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1、 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系(多元函数微分法及其应用) 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系第八章第八章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用本章主要讨论二元函数的微分法及其应用.第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念一一. . 平面点集平面点集 n n维空间维空间 1.平面点集平面点集 当在平面上引入一个直角坐标系后,平面上的点P与有序二元 实数组(x,y)之间建立一一对应.这样我们把有序实数组和平面上的点等同起来.这种建立了坐标系的平面称为坐标平面. 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉
2、科科技技学学院院数数理理系系坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,记作 E = (x,y)|(x,y)具有性质P.称为点p(x,y)的全体,邻域：邻域： 与点 的距离小于的的的邻域,记作 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 从几何图形看, U(pU(p0 0,),)表示以点p0(x0,y0)xypE 为中心,0为半径的圆的内部所有的点如果不强调邻域半径,用U(p)表示点.的邻域 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 内点内点 外点外点 边界点边界点 聚点聚点 Ep. 是E的内点.设E是平面上的一个点集,p是平面上
3、的一个点如果存在点p的某一个邻域U(p),使U(p)E,则称p为E的内点.(如图).显然,E的内点属于E,但E的点不一定 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系外点 如果存在点P的任一邻域U(p),使U(p)E=,则称P为E的外点.若点集E的点都是E的内点,则称E为开集, 例如,点集 E1=(x,y)|4开集.若点p的任一邻域内既有属于E的点,又有不属于E的点(点p本身可以属于E也可以不属于E).则称p为E的边界点.E的边界点的全体称为E的边界.上面E1的边界是圆周9中每个点都是E1的内点,因而E1为=9=4和 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技
4、学学院院数数理理系系 因此,点集E的聚点可以属于E,也可以不属于E.如果点p的任一邻域内总有无限多个点属于点集E,则称p为E的聚点.显然E的内点一定是E的聚点,E的边界点也可能是E的聚点.例如,设一点既是的聚点.并且它们不属于的边界点又是=(x,y)|0x+y1那么,直线x+y=0上的任 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 区域.闭区域.例如(x,y)|0x+y1开区域,(它又有一边包含边界)又不是闭区域 区域区域若对于集合D内的任意两点都可以用完全位于D内的折线连接起来,则称集合D为连通集.连通的开集称为开区域.简称例, 不是开区域.因为它不是开集.区域连
5、同它的边界一起,称为 既不是不是闭区域,(因为它有一边不包含边界)因而=(x,y)|0x+y1 9是开区域;=(x,y)|40是无界点集.若存在正实数r,使点集表示E内的一切点到原点的距离不超过r.则称点集E为有界点集;否则(表示找不到r)称为无界点集.例如是有界开区域,其中O为坐标点, 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 2.n 维空间维空间1.定义定义 设n为取定的一个自然数,我们用Rn表示n元有序实数组Rn=R R. R= Rn中的元素,的全体所构成的集合,即|xiR,i=1,2,.n也用x表示,即x=当所有的xi=0(i=1,2n)时,称这样的元素为
6、零元,记为0或O. 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 称为坐标原点或n维零向量. 在解析几何中通过直角坐标系, 平面或空间中的点或向量建立一一对应,这样在也称为为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量,在中的零元0中的一个点或一个n维向量,而称中的元素)中的元素分别与(或X 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 (x,y),规定2.在在Rn中定义线性运算中定义线性运算. 设x= y=规定 x+y=3. Rn中点x =为Rn中任意两个元素,R之间的距离和点y =x= 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院
7、院数数理理系系 结合向量的线性运算,我们得到中两点之间距离一致.显然,n=1,2,3时,上述的规定与数轴上,直角坐标系下平面及空间Rn中元素x=为x,即与零元0之间的距离(x,0),记 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系由于线性运算和距离的引入,前面研究的邻域,内点,开集,记作xa4. Rn中变元的极限中变元的极限设x=x-a0,则称变元x在Rn中趋于固定元a,闭集等一系列概念都可定义.Rn 如果a= 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系二二. 多元函数的概念多元函数的概念一对数值(a,b)时,面积S的对应值就随之确定了.
