弹性力学-07(简化)第七章--平面问题的差分解

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1、第七章第七章 平面问题的差分解平面问题的差分解要要 点点:将微分方程转变成差分方程。将微分方程转变成差分方程。基本思想基本思想: 将基本方程和边界条件（一般为微分方程）近似将基本方程和边界条件（一般为微分方程）近似地用改用差分方程（线性代数方程）表示，把解微分地用改用差分方程（线性代数方程）表示，把解微分方程的问题变成求代数方程的问题。方程的问题变成求代数方程的问题。7-1 7-1 差分公式的推导差分公式的推导主主主主 要要要要 内内内内 容容容容 7-2 7-2 稳定温度场的差分解稳定温度场的差分解7-3 7-3 不稳定温度场的差分解不稳定温度场的差分解7-4 7-4 应力函数的差分解应力函

2、数的差分解7-5 7-5 应力函数的差分解的实例应力函数的差分解的实例7-6 7-6 温度应力问题的应力函数差分解温度应力问题的应力函数差分解7-7 7-7 位移差分解位移差分解7-8 7-8 位移差分解实例位移差分解实例7-9 7-9 多连体问题的位移差分解多连体问题的位移差分解7-10 7-10 温度应力问题的位移差分解温度应力问题的位移差分解7-0 7-0 弹性力学的数值计算方法简介弹性力学的数值计算方法简介工程问题工程问题（力学、物理等）（力学、物理等）建立一组建立一组基本方程基本方程控制微分方程控制微分方程定值条件定值条件常微分方程常微分方程偏微分方程偏微分方程位移边界条件位移边界条

3、件力的边界条件力的边界条件初始条件初始条件求解求解精确解精确解近似解近似解（数值解）（数值解）（均质、边界条件简单）（均质、边界条件简单）（1）有限差分法）有限差分法（2）等效积分法（包括变分法）等效积分法（包括变分法）（3）有限单元法）有限单元法（4）边界单元法）边界单元法（1）有限差分法（）有限差分法（FDM）要点：要点：差分差分微分；微分；代替代替差分方程差分方程代替代替微分方程。微分方程。（代数方程）（代数方程）yx0 13hh优点：优点：yx0 13hh收敛性好、程序设计简单、收敛性好、程序设计简单、非线性适应好。非线性适应好。代表性软件：代表性软件：FLAC缺点：缺点：当边界当边界

4、几何形状几何形状复杂时，解的精度受到限制。复杂时，解的精度受到限制。（2）等效积分法）等效积分法控制微分方程控制微分方程边值条件边值条件建立等效的建立等效的积分方程积分方程假设未知函数假设未知函数整个区域内整个区域内近似求解近似求解（a）加权余量法加权余量法（加权残值法）（加权残值法）（配点法、子域法、最小二乘法、力矩法、（配点法、子域法、最小二乘法、力矩法、Galerkin法、等）法、等）（b）变分法变分法 当当原原问问题题存存在在某某个个泛泛函函时时，则则原原问问题题等等价价于于求求该该泛泛函函的的驻驻值值。如如：Ritz 法法 等等 。特点：特点： 在整个区域内，假设未知函数在整个区域内

5、，假设未知函数。适用于边界适用于边界几何形状简单几何形状简单的情形。的情形。xy（3）有限单元法（）有限单元法（FEM） 加权余量法、变分法的推广。加权余量法、变分法的推广。 基本思想：基本思想：整个区域整个区域分成若干个单元分成若干个单元区域离散区域离散假设未知函数假设未知函数在单元上在单元上由变分原理等求出由变分原理等求出单元结点上值单元结点上值（近似解）（近似解）主要有限元软件：主要有限元软件：SAP， ADINANASTRAN、 ANSYS 、 ABAQUS、ASKA、SAFE、MARC等等 早期的软件早期的软件1. 中心差分公式中心差分公式7-1 7-1 差分公式的推导差分公式的推导

6、设函数：设函数：为弹性体为弹性体内的某个函数（应力分量、位移分量、内的某个函数（应力分量、位移分量、应力函数应力函数 、温度等）。、温度等）。yx 在弹性体上用相隔等间距在弹性体上用相隔等间距 h 且平行且平行于坐标轴的两组平行线组成网格，称为于坐标轴的两组平行线组成网格，称为差差分网格分网格。网格线的交点称为。网格线的交点称为节点（结点）节点（结点）。013h 则函数则函数 f = f (x，y) 在在平行于平行于 x 轴的网格线上，如节点：轴的网格线上，如节点：3-0-1 3-0-1 上上，它，它只随只随 x 而变化。而变化。 考察结点考察结点 0 0 处，函数处，函数 f = f (x，

7、y) 的变化，可展开成的变化，可展开成 Taylor 级数级数：（a a）h若略去三次幂以上各项，式（若略去三次幂以上各项，式（a）变为：）变为：（b b）节点节点3 3及及1 1的的 x 坐标：坐标：将其代入式（将其代入式（b b），有：），有：（c c）（d d）联立求解，得：联立求解，得：（7-17-1）（7-27-2）yx013hh24yx013hh（7-17-1）（7-27-2）同理，在网格线同理，在网格线4-0-24-0-2上取上取（e e）类似于，类似于，x方向的讨论，有方向的讨论，有（7-37-3）（7-47-4）式（式（7-17-1） （7-47-4）称为）称为基本基本差分公

8、式。差分公式。5678混合二阶导数的差分公式：混合二阶导数的差分公式：（7-57-5）进一步可导出进一步可导出四阶偏导数四阶偏导数的差分公式：的差分公式：yx01324hh进一步可导出进一步可导出四阶偏导数四阶偏导数的差分公式：的差分公式：91011126yx01324578h（7-67-6）以以两侧节点处的函数值两侧节点处的函数值表示表示中间节点中间节点处的一阶导数值，称为处的一阶导数值，称为中点导数值，这种差分公式称为中点导数值，这种差分公式称为中心差分公式中心差分公式。说明：说明：2. 端点差分公式端点差分公式向前差分公式向前差分公式yx0132456789101112h把导数：把导数：

9、用函数值：用函数值：f0 f1 f9表示；表示；把导数：把导数：用函数值：用函数值：f0 f2 f10表示。表示。 由：由：（b b）得到：得到：yx0132456789101112h（7-7）（e e）同理，对同理，对 y 方向，有：方向，有：由此解得：由此解得：（7-9）式（式（7-7）、（）、（7-9）称为）称为前差公式前差公式。向后差分公式向后差分公式yx0132456789101112h把导数：把导数：用函数值：用函数值：f0 f3 f11表示；表示；用函数值：用函数值：f0 f4 f12表示。由：表示。由：把导数：把导数：（b b）得到：得到：由此解得：由此解得：（7-87-8）y

