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1、第三章第三章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换主要内容主要内容n离散傅里叶级数（离散傅里叶级数（DFS）n离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）n抽样抽样z变换变换频域抽样理论频域抽样理论一一.DFT是重要的变换是重要的变换 1.分析有限长序列的有用工具。分析有限长序列的有用工具。 2.在信号处理的理论上有重要意义。在信号处理的理论上有重要意义。 3.在运算方法上起核心作用，谱分析、在运算方法上起核心作用，谱分析、 卷积、相关都可以通卷积、相关都可以通DFT在计算机上在计算机上 实现。实现。 3-1引言二二.DFT是现代信号处理桥梁是现代信号处理桥梁 DFT要解决两个问题：要解决两个问题：一是一
2、是离散离散与与量化量化，二是二是快速运算。快速运算。傅里叶变换的几种形式：傅里叶变换的几种形式： 时间函数时间函数 频率函数频率函数v连续时间、连续频率连续时间、连续频率傅里叶变换傅里叶变换v连续时间、离散频率连续时间、离散频率傅里叶级数傅里叶级数v离散时间、连续频率离散时间、连续频率序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换v离散时间、离散频率离散时间、离散频率离散傅里叶变换离散傅里叶变换 FT3.2 傅里叶变换的几种可能形式傅里叶变换的几种可能形式t00 FS 时域周期化，频域离散化时域周期化，频域离散化0t-0时域离散化时域离散化，频域周期化频域周期化。DTFTx(nT)T-T0T2Tt0-但是，
3、前三种傅里叶变换对都不适于计算机但是，前三种傅里叶变换对都不适于计算机上运算，因为它们至少在一个域（时域或频域）中上运算，因为它们至少在一个域（时域或频域）中函数是连续的。函数是连续的。因此，我们感兴趣的是因此，我们感兴趣的是时域及频域都是离散时域及频域都是离散的情况。的情况。若时域离散并周期化若时域离散并周期化，频域周期化并离散化。频域周期化并离散化。t0T 2T1 2 N n0 0 1 2 3kx(nT)=x(n)四种傅里叶变换形式的归纳四种傅里叶变换形式的归纳 时间函数时间函数频率函数频率函数连续和非周期连续和非周期非周期和连续非周期和连续连续和周期连续和周期(T0)非周期和离散非周期和
4、离散(0=2/T0)离散离散(T)和非周期和非周期周期周期(s=2/T)和连续和连续离散离散(T)和周期和周期(T0) 周期周期(s=2/T)和离散和离散(0=2/T0)DFT的简单推演： 在一个周期内，可进行如下变换：视作n的函数，视作k的函数，这样,正反3.3 离散傅里叶级数离散傅里叶级数DFS ( Discrete Fourier Series ) 连连续续周周期期信信号号:周期序列周期序列 ( r 为整数为整数, N 为周期为周期) 导出周期序列导出周期序列DFS的传统方法是从连的传统方法是从连续的周期信号的复数傅氏级数开始的续的周期信号的复数傅氏级数开始的一、周期序列DFS的引入因
5、是离散的，所以 应是周期的。代入而且，其周期为 ，因此 应是N点的周期序列。 又由于又由于 所以求和可以在一个周期内进行，即所以求和可以在一个周期内进行，即 这就是说，当在这就是说，当在k=0,1,., N-1求和求和与在与在k=N,.,2N-1求和所得的结果是一求和所得的结果是一致的。致的。二二. 的的k次谐波系数次谐波系数 的求法的求法1.预备知识预备知识 同样，当同样，当 时时，p也为任意整数，则也为任意整数，则2. 的表达式的表达式 将式将式 的两端乘的两端乘 ，然后从，然后从 n=0到到N-1求和求和则：则：的DFS 通常将定标因子通常将定标因子1/N移到移到 表示式中。表示式中。即
