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1、王一夫王一夫北京理工大学理学院数学系北京理工大学理学院数学系办公室：中心教学楼办公室：中心教学楼8238231复变函数与积分变换的应用背景复变函数与积分变换的应用背景 世界著名数学家世界著名数学家 M.KlineM.Kline指出：指出：1919世纪最独特的创造是复变函数理论。世纪最独特的创造是复变函数理论。 象微积分的直接扩展统治了象微积分的直接扩展统治了1818世纪世纪那样，该数学分支几乎统治了那样，该数学分支几乎统治了1919世纪。世纪。 它曾被称为这个世纪的数学享受，它曾被称为这个世纪的数学享受，也曾作为抽象科学中最和谐的理论。也曾作为抽象科学中最和谐的理论。21616世纪世纪，解代数
2、方程时引入复数，解代数方程时引入复数1717世纪世纪，实变初等函数推广到复变数情形，实变初等函数推广到复变数情形1818世纪世纪，J.J.达朗贝尔与达朗贝尔与L.L.欧拉逐步阐明复数的几欧拉逐步阐明复数的几 何、物理意义。何、物理意义。20世纪1918171631919世纪世纪，奠定理论基础。，奠定理论基础。A.L.CauchyA.L.Cauchy、维尔斯特拉、维尔斯特拉斯分别用积分和级数研究复变函数，黎曼研究复变斯分别用积分和级数研究复变函数，黎曼研究复变函数的映射性质函数的映射性质2020世纪世纪，发展为数学分支，发展为数学分支, ,在解析性质、映射性质、在解析性质、映射性质、多值性质、随
3、机性质、函数空间及多复变函数等方多值性质、随机性质、函数空间及多复变函数等方面有重要成果。面有重要成果。4空气动力学流体力学电学热学复变函数论复变函数论在空气动力学、流体力学、电学、热学、在空气动力学、流体力学、电学、热学、 理论物理等领域有重要应用。理论物理等领域有重要应用。复变函数论564）应用于计算绕流问题中的压力、力矩）应用于计算绕流问题中的压力、力矩。5）应用于计算渗流问题。）应用于计算渗流问题。 例如：大坝、钻井的浸润曲线。例如：大坝、钻井的浸润曲线。6）应用于平面热传导问题、电）应用于平面热传导问题、电(磁磁)场强度场强度。 例如：热炉中温度的计算。例如：热炉中温度的计算。 最著
4、名的例子是飞机机翼剖面压力的计算。最著名的例子是飞机机翼剖面压力的计算。 从而解决机翼的造型。从而解决机翼的造型。77）Laurent级数应用于数字信号处理。级数应用于数字信号处理。8）积分变换也是复变函数的重要应用。）积分变换也是复变函数的重要应用。9）Laplace变换可以求解微积分方程变换可以求解微积分方程。积分变换的理论需要复变函数的留数等理论。积分变换的理论需要复变函数的留数等理论。利用利用Laurent级数直接写出离散数字信号的级数直接写出离散数字信号的Z变换。变换。810）Laplace变换应用于控制问题。变换应用于控制问题。在控制问题中，传递函数是输入量的在控制问题中，传递函数
5、是输入量的Laplace变变换与输出量的换与输出量的Laplace变换之比变换之比。11）Fourier变换应用于频谱分析。变换应用于频谱分析。12）Fourier变换应用于信号处理。变换应用于信号处理。频谱分析是把周期信号展开成频谱分析是把周期信号展开成Fourier级数，级数，对各次谐波的频率、振幅、相位之间的关系进对各次谐波的频率、振幅、相位之间的关系进行分析。行分析。随着计算机的发展，语音、图象作为信号，在随着计算机的发展，语音、图象作为信号，在频率域中的处理要方便得多。频率域中的处理要方便得多。9复变函数与积分变换的主要内容复变函数与积分变换的主要内容1 1 引论引论2 2 解析函数
6、解析函数3 3 复积分复积分4 4 级数级数5 5 留数及应用留数及应用6 6 保角映射保角映射7 7 积分变换积分变换10第一章第一章 复数和复变函数及其极限复数和复变函数及其极限1-1 复数及其运算复数及其运算1-2 复平面上曲线和区域复平面上曲线和区域1-3 复变函数与整线性映射复变函数与整线性映射1-4 复变函数的极限和连续复变函数的极限和连续111-1 1-1 复数及其运算复数及其运算一、复数的概念及其表示法一、复数的概念及其表示法二二、复数的代数运算复数的代数运算三三* * 、扩充复平面与复球面、扩充复平面与复球面12一、复数的概念一、复数的概念 对对虚数虚数单位单位, ,作如下作
7、如下规定规定: :. 在实数范围内无解，在实数范围内无解，为了解方程的需要，例如：方程为了解方程的需要，例如：方程虚数单位。虚数单位。称为称为人们引入了一个新数人们引入了一个新数 i13虚数单位的特性虚数单位的特性: :14复复 数数 15例例1 1复数复数取何值时取何值时实数实数,m解解令令16 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为个复数称为共轭复数共轭复数, ,共轭复数共轭复数17二、二、 复数的表示方法复数的表示方法（1）定义表示形式）定义表示形式18（2）复数的平面表示法）复数的平面表示法19显然成立：显然成立：（3）复数的向量表示法）复数