10、x0132456789101112h同理，对同理，对 y 方向，有：方向，有：（e e）可解得：可解得：（7-10）（7-87-8）式式 (7-8) 、(7-10) 称为称为后差分公式后差分公式 与与中心差分公式中心差分公式类似，由式（类似，由式（7-7）（7-10）可推出高阶导数的差）可推出高阶导数的差分公式。分公式。（1）中心差分（导数）公式中心差分（导数）公式与与 端点差分（导数）公式端点差分（导数）公式比较，前者比较，前者的精度较高。所以尽可能应用的精度较高。所以尽可能应用中心差分公式中心差分公式。说明：说明：（2）在前面差分公式的推导中，应用了近似式：）在前面差分公式的推导中，应用了

11、近似式：（b b）略去了略去了三次幂三次幂以上的各项，其实质：以上的各项，其实质：在（在（x x0）的区间上，将）的区间上，将f（x，y）沿）沿 x 方向用抛物线函数代替。方向用抛物线函数代替。 所以，式（所以，式（7-7）（7-10）称为称为抛物线差分公式抛物线差分公式。（3）若在差分公式的推导中，应用线性近似关系：）若在差分公式的推导中，应用线性近似关系：略去了略去了二次幂二次幂以上的各项，则：以上的各项，则：（3）若在差分公式的推导中，应用线性近似关系：）若在差分公式的推导中，应用线性近似关系：略去了略去了二次幂二次幂以上的各项，则：以上的各项，则：yx0132456789101112h

12、或或 线性差分公式线性差分公式 前差公式前差公式 后差公式后差公式线性差分公式的线性差分公式的精度较低精度较低，很少采用。，很少采用。（4）若在差分公式的推导中，应用高阶近似关系，如：）若在差分公式的推导中，应用高阶近似关系，如：由此得到的差分公式精度较高。但由于其涉由此得到的差分公式精度较高。但由于其涉及节点较多，实际应用不方便，所以也很少采用。及节点较多，实际应用不方便，所以也很少采用。7-2 7-2 稳定温度场的差分解稳定温度场的差分解1. 热传导方程热传导方程一般情形下，热传导方程：一般情形下，热传导方程：对对无热源、平面、稳定无热源、平面、稳定的温度场，有的温度场，有其热传导方程变成

13、二维的调和方程：其热传导方程变成二维的调和方程：（a）2. 热传导方程的差分方程热传导方程的差分方程24yx013hh将温度场的域内划分网格，将温度场的域内划分网格，取任一节点，取任一节点，如：节点如：节点 0，应有：应有：（b）24yx013hh由差分公式（由差分公式（7-2）、（）、（7-4），得：），得：2. 热传导方程的差分方程热传导方程的差分方程将温度场的域内划分网格将温度场的域内划分网格,取任一节点，取任一节点，如：节点如：节点 0， 应有：应有：(b)（c）（d）将式（将式（c）、（）、（d），代入式（），代入式（b）得：）得：（7-11）每一个节点均可建立上述方程。每一个节点均

14、可建立上述方程。 3. 边界条件的引入边界条件的引入（1）第一类边界条件）第一类边界条件由于边界点的由于边界点的 T 值已知，值已知，因此，只需建立因此，只需建立每一个内节点每一个内节点的的差分方程即可求解。差分方程即可求解。3. 边界条件的引入边界条件的引入（1）第一类边界条件）第一类边界条件由于边界点的由于边界点的 T 值已知，值已知，因此，只需建立每因此，只需建立每一个内节点的差分方程即可求解。一个内节点的差分方程即可求解。（2）第二类边界条件）第二类边界条件0 02 24 43 31 1边界外边界外边界内边界内xy 绝热条件绝热条件对于与对于与 x 轴垂直的边界，有轴垂直的边界，有故对

15、于故对于 边界点边界点 0，有，有: 在在边界点边界点0右侧设右侧设虚节点虚节点1， 由一阶差分公式（由一阶差分公式（7-1），有），有:0 02 24 43 31 1边界外边界外边界内边界内xy 在在边界点边界点0右侧设右侧设虚节点虚节点1， 由一阶差分公式（由一阶差分公式（7-1），有），有: 将其代入差分方程（将其代入差分方程（7-11）：）： 即该边界为绝热边界，有：即该边界为绝热边界，有：（7-12）边界外边界外边界内边界内xy0 01 14 42 23 3 对于与对于与 y 轴垂直的轴垂直的边界节点边界节点0，（7-12） 若：若： 整理得：整理得：（7-13）（7-11）有：有：

16、（3）第三类边界条件）第三类边界条件 式中，式中，Te 为周围介质的温度，为周围介质的温度，0 02 24 43 31 1边界外边界外边界内边界内xy 对于与对于与 x 轴垂直的轴垂直的边界节点边界节点0，有：，有： 由一阶差分公式（由一阶差分公式（7-1），有），有:将上式代入差分方程（将上式代入差分方程（7-11），并整理得），并整理得边界节点边界节点0点的差分方程：点的差分方程：（7-14）为放热系数。为放热系数。(7-11)（4）第四类边界条件）第四类边界条件 已知物体和与之接触的另一物体以热传导方已知物体和与之接触的另一物体以热传导方式进行热交换的情况。式进行热交换的情况。 对于对于

17、两物体完全接触两物体完全接触情形，物体表面的温度情形，物体表面的温度 Ts 和接触物体表面和接触物体表面温度温度 Te 相同，即相同，即此时与第一类边界条件此时与第一类边界条件 相同。相同。边界外边界外边界内边界内xy0 01 14 42 23 3 对于与对于与 y 轴垂直的轴垂直的边界节点边界节点，有：，有：（7-14）将上式代入差分方程（将上式代入差分方程（7-11），并整理得），并整理得边界节点边界节点0点的差分方程：点的差分方程：(7-11)例：例：图示矩形薄板，右边界为图示矩形薄板，右边界为绝热边界绝热边界，其余三边界上的其余三边界上的已知节点温度已知节点温度值标于值标于图中各节点上

18、（单位：图中各节点上（单位：）。求：）。求：板内的节点温度。板内的节点温度。6m8mabcdefgi101214161840322435302520解：解：划分网格：划分网格：43, 编排节点号：编排节点号：a i列节点差分方程：列节点差分方程：节点节点 a：0 01 12 23 34 4节点节点 b：节点节点 c：节点节点 d：节点节点 e：节点节点 f：内内节节点点边界节点：边界节点：节点节点 g：绝热边界：绝热边界：内节点：内节点：0 02 23 34 4节点节点 i：6m8mabcdefgi1012141618403224353025200 01 12 23 34 40 02 23 3

19、4 4例：例：图示矩形薄板，右边界为图示矩形薄板，右边界为绝热边界绝热边界，其余三边界上的其余三边界上的已知节点温度已知节点温度值标于值标于图中各节点上（单位：图中各节点上（单位：）。求：板）。求：板内的节点温度内的节点温度Ta、Ti。解：解：划分网格：划分网格：43, 编排节点号：编排节点号：a i列节点差分方程：列节点差分方程：节点节点 a：节点节点 b：节点节点 c：节点节点 d：节点节点 e：节点节点 f：内内节节点点边界节点：边界节点：节点节点 g：节点节点 i：联立求解方程组，得：联立求解方程组，得：4. 不规则边界条件的处理不规则边界条件的处理0 02 24 43 31 1边界外