6、：即：3.离散傅氏级数的习惯表示法离散傅氏级数的习惯表示法 通常用符号通常用符号 代入，代入，则：则：DFSDFS的图示说明的图示说明函数的几个性质：1.共轭对称性：2.同期性：i为整数3.可约性：4.正交性：i为整数4. 的周期性与用的周期性与用Z变换的关系变换的关系 可看作是对可看作是对 的一个周的一个周期期 做做z z变换然后将变换然后将z z变换在变换在z z平面单位圆上按等间隔角平面单位圆上按等间隔角 抽样得到抽样得到K=01234567jImRez|z|=1N=8例：周期序列例：周期序列 展开为展开为DFSDFS，求其系数。求其系数。解：解：方法方法1 1 整理整理x(n)有有(N
7、=12)(N=12)：与与DFSDFS定义对比知：在定义对比知：在 和和 时：时： 方法方法2 2 由定义式直接计算，得由定义式直接计算，得 -2 -1 0 1 2 10 11 nN=12-2 -1 0 1 2 11 12 k63.4 离散傅里叶级数离散傅里叶级数的性质的性质FSFS性性1、线性：、线性：其中，其中， 为任意常数为任意常数若若则则2、序列的移位、序列的移位3、调制特性、调制特性4、对偶性、对偶性证：证：5、周期卷积和、周期卷积和若若则则讨论讨论: : 周期卷积与线性卷积周期卷积与线性卷积的区别在于：周期卷积求和的区别在于：周期卷积求和只在一周期内进行。只在一周期内进行。( (注
8、意周期信号的线性卷积不存在注意周期信号的线性卷积不存在) )式中的卷积称为式中的卷积称为周期卷积周期卷积0 5 0 5 4 3 2 1 4 3 2 15 4 5 4 3 2 1 0 3 2 1 04 3 4 3 2 1 0 5 2 1 0 53 2 3 2 1 0 5 4 1 0 5 42 1 2 1 0 5 4 3 0 5 4 31 0 1 0 5 4 3 2 5 4 3 21 2 1 2 3 4 5 0 3 4 5 01 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 06 7 0 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -110 8 6 10 14 12 同样，利用对称性同样，利用对称性 若若则则
9、3.5 离散傅里叶变换离散傅里叶变换有限长序列的离散频域表示有限长序列的离散频域表示n在进行在进行DFSDFS分析时，时域、频域序列都是无限分析时，时域、频域序列都是无限长的周期序列长的周期序列n周期序列实际上只有有限个序列值有意义周期序列实际上只有有限个序列值有意义n长度为长度为N N的有限长序列可以看成周期为的有限长序列可以看成周期为N N的周期的周期序列的一个周期（主值序列）序列的一个周期（主值序列）n借助借助DFSDFS变换对，取时域、频域的变换对，取时域、频域的主值序列主值序列可可以得到一个新的变换以得到一个新的变换DFTDFT，即，即有限长序列的有限长序列的离散傅里叶变换离散傅里叶
10、变换另外一种写法是其中其中 表示对表示对 n 取模取模N 运算运算(或模或模 N的余数的余数)。对周期信号而言对周期信号而言, , 或或 。举例：举例：设周期为设周期为 N=6N=6。则有周期序列和求余运算：则有周期序列和求余运算： 或或 这是因为：这是因为： (19=36+1)(19=36+1) 同理同理 或或 这是因为：这是因为： (-2=-16+4)(-2=-16+4) 同样：同样：X(k)也是一个也是一个N点的有限长序列点的有限长序列有限长序列的有限长序列的DFTDFT定义式定义式关于离散傅里叶变换关于离散傅里叶变换(DFT)：n序列序列x(n)在时域是有限长的在时域是有限长的(长度为
