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1、第四章第四章 刚体的转动刚体的转动第第4-14-1讲讲:转动惯量、定轴转动定律转动惯量、定轴转动定律第第4-24-2讲讲:角动量守恒定律、转动动能定理角动量守恒定律、转动动能定理物理学物理学 上册上册108108149149页页2 2、平动、平动 当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运的直线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动叫平动。动叫平动。1 1、刚体、刚体 系统内任意两质点间的距离始终保持不变系统内任意两质点间的距离始终保持不变4-1刚体的定轴转动定律 刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周运刚体上各点都绕
2、同一转轴作不同半径的圆周运动，且在相同时间内转过相同的角度。动，且在相同时间内转过相同的角度。3、刚体的、刚体的定轴转动定轴转动特点：特点：角位移，角速度和角加速度均相同；角位移，角速度和角加速度均相同；质点在垂直转轴的平面内运动，且作圆周质点在垂直转轴的平面内运动，且作圆周运动。运动。刚体的定轴转动刚体的定轴转动角角位移位移角速度角速度角加速度角加速度 匀变速转动公式匀变速转动公式 刚体绕定轴作匀变速转动刚体绕定轴作匀变速转动质点匀变速直线运动质点匀变速直线运动 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动做匀变速转动 . 角速度的方向：与刚角
3、速度的方向：与刚体转动方向呈右手螺旋关体转动方向呈右手螺旋关系。系。角速度矢量角速度矢量 在在定轴定轴转动中，角速转动中，角速度的方向沿转轴方向。度的方向沿转轴方向。4、角速度矢量、角速度矢量5、 角量与线量的关系角量与线量的关系飞轮飞轮 30 s 内转过的角度内转过的角度 例例1 一飞轮半径为一飞轮半径为 0.2m、 转速为转速为150rmin-1， 因因受制动而均匀减速，经受制动而均匀减速，经 30 s 停止转动停止转动 . 试求：试求：（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开）制动开始后始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；（时飞轮的角
4、速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度上一点的线速度、切向加速度和法向加速度 .解解（1） t = 30 s 时，时，设设.飞轮做匀减速运动飞轮做匀减速运动时，时， t = 0 s （2）时，飞轮的角速度时，飞轮的角速度（3）时，飞轮边缘上一点的线速度大小时，飞轮边缘上一点的线速度大小该点的切向加速度和法向加速度该点的切向加速度和法向加速度转过的圈数转过的圈数P*O : 力臂力臂 对转轴对转轴 Z 的力矩的力矩 4-2力矩、转动定律、转动惯量1、力矩、力矩O 1）若力）若力 不在转动平面内，把力分解为平行和垂不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于
5、转轴方向的两个分量直于转轴方向的两个分量 其中其中 对转轴的力对转轴的力矩为零，故矩为零，故 对转轴的对转轴的力矩力矩3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消2）合力矩等于各分力矩的矢量和）合力矩等于各分力矩的矢量和 例例1 有一大型水坝高有一大型水坝高110 m、长、长1000m，水深水深100m，水面与大坝表面垂直，如图所示水面与大坝表面垂直，如图所示 . 求作用在大坝上的求作用在大坝上的力，以及这个力对通过大坝基点力，以及这个力对通过大坝基点 Q 且与且与 x 轴平行的力矩轴平行的力矩 . 解解 设水深设水深h，坝长坝长L，在坝面上取面积元在坝面上取