20、边界外边界内边界内xyhhhA（1）第一类边界）第一类边界：将温度将温度 T 在在节点节点0邻近处沿邻近处沿 x方向展开为方向展开为Taylor级数，略去级数，略去 (x-x0) 的三次方以上项，有的三次方以上项，有由此可解得：由此可解得：0 02 24 43 31 1边界外边界外边界内边界内xyhhhA由此可解得由此可解得:由：由：得：得：（7-15）（7-11）0 04 43 31 1边界外边界外边界内边界内xyhhhB2 20 02 24 43 31 1边界外边界外边界内边界内xyhhhA（7-15）（7-11）类似地，对于类似地，对于 y 方向网格线上的方向网格线上的不规则不规则边界点

21、边界点B，有：有：（7-15）0 02 24 43 31 1边界外边界外边界内边界内xyhhAB对于图中对于图中不规则边界节点不规则边界节点A、B，有：有：（7-16）（2）第二类边界）第二类边界：0 02 24 43 31 1边界外边界外边界内边界内xyhhhA将第一类边界情形中的将第一类边界情形中的 TA 用用表示。表示。在在 A 点点邻域内沿邻域内沿 x 方向方向展展 Taylor 级数，并略去级数，并略去二阶以上各项：二阶以上各项：（2）第二类边界）第二类边界：0 02 24 43 31 1边界外边界外边界内边界内xyhhhA将第一类边界情形中的将第一类边界情形中的 TA 用用表示。表

22、示。在在 A 点邻域内沿点邻域内沿 x方向展方向展 Taylor 级数，并略去二级数，并略去二阶以上各项：阶以上各项：从式中消去：从式中消去：并求出并求出 TA0 02 24 43 31 1边界外边界外边界内边界内xyhhhA从式中消去从式中消去:并求出并求出 TA，有，有（d）由：由：得：得：代入上式，有：代入上式，有：（7-15）0 02 24 43 31 1边界外边界外边界内边界内xyhhhA代入式（代入式（7-15）右端的）右端的 TA ：并整理、简化得：并整理、简化得：（7-17）A0 02 24 43 31 1边界外边界外边界内边界内xyhhB 对于图示对于图示不规则节点不规则节点

23、0的差分方程的差分方程，由类似，由类似的推导，有：的推导，有：（7-18）（3）第三类边界）第三类边界：0 02 24 43 31 1边界外边界外边界内边界内xyhhhA将其代入式（将其代入式（d）：）：（d）0 02 24 43 31 1边界外边界外边界内边界内xyhhhA（3）第三类边界）第三类边界:将其代入式（将其代入式（d）：）：(d)得到：得到：（e）由式（由式（e）求出）求出 TA ：将上式代入式（将上式代入式（7-15）右端）右端 TA ，(e)由式（由式（e）求出）求出 TA :（7-15）整理即得整理即得节点节点0的差分方程。的差分方程。式中式中 ：7-4 7-4 应力函数的

24、差分解应力函数的差分解yx0132456789101112h1. 应力函数的差分方程应力函数的差分方程应力分量的差分表示应力分量的差分表示平面问题（不计体力时），应力分量可表示为：平面问题（不计体力时），应力分量可表示为：任一点任一点 0 处应力分量的差分格式：处应力分量的差分格式：（7-24） 对对常体力常体力情况，情况，将将体力体力转换为转换为面力面力分析。分析。应力函数的差分方程应力函数的差分方程yx0132456789101112h平面问题（不计体力时），应力相容方程为：平面问题（不计体力时），应力相容方程为：在弹性体内每一点均可建立上述方程，即：在弹性体内每一点均可建立上述方程，即：

25、由四阶导数差分公式，得：由四阶导数差分公式，得：将其代入相容方程，有将其代入相容方程，有（7-25）yx0132456789101112h 对于弹性体边界内的每一节点，都可对于弹性体边界内的每一节点，都可建立上述方程。建立上述方程。1314但对紧靠边界内一行节点，但对紧靠边界内一行节点，建立其差分方程时，还包括建立其差分方程时，还包括边界上各点处的边界上各点处的 值值和和边界外一行的结点处的边界外一行的结点处的 值值。 弹性体边界外一行的节点，称为弹性体边界外一行的节点，称为虚结点虚结点。如：节点如：节点13、14等。等。 应力函数差分方程应力函数差分方程2. 边界节点边界节点 值的确定值的确

26、定BA 边界节点边界节点的的 值值由边界条件确由边界条件确定。由边界条件方程：定。由边界条件方程：（b）（b）AxyO dxdydsNBxByByx如图可见：如图可见：代入式（代入式（b），有：），有：上式进一步可写成：上式进一步可写成：（c）对上式从对上式从 A 到到 B 积分：积分：或写成或写成本章前面内容回顾本章前面内容回顾1. 有限差分法（有限差分法（FDM）基本思想）基本思想要点：要点：差分差分微分：微分：代替代替差分方程差分方程代替代替微分方程。微分方程。（代数方程）（代数方程）2. 中心差分公式中心差分公式yx01324hh（7-17-1）（7-27-2）（7-37-3）（7-4

27、7-4） 基本差分公式基本差分公式5678yx01324hh混合二阶导数的差分公式：混合二阶导数的差分公式：（7-57-5）四阶导数的差分公式：四阶导数的差分公式：（7-67-6）91011123. 端点差分公式端点差分公式向前差分公式向前差分公式yx0132456789101112h（7-7）向后差分公式向后差分公式（7-87-8）4. 稳定温度场的差分公式稳定温度场的差分公式（a）24yx013hh热传导方程热传导方程热传导的差分方程热传导的差分方程（7-11）各类边界条件的引入各类边界条件的引入（1）第一类边界条件）第一类边界条件由于边界点的由于边界点的 T 值已知，值已知，因此，只需建

28、立每因此，只需建立每一个内节点的差分方程即可求解。一个内节点的差分方程即可求解。（2）第二类边界条件）第二类边界条件0 02 24 43 31 1边界外边界外边界内边界内xy（7-12）（3）第三类边界条件）第三类边界条件0 02 24 43 31 1边界外边界外边界内边界内xy（7-14）（4）第四类边界条件）第四类边界条件同第一类边界条件同第一类边界条件5. 应力函数的差分方程应力函数的差分方程yx0132456789101112h1314BAhh（7-24） 应力分量差分公式应力分量差分公式（7-25） 应力函数差分方程应力函数差分方程2. 边界节点边界节点 值的确定值的确定yx0132

29、456789101112h1314BA 边界节点边界节点的的 值值由边界条件确由边界条件确定。由边界条件方程：定。由边界条件方程：（b）AxyO dxdydsNBxByByx（b）AxyO dxdydsNBxByByx如图可见：如图可见：代入式（代入式（b），有：），有：上式进一步可写成：上式进一步可写成：（c）对上式从对上式从 A 到到 B 积分：积分：或写成或写成AxyO dxdydsNBxByByx（d）计算应力函数计算应力函数 的全微分，有的全微分，有：两边积分两边积分，有，有：分步积分：分步积分：同理同理，有，有：AxyO dxdydsNBxByByx由式（由式（c），有，有：（c）