11、长度为N)，它的离它的离散傅里叶变换散傅里叶变换X(k)也是离散、有限长的也是离散、有限长的(长度也长度也为为N)。nn为时域变量，为时域变量，k为频域变量。为频域变量。n离散傅里叶变换与离散傅里叶级数没有本质区别，离散傅里叶变换与离散傅里叶级数没有本质区别，DFT实际上是离散傅里叶级数的主值，实际上是离散傅里叶级数的主值，DFT也隐也隐含有周期性。含有周期性。n离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)具有唯一性。具有唯一性。nDFT的物理意义：序列的物理意义：序列x(n)的的Z变换在单位圆上变换在单位圆上的等角距取样。的等角距取样。x(n)的的N点点DFT是是 x(n)的的z变换在单位圆上的变
12、换在单位圆上的N点等间隔抽样；点等间隔抽样； x(n)的的DTFT在区间在区间0,2上的上的N点等间隔抽样。点等间隔抽样。例例1 1、计算、计算 (N=12)(N=12)的的N N点点DFT.DFT.解：解： N=4点的点的DFT？3.6 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质1、线性、线性这里，序列长度及这里，序列长度及DFT点数均为点数均为N若不等，分别为若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度则需补零使两序列长度相等，均为相等，均为N，且且若若则则v 有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而对频谱幅度无影响。对频谱幅度无影响。v时域序列的调
13、制等效于频域的圆周移位时域序列的调制等效于频域的圆周移位2 2、圆周移位、圆周移位其中其中 ；同理可证另一公式。；同理可证另一公式。证：证：推论：推论：q从图中两虚线之间的从图中两虚线之间的主值序列的移位情况可主值序列的移位情况可以看出：以看出：q当主值序列左移当主值序列左移m m个个样本时，从右边会同时样本时，从右边会同时移进移进m m个样本个样本q好像是刚向左边移出好像是刚向左边移出的那些样本又从右边循的那些样本又从右边循环移了进来环移了进来q因此取名因此取名“循环移位循环移位”。q显然，循环移位不同显然，循环移位不同于线性移位于线性移位 若若则则证：证：3 3、对偶性、对偶性4 4、圆周
14、共轭对称性、圆周共轭对称性第二章 2.9小节讨论了共轭对称序列与共轭反对称序列的概念，那里的对称性是指关于坐标原点的对称性。DFT也有类似的对称性，但DFT中涉及的序列x(n)是及其离散付立叶变换X(k)均为有限长序列，且定义区间为0到N-1，因此若用2.9小节关于对称性方法定义，算出的共轭对称分量与共轭反对称分量都是(2N-1)点。对于DFT来说，其对称性是指关于N/2点的对称性。其中：共轭反对称分量：共轭对称分量：任意周期序列：定义定义：则任意有限长序列：则任意有限长序列：圆周共轭反对称序列：圆周共轭反对称序列：圆周共轭对称序列：圆周共轭对称序列：证明：证明： 则则 序列序列 DFT共轭对
15、称性共轭对称性序列序列 DFT实实数数序序列列的的共共轭轭对对称称性性纯纯虚虚数数序序列列的的共共轭轭对对称称性性 例：设例：设x1(n)和和x2(n)都是都是N点的实数序列，试用点的实数序列，试用一次一次N点点DFT运算来计算它们各自的运算来计算它们各自的DFT: 五、五、Parseval Theory若若令令 y(n) = x(n)表明序列时域、频域能量相等表明序列时域、频域能量相等六、圆周卷积和六、圆周卷积和圆周卷积圆周卷积A A：设设则则实际上，实际上，圆周卷积为周期卷积的主值序列圆周卷积为周期卷积的主值序列。即。即圆周卷积圆周卷积B B：设设圆周卷积记为圆周卷积记为NN圆周卷积过程：
