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1、第三章三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数考考纲纲考情考情广广东东五年五年0 0考高考指数考高考指数: :1.1.了解任意角的概念了解任意角的概念; ;了解弧度制的概念了解弧度制的概念2.2.能能进进行弧度与角度的互化行弧度与角度的互化3.3.理解任意角的三角函数理解任意角的三角函数( (正弦、余弦、正切正弦、余弦、正切) )的定的定义义五年五年考考题题无无单单独命独命题题考情考情播播报报虽虽然近五年广然近五年广东东高考在本高考在本节节没有没有单单独命独命题题, ,估估计计高考高考将会出将会出现现如下情况如下情况: :1.1.三角函数的定三角函数的定义义与三角恒等与三角恒等
2、变换变换等相等相结结合合, ,考考查查三三角函数求角函数求值问题值问题2.2.三角函数的定三角函数的定义义与向量等知与向量等知识识相相结结合合, ,考考查查三角函三角函数定数定义义的的应应用用3.3.主要以主要以选择题选择题、填空、填空题为题为主主, ,属中低档属中低档题题【知知识识梳理梳理】1.1.角的有关概念角的有关概念角的特点角的特点角的分角的分类类从运从运动动的角度看的角度看角可分角可分为为_、_和和_从从终边终边位置来看位置来看可分可分为为_和和轴线轴线角角与与角的角的终边终边相同相同= _(kZ)= _(kZ)( (或或=_,kZ)=_,kZ)正角正角负负角角零角零角象限角象限角+
3、k+k360360+k+k222.2.象限角与象限角与轴线轴线角角(1)(1)象限角象限角: :(2)(2)轴线轴线角角: :3.3.弧度的概念与相关公式弧度的概念与相关公式在半径在半径为为r r的的圆圆中中分分类类定定义义( (公式公式) )1 1弧度的角弧度的角长长度等于度等于_的弧所的弧所对对的的圆圆心角心角, ,用符号用符号radrad表示表示角角的弧度数公式的弧度数公式| | |_ ( (弧长用弧长用l表示表示) ) 角度与弧度的角度与弧度的换换算算1 1_ _ radrad1 1 radrad_半径半径长长分分类类定定义义( (公式公式) )弧弧长长公式公式弧弧长长l= _= _扇
4、形的面扇形的面积积公式公式S S_| |r|r三角函数三角函数正弦正弦余弦余弦正切正切定定义义设设是一个任意角是一个任意角, ,它的它的终边终边与与单单位位圆圆交于点交于点P(x,yP(x,y),),那么那么y y叫做叫做的的_,_,记记作作sinsinx x叫做叫做的的_,_,记记作作coscos 叫做叫做的的_,_,记记作作tantan各各象象限限符符号号 _口口诀诀一全正一全正, ,二正弦二正弦, ,三正切三正切, ,四余弦四余弦4.4.任意角的三角函数任意角的三角函数正正弦弦余余弦弦正正切切正正正正正正正正负负负负负负负负正正负负正正负负三角函数三角函数正弦正弦余弦余弦正切正切三角三角
5、函数函数线线有向有向线线段段_为为正弦正弦线线有向有向线线段段_为为余弦余弦线线有向有向线线段段_为为正切正切线线MPMPOMOMATAT【考点自考点自测测】1.(1.(思考思考) )给给出下列命出下列命题题: :三角形的内角必是第一、二象限角三角形的内角必是第一、二象限角; ;第一象限角必是第一象限角必是锐锐角角; ;不相等的角不相等的角终边终边一定不相同一定不相同; ;若若=+k=+k720720(kZ),(kZ),则则和和终边终边相同相同; ;点点P(tan,cosP(tan,cos) )在第三象限在第三象限, ,则则角角的的终边终边在第二象限在第二象限. .其中正确的是其中正确的是(
6、() )A.A.B.B.C.C.D.D.【解析解析】选选D.D.错误错误.90.90的角可以是三角形的内角的角可以是三角形的内角, ,但它不是但它不是第一、二象限角第一、二象限角. .错误错误.390.390的角是第一象限角的角是第一象限角, ,但它不是锐角但它不是锐角. .错误错误.390.390的角和的角和3030的角不相等的角不相等, ,但终边相同但终边相同. .正确正确. .由终边相同的角的概念可知正确由终边相同的角的概念可知正确. .正确正确. .由已知得由已知得tantan0,cos0,0,cos0,所以所以为第二象限角为第二象限角. .2.2.在在-360-3600 0范范围围内