30、代回前式，有：代回前式，有：再利用：再利用：（d）（e）（d）（e）AxyO dxdydsNBxByByx由式（由式（d）、（）、（e）可见：当）可见：当已知时，即可由面力已知时，即可由面力分量分量 X、Y 求得：求得：AxyO dxdydsNBxByByx 由第三章理论可知，在应力函数由第三章理论可知，在应力函数 上加上线性函数，不影响应力的值。上加上线性函数，不影响应力的值。因而，可在应力函数因而，可在应力函数 上加上线性函数：上加上线性函数：适当选取适当选取 a、b、c 的数值，总可使得：的数值，总可使得：于是式（于是式（d）、（）、（e）可变为：）可变为：（7-26）（7-27）（7-

31、28） 确定边界结点确定边界结点 及其及其导数值导数值的基本公式。的基本公式。AxyO dxdydsNBxByByx说明：说明：（1）式（）式（7-26）（7-28）适用于单连体的情）适用于单连体的情况。对于多连体，则只能选取某一个连况。对于多连体，则只能选取某一个连续边界续边界S上一点上一点 A 为基准点，并取：为基准点，并取： 而应力函数在其它边界上不再有任意性。如：在另一连续边界而应力函数在其它边界上不再有任意性。如：在另一连续边界S1上任上任选取一点选取一点 A1 ，一般有：，一般有： 而需有位移单值条件确定。而需有位移单值条件确定。（2）（7-26）（7-27）物理意义：边界上物理意

32、义：边界上 A、B 两点间两点间 x 方方向向面力之和面力之和。物理意义：边界上物理意义：边界上 A、B 两点间两点间 y 方方向向面力之和面力之和。因而，因而，差分解应用于多连体问题不方便差分解应用于多连体问题不方便。AxyO dxdydsNBxByByx（7-28）物理意义：边界上物理意义：边界上 A、B 两点间两点间 面力对面力对B点点的矩的矩。力矩的正负号由坐标系。力矩的正负号由坐标系确定，图中以顺时针为正。确定，图中以顺时针为正。3. 虚节点虚节点 值的确定值的确定yx0132456789101112h1314BAhh 可用应力函数可用应力函数 在边界上在边界上的导数的导数和和边界边

33、界内一行各结点的内一行各结点的 值值表示。如：表示。如：由此可求得：由此可求得：yx0132456789101112h1314BAhh由此可求得：由此可求得：（7-29）4. 不规则边界内节点、虚节点的不规则边界内节点、虚节点的 值值hhh10956B h边边界界外外基本思路：基本思路：将紧靠边界的将紧靠边界的节点节点1不作为独立的内节不作为独立的内节点，即并不将其点，即并不将其 1 值作为独立的未知值作为独立的未知量量，而把它用，而把它用 0 来表示。来表示。具体方法：具体方法： 在在 B 点附近，将应力函数点附近，将应力函数 沿沿 x 方向展为方向展为Taylor级数级数，并略去（，并略去

34、（xxB）的三次以上幂，有）的三次以上幂，有hhh10956B h边边界界外外有：有：代入上式，有：代入上式，有：（f）（g）（h）从中可求得：从中可求得：hhh10956B h边边界界外外（i）（j）显然，当显然，当 =0 时，有时，有：其中，第二式与前面虚节点其中，第二式与前面虚节点 值的计算公式相同。值的计算公式相同。5. 差分法的求解步骤差分法的求解步骤（1） 在边界上任意选定一个结点作用基点在边界上任意选定一个结点作用基点A，取：，取：然后，由公式：然后，由公式：（7-26）（7-27）（7-28）计算边界上各结点处的应力函数计算边界上各结点处的应力函数 值及其导数值；值及其导数值；

35、（2） 应用公式（应用公式（7-29），将边界外一行各虚节点的），将边界外一行各虚节点的 值用边界内相应值用边界内相应节点的节点的 值表示；值表示；yx0132456789101112h1314BAhh（2） 应用公式（应用公式（7-29），将边界外一行各），将边界外一行各虚节点的虚节点的 值用边界内相应节点的值用边界内相应节点的值表示；值表示；yx0132456789101112h1314BAhh（7-29）C16D17注意：注意：对虚节点对虚节点16：15对虚节点对虚节点17：（7-24）（4） 由应力分量的差分表达式（由应力分量的差分表达式（7-24），求出各节点的应力等。），求出各节点

36、的应力等。（3） 对边界内的每一个结点建立差分方程（对边界内的每一个结点建立差分方程（7-25）：）：（7-25）并联立解出各结点的并联立解出各结点的 值；值；应力函数差分法小结：应力函数差分法小结：（7-25）（1） 应力函数差分方程应力函数差分方程 每一个每一个内结点内结点均可建立一方程。均可建立一方程。yx0132456789101112h1314BAhh（7-26）（7-27）（7-28）（2）确定边界结点）确定边界结点 及其及其导数值导数值的基本公式的基本公式（3）确定虚结点）确定虚结点 值值的基本公式的基本公式（3）确定虚结点）确定虚结点 值值的基本公式的基本公式（7-29）（4）

37、结点）结点应力分量的差分公式应力分量的差分公式（7-24）yx0132456789101112h1314BAhhC16D1715（5）结点应力函数）结点应力函数 及其及其导数值导数值的物理意义的物理意义（7-26）（7-27）物理意义：边界上物理意义：边界上 A、B 两点间两点间 x 方方向向面力之和面力之和。物理意义：边界上物理意义：边界上 A、B 两点间两点间 y 方方向向面力之和面力之和。（7-28）物理意义：边界上物理意义：边界上 A、B 两点间两点间 面力对面力对B点的矩点的矩。AxyO dxdydsNBxByByx（6）不规则边界内节点、虚节点）不规则边界内节点、虚节点 值值hhh

38、10956B h边边界界外外yxq3qh3qh1921201617182223242526123471013581114691215ADCBIHGFEJKLM7-5 7-5 应力函数的差分解的实例应力函数的差分解的实例1. 问题问题 设一正方形的混凝土深梁（边长设一正方形的混凝土深梁（边长 6h），上边界受有），上边界受有均布压力均布压力 q ，并下，并下角点处的角点处的两反力两反力维持平衡。试由应力维持平衡。试由应力函数的差分解法，求各节点的函数的差分解法，求各节点的应力分应力分量量。2. 求解求解 由于对称性，如图建立坐标系，由于对称性，如图建立坐标系，并取其一半分析。求解过程：并取其一半

39、分析。求解过程：（1） 适当划分差分网格、编节点号适当划分差分网格、编节点号；（2） 选取基点选取基点A，并计算边界节点的，并计算边界节点的 及其导数值及其导数值；计算公式：计算公式：yxq3qh3qh1921 201617182223242526123471013581114691215ADCBIHGFEJKLM4.5qh24.0qh22.5qh200000000003qh0MLKJE、F、G、H、IDB、CA结点结点（3） 计算边界外一行虚节点的计算边界外一行虚节点的 值值；yxq3qh3qh1921 201617182223242526123471013581114691215ADCBI