8、1.多元函数的定义多元函数的定义在实际问题及科技活动中,经常遇到多个变量之间的依赖关系.看下面的两个例子.例例1 椭圆的面积S取决于它的长,短半轴长a与b,它们之间有如下关系S=ab (a0,b0) 这里的a,b在一定范围内取定我们从这里就可以得到二元函数的定义. 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系,数集 f(D)=z|z=f(x,y),(x,y)D 称为该函数的值域. 定义定义1 设D是的二元函数,通常记为 Z=f(x,y), (x,y)D 或z=f(p) PD其中点集D称为该函数的定义域,x,y称为自变量,z称为因变量记 .的一个非空子集,称映射f:DR
9、为定义在D上 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系类似地可以定义三元及三元以上的函数.三元函数记u=f(x,y,z). 点函数z=f(p)(pD)是定义在点集D上的一个函数.这里设D是平面点集,则z=f(p)定义的是一个二元函数.如果D是数轴上的点集(或空间内的点集),则z=f(p)定义的是一元(或三元)函数. 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例例2 2 圆柱体的体积V和它的底半径R,高h的关系为:V=R2h (R0,h0).例例3 3 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 在上述函数概念
10、中,关键的两点为: (1)自变量x,y的变化范围,称为定义域; (2)对应法则,即函数关系. 关于函数概念,我们主要研究三方面的问题: (1)求函数的定义域; (2)建立函数关系; (3)求函数值.oxyzZ=f(x,y)Mpxy 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系2. 2. 二元函数的定义域二元函数的定义域: 二元函数中自变量x,y的取值范围称为函数的定义域. 围成平面区域的曲线称为该区域的边界,包括边界在内的区域称为闭区域;不包括边界在内的区域称为开区域;包括部分边界在内的区域称为半开区域.如果区域延伸到无穷远处,称为无界区域,否则称为有界区域. 高高等
11、等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系3.3.多元函数的定义域多元函数的定义域 函数的定义域与函数的实际意义有关.我们约定:在没有明确指出定义域 D时,函数的定义域是使函数有定义的点的全体.这样的定义域叫做函数的自然定义域.注意:二元函数z=f(x,y)中,自变量在定义域内可以独立地取值,即x取值与y取值没有必然联系,而且有可能出现x可以取不同的值,而y的值不变,或y可以取不同的值,而x的值是不变的情况. 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例3 求下列函数的定义域:解:(1)要使根号内的数有意义,因此函数的定义域为(x,y)| x+
12、y-10图形为右所示x+y=1xy(2)要使有意义,必须x2+y2-10,并且yx 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系多元函数的定义域的求法: 要先写出构成部分的各简单函数的定义域,再联立不等式组,即得到所求的定义域. 其图形为以原点为中心,半径分别为1和此函数的定义域为(x,y)|1x2+y25分,包括两个圆之间的部 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系oxyzZ=f(x,y)Mpxy4.二元函数的几何意义: 设二元函数z=f(x,y)的定义域xoy平面上的某一区域D,对于D上的每一点p(x,y),在空间可以作出一点M(x
13、,y,F(x,y)与它对应.当点p(x,y)在D中变动时,点M(x,y,F(x,y)就在空间作相应地变动它的轨迹是一个曲面. 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 例如线性函数z=ax+by+c是一个平面. x2+y2+z2=a2确定的函数点集D=(x,y)|x2+y2a2为闭区域.当p在D中 变动时,它对应的两个函数值, 分别表示两个图形.一个是上半球面,另一个是下半球面.以后我们讨论的函数是单值的. 当遇到多值函数时,可分成几个单值分支来讨论. pp0(x0,y0)xyz 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系1.多元函数极
14、限的定义 多元函数极限与一元函数存在形式上一致,但确实有着本质区别.先研究二元函数的极限 三三 多元函数的极限多元函数的极限.又因为时等阶于 , 显然,时的极限p(x,y)为其一聚点.选择一动点p(x,y).现在讨论当D(1)二元函数的极限 设z=f(x,y), 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系直观定义:和一元函数极限一样,如果在pp0 的过程中,对应的函数值f(x,y)无限接近一个确定的常数A.就说A为当pp0 ,或x x0 ,y y0时的极限 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系pp0(x0,y0)p(x,y)0xy例