16、1）补零2）周期延拓3）翻褶，取主值序列4）圆周移位5）相乘相加NN证明： 相当于将 作周期卷积和后，再取主值序列。将 周期延拓：则有：在主值区间 ，所以：同样可证：NN2.时域圆周卷积过程N-10nN-10n0m0m0m0m0233211N-1nN七.有限长序列的线性卷积与圆周卷积1.线性卷积 的长度为 的长度为 它们线性卷积为 的非零区间为 的非零区间为 两不等式相加得 也就是 不为零的区间. 例如:1012n1012n3m-1-2-3mm1012mmn2103145233211012m2.用圆周卷积计算线性卷积用圆周卷积计算线性卷积 圆周卷积是线性卷积的周期延拓序圆周卷积是线性卷积的周期
17、延拓序列的主值序列列的主值序列. 的长度为的长度为 , 的长度为的长度为 先构造长度均为先构造长度均为L长的序列长的序列, 即将即将 补零点补零点;然后再对它们进行周期延拓然后再对它们进行周期延拓 ，即，即 所以得到周期卷积：所以得到周期卷积： 可见可见,周期卷积为线性卷积的周期周期卷积为线性卷积的周期延拓延拓,其周期为其周期为L.由于由于 有有 个非零值个非零值,所以周期所以周期L必须满足必须满足: 又由于圆周卷积是周期卷积的主值又由于圆周卷积是周期卷积的主值序列序列,所以圆周卷积是线性卷积的周期延所以圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列拓序列的主值序列,即即结论：若则L点圆周卷积能代
18、表线性卷积。八、线性相关与圆周相关八、线性相关与圆周相关线性相关：线性相关：自相关函数：自相关函数：相关函数不满足交换率：相关函数不满足交换率：相关函数的相关函数的z变换：变换：相关函数的频谱：相关函数的频谱：圆周相关定理圆周相关定理当当 时，时，圆周相关可完全代表线性相关圆周相关可完全代表线性相关类似于线性卷积与圆周卷积之间的关系类似于线性卷积与圆周卷积之间的关系 3-7 抽样抽样Z变换变换-频域抽样理论频域抽样理论一一.如何从频域抽样恢复原序列如何从频域抽样恢复原序列1.两种抽样两种抽样 时域抽样时域抽样: 对一个频带有限的信号对一个频带有限的信号,根据抽样定理对根据抽样定理对其进行抽样其
19、进行抽样,所得抽样信号的频谱是原带限信所得抽样信号的频谱是原带限信号频谱的周期延拓号频谱的周期延拓,因此因此,完全可以由抽样信号完全可以由抽样信号恢复原信号。恢复原信号。 频域抽样频域抽样: 对一有限序列对一有限序列(时间有限序列时间有限序列)进行进行DFT所所得得x(k)就是序列傅氏变换的采样就是序列傅氏变换的采样.所以所以DFT就就是频域抽样。是频域抽样。2.由由频域频域抽样恢复序列抽样恢复序列 一个绝对可和的非周期序列一个绝对可和的非周期序列x(n)的的Z变换为变换为 由于由于x(n)绝对可和绝对可和,故其傅氏变换存在故其傅氏变换存在且连续且连续,也即其也即其Z变换收敛域包括单位圆。这样
20、变换收敛域包括单位圆。这样,对对X(Z)在单位圆上在单位圆上N等份抽样等份抽样,就得到就得到对对 进行反变换进行反变换,并令其为并令其为 ,则则 可见可见,由由 得到的周期序列得到的周期序列 是非周期序列是非周期序列x(n)的周期延的周期延拓。拓。 也就是说也就是说,频域抽样造成时域周期延拓。频域抽样造成时域周期延拓。1 , m=n+rN , 0 , 其他m3.频域抽样不失真的条件频域抽样不失真的条件 当当x(n)不是有限长时，无法周期延拓；不是有限长时，无法周期延拓； 当当x(n)为长度为长度M,只有只有N M时时,才能不失才能不失真的恢复信号真的恢复信号,即即1.由由X(k)恢复恢复X(Z
21、) 序列序列x(n),（0 n N-1）的的Z变换为变换为由于由于 ，所以（下所以（下页！）页！）上式就是由上式就是由X(k)恢复恢复X(Z)的的内插公式内插公式,其其中中2.内插函数的特性内插函数的特性 将内插函数写成如下式将内插函数写成如下式:。 令分子为零令分子为零,得得 ； 所以有所以有N个零点。令分母为零个零点。令分母为零,得得 为为 一阶极点一阶极点, Z=0为为(N-1)阶极点。但是极点阶极点。但是极点 与一零点相消。这样只有与一零点相消。这样只有(N-1)个零点个零点,抽样点抽样点 称作本抽样点。因此说称作本抽样点。因此说,内插函数仅在本抽样点处不内插函数仅在本抽样点处不 为零