40、HGFEJKLM同理，得：同理，得：（4） 对边界内节点建立差分方程对边界内节点建立差分方程；公式：公式：（7-25）对节点对节点1：0132456789101112式中：式中：为已知；为已知；代入上式，整理得：代入上式，整理得：对节点对节点15：（d）yxq3qh3qh1921 201617182223242526123471013581114691215ADCBIHGFEJKLM0132456789101112（e） 类似于式（类似于式（d）、（）、（e）可得到）可得到15 个方程，其中含个方程，其中含15个未知量，可求解得个未知量，可求解得到（以到（以 qh2 单位）：单位）：（5）计算

41、边界外一行虚节点的）计算边界外一行虚节点的 值（值（以以 qh2 单位单位）；上下虚节点：上下虚节点：左侧虚节点：左侧虚节点：（6）计算应力）计算应力值（值（中截面中截面）；yxq3qh3qh1921 201617182223242526123471013581114691215ADCBIHGFEJKLM0132456789101112同理，可求得：同理，可求得：应力分布如图。应力分布如图。与材料力学结果比较：与材料力学结果比较：两者相差较大。两者相差较大。求解步骤求解步骤:（1） 在边界上任意选定一个结点作用基点在边界上任意选定一个结点作用基点A，取：，取：然后，由公式：然后，由公式：（7-

42、26）（7-27）（7-28）yx0132456789101112h1314BAhh计算边界上各结点处的应力函数计算边界上各结点处的应力函数 值及其导数值；值及其导数值；（2） 应用公式（应用公式（7-29），将边界外一行各虚），将边界外一行各虚节点的节点的 值用边界内相应节点的值用边界内相应节点的值表值表示；示；yx0132456789101112h1314BAhh（7-29）（3） 对边界内的每一个结点建立差分方程（对边界内的每一个结点建立差分方程（7-25）：）：（7-25）并联立解出各结点的并联立解出各结点的 值；值；（7-24）（4） 由应力分量的差分表达式（由应力分量的差分表达式（

43、7-24），求出各节点的应力等。），求出各节点的应力等。yx0132456789101112h1314BAhh课堂练习题：课堂练习题： 用差分法计算图示基础梁的最用差分法计算图示基础梁的最大拉应力，并与材料力学公式给出大拉应力，并与材料力学公式给出的结果比较。的结果比较。xyq4qhhhhhh解：解：（1） 划分差分网格、编节点号划分差分网格、编节点号；12ADCBGFE56437（2） 选取基点选取基点A，并计算边界节点，并计算边界节点的的 及其导数值及其导数值；0 2qh2 2qh2 2qh2000002qh0GFEDCBA结点结点（3） 计算边界外一行虚节点的计算边界外一行虚节点的 值值

44、；xyq4qhhhhhh12ADCBGFE34567（4） 对边界内结点建立差分方程对边界内结点建立差分方程；结点结点1：（7-25）其中：其中：xyq4qhhhhhh12ADCBGFE34567（a）结点结点2：（7-25）其中：其中：代入得：代入得：（b）联立求解式（联立求解式（a）、（）、（b）：）：（5）计算边界外一行虚节点的）计算边界外一行虚节点的 值值；xyq4qhhhhhh12ADCBGFE34567（6）计算各点的应力）计算各点的应力值值；xyq4qhhhhhh12ADCBGFE34567xyq4qAG材料力学结果：材料力学结果：本章前面内容回顾本章前面内容回顾1. 有限差分法

45、（有限差分法（FDM）基本思想）基本思想要点：要点：差分差分微分：微分：代替代替差分方程差分方程代替代替微分方程。微分方程。（1） 中心差分公式中心差分公式（7-17-1）（7-27-2）（7-37-3）（7-47-4）2. 基本差分公式基本差分公式5678yx01324hh9101112一、一、 差分法的基本理论差分法的基本理论混合二阶导数的差分公式：混合二阶导数的差分公式：（7-57-5）四阶导数的差分公式：四阶导数的差分公式：（7-67-6）5678yx01324hh9101112（2） 端点差分公式端点差分公式 向前差分公式向前差分公式yx0132456789101112h（7-7）向

46、后差分公式向后差分公式（7-87-8）注：注：用于边界条件情形。用于边界条件情形。二、二、 无源、稳定温度场的差分法无源、稳定温度场的差分法（a）24yx013hh1.1.稳定温度场的热传导方程稳定温度场的热传导方程2.2.稳定温度场的差分方程稳定温度场的差分方程（7-11）（1）第一类边界条件）第一类边界条件由于边界点的由于边界点的 T 值已知，值已知，因此，只需建立每因此，只需建立每一个内节点的差分方程即可求解。一个内节点的差分方程即可求解。3. 3. 温度场边界条件的引入温度场边界条件的引入（2）第二类边界条件）第二类边界条件0 02 24 43 31 1边界外边界外边界内边界内xy（7

47、-17）（3）第三类边界条件）第三类边界条件0 02 24 43 31 1边界外边界外边界内边界内xy（7-14）（7-12）（4）不规则边界节点的处理）不规则边界节点的处理0 02 24 43 31 1边界外边界外边界内边界内xyhhhA三、三、 应力函数的差分法应力函数的差分法（7-25）（1） 应力函数差分方程应力函数差分方程yx0132456789101112h1314BAhh（7-26）（7-27）（7-28）（2）确定边界结点）确定边界结点 及其及其导数值导数值的基本公式的基本公式（3）确定虚结点）确定虚结点 值值的基本公式的基本公式（3）确定虚结点）确定虚结点 值值的基本公式的基

48、本公式（7-29）yx0132456789101112h1314BAhhC16D1715（4）不规则不规则边界内节点、虚节点边界内节点、虚节点 值值hhh10956B h边边界界外外（5）结点）结点应力分量的差分公式应力分量的差分公式（7-24）四、四、 温度应力问题的应力函数的差分法温度应力问题的应力函数的差分法（1）温度应力问题应力函数法的基本方程：）温度应力问题应力函数法的基本方程：（e）（f）（d） 温度应力问题的边界条件温度应力问题的边界条件7-7 7-7 位移的差分解位移的差分解引言引言yx0132456789101112h1314BAhhC16D1715应力差分方程：应力差分方程

49、：边界节点边界节点 及其及其导数值导数值计算计算公式公式：（7-26）（7-27）虚节点的虚节点的 值计算公式：值计算公式：（7-29）一、一、应力差分法及其局限性应力差分法及其局限性yx0132456789101112h1314BAhhC16D1715（7-24）应力分量的差分公式：应力分量的差分公式：应力差分法的局限性：应力差分法的局限性：（1） 不适用于不适用于具有位移边界条件具有位移边界条件的问题；的问题；（2） 不适用于不适用于多连体多连体的问题；的问题；（3） 不适用于不适用于体力不为常量体力不为常量的问题。的问题。这些局限性可由这些局限性可由位位移差分法移差分法解决。解决。2.2

