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1、简谐振动简谐振动动力学方程动力学方程振幅振幅相位相位初相位初相位描述简谐振动的特征量是描述简谐振动的特征量是角频率角频率偏离开平衡位偏离开平衡位置的位移置的位移第第1515章章 机械波机械波引言：波引言：波振动的传播过程称为波动，简称为波。振动的传播过程称为波动，简称为波。 本章以机械波为例讨论波动过程的特征和规律。本章以机械波为例讨论波动过程的特征和规律。 虽然各种波产生的本质有所不同，但它们都具有一些共虽然各种波产生的本质有所不同，但它们都具有一些共同的特征和规律，例如具有一定的传播速度，能产生反射、同的特征和规律，例如具有一定的传播速度，能产生反射、折射、干涉、衍射等。折射、干涉、衍射等
2、。机械振动的传播过程称为机械振动的传播过程称为机械波机械波。 电磁振动的传播过程称为电磁振动的传播过程称为电磁波（光波）电磁波（光波）。 另外任何物体都具有波动性，当研究范围进入微观领域另外任何物体都具有波动性，当研究范围进入微观领域（原子限度）时，粒子的波动性明显显现出来，这种波动（原子限度）时，粒子的波动性明显显现出来，这种波动性称为性称为物质波物质波。 15.1.1 15.1.1 机械波产生的条件：机械波产生的条件：15.115.1 机械波的产生及特性机械波的产生及特性弹性介质：弹性介质：介质元连续分布，介质元之间有弹性相互作用。介质元连续分布，介质元之间有弹性相互作用。15.1.2 1
3、5.1.2 波的分类波的分类1 1、按振动的物理量、按振动的物理量, ,可分为可分为机械波、电磁波机械波、电磁波等。等。2 2、按传播方向和振动方向的关系、按传播方向和振动方向的关系, ,可分为可分为横波横波和和纵波纵波等等(1)(1)横波横波: :振动方向与传播方向振动方向与传播方向垂直。垂直。(1) (1) 要有振动要有振动( (波源波源) )； (2) (2) 要有能传播振动的弹性介质。要有能传播振动的弹性介质。(2)(2)纵波纵波: :振动方向与传播方向振动方向与传播方向平行。平行。例：例：绳上波；电磁波（光波）绳上波；电磁波（光波） 。 例：例：空气中声波。空气中声波。另外地震波既有
4、另外地震波既有横波又有纵波，是横波和纵波的叠加。横波又有纵波，是横波和纵波的叠加。15.1.3 15.1.3 波的特征量波的特征量1、波的传播速度、波的传播速度u：单位时间内波（振动状态或相位单位时间内波（振动状态或相位)传播传播的距离，称为的距离，称为波的传播速度，简称波速或相速波的传播速度，简称波速或相速 ，用，用u表示。表示。t = 00481620 12 t = T/2 t = T t = 3T/4t = T/4 所以说波动是振动状态的传播，是相位的传播，是所以说波动是振动状态的传播，是相位的传播，是能量的传播，而不是质点的传播。能量的传播，而不是质点的传播。 波的传播速度与介质有关，
5、不同的介质内波的传播波的传播速度与介质有关，不同的介质内波的传播速度不同。速度不同。例：例： 室温下，频率室温下，频率=200Hz的声波的声波在空气中在空气中u=340m/s, =1.7m;在水中在水中u=1450m/s, =7.25m。2 2、波长、波长:完成一个全振动所传播的距离。或者说波传播过完成一个全振动所传播的距离。或者说波传播过程中程中, ,沿波传播方向沿波传播方向上两个相邻的上两个相邻的同相位（同相位（相位差为相位差为22）的的两介质元间的距离。反映了波在空间上的周期性。两介质元间的距离。反映了波在空间上的周期性。 就是在相同的介质内由于介质的特性，横波和纵波的传就是在相同的介质
6、内由于介质的特性，横波和纵波的传播速度也不相同。播速度也不相同。3 3、波的周期、波的周期T T：波传播一个波长所需要的时间。反映了波在波传播一个波长所需要的时间。反映了波在时间上的周期性，当波源与观察着相对静止时，时间上的周期性，当波源与观察着相对静止时，波的周期波的周期与与波源的振动周期相同。波源的振动周期相同。4 4、频率、频率：周期的倒数；周期的倒数；单位时间传播完整波的数目。单位时间传播完整波的数目。波速波速u u与波长与波长、周期、周期T(T(频率频率)的关系的关系机械波的波速机械波的波速u u1 1、固体中的波速、固体中的波速横波横波: :纵波纵波: :式中式中: : G G 切