7、与角内与角12501250终边终边相同的角是相同的角是( () )A.-210A.-210B.-150B.-150C.-190C.-190D.-170D.-170【解析解析】选选C.C.因为因为12501250=3=3360360+170+170, ,所以在所以在-360-3600 0范围内与角范围内与角12501250终边相同的角是终边相同的角是170170-360-360=-190=-190. .3.3.已知角已知角的余弦的余弦线线是是单单位位长长度的有向度的有向线线段段, ,那么角那么角的的终边终边在在( () )A.xA.x轴轴上上 B.yB.y轴轴上上C.C.直直线线y=xy=x上上
8、 D.D.直直线线y=-xy=-x上上【解析解析】选选A.A.由角由角的余弦线长度为的余弦线长度为1 1分析可知分析可知, ,角角的终边在的终边在x x轴上轴上. .4.(20144.(2014沈阳模拟沈阳模拟) )已知点已知点P(sinP(sin -cos-cos ,tan,tan ) )在第一在第一象限，则在象限，则在0 0，22内内的取值范围是的取值范围是( )( )【解析解析】选选D.D.由已知得由已知得解得解得 即即5. 5. 弧长为弧长为33，圆心角为，圆心角为135135的扇形半径为的扇形半径为_，面积为，面积为_【解析解析】弧长弧长l33，圆心角，圆心角 由弧长公式由弧长公式l
9、| |r|r得得 面积面积答案：答案：4 64 66.6.角角终边上有一点终边上有一点P(x,5)P(x,5)，且，且 (x0)(x0)，则，则sin sin _._.【解析解析】因为因为所以所以 因为因为x0x0，所以所以r r1313，所以，所以答案答案: :考点考点1 1 象限角及象限角及终边终边相同的角相同的角【典例典例1 1】(1)(1)已知角已知角的的终边终边落在阴影所表示的范落在阴影所表示的范围围内内( (包括包括边边界界),),则则角角的集合的集合为为. .(2)(2)如果如果是第三象限的角是第三象限的角, ,试试确定确定-,2-,2的的终边终边所在位置所在位置. .【解题视点
10、解题视点】(1)(1)先写出在先写出在0 0360360范围内满足条件的角范围内满足条件的角, ,再再由终边相同角的关系写出集合由终边相同角的关系写出集合. .(2)(2)由由的范围写出的范围写出-与与22的范围的范围, ,再由终边相同角的关系判再由终边相同角的关系判断断. .【规范解答规范解答】(1)(1)在在0 0360360范围内范围内, ,终边落在阴影内的角为终边落在阴影内的角为9090135135或或270270315315. .所以终边落在阴影所表所以终边落在阴影所表示的范围内的角示的范围内的角的集合为的集合为|90|90+k+k360360135135+k+k360360,kZ|
11、270,kZ|270+k+k360360315315+k+k360360,kZ,kZ=|90=|90+2k+2k180180135135+2k+2k180180,kZ,kZ|90|90+(2k+1)+(2k+1)180180135135+(2k+1)+(2k+1)180180,kZ,kZ=|90=|90+n+n180180135135+n+n180180,nZ.,nZ.答案答案：|90|90+n+n180180135135+n+n180180,nZ,nZ(2)(2)由由是第三象限的角得是第三象限的角得2k2k 2k(kZ)2k(kZ)，所以所以 2k2k2k(kZ)2k(kZ)，即即 2k2k
