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1、第四节第四节一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸性与拐点二、曲线的凹凸性与拐点函数的单调性与函数的单调性与 曲线的凹凸性曲线的凹凸性 第三章第三章 一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法定理定理1.证证: :应用拉氏定理应用拉氏定理, ,得得例例1解：解：说明说明: :导数等于零的点导数等于零的点( (即即驻点驻点) )划分函数的定义划分函数的定义区间为两个具有单调性的区间区间为两个具有单调性的区间. .例例2解：解：说明说明: :导数不存在的点划分函数的定义区间为两导数不存在的点划分函数的定义区间为两个具有单调性的区间个具有单调性的区间. .注注: : 函数在定
2、义区间上不是单调的函数在定义区间上不是单调的, , 但在各个部但在各个部分区间上单调分区间上单调. .定义定义: :若函数在其定义域的某个区间内是单调的若函数在其定义域的某个区间内是单调的, , 则该区间称为函数的则该区间称为函数的单调区间单调区间. .说明：说明：驻点和导数不存在的点驻点和导数不存在的点, , 可能是单调区间可能是单调区间的分界点的分界点. .求单调区间的方法求单调区间的方法: :例例3. 确定函数确定函数的单调区间的单调区间.解解:(2) 求驻点求驻点:单调增加单调增加区间区间:单调减少单调减少区间区间:(1) 定义域定义域:(3) 列表判断列表判断:例例4. 确定函数确定
3、函数的单调区间的单调区间.解解:单调增加单调增加区间区间:单调减少单调减少区间区间:0(2) 求驻点求驻点:(1) 定义域定义域:(3) 列表判断列表判断:例例5证：证：例例6.证证: :证毕证毕. .例例7.证：证：令令(1) 存在性存在性.例例7.(2) 唯一性唯一性. .证证: :三、曲线的凹凸性与拐点三、曲线的凹凸性与拐点弧弧 ADB 是是凹凹的的;弧弧 ACB 是是凸凸的的.CD定义定义: : 设函数设函数在区间在区间 I 上连续上连续 ,(1) 若恒有若恒有则称则称图形是图形是(向上向上)凹凹的的(或或凹弧凹弧);(2) 若恒有若恒有则称则称图形是图形是(向上向上)凸凸的的(或或凸
4、弧凸弧) .定理定理2.(1) x (a, b):则则f (x)在在a, b图形是图形是凹凹的的 ;(2) x (a, b) :则则f (x)在在a, b图形是图形是凸凸的的.证证:利用一阶泰勒公式可得利用一阶泰勒公式可得两式相加两式相加说明说明 (1) 成立成立;(2)设函数设函数证毕证毕例例9.解解:定义域定义域: : D = (0, ).例例10.解解:2. 曲线在点曲线在点(0,0)两侧的凹凸性发生改变两侧的凹凸性发生改变.说明说明: 1. 二阶导数等于零的点二阶导数等于零的点划分函数的定义区间划分函数的定义区间为两个凹凸区间为两个凹凸区间;xy00定义域定义域: : D = (, )
5、.例例11. 判定曲线判定曲线的凹凸性的凹凸性. 解解:不存在不存在说明说明: :二阶导数不存在的点二阶导数不存在的点划分函数的定义区间划分函数的定义区间为两个凹凸区间为两个凹凸区间; ;定义域定义域: : D = (, ).若连续曲线若连续曲线 y = f (x) 经过点经过点 时凹凸时凹凸性性定义定义: :发生改变发生改变, ,则称该点为则称该点为拐点拐点. .拐点的判别法拐点的判别法: :则点则点是拐点是拐点.求凹凸区间及拐点的方法求凹凸区间及拐点的方法: :(1) 求函数求函数 f (x) 的定义域的定义域 D;例例12. 求曲线求曲线的凹凸区间及拐点的凹凸区间及拐点.解解:(1) 定
6、义域定义域: D = (, +);(3)对应对应(4) 列表判别列表判别.凹区间凹区间:凸区间凸区间:(0, 1),拐点拐点:凹凹凹凹凸凸xy(2)例例13. 判断曲线判断曲线的凹凸性的凹凸性.解解:且曲线且曲线在在上是凹的上是凹的.说明说明: :若在某点二阶导数为若在某点二阶导数为 0 ,则曲线的凹凸性不变则曲线的凹凸性不变 .在其两侧二阶导数不变号在其两侧二阶导数不变号,拐点的必要条件拐点的必要条件: :例例14.解解: : (2,4) 是拐点是拐点x = 3 是极值点是极值点联立联立(1)-(3),得得a = 6, b = 9, c = 2.例例15. 利用函数的凹凸性证明不等式利用函数
7、的凹凸性证明不等式: :证明证明: :即即内容小结内容小结1. 可导函数单调性判别可导函数单调性判别在在 I 上单调递增上单调递增在在 I 上单调递减上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别曲线凹凸与拐点的判别+拐点拐点 连续曲线上有切线的凹凸分界点连续曲线上有切线的凹凸分界点思考与练习思考与练习上上则则或或的大小顺序是的大小顺序是 ( )提示提示: 利用利用单调增加单调增加 , 及及B1. 设在设在2.证证 .3. 曲线曲线的凹区间是的凹区间是凸区间是凸区间是拐点为拐点为提示提示:及及 ; ;证明证明: 当当时，时， 有有证明证明:令令, 则则 F (x)是是凸凸函数函数即即 4 .(自证自证)有位于一直线的三个拐点有位于一直线的三个拐点.5.求证曲线求证曲线 证明：证明：令令得得从而三个拐点为从而三个拐点为因为因为所以三个拐点共线所以三个拐点共线.7.证证: :i )ii)证毕证毕. . 作业作业P152: 3 (1) (3), 8 (1) (3), 9 (1) (2), 12.