50、.平面问题按位移求解的基本方程平面问题按位移求解的基本方程（2-20）（2-21）位移平衡微分方程：位移平衡微分方程：应力边界条件：应力边界条件：位移边界条件：位移边界条件：位移差分法的优点：位移差分法的优点：（1）适用于适用于具有应力边界条件具有应力边界条件的问题，的问题，（2）适用于适用于多连体多连体的问题的问题（3）适用于适用于体力不为常量体力不为常量的问题；的问题；（可用位移表示应力边界条件）；可用位移表示应力边界条件）；（位移单值条件可直接由位移量给出）；位移单值条件可直接由位移量给出）；（4）可无需设置可无需设置虚节点虚节点（微分方程中最高价导数仅为微分方程中最高价导数仅为2阶）。

51、阶）。xy1 13 37 72 26 65 54 48 80 0hhhh函数函数 f 位移位移 u、v 。对节点对节点 0 :（7-27-2）（7-47-4）（7-57-5）3. 内节点的位移差分方程内节点的位移差分方程xy1 13 37 72 26 65 54 48 80 0hhhh对节点对节点 0 :将式（将式（7-2）,（7-4）,（7-5）代入）代入第一式第一式，整理有，整理有两边同乘以两边同乘以 h2 ， 并令并令 (Px)0 = X0 h2 ，有，有（7-40）（位移形式的平衡微分方程）（位移形式的平衡微分方程）xy1 13 37 72 26 65 54 48 80 0hhhh（7

52、-40）（7-41）将式（将式（7-2）,（7-4）,（7-5）代入）代入第二式第二式，整理，整理有有其中其中 ： (Px)0 = X0 h2 ，(Py)0 = Y0 h2 。用差分图式表示：用差分图式表示：xy 式（式（7-40）的差分图式）的差分图式1 15 56 62 24 48 83 37 70 0xy 式（式（7-40）的差分图式）的差分图式1 15 56 62 24 48 83 37 70 0xy1 13 37 72 26 65 54 48 80 0hhhh 式（式（7-41）的差分图式）的差分图式xy1 15 56 62 24 48 83 37 70 0其中：其中：注：注：对于对

53、于只有位移边界条件只有位移边界条件的问题已可求解的问题已可求解 。xy例例：四边固定的矩形薄板，四边固定的矩形薄板， 其长度与宽度之比其长度与宽度之比为为1：2，密度为，密度为 ，为简单起见取泊松比，为简单起见取泊松比 = 0。试用。试用42的网格计算自重引起的位的网格计算自重引起的位移与应力移与应力。解解：hhhhhh由于对称性，有由于对称性，有只需求：只需求：1 15 56 62 24 48 83 37 70 0xy对对a 点点abcidefghj0 00 00 00 00 00 00 00 0（x 方向差分方程）：方向差分方程）：xyabcidefghhhhhhhj对对a 点点（y方向的

54、差分方程）：方向的差分方程）：xy1 15 56 62 24 48 83 37 70 00 00 00 00 00 00 00 0对对b 点点（y方向的差分方程）：方向的差分方程）：0 00 00 00 00 00 0（a）（b）解方程（解方程（a）、（）、（b）得：）得：计算应力：计算应力：xyabcidefghhhhhhhj由几何方程和物理方程，得到由几何方程和物理方程，得到0 0对边界结点：对边界结点： （需用端点差分公式）（需用端点差分公式）0 00 0对边界结点：对边界结点： （需用端点差分公式）（需用端点差分公式）0 00 0xyabcidefghhhhhhhj4. 边界未知位移节

55、点的差分方程边界未知位移节点的差分方程（1）某节点）某节点“邻域邻域”的概念：的概念：bca 指环绕该节点的那两段、三段、指环绕该节点的那两段、三段、四段网格的垂直平分线所围的区域，四段网格的垂直平分线所围的区域，如：如：h/2h/2h/2h/2h/2 h/2 h/2 h/2角隅点角隅点 1 的邻域：的邻域：5 5xyhhhh3 32 21 14 41 a b c 所围区域；所围区域；边界点边界点 2 的邻域：的邻域：dea b d e 所围区域；所围区域；内点内点 4 的邻域：的邻域：fgb d f g 所围区域；所围区域；（2）差分计算的三点约定：）差分计算的三点约定：函数函数 f 位移位

56、移 u、v 。xy1 13 37 72 26 65 54 48 80 0hhhha（a） 函数函数 f 沿沿网格线方向网格线方向的导数，它在的导数，它在该该网格线上各点网格线上各点（不包括节点）处的值（不包括节点）处的值取为取为常量常量，如：，如：（7-32）（2）差分计算的三点约定：）差分计算的三点约定：函数函数 f 位移位移 u、v 。xy1 13 37 72 26 65 54 48 80 0hhhha（a） 函数函数 f 沿沿网格线方向网格线方向的导数，它在的导数，它在该该网格线上各点网格线上各点（不包括节点）处的值（不包括节点）处的值取为取为常量常量，如：，如：（7-32）（b） 函数

57、函数 f 在垂直于在垂直于网格线方向网格线方向的导数，它在的导数，它在该网该网格线上各点格线上各点（不包括节点）处的值取为按（不包括节点）处的值取为按线性线性变化变化，如：，如：（7-33）0 1线上线上 a 点点 y 方向导数：方向导数：函数函数 f 在节点处的导数，仍由第在节点处的导数，仍由第1 节中的差分公式给出，即；节中的差分公式给出，即；对于对于 0 2线上线上 b 点，有点，有 ：bcxy1 13 37 72 26 65 54 48 80 0hhhha（7-34）（7-35）（c）对不在对不在网格线上网格线上的任一点的任一点 c，沿，沿 x、y 方向的导数值为：方向的导数值为：de

58、（7-36）将：将：代入代入（7-37） 将将 f 在在 c 点的导数值，用点的导数值，用 f 在网格线上在网格线上4个点个点的的导数值导数值表示，和表示，和 f 在在4节点处的节点处的函数值函数值表示。表示。bcxy1 13 37 72 26 65 54 48 80 0hhhhade（3）边界节点的差分方程）边界节点的差分方程（3）边界节点的差分方程）边界节点的差分方程xy8 8hhh3 37 72 24 40 0边界边界h/2abckfjideh/4其中：其中：为为0点邻域上点邻域上所有外力的合力，即所有外力的合力，即由由0点邻域微元体点邻域微元体的平衡，有：的平衡，有：x方向：方向：将物

59、理方程和几何方程代入，有：将物理方程和几何方程代入，有：当边界的法线沿当边界的法线沿 x正方向正方向时：时：xy8 8hhh3 37 72 24 40 0边界边界h/2abckfjideh/4（7-42）应用前面的差分公式，有：应用前面的差分公式，有：xy8 8hhh3 37 72 24 40 0边界边界h/2abckfjideh/4g将式（将式（7-43）代入式（）代入式（7-42），并整理得相应于），并整理得相应于 u0 的差分方程：的差分方程：（7-43）xy8 8hh3 37 72 24 40 0边边界界h8 8 相应于相应于 u0 的差分方程的差分方程其差分计算图式：其差分计算图式：