12、2k(kZ)2k(kZ)，所以角所以角的终边在第二象限的终边在第二象限. .由由2k2k 2k(kZ)2k(kZ)，得，得224k4k22334k(kZ)4k(kZ)所以角所以角22的终边在第一、二象限及的终边在第一、二象限及y y轴的非负轴的非负半轴半轴【互动探究互动探究】在本例在本例(2)(2)的条件下，判断的条件下，判断 的终边所在的位的终边所在的位置置【解析解析】因为因为2k2k 2k(kZ)2k(kZ)，所以所以当当k k3n(nZ)3n(nZ)时，时，当当k k3n3n1(nZ)1(nZ)时，时，当当k k3n3n2(nZ)2(nZ)时，时，所以所以 的终边在第一、三、四象限的终边
13、在第一、三、四象限【易错警示易错警示】判断终边所在位置注意分类讨论判断终边所在位置注意分类讨论本例第本例第(2)(2)题题【互动探究互动探究】由由 判断判断 终边所在位置时，要注意分类讨论的原则和标准，否则易终边所在位置时，要注意分类讨论的原则和标准，否则易出现漏解或重解的情况出现漏解或重解的情况. .【规律方法规律方法】1.1.表示区间角的三个步骤表示区间角的三个步骤(1)(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界. .(2)(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360-360360360范围内的角范围
14、内的角和和，写出最简区间，写出最简区间. .(3)(3)起始、终止边界对应角起始、终止边界对应角，再加上再加上360360的整数倍，即得的整数倍，即得区间角集合区间角集合. .2.2.确定确定kk， ( (kNkN* *) )的终边位置的方法的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角先用终边相同角的形式表示出角的范围，再写出的范围，再写出kk或或 的的范围，然后根据范围，然后根据k k的可能取值讨论确定的可能取值讨论确定kk或或 的终边所在位的终边所在位置置等分象限角的规律等分象限角的规律已知已知是第是第m(mm(m=1,2,3,4)=1,2,3,4)象限角象限角, ,求求 是第几象限角是第
15、几象限角. .(1)(1)等分：将每个象限分成等分：将每个象限分成n n等份等份. .(2)(2)标注：从标注：从x x轴正方向上第一个区域起轴正方向上第一个区域起, ,按逆时针方向顺次标按逆时针方向顺次标上上1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4, ,依次循环依次循环, ,直至填充所有区域直至填充所有区域. .(3)(3)选区间：出现数字选区间：出现数字m m的区域即为的区域即为 的范围的范围. .【变式训练变式训练】设集合设集合 N N 那么那么( )( )A.M=N B.MA.M=N B.MN NC.NC.NM D.MN=M D.MN= 【解析解析】选选B.B.方
16、法一：由于方法一：由于 ，4545，4545，135135，225225， ， ，4545，0 0，4545，9090，135135，180180，225225， ，显然有，显然有M M N N，故选，故选B.B.方法二：由于方法二：由于M M中，中，x x 1801804545k k909045454545(2k(2k1)1)，2k2k1 1是奇数；而是奇数；而N N中，中，x x 1801804545k k45454545(k(k1)1)4545，k k1 1是整数，因此必有是整数，因此必有M M N N，故选，故选B.B.【加固训练加固训练】1.1.给出下列命题：给出下列命题： 是第二象
17、限角；是第二象限角； 是第三象限角；是第三象限角；400400是第是第四象限角；四象限角；315315是第一象限角其中正确的命题有是第一象限角其中正确的命题有( )( )A A1 1个个 B B2 2个个 C C3 3个个 D D4 4个个【解析解析】选选C. C. 是第三象限角，故是第三象限角，故错误错误.从而从而 是第三象限角，故是第三象限角，故正确正确4004003603604040，从而，从而正确正确3153153603604545，从而，从而正正确确2. 2. 若若k k1801804545(kZ)(kZ)，则，则在在( )( )A A第一或第三象限第一或第三象限 B B第一或第二象
