明据理说明不是初等函数不是初等函数.解解 因为因为是是的的定义区间上的点定义区间上的点, 而而所以所以 在在 处不连续处不连续. 因此函数因此函数 不是初不是初等函数等函数.