6、面积元 作用在此面积元上的力作用在此面积元上的力yOhyxQyOx令令大气压为大气压为 ，则，则 代入数据，得代入数据，得yOhyx代入数据，得代入数据，得 对通过点对通过点 Q 的的轴的力矩轴的力矩yQOhy2、 转动定律转动定律2）刚体）刚体质量元受外力质量元受外力 ，内力，内力O 1）单个质点）单个质点 与转与转轴刚性连接轴刚性连接外外力矩力矩内力矩内力矩O 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比正比 ，与刚体的转动惯量成反比，与刚体的转动惯量成反比 .定义转动惯量定义转动惯量转动定律转动定律O质量连续分布dm为质量元，简称质元。其计算方
7、法如下：3 3、转动惯量的计算、转动惯量的计算质量离散分布 线密度线密度 面密度面密度 体密度体密度 解解 设棒的线密度为设棒的线密度为 ，取一距离转轴，取一距离转轴 OO 为为 处的质量元处的质量元 例例2 一一质量为质量为 、长为长为 的的均匀细长棒，求均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .如转轴过端点垂直于棒如转轴过端点垂直于棒ABLXABL/2L/2CX4 4、平行轴定理、平行轴定理在例在例2 2中中J JC C 表示相对通过质心的轴的转动惯量，表示相对通过质心的轴的转动惯量， =J JA A表示相对通过棒端的轴的转动惯量。表示相对通过棒
8、端的轴的转动惯量。=两轴平行，相距两轴平行，相距L/2L/2。可见：可见：推广：若有任一轴与过质心的轴平行，相距为推广：若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d d，刚体对其转动惯量为刚体对其转动惯量为J J ，则有：则有： J JJ JC Cmdmd2 2。ORO 例例3 一质量为一质量为 、半径为、半径为 的均匀圆盘，求通的均匀圆盘，求通过盘中心过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量并与盘面垂直的轴的转动惯量 . 解解 设圆盘面密度为设圆盘面密度为 ，在盘上取半径为在盘上取半径为 ，宽为，宽为 的圆环的圆环而而圆环质量圆环质量所以所以圆环对轴的转动惯量圆环对轴的转动惯量例例4 4 质量为质量
9、为 的物体的物体 A 静止在光滑水平面上，和一质量静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为R、质量为质量为 的圆柱的圆柱形滑轮形滑轮C，并系在另一质量为并系在另一质量为 的物体的物体B上上. .滑轮与绳索间没滑轮与绳索间没有滑动，且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计有滑动，且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计. . 问：（问：（1 1）两物体的线加速度为多少？水平和竖直两段绳索）两物体的线加速度为多少？水平和竖直两段绳索的张力各为多少？的张力各为多少？（2）物体）物体 B 从静止从静止落下距离落下距离y时，其速时，其速率是多少？率是多少？（3）若
10、滑轮与轴承）若滑轮与轴承间的摩擦力不能忽略，间的摩擦力不能忽略，并设它们间的摩擦力并设它们间的摩擦力矩为矩为M.再求线加速度再求线加速度及绳的张力及绳的张力.ABCABCOO解解 （1）隔离物体分别对物体）隔离物体分别对物体A、B 及滑轮作受力分析，取及滑轮作受力分析，取坐标如图，运用牛顿第二定律坐标如图，运用牛顿第二定律 、转动定律列方程、转动定律列方程 . 如令如令 ，可得，可得（2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率ABC（3） 考虑滑轮与轴承间的摩考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩擦力矩 ，转动定律，转动定律结合（结合（1）中其它方程）中其它方程ABC例例5 5、一个飞轮的质量为、一个飞轮的质量为6969kgkg，半径为半径为0.250.25m m, , 正在以正在以每分每分10001000转的转速转动。现在制动飞轮，要求在转的转速转动。现在制动飞轮，要求在5.05.0秒秒内使它均匀减速而最后停下来。内使它均匀减速而最后停下来。 求闸瓦对轮子的压力求闸瓦对轮子的压力N N 为多大？为多大？ （假设飞轮的质量都集中在（假设飞轮的质量都集中在 轮缘上）轮缘上） =0.50 . =0.50 .F0解：飞轮匀减速制动时有角加速度解：飞轮匀减速制动时有角加速度外力矩是外力矩是摩擦阻力矩，矩，角加速度为负值。角加速度为负值。 0Nfr