22、为零,其他其他(N-1)个抽样点均为零。个抽样点均为零。3.频率响应 单位圆上的Z变换即为频响, 代入4.内插函数的频率特性 可见, 既是 的函数又是k的函数,其可表示为 当k=0时,则有 时, 时, ，所以 求极限方法解之 当当N=5时时, 的幅度特性的幅度特性 和和相相 位特性位特性 ,如下图：如下图：其中，N=5此抽样点处相位突变 由于由于i与与k均为整数均为整数,所以所以i k 时时 这就是说这就是说,内插函数在本抽样点内插函数在本抽样点 上上 , 而在其他抽样点上而在其他抽样点上 5. 与与X(k)的关系的关系 由于由于 的特性可知的特性可知,在每个抽在每个抽 样点样点上其值为上其值
23、为1, 故故 就精确等于就精确等于X(k)。即即 而在抽样点之间而在抽样点之间, 等于等于加权加权的内的内插函数值插函数值 叠加而得。叠加而得。 3-8 利用利用DFT对连续时间信号的逼近对连续时间信号的逼近一一.用用DFT计算连续时间信号的傅氏变换可能造成的误差计算连续时间信号的傅氏变换可能造成的误差 1.混叠现象混叠现象 为避免混叠为避免混叠,由抽样定理可知，须满足由抽样定理可知，须满足 其中其中, 为抽样频率为抽样频率; 为信号的最高频率分量；为信号的最高频率分量； 或者或者 其中其中,T为抽样间隔。为抽样间隔。 例 有一频谱分析用的FFT处理器，其抽样点数必须是2的整数幂。 假定没有采
24、用任何特殊的数据处理措施，已知条件为（1）频 率分辨率为 ，（2） 信号的最高频率 ，试确定 以下参量：（1）最小记录长度 ;(2) 抽样点间的最大时间 间隔T; (3) 在一个记录中的最小点数N。解：（a） 最小记录长度（b）最大的抽样时间间隔T2.频谱泄漏频谱泄漏 在实际应用中，通常将所观测的信号在实际应用中，通常将所观测的信号 限制在一定的时间间隔内限制在一定的时间间隔内,也也 就是说，就是说，在时域对信号进行截断操作在时域对信号进行截断操作,或称作：加时或称作：加时间窗间窗,亦即用时间窗函数乘以信号亦即用时间窗函数乘以信号,由卷积定由卷积定理可知，时域相乘理可知，时域相乘,频域为卷积频
25、域为卷积,这就造成拖这就造成拖尾现象尾现象,称之为频谱泄漏称之为频谱泄漏.0n0nn3.栅栏效应栅栏效应 用用DFT计算频谱时，只是知道为频率计算频谱时，只是知道为频率 的整数倍处的频谱。在两个谱线之间的整数倍处的频谱。在两个谱线之间 的情况就不知道的情况就不知道,这相当通过一个栅栏观察这相当通过一个栅栏观察 景象一样，故称作栅栏效应。景象一样，故称作栅栏效应。 补零点加大周期补零点加大周期 ，可使，可使 变小来提变小来提高分辨力，以减少栅栏效应。高分辨力，以减少栅栏效应。二二.DFT与连续时间信号傅氏变换间相对数值的确定与连续时间信号傅氏变换间相对数值的确定 1.连续时间非周期信号傅氏变换对
26、连续时间非周期信号傅氏变换对3.DFT变换时变换时: 4.用用DFT计算非周期信号的傅氏变换计算非周期信号的傅氏变换 用用DFT计算所得的频谱分量乘以计算所得的频谱分量乘以T， 就就 等于频谱的正常幅度电平；用等于频谱的正常幅度电平；用IDFT计算非周计算非周 期信号的傅氏反变换，再乘以期信号的傅氏反变换，再乘以 就得到所需就得到所需 信号的正常幅度电平。所以信号的正常幅度电平。所以,从时间到频率从时间到频率, 再从频率到时间，整个过程总共乘了再从频率到时间，整个过程总共乘了 幅度电平未受到影响。幅度电平未受到影响。设5.用用DFT计算周期信号的傅氏级数计算周期信号的傅氏级数 用用DFT计算出的频谱分量计算出的频谱分量乘以乘以 1/N等等于周期信号的频谱的正常幅度电平。而用于周期信号的频谱的正常幅度电平。而用IDFT的计算结果乘以的计算结果乘以N才等于周期信号。才等于周期信号。见式（见式（3-112）和和式（式（3-113）。）。