15、如现在我们用-来定义这个概念: -语言定义设函数z=f(x,y)的定义域为D.p0(x0,y0)是D的聚点.如果对于任意给定的正数,总存在0,使适合不等式的一切点p(x,y)D,都|f(x,y)A|成立.则称A为函数z=f(x,y).当xx0,yy0时的极限.记作 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系二元函数的极限称为二重极限.研究二元函数极限定义时,我们注意以下两点:(1)不研究p0(x0,y0)处的状态,仅研p(x,y)p0(x0,y0)的过程中,函数f(x,y)的变化趋势.所以定义中规定,函数z=f(x,y)在点p0(x0,y0)的某个邻域内有定义,但不
16、要求函数在点p0(x0,y0)有定义. 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系(2)极限值A应是一个确定的常数,它与p(x,y)趋近p0(x0,y0)的方式无关.也就是说:p(x,y)以任何方式趋于p0(x0,y0)时,函数都无限接近于A. 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例例4 4 求极限例例5 设证明 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系证明:成立化成一元函数求极限有界量和无穷小的乘积为无穷小 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例例6 考察函数 f(x
17、,y)=的极限解: (1)当点p(x,y)沿x轴趋于点(0,0)时,这是一种特殊的趋近方式(2)当点p(x,y)沿y轴趋近点(0,0)时这也是一种特殊的趋近方式(3)当点p(x,y)沿直线y=kx趋近点(0,0)时随着k的不同,极限值也不同.所以不存在 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例例8 求:例例7 求: 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系2 20 0. . 关于二元函数极限的说明关于二元函数极限的说明 首先所谓的二重极限存在.是指p以任何方式(或沿任何径)趋于p0时函数的极限都要存在,且相等于常数A.因此,当p以某
18、一特殊方式.例如沿某一条(也可能是几条)直线或曲线无限接近p0时,即使函数无限接近某一确定的常数A,还不能由此判断该函数存在极限. 这就是说当p沿某一特定方式趋向p0时,f(x,y)的极限不存在,或p沿某两条特定的方式趋向p0时,函数极限存在但不相等.则该函数极限不存在. 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系p0-pp而一元函数中p趋向p0的方式只有两种.一是沿x轴某一方向趋近二是左,右方向 四四. .多元函数的连续性多元函数的连续性 定义4: 设多元函数f(p)定义在D上,p0是D的聚点.pD,如果当pp0时函数f(p) 的极限存在,且等于该函数在点p0处的
19、函数值,即就称函数f(p)在点p0处连续. 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 如果函数f(p)在点集M的各点处都连续,就称函数f(p)在M上连续.可以证明: 一切多元初等函数在其定义域内是连续的一切多元初等函数在其定义域内是连续的. . 若函数f(x,y)在点P0(x0,y0)不连续,则p0称为函数的间断点.这里指出如果在开区域(或闭区域)D内某些孤立点,或者沿D内某些曲线,函数f(x,y)没有定义但在D内其余部分,函数都有定义,那么这些孤立点或这些曲线上的点,都是函数f(x,y)的不连续点,即间断点. 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学
20、学院院数数理理系系例例9 求 和闭区间上一元函数的性质相似,在有界闭区域上多元函数也有下列主要性质. 性质1(最值定理) 在有界闭区域上的多元连续函数,在该闭区域上必定达到它的最大值与最小值. 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系性质2(介值定理) 在有界闭区域上的多元连续函数,如果取得两个不同的函数值,则它在该区域上取得介于这两个值之间的任何值至少一次.性质3(一致连续性定理) 在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上一致 连续.性质3表示若f(P)在有界闭区域D上连续,则对于任意给定 的正整数,总存在正数,使对于D上的任意两点只要当|时都有 高高等等数数学
21、学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 |f(P1)-f(P2)| 成立.这里我们补充三个内容: (1)(1)求二元函数的表达式求二元函数的表达式. 这方面的问题有二种情况,一是已知函数f(x,y)的表达式,求复合函f(x,y),(x,y)的表达式,这情况比较简单.只需要把(x,y),(x,y)分别替换f(x,y)中的x,y即可. 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 另一种是它的反问题,即已知f(x,y),(x,y)求f(x,y).其一般的方法是令u= (x,y),v= (x,y),从中解出x,y,代入f(x,y),(x,y)中,把u,v换