60、xy2 24 48 83 37 70 0u0 的差分计算图式的差分计算图式y方向：方向：xy8 8hhh3 37 72 24 40 0边界边界h/2abckfjideh/4g将物理方程和几何方程代入，有：将物理方程和几何方程代入，有：（7-44）其中：其中：xy8 8hhh3 37 72 24 40 0边界边界h/2abckfjideh/4g将上式代入式（将上式代入式（7-44），并整理得相应于），并整理得相应于 v0 的差分方程：的差分方程：xy2 24 48 83 37 70 0差分计算图式：差分计算图式：v0 的差分方程的计算图式的差分方程的计算图式xy8 8hh3 37 72 24 4

61、0 0边边界界h8 8 相应于相应于 v0 的差分方程的差分方程边界边界1 1xy4 4hhh2 26 65 50 0h/2abckfjidegh/4当边界的法线沿当边界的法线沿 x负方向负方向时：时：xy6 65 54 40 02 21 1u0 的差分方程的计算图式：的差分方程的计算图式：xy4 4hhh1 12 26 65 50 0边界边界h/2abckfjidegh/4xy6 65 54 40 02 21 1v0 的差分方程的计算图式：的差分方程的计算图式：xyhhh4 41 13 38 85 50 0边界边界当边界的法线沿当边界的法线沿 y正方向正方向时：时：u0 的差分方程的计算图式

62、：的差分方程的计算图式：xy5 54 48 80 02 21 1v0 的差分方程的计算图式：的差分方程的计算图式：xy5 54 48 80 02 21 1xy边界边界当边界的法线沿当边界的法线沿 y 负方向负方向时：时：u0 的差分方程的计算图式：的差分方程的计算图式：xy1 10 03 32 27 76 6v0 的差分方程的计算图式：的差分方程的计算图式：xy1 10 03 32 27 76 6hhh0 06 67 73 31 12 20 0两边界的交点：两边界的交点：hh0 08 84 43 3xy边界边界边界边界bcadefkgij结点结点0的邻域：的邻域： h/2h/2h/2h/4h/

63、2由由结点结点0的邻域微元的平衡的邻域微元的平衡x 方向方向：利用物理方程及几何方程，有利用物理方程及几何方程，有将式中导数用差分表示，将式中导数用差分表示，hh0 08 84 43 3xy边界边界边界边界cadefbkgijh/2h/4h/2将以上各式代入平衡方程：将以上各式代入平衡方程：hh0 08 84 43 3xy边界边界边界边界cadefbkgijh/2h/4h/2得到得到结点结点0的的 u0 的差分方程：的差分方程：xy0 08 84 43 3用的用的 u0 的差分图式表示：的差分图式表示：类似地，可得类似地，可得结点结点0的的v0 的差分图式：的差分图式：hh0 08 84 43

64、 3xy边界边界边界边界cadefbkgijh/2h/4h/2类似地，可得类似地，可得结点结点0的的v0 的差分图式：的差分图式：xy0 08 84 43 3xy0 08 84 43 3用的用的 u0 的差分图式表示：的差分图式表示：7-8 7-8 位移差分解的实例位移差分解的实例一、内一、内结点结点的差分图式：的差分图式：u0 的差分图式的差分图式(Px)0 = X0 h2 ，(Py)0 = Y0 h2v0 的差分图式的差分图式1 15 56 62 24 48 83 37 70 0xyxy1 13 37 72 26 65 54 48 80 0hhhh0 04 4xy1 15 56 62 24

65、 48 83 37 70 0二、边界非零未知位移二、边界非零未知位移结点结点的差分图式：的差分图式：xy8 8hh3 37 72 24 40 0边边界界h8 82 24 48 83 37 70 0u0v02 24 48 83 37 70 0xy6 65 54 40 02 21 1u0 的差分方程的计算图式：的差分方程的计算图式：xy8 8hh0 02 26 65 51 1边界边界h4 4v0 的差分方程的计算图式：的差分方程的计算图式：xy6 65 54 40 02 21 1xyhhh4 41 13 38 85 50 0边界边界u0 的差分方程的计算图式：的差分方程的计算图式：xy5 54 4

66、8 80 02 21 1v0 的差分方程的计算图式：的差分方程的计算图式：xy5 54 48 80 02 21 1xy边界边界hhh0 06 67 73 31 12 2u0 的差分方程的计算图式：的差分方程的计算图式：xy1 10 03 32 27 76 6v0 的差分方程的计算图式：的差分方程的计算图式：xy1 10 03 32 27 76 6xy0 08 84 43 3u0 的差分图式：的差分图式：v0 的差分图式：的差分图式：xy0 08 84 43 3hh0 08 84 43 3xy边界边界边界边界cadefbkgijh/2h/4h/2hhxy边界边界边界边界1 14 45 50 0x

67、y1 14 45 50 0u0 的差分图式：的差分图式：v0 的差分图式：的差分图式：xy1 14 45 50 0hhxy边界边界边界边界2 23 30 07 7xy2 23 30 07 7u0 的差分图式：的差分图式：v0 的差分图式：的差分图式：xy2 23 30 07 7hhxy边界边界边界边界6 60 01 12 2xy6 60 01 12 2u0 的差分图式：的差分图式：v0 的差分图式：的差分图式：xy6 60 01 12 2xy例例:四边固定的矩形薄板，四边固定的矩形薄板， 其长度与宽度之比其长度与宽度之比为为1：2，密度为，密度为 ，为简单起见取泊松比，为简单起见取泊松比 =

68、0。试用。试用42的网格计算自重引起的位移的网格计算自重引起的位移与应力与应力。解解:hhabcidefgkjhhhh划分网格，编写结点号；划分网格，编写结点号；由对称性，由对称性，独立的位移分量仅为：独立的位移分量仅为：ua、va、vb、uf（ ub = vf= vg = ug = 0）内结点内结点a0 00 00 00 00 00 00 0 ua ：xy1 15 56 62 24 48 83 37 70 00 00 00 00 00 00 00 0内结点内结点a：xyhhabcidefgkjhhhh1 15 56 62 24 48 83 37 70 0xy内结点内结点a： ua ： va

69、：xyhhabcidefgkjhhhh内结点内结点b：0 00 00 00 01 15 56 62 24 48 83 37 70 0xy内结点内结点a： ua ： va ： va ：xyhhabcidefgkjhhhh边界结点边界结点 fu0 的差分方程的计算图式：的差分方程的计算图式：xy5 54 48 80 02 21 10 00 00 00 00 00 00 0 va ：xyhhabcidefgkjhhhh联立求解，得：联立求解，得：求结点应力求结点应力：xyhhabcidefgkjhhhh求结点应力求结点应力：类似地，可求结点类似地，可求结点 y方向的应力方向的应力。例例:图示矩形深梁

