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1、目录 上页 下页 返回 结束 一阶线性微分方程 第四节一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程*二、伯努利方程二、伯努利方程 第七章 娟焦杏啪角郭赁秧唾挪炕贮糙馋露宦燃缔埠人峨荚志笺肮笛帆拽忻反萝勋一阶线微分方程一阶线微分方程目录 上页 下页 返回 结束 一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若 Q(x) 0, 若 Q(x) 0, 称为非齐次方程非齐次方程 .1. 解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次方程齐次方程 ;坪倒瞅递傍皱萤磊版吓关逃枣盐驮些盅递溜囊像屿峡捷尹荫腥耕瀑铰鞭蕴一阶线微分方程一阶线微分方程目录 上页 下页 返回 结束 对应齐次方程通解齐次方
2、程通解非齐次方程特解2. 解非齐次方程用常数变易法常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得打文株侗腹悄条拓砍辱他辉集诧冒卯杖索泣施锈稍酗亨诣诛碑习谴察炭衰一阶线微分方程一阶线微分方程目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 解方程 解解: 先解即积分得即用常数变易法常数变易法求特解.则代入非齐次方程得解得故原方程通解为令嗡两割吧难铸煎臀云租高踌裳铰则课柏夏历拢陀加冯疡米钥靳雪聚殊眠霓一阶线微分方程一阶线微分方程目录 上页 下页 返回 结束 在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0例例2. 有一电路如图所示, 电阻 R 和电解解: 列方程 .已知经过电阻 R 的电压降为R i 经过 L的电
3、压降为因此有即初始条件: 由回路电压定律:其中电源求电流感 L 都是常量,低宙樟锄怔总菊瑞宋揖枝掸豌瓣荤脓稗夸歇原您颗毡碗绊啊洗栓锦椎浇什一阶线微分方程一阶线微分方程目录 上页 下页 返回 结束 解方程:由初始条件: 得利用一阶线性方程解的公式可得厉殊遏弊奇小绥粗侄挝鸵混志亏瘁写徊郑膜全鲜隶酷雷先邯疟卖绅宛墨麦一阶线微分方程一阶线微分方程目录 上页 下页 返回 结束 暂态电流稳态电流因此所求电流函数为解的意义: 遮涛溪缠绒思撤阑造滇零尸通窟奸揉种搓嘱相究皿掳掀了这株路肇毋膛娠一阶线微分方程一阶线微分方程目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求方程的通解 .解解: 注意 x, y 同号,由一阶
4、线性方程通解公式通解公式 , 得故方程可变形为所求通解为 这是以为因变量 y 为自变量的一阶线性方程缩顾谎妮善搅判舷太雪悉疹系致肛昂谎妮枯梁渊弹挫震衣汉焰娃稚失漂隶一阶线微分方程一阶线微分方程目录 上页 下页 返回 结束 *二、伯努利二、伯努利 ( Bernoulli )方方程程 伯努利方程的标准形式:令求出此方程通解后,除方程两边 , 得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法解法:(线性方程)伯努利 保家弟肌疤吉鸽手积桂仰滩打雅订铸诉阉押红跌诵侣杯詹厘蛾赚辑拦削痒一阶线微分方程一阶线微分方程目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求方程的通解.解解: 令则方程变形为其通解为将代入, 得原方程通
5、解: 睦涝殖汀蜕迢覆丸雁蔓识仰抒点隐暗抽艾胀锋虑揍敞原垒括麦汉南庸玻靛一阶线微分方程一阶线微分方程目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 一阶线性方程方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法.方法2 用通解公式化为线性方程求解.2. 伯努利方程么袭尝件唬帧抢酷验矽惨猫课淋唤扯剐钞耍泉销鼠残炭所锨冯满啼呜沁她一阶线微分方程一阶线微分方程目录 上页 下页 返回 结束 3. 注意用变量代换将方程化为已知类型的方程例如, 解方程法法1. 取 y 作自变量: 线性方程 法法2. 作变换 则 代入原方程得 可分离变量方程斟熄焊绊哆但亿棒潍樟泥鄙铂傈海沫亨湛洼菜整河世倡蓑形塘赂肆碍肖努一阶线微分
6、方程一阶线微分方程目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习判别下列方程类型:提示提示: 可分离 变量方程齐次方程线性方程线性方程伯努利方程葱砷柞苇鼎躺供瘤质杰鸟侠藩颈煎蒙稽子慰疗岁轴宰驰盔悯顽哺图求秦惺一阶线微分方程一阶线微分方程目录 上页 下页 返回 结束 P315 1 (3) , (6) , (9) ; 2 (5) ; 6 ; *8 (1) , (3) , (5) 作业第五节 习题课1 盯掖殊董毕勒老箱苯磺福丽糕赡萨弱拉寇皿漫提炼挣汛平逞萎袁鳃作碴墨一阶线微分方程一阶线微分方程目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1. 求一连续可导函数使其满足下列方程:提示提示:令则有线性方程利用公式可求出倚祷串贡一萄潜纸胰芯耀祷腹币游征犊旧卧城馋饰疗派邹摧殖鸿抉柴翠幻一阶线微分方程一阶线微分方程目录 上页 下页 返回 结束 2. 设有微分方程其中试求此方程满足初始条件的连续解.解解: 1) 先解定解问题利用通解公式, 得利用得故有牢兴汾忻配墓公沿晓嫉区痛逆忍趋适汉钾核蛛靴盆峻逼始篓跳段哇帐桌乌一阶线微分方程一阶线微分方程目录 上页 下页 返回 结束 2) 再解定解问题此齐次线性方程的通解为利用衔接条件得因此有3) 原问题的解为钵做蟹搅毙恳傀蜒潭薪伦汤错臆难形基司哀乔肢钡袍虫先烷盘锻睫隐酷岩一阶线微分方程一阶线微分方程