7、变弹性模量切变弹性模量 Y Y 杨氏弹性模量杨氏弹性模量 质量密度质量密度 因为波的传播速度因为波的传播速度u u与介质的性质有关，不与介质的性质有关，不同的介质内，波的传播速度不同，所以同的介质内，波的传播速度不同，所以 u u 的大的大小决定于介质的性质。小决定于介质的性质。横波横波: :只能在固体中传播。只能在固体中传播。纵波纵波: :在固体、液体、气体中都能传播。在固体、液体、气体中都能传播。(1)(1)切变弹性模量切变弹性模量G GflS r切应变：切应变：切应力：切应力：实验表明：切应力与切应变成正比实验表明：切应力与切应变成正比即即左端固定左端固定切向力或切向力或剪切力剪切力写成
8、等式：写成等式：（2）杨氏）杨氏模量模量Y Ylsfl应变应变应力应力实验表明：应力与应变成正比实验表明：应力与应变成正比 由于固体的杨氏模量由于固体的杨氏模量Y总是大于总是大于切变弹性模量切变弹性模量G，所以纵波波速，所以纵波波速总是大于横波总是大于横波波波速。速。2 2、液体、气体中的波速、液体、气体中的波速( (仅有纵波仅有纵波) )B B液体或气体的容变弹性模量液体或气体的容变弹性模量媒质的密度媒质的密度写成等式：写成等式：结论：结论：波速取决于介质的性质波速取决于介质的性质。3 3、张紧的弦上传播的横波的波速、张紧的弦上传播的横波的波速TT弦中张力弦中张力单位长度上的质量单位长度上的
9、质量1 1、波、波阵阵面（面（波面）波面）: :某时刻相位相同的点某时刻相位相同的点组成的空间曲面；组成的空间曲面；15.1.4 15.1.4 波的几何描述波的几何描述波面、波线、波前波面、波线、波前波面波面波线波线波线波线波面波面2 2、波前、波前: :某时刻在最前面的波阵面；某时刻在最前面的波阵面；3 3、波射线、波射线（波线波线）: :沿波的传播方向作的射线；沿波的传播方向作的射线；在各向同性均匀介质中，波线与波阵面垂直。在各向同性均匀介质中，波线与波阵面垂直。波前波前波前波前 为了形象地描述波的传播过程中，各为了形象地描述波的传播过程中，各振动质点之间在相位上的关系，引入波阵振动质点之
10、间在相位上的关系，引入波阵面和波射线等概念。面和波射线等概念。例例 球面波球面波平面波平面波15.215.2 平面简谐波的平面简谐波的波函数波函数描述波在传播过程中，不同位置描述波在传播过程中，不同位置x x处的质点偏移平衡处的质点偏移平衡位置的位移位置的位移y与时与时 间间 t 的函数关系。的函数关系。波函数波函数:简谐波（余弦波）：简谐波（余弦波）：15.2.1 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数1、平面简谐波：平面简谐波：简谐波的波阵面为平面的波。简谐波的波阵面为平面的波。分析：分析：根据波面的定义任一时刻波面上根据波面的定义任一时刻波面上各质点的振动状态相同，相位相同，离各质点的振动
11、状态相同，相位相同，离开各自平衡位置的位移也相同，所以只开各自平衡位置的位移也相同，所以只要研究波线上各点的波动规律即可知整要研究波线上各点的波动规律即可知整个平面波的波动规律。个平面波的波动规律。是简谐振动是简谐振动所形成的波，是简谐振动的传所形成的波，是简谐振动的传播过程。播过程。波线波线波面波面xyo点处质点的振动方程为点处质点的振动方程为y y为为t t时刻时刻,o,o点点(x=0(x=0点处点处) )振振动质点离开平衡位置的位动质点离开平衡位置的位移移在波线上任意取一点在波线上任意取一点p，坐标为，坐标为x。o点的振动传播到点的振动传播到p点所用时间为点所用时间为 。 那么那么p点在
12、点在t时刻的振动状态与时刻的振动状态与o点在点在 时刻的时刻的振动振动状态相同。状态相同。平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数（t -）设：设：一平面一平面余弦波沿余弦波沿x轴正方向传播，波速为轴正方向传播，波速为u。记记上式又可表示成上式又可表示成 若平面若平面余弦波沿余弦波沿x轴负方向传播时，轴负方向传播时，p点的振动将点的振动将与与o点点在在 时刻的振动状态相同。时刻的振动状态相同。 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数（t +）记记 沿沿x轴负向传播的平面简谐波的波函数为轴负向传播的平面简谐波的波函数为比较振动方程和比较振动方程和平面简谐波的波函数各代表的物理含义：平面简谐波的波函数各