18、限第一或第二象限C C第二或第四象限第二或第四象限 D D第三或第四象限第三或第四象限【解析解析】选选A.A.当当k k2n(nZ)2n(nZ)时，时，2n2n1801804545(nZ)(nZ)，在第一象限；当，在第一象限；当k k2n2n1(nZ)1(nZ)时，时，2n2n180180225225(nZ)(nZ)，在第三象限，在第三象限3.3.如图所示：如图所示：则终边落在直线则终边落在直线y y x x上的角的集合为上的角的集合为 . .【解析解析】终边落在终边落在y y x(x0) x(x0)上的角的集合是上的角的集合是S S1 1=|=60=60+k+k360360,kZ,kZ，终边
19、落在，终边落在y y x(xx(x0)0)上上的角的集合是的角的集合是S S2 2=|=240=240+k+k360360,kZ,kZ，于是，终边，于是，终边落在落在y y x x上的角的集合是上的角的集合是 |=60=60+k+k360360, , kZ|kZ|=240=240+k+k360360,kZ=,kZ=|=60=60+2k+2k180180,kZ|=60,kZ|=60+(2k+1)+(2k+1)180180,kZ=,kZ=|= =6060+n+n180180,nZ.,nZ.答案：答案： |=60=60+n+n180180,nZ,nZ考点考点2 2 弧度制及应用弧度制及应用【典例典例
20、2 2】(1)(2014(1)(2014唐山模拟唐山模拟) )已知已知2 2弧度的圆心角所对的弦弧度的圆心角所对的弦长为长为2 2，那么这个圆心角所对的弧长是，那么这个圆心角所对的弧长是( )( )A.2 A.2 B.sinB.sin 2 2 C. D.2 sin 1C. D.2 sin 1(2)(2)已知扇形的周长是已知扇形的周长是6 6，面积是，面积是2 2，则扇形的圆心角的弧度数，则扇形的圆心角的弧度数是是( )( )A A1 1 B B4 4 C C1 1或或4 4 D D2 2或或4 4【解题视点解题视点】(1)(1)利用弦心距、半径、弦长的一半构成的直角利用弦心距、半径、弦长的一半
21、构成的直角三角形求解三角形求解. .(2)(2)构造弧长和半径的方程组求解构造弧长和半径的方程组求解. .【规范解答规范解答】(1)(1)选选C.C.如图如图: :AOBAOB2 2弧度，过弧度，过O O点作点作OCABOCAB于于C C，并延长，并延长OCOC交弧交弧ABAB于于D.D.则则AODAODBODBOD1 1弧度，且弧度，且ACAC ABAB1 1，在在RtAOCRtAOC中，中，AOAO即即 从而弧从而弧ABAB的长为的长为(2)(2)选选C.C.设此扇形的半径为设此扇形的半径为r r，弧长为，弧长为l，则则 解得解得 或或从而从而 或或【规律方法规律方法】弧度制下有关弧长、扇
22、形面积问题的解题策略弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)(1)明确弧度制下弧长公式明确弧度制下弧长公式l =| =|r|r, ,扇形的面积公式是扇形的面积公式是S=S= ( (其中其中l是扇形的弧长是扇形的弧长,是扇形的圆心角是扇形的圆心角).).(2)(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量量中的任意两个量. .提醒：提醒：运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度制量单位为弧度制. .【变式训练变式训练】(2014(2014大连模拟大
23、连模拟) )一个半径为一个半径为R R的扇形，它的周的扇形，它的周长为长为4R4R，则这个扇形所含弓形的面积是，则这个扇形所含弓形的面积是( )( )【解析解析】选选D.D.设圆心角为设圆心角为,由题知由题知2R+R2R+R=4R=4R，得，得=2=2，所以所以S S弓弓=S=S扇扇-S-S= = =【加固训练加固训练】1. (20141. (2014哈尔滨模拟哈尔滨模拟) )已知扇形的面积为已知扇形的面积为 半径为半径为1 1，则该，则该扇形的圆心角的弧度数是扇形的圆心角的弧度数是( )( )【解析解析】选选B.SB.S扇扇 所以所以2.(20142.(2014佛山模拟佛山模拟) )已知一圆