8、的向量表示法20注意注意 1辐角不确定，没有辐角辐角不确定，没有辐角. .注意注意 2复数辐角的定义复数辐角的定义21辐角主值的定义辐角主值的定义2223利用直角坐标与极坐标的关系利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成复数可以表示成（4） 复数的三角表示法复数的三角表示法24利用利用Euler公式公式（5） 复数的指数表示法复数的指数表示法25例例3 3 将下列复数化为三角表示式与指数表示式将下列复数化为三角表示式与指数表示式: :解解故故26故故27故故28三、三、 复数的代数运算复数的代数运算复数相等的概念复数相等的概念定义定义: :设复数设复数 复数复数则则29 显然有显然有注注 非实
9、数的非实数的复数不能比较大小。复数不能比较大小。30两个复数的和与差两个复数的和与差两个复数的积两个复数的积两个复数的商两个复数的商31复数运算的性质复数运算的性质32以上各式证明略以上各式证明略33复数和与差的模的性质复数和与差的模的性质共轭复数的几何性质共轭复数的几何性质34例例 1 1解解3536例例 2 解解37例例 3 解解38例例 4 证证39乘幂与方根40两复数相乘就是把模数相乘两复数相乘就是把模数相乘, , 辐角相加辐角相加. .从几何上看从几何上看, 两复数对应的向量分别为两复数对应的向量分别为 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数
10、乘积的辐角等于它们的辐角的和两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.41注意注意:而是两个数集相等而是两个数集相等. 即左端任给一值即左端任给一值, 右端必有右端必有值与它相对应；反过来是如此值与它相对应；反过来是如此.例如例如42n 个复数相乘的情况个复数相乘的情况:43同样，同样，于是于是44 两个复数商的模等于它们模的商；两个复数两个复数商的模等于它们模的商；两个复数商的辐角等于被除数与除数的辐角之差商的辐角等于被除数与除数的辐角之差. .则则45对于非零复数有：对于非零复数有：46例例5 5解解,3cos3sin ),31(21 21p pp piziz- -= =- -= =已知已知4
11、7 n 次幂次幂de Moivr 公式公式48例例6 6 求求 的所有值的所有值解：解： 故有故有 因为因为49可以推得可以推得: n 次次方根方根从几何上看从几何上看, 5051推导过程如下：推导过程如下：52当当 k 以其他整数值代入时以其他整数值代入时, 这些根又重复出现这些根又重复出现. 53例例7 7 设设 ，求，求 解解： 因为因为， 故，故， 于是，于是， z z 的四个四次方根为的四个四次方根为54例例8 8解解5556例例9 9解解即即5758例例1010解解故故原方程可写成原方程可写成59故原方程的根为故原方程的根为60四、扩充复平面四、扩充复平面与复球面与复球面61 球面
12、上的点球面上的点, 除去北极除去北极 N 外外, 与复平面内与复平面内的点之间存在着一一对应的关系的点之间存在着一一对应的关系. 我们用球面我们用球面上的点来表示复数上的点来表示复数. 球面上的北极球面上的北极 N N 不能对应复平面上的定不能对应复平面上的定点，但点，但球面上的点离北极球面上的点离北极 N N 越近，它所表示越近，它所表示的复数的模越大的复数的模越大. .62 我们规定我们规定: 复数中有一个唯一的复数中有一个唯一的“无穷大无穷大”与复平面上的无穷远点相对应与复平面上的无穷远点相对应, 记作记作 . 因而因而, 球面上的北极球面上的北极 N 就是复数无穷大就是复数无穷大的几何表示的几何表示.63包括无穷远点的复平面称为包括无穷远点的复平面称为扩充复平面扩充复平面. . 不包括无穷远点的复平面称为有限不包括无穷远点的复平面称为有限复平面复平面, , 或简称复平面或简称复平面. . 引入复球面后，能将扩充复平面的无穷远引入复球面后，能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来点明显地表示出来. . 球面上的每一个点与扩充复平面的每一个球面上的每一个点与扩充复平面的每一个点构成了一一对应点构成了一一对应, , 这样的球面称为这样的球面称为复球面复球面. .64