13、代表的物理含义：描述波源或者描述波源或者x=0处质点处质点的位移随时间的位移随时间t的变化规律的变化规律描述波线上所有质点在描述波线上所有质点在 t 时刻离开平衡位置的位移时刻离开平衡位置的位移描述描述 x 处质点的位移随处质点的位移随时间时间t的变化规律；的变化规律；即即x处质点的振动方程。处质点的振动方程。记记(2)当当 t=t0给定给定, 则有则有:说明说明y=y(x),表示表示t0时刻各点离开时刻各点离开平衡位置的距离。平衡位置的距离。注意注意: 波形图波形图(y-x)与振动曲线与振动曲线(y-t)的区的区别。别。15.2.2 15.2.2 波函数的物理意义波函数的物理意义(1)当当
14、x=x0给定时给定时,则有则有: 表示表示x0处质点的振动规律处质点的振动规律(振动方程振动方程)。x0点的振动曲线点的振动曲线t0 时刻的波形曲线时刻的波形曲线(3)当当 x 、 t 都变化时都变化时,y=y(x,t) 表示表示不同时刻不同时刻,不同位置处各质点位移。不同位置处各质点位移。yotxyt=t0波函数全面反映了波在时间上和空间上的周期性。波函数全面反映了波在时间上和空间上的周期性。(4) 由波函数可求得各质点的振动速度、加速度由波函数可求得各质点的振动速度、加速度注意：注意：v 和和 u 的不同。的不同。t1时刻的波形图时刻的波形图t1+t时刻的波形图时刻的波形图xyo传播的距离
15、传播的距离15.2.3 15.2.3 波动方程（动力学方程）波动方程（动力学方程）平面简谐波满足的方程平面简谐波满足的方程（1）（2）（2）/（1）得）得平面波的波动方程平面波的波动方程 推广到其它物理量，只要它的运动规律满足该式，就推广到其它物理量，只要它的运动规律满足该式，就表示它是以表示它是以u为传播速度的平面简谐波。为传播速度的平面简谐波。例：例：电磁波在真空中传播电磁波在真空中传播满足的波动方程满足的波动方程 说明在真说明在真空中传播的电空中传播的电磁波是以磁波是以c为为传播速度的平传播速度的平面简谐波面简谐波.例例15-1 设有一沿设有一沿x轴正方向传播的波，波长轴正方向传播的波，
16、波长=0.1m, p点处质点点处质点的振动方程为的振动方程为 y=0.03cost （m）,试求下列两种情况下的波函试求下列两种情况下的波函数。（数。（1）p点位于坐标原点；（点位于坐标原点；（2）p点位于点位于x0=0.2m处。处。解解:（1） 设简谐振动方程为设简谐振动方程为则波函数为则波函数为根据题意，根据题意，p点位于坐标原点时，其振动方程为点位于坐标原点时，其振动方程为ox（2）当）当p点位于点位于x0 =0.2m时，时，ox0x所以波函数为所以波函数为传播到任意点传播到任意点x处所用时间为处所用时间为要点要点: 抓住沿波的传播方向上各点相位依次落后。抓住沿波的传播方向上各点相位依次
17、落后。p点的振动方程为点的振动方程为u 例例 15-2 一平面余弦横波沿水平张紧的绳上自左向右传播。取一平面余弦横波沿水平张紧的绳上自左向右传播。取绳的左端为坐标原点，绳的左端为坐标原点，x轴的正方向水平向右轴的正方向水平向右,y轴的正方向竖轴的正方向竖直向上。直向上。t=0时，绳的左端经平衡为止向下运动。振幅时，绳的左端经平衡为止向下运动。振幅A=0.1m,频率频率=0.5Hz,波速波速u=1ms-1 。求波函数和距原点。求波函数和距原点1.5m处质点的处质点的振动方程。振动方程。解：解：=0.5Hz , T=2s, = rad s-1设原点设原点o处的振动方程为处的振动方程为根据题意根据题
18、意: t=0 时，时，y=0。 即即得得又又t=0时，质点向下运动，时，质点向下运动，v0.则波函数为则波函数为把把x=1.5m代入上式，得代入上式，得1.5m处的振动方程为处的振动方程为例例 15- 3 波源的振动曲线如图所示。已知波速波源的振动曲线如图所示。已知波速u=4cms-1,方方向向右，求向向右，求 t=3s时的波形曲线。时的波形曲线。解：解：123 45t/sy/cm0.5- 0.5由图可知由图可知A=0.5cm , T=4s , 设波源的振动方程为设波源的振动方程为t=0时，时，y=0.5cm即即 波函数为波函数为波函数波函数t=0s时的波形图时的波形图t=3s时的波形图时的波形图当当t=3s时，时，波向前传播的距离为波向前传播的距离为 x=ut=12cm将图像向前平移将图像向前平移x=12cm的距离得，的距离得，t=3s时的波形图。时的波形图。48 1216x/cmy/cm 将将t=0s代入上式，通过描代入上式，通过描点画图得点画图得t=0时的波形图。时的波形图。 12cm或将或将t=3s代入上式，通过描点画图得代入上式，通过描点画图得t=3时的波形图。时的波形图。结束结束