24、弧的弧长等于它所在圆的内接正已知一圆弧的弧长等于它所在圆的内接正三角形的边长，则这段圆弧所对圆心角的弧度数为三角形的边长，则这段圆弧所对圆心角的弧度数为_._.【解析解析】如图，如图，ABCABC是圆内接正三角形，是圆内接正三角形，显然显然BOCBOC是等腰三角形，腰长为是等腰三角形，腰长为R R，顶角，顶角BOC=120BOC=120，所以正三角形的边长，所以正三角形的边长= =依题设知圆弧长依题设知圆弧长 又因又因l= =R R, ,所以所以 ( (弧度弧度).).答案：答案：考点考点3 3 三角函数的定三角函数的定义义及三角函数及三角函数线线的的应应用用【考情】【考情】任意角的三角函数任
25、意角的三角函数( (正弦、余弦、正切正弦、余弦、正切) )的定的定义义属于理属于理解内容解内容. .在高考中以在高考中以选择题选择题、填空、填空题题的形式出的形式出现现, ,考考查查利用定利用定义义求三角函数求三角函数值值或已知三角函数或已知三角函数值值求坐求坐标标等等问题问题. . 高频考点高频考点通关通关 【典例典例3 3】(1)(2014(1)(2014石家庄模拟石家庄模拟) )若三角形的两内角若三角形的两内角，满满足足sin sin coscos 0 0，则此三角形必为，则此三角形必为( )( )A.A.锐角三角形锐角三角形 B.B.钝角三角形钝角三角形C.C.直角三角形直角三角形 D
26、.D.以上三种情况都有可能以上三种情况都有可能(2)(2014(2)(2014东莞模拟东莞模拟) ) 若角若角的终边经过点的终边经过点且且 则则coscos 的值为的值为_._.【解题视点解题视点】(1)(1)根据三角形中角的范围，先判断根据三角形中角的范围，先判断sin sin 的符的符号，再判断号，再判断coscos 的符号，从而可解的符号，从而可解. .(2)(2)根据三角函数的定义利用根据三角函数的定义利用 求出求出m m后再求解后再求解. .【规范解答规范解答】(1)(1)选选B.B.三角形的两内角三角形的两内角,的终边一定落在第的终边一定落在第一、二象限或一、二象限或y y轴的非负
27、半轴上，所以轴的非负半轴上，所以sin sin 0 0，又因为，又因为sin sin coscos 0 0，所以，所以coscos 0 0，故角，故角为钝角，此三为钝角，此三角形为钝角三角形角形为钝角三角形. .(2)(2)由题意得，由题意得， 所以所以因为因为m0m0，所以，所以当当 时，时， 点点P P的坐标为的坐标为所以所以当当 时，时， 点点P P的坐标为的坐标为 所以所以答案：答案：【通关通关锦锦囊囊】高考指数高考指数重点重点题题型型破解策略破解策略已知角已知角终边终边上上一点一点P P的坐的坐标标求三求三角函数角函数值值先求出点先求出点P P到原点的距离到原点的距离r,r,然后利用
28、三角函数的定然后利用三角函数的定义义求求解解已知角已知角的的终边终边所在的直所在的直线线方程方程求三角函数求三角函数值值先先设设出出终边终边上一点的坐上一点的坐标标, ,求出此点到原点的距离求出此点到原点的距离, ,然然后利用三角函数的定后利用三角函数的定义义求解求解相关的相关的问题问题. .若直若直线线的的倾倾斜斜角角为为特殊角特殊角, ,也可直接写出也可直接写出角角的三角函数的三角函数值值判断三角函数判断三角函数值值的符号的符号问题问题先判断角所在的象限先判断角所在的象限, ,再根再根据各象限的符号据各象限的符号规规律判断律判断【关注关注题题型型】求三角函数的定求三角函数的定义义域域熟悉各