22、成x,y即可,但有时不能从u,v中解出x,y时,往往需要用凑成的函数. 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系(一一)求二元函数极限的方法求二元函数极限的方法 1.化二元函数为一元函数极限化二元函数为一元函数极限例3 求 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系2.2.应用二元函数极限的夹逼准则计算应用二元函数极限的夹逼准则计算 夹逼准则夹逼准则:若g(x,y)f(x,y)h(x,y),且limg(x,y)=limh(x,y)=A,则limf(x,y)=A. 高
23、高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系注意:这里不能把该定义域为x0,该定义域为x,y同时0如果x0,ya就可以采用这个方法.本题采用的是两边夹的方法.变成 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 3.3.利用连续函数的函数值即是极限值性质利用连续函数的函数值即是极限值性质.(一切多元初等函数在其定义域内都是连续函数)因为分子,分母是多元初等函数, 当x1,y0时恰好在它的定义域内,所以我们用它的函数值表示它的极限值.( (二二) )证明二元函数极限不存在的方法证明二元函数极限不存在的方法 证明二元函数极限不存在我们也有几种方法,(
24、1)证明(x,y)沿某一路线趋于点(x0,y0)时,f(x,y)的极限不存在. 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系(2)证明(x,y)沿不同路线趋于点(x0,y0)时,f(x,y)的极限存在,但趋于不同的值.(3)利用二次极限存在,但不相等. 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例9 证明极限证明:当(x,y)沿x轴(即y=0)趋向于点(0,0)时,原式=0 当(x,y)沿y=x的直线趋向于点(0,0)时,由于f(x,y)沿不同的路线趋向于点(0,0)时的极限不相同,故它极限不存在.不存在 高高等等数数学学电电子子教教案案
25、武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 这里我们举两个例子说明二重极限和二次极限之间区别 例10 考察函数 f(x,y)=的极限解: (1)固定y0,点p(x,y)沿x轴趋于点(0,y)时,可见二次极限是存在它为0 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 (2)固定x0,点p(x,y)沿y轴趋于点(x,0)时,可见二次极限是存在的它为0(3)当点p(x,y)沿直线y=kx趋近点(0,0)时随着k的不同,极限值也不同.所以不存在这例子说明尽管两个二次极限存在且相等,但二重极限却不存在 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 这说明二重
26、极限与二次极限没有什么必然的联系,即二重极限的存在不能保证二次极限的存在,而两个二次极限的存在,并且相等,也不能保证二重极限的存在但当二重极限和二次极限都存在时,它们必相等,即有定理定理 若存在二重极限则它们必相等.与二次极限(之一) 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 证明:因为二重极限的存在,设时有 |f(x,y)-A|0,存在0,使得当即对任意 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 由定理可得到两个推理:当(x,y)(x0,y0)时(1)如果函数f(x,y)的二重极限和它的两个二次极限均存在,则这些极限都相等(2)如果
27、两个二次极限都存在,但不相等,则二重极限必不存在.(3)二元函数的连续性 二元函数的连续的概念及性质和一元函数相似.但要注意,若二元函数f(x,y)在点(x0,y0)关于x或y都连续,但f(x,y)在点(x0,y0)不一定连续.例如,函数 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系f(x,y)= 我们先证明函数f(x,y)关于x轴是连续的 (1)先固定y=b0,则在平面y=b上得到x的函数它是处处有定义的有理函数,因此它是连续的.当y=0时,f(x,0)=0也是连续的.于是,当变量y固定时,函数f(x,y)对于变量x是连续的,同理可证明函数f(x,y)对于变量y也是
28、连续的. 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 (2)当函数f(x,y)在x,y0时是初等函数,且有定义,它是连续的.但当(x,y)(0,0)点时,x0,y=kx0时同一元函数的情形相同,对于多元初等函数,在它的定义的地方都是连续的.在几何上,一元函数连续,它的图象是一根连绵不断的曲线,而二元函数的图象是一张既没有断层又没有“细眼”的曲面.因此,关于多元函数的连续性讨论,主要是 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系求极限的方法除了上面讲的三点外,其方法可用定义求,利用运算法则求,可作变量代换,用一元函数中的已知极限求,可利用连续函数性质求,可进行分母有理化等. 分段函数在分段点处的连续性讨论,方法是根据函数在一点连续的定义. 同学在学习二元函数的理论时,要多注意它和一元函数的联系和类比,在学过的一元函数的理论是学习二元函数的基础,但二元函数毕竟比一元函数复杂,存在一些本质上的差异.学习时应该时刻注意比较它们的异同.