70、，图示矩形深梁， 左右两边固定，上边受均左右两边固定，上边受均布载荷布载荷 q 作用，试求其位移和应力。作用，试求其位移和应力。取泊松取泊松比比 = 0.2; 弹性模量为弹性模量为E。解解:qabcdefjgi划分网格，编写结点号；划分网格，编写结点号；由对称性，由对称性，独立的位移分量仅为：独立的位移分量仅为：ua、va、ud= ua，（ ug = vg= ui = vi = uj = vj = 0）ub、vb、uc、vc、ue= ub，uf= uc，vd= va，ve= vb，vf= vc结点结点a： ua5 54 48 80 02 21 10 00 00 00 0xy结点结点a：vaqx

71、yabcdefjgiv0 的差分方程的计算图式：的差分方程的计算图式：xy5 54 48 80 02 21 10 00 00 00 0结点结点b：ubqxyabcdefjgi0 00 00 0xy1 15 56 62 24 48 83 37 70 0结点结点b：vbqxyabcdefjgi1 15 56 62 24 48 83 37 70 0xy0 00 00 0结点结点c：ucqxyabcdefjgiu0 的差分方程的计算图式：的差分方程的计算图式：xy1 10 03 32 27 76 60 00 00 00 0v0 的差分方程的计算图式：的差分方程的计算图式：xy1 10 03 32 27

72、 76 6结点结点c：vcqxyabcdefjgi0 00 00 00 0整理得：整理得：qxyabcdefjgi联立求解，得：联立求解，得：qxyabcdefjgi联立求解，得：联立求解，得：求解应力：求解应力：0 00 00 00 00 00 00 00 0qxyabcdefjgi0 00 00 00 00 00 00 00 0qxyabcdefjgi0 0本本 章章 小小 结结1. 有限差分法（有限差分法（FDM）基本思想）基本思想要点：要点：差分差分微分：微分：代替代替差分方程差分方程代替代替微分方程。微分方程。（1） 中心差分公式中心差分公式（7-17-1）（7-27-2）（7-37

73、-3）（7-47-4）2. 基本差分公式基本差分公式5678yx01324hh9101112一、一、 差分法的基本思想及基本差分公式差分法的基本思想及基本差分公式混合二阶导数的差分公式：混合二阶导数的差分公式：（7-57-5）四阶导数的差分公式：四阶导数的差分公式：（7-67-6）5678yx01324hh9101112（2） 端点差分公式端点差分公式 向前差分公式向前差分公式yx0132456789101112h（7-7）向后差分公式向后差分公式（7-87-8）注：注：用于边界条件情形。用于边界条件情形。二、二、 无源、稳定温度场的差分法无源、稳定温度场的差分法（a）24yx013hh1.1

74、.稳定温度场的热传导方程稳定温度场的热传导方程2.2.稳定温度场的差分方程稳定温度场的差分方程（7-11）（1）第一类边界条件）第一类边界条件由于边界点的由于边界点的 T 值已知，值已知，因此，只需建立每因此，只需建立每一个内节点的差分方程即可求解。一个内节点的差分方程即可求解。3. 3. 温度场边界条件的引入温度场边界条件的引入（2）第二类边界条件）第二类边界条件0 02 24 43 31 1边界外边界外边界内边界内xy（7-17）（3）第三类边界条件）第三类边界条件0 02 24 43 31 1边界外边界外边界内边界内xy（7-14）（7-12）（4）不规则边界节点的处理）不规则边界节点的

75、处理0 02 24 43 31 1边界外边界外边界内边界内xyhhhA三、三、 应力函数的差分法应力函数的差分法（7-25）（1） 应力函数差分方程应力函数差分方程yx0132456789101112h1314BAhh（7-26）（7-27）（7-28）（2）确定边界结点）确定边界结点 及其及其导数值导数值的基本公式的基本公式（3）确定虚结点）确定虚结点 值值的基本公式的基本公式（3）确定虚结点）确定虚结点 值值的基本公式的基本公式（7-29）yx0132456789101112h1314BAhhC16D1715（4）不规则不规则边界内节点、虚节点边界内节点、虚节点 值值hhh10956B h

76、边边界界外外（5）结点）结点应力分量的差分公式应力分量的差分公式（7-24）四、四、 温度应力问题的应力函数的差分法温度应力问题的应力函数的差分法（1）温度应力问题应力函数法的基本方程：）温度应力问题应力函数法的基本方程：（e）（f）（d） 温度应力问题的边界条件温度应力问题的边界条件（2）温度应力问题差分方程）温度应力问题差分方程（7-30） 温度应力问题的差分方程温度应力问题的差分方程（7-31） 温度应力边界的差分形式温度应力边界的差分形式yx0132456789101112h1314BAhh一、内一、内结点结点的差分图式：的差分图式：u0 的差分图式的差分图式(Px)0 = X0 h2

77、 ，(Py)0 = Y0 h2v0 的差分图式的差分图式1 15 56 62 24 48 83 37 70 0xyxy1 13 37 72 26 65 54 48 80 0hhhh0 04 4xy1 15 56 62 24 48 83 37 70 0五、五、 位移差分法位移差分法二、边界非零未知位移二、边界非零未知位移结点结点的差分图式：的差分图式：xy8 8hh3 37 72 24 40 0边边界界h8 82 24 48 83 37 70 0u0v02 24 48 83 37 70 0xy6 65 54 40 02 21 1u0 的差分方程的计算图式：的差分方程的计算图式：xy8 8hh0

78、02 26 65 51 1边界边界h4 4v0 的差分方程的计算图式：的差分方程的计算图式：xy6 65 54 40 02 21 1xyhhh4 41 13 38 85 50 0边界边界u0 的差分方程的计算图式：的差分方程的计算图式：xy5 54 48 80 02 21 1v0 的差分方程的计算图式：的差分方程的计算图式：xy5 54 48 80 02 21 1xy边界边界hhh0 06 67 73 31 12 2u0 的差分方程的计算图式：的差分方程的计算图式：xy1 10 03 32 27 76 6v0 的差分方程的计算图式：的差分方程的计算图式：xy1 10 03 32 27 76 6

79、xy0 08 84 43 3u0 的差分图式：的差分图式：v0 的差分图式：的差分图式：xy0 08 84 43 3hh0 08 84 43 3xy边界边界边界边界cadefbkgijh/2h/4h/2hhxy边界边界边界边界1 14 45 50 0xy1 14 45 50 0u0 的差分图式：的差分图式：v0 的差分图式：的差分图式：xy1 14 45 50 0hhxy边界边界边界边界2 23 30 07 7xy2 23 30 07 7u0 的差分图式：的差分图式：v0 的差分图式：的差分图式：xy2 23 30 07 7hhxy边界边界边界边界6 60 01 12 2xy6 60 01 12 2u0 的差分图式：的差分图式：v0 的差分图式：的差分图式：xy6 60 01 12 2作作 业业0 02 24 43 31 1边界外边界外边界内边界内xyhhAB（7-16）试推导具有图示不规则边界节点试推导具有图示不规则边界节点 A、B 时，节点时，节点 0 的差分方程（的差分方程（7-16）。）。补充题：补充题：7-27-3选做题：选做题：作作 业：业： 10-5作作 业：业： 7-5