29、三角函数在各象限的熟悉各三角函数在各象限的符号符号, ,同同时时要注意函数本身要注意函数本身所含的条件所含的条件利用三角函数利用三角函数线线解解不等式不等式先找到先找到“正正值值”区区间间, ,即即0 022间满间满足条件的范足条件的范围围, ,然后然后再加上周期再加上周期利用三角函数利用三角函数线线比比较较异名三角函数异名三角函数值值先作出角先作出角, ,再作出相再作出相应应的三的三角函数角函数线线, ,最后最后进进行比行比较较, ,应应注意三角函数注意三角函数线线的有向性的有向性 【通关通关题组题组】 1.(20141.(2014西安模拟西安模拟) )已知角已知角的终边与单位圆的交点的终边
30、与单位圆的交点则则tan tan ( )( )【解析解析】选选B.B.由由 得得2.(20142.(2014大连模拟大连模拟) )点点A(sinA(sin 2 014 2 014，coscos 2 014 2 014) )在直角在直角坐标平面上位于坐标平面上位于( )( )A A第一象限第一象限 B B第二象限第二象限C C第三象限第三象限 D D第四象限第四象限【解析解析】选选C.C.由由2 0142 0143603605 5(180(1803434) )可知，可知，2 0142 014角的终边在第三象限，所以角的终边在第三象限，所以sin 2 014sin 2 0140 0，coscos
31、2 014 2 0140 0，即点，即点A A位于第三象限位于第三象限3.(20143.(2014汕头模拟汕头模拟) )若若 则角则角的终边一定的终边一定落在直线落在直线_上上.( ).( )A.7x+24y=0 B.7x-24y=0A.7x+24y=0 B.7x-24y=0C.24x+7y=0 C.24x+7y=0 D.24x-7y=0D.24x-7y=0【解析解析】选选D.D.因为因为所以所以由三角函数的定义可知由三角函数的定义可知, ,角角的终边过点的终边过点(-7,-24)(-7,-24)，代入，代入A,B,C,DA,B,C,D四个选项可知，四个选项可知，的终边一定落在直线的终边一定落
32、在直线24x-7y=024x-7y=0上上. .【加固训练加固训练】1.(20141.(2014海口模拟海口模拟) )已知已知 在单位圆中角在单位圆中角的正弦的正弦线、余弦线、正切线分别是线、余弦线、正切线分别是MPMP，OMOM，ATAT，则它们的大小关系是，则它们的大小关系是 ( )( )A.MPA.MPOMOMAT B.ATAT B.ATMPMPOMOMC.ATC.ATOMOMMP MP D.MP D.MPATATOMOM【解析解析】选选B.B.如图，由图可知如图，由图可知ATATMPMPOM.OM.2.(20142.(2014厦门模拟厦门模拟) )如图所示，角的终边如图所示，角的终边与
33、单位圆与单位圆( (圆心在原点，半径为圆心在原点，半径为1 1的圆的圆) )交于交于第二象限的点第二象限的点 则则coscos sin sin _._.【解析解析】由题意得由题意得 所以所以又又coscos 0 0，所以，所以又又 所以所以答案：答案：3.(20143.(2014南京模拟南京模拟) )函数函数 的定义域为的定义域为_【解析解析】因为因为2cos x2cos x1010，所以，所以coscos x x由三角函数线画出由三角函数线画出x x满足条件的终边的满足条件的终边的范围范围( (如图阴影所示如图阴影所示) )所以所以答案：答案：【易错误区易错误区9 9】利用定利用定义义法求三
34、角函数法求三角函数值问题值问题的易的易错错点点【典例典例】(2014(2014杭州模拟杭州模拟) )已知角已知角的终边在直线的终边在直线3x3x4y4y0 0上，则上，则sin sin coscos tan tan 的值为的值为_ 【解析解析】【误区警示误区警示】【规避策略规避策略】答案：答案：【类题试解类题试解】(2014(2014三明模拟三明模拟) )若若420420角的终边所在直线上角的终边所在直线上有一点有一点(-4,a)(-4,a)，则，则a a的值为的值为( )( )【解析解析】选选B.B.由三角函数的定义有：由三角函数的定义有：tan 420tan 420= = 又又tan 420tan 420=tan(360=tan(360+60+60)=tan 60)=tan 60= =故故 得得
