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1、1一、留数的引入设为的一个孤立奇点;内的洛朗级数:在.的某去心邻域邻域内包含的任一条正向简单闭曲线第1页/共31页第一页，共32页。20(高阶导数公式)0 (柯西-古萨基本定理)第2页/共31页第二页，共32页。3定义定义(dngy) 记作记作的一个孤立奇点的一个孤立奇点, 则沿则沿内包含内包含的的任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线 C 的积分的积分的值除的值除后所得的数称为后所得的数称为以以如果如果第3页/共31页第三页，共32页。4二、利用(lyng)留数求积分说明说明(shumng):2. 留数定理(dngl)将沿封闭曲线C积分转化为求被积函数在C内各孤立奇点处的留数.1.留数定理留数
2、定理在区域在区域 D内除有限个孤内除有限个孤外处处解析外处处解析, C 是是 D内包围诸奇内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线点的一条正向简单闭曲线, 那末那末立奇点立奇点函数函数第4页/共31页第四页，共32页。5证证证毕两边同时除以 且.如图第5页/共31页第五页，共32页。62.留数的计算方法(1) 如果为的可去奇点, 如果 为 的一级极点, 那末规则规则(guz)1(guz)1成洛朗级数求(2) 如果为的本性奇点, (3) 如果为的极点, 则有如下计算规则展开则需将第6页/共31页第六页，共32页。7如果 为 的 级极点, 规则规则(guz)2(guz)2证证那末(n m)第7页/共31页
3、第七页，共32页。8+(含有 正幂的项)两边求阶导数, 证毕得第8页/共31页第八页，共32页。9规则规则(guz)3(guz)3 如果设及在都解析，证证的一级零点,为的一级极点.为那末为的一级极点, 且有第9页/共31页第九页，共32页。10解析且在因此(ync)其中 在 解析且为 的一级极点,第10页/共31页第十页，共32页。11三、在无穷远点的留数注意积分(jfn)路线取顺时针方向说明说明(shumng)记作记作1.1.定义定义(dngy)(dngy)设函数设函数在圆环域在圆环域内解析，内解析，C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，第11
4、页/共31页第十一页，共32页。12.证证由留数定义(dngy)有:(绕原点的并将内部的正向简单闭曲线)包含在 2.定理二定理二如果函数如果函数在扩充复平面内只有有限个在扩充复平面内只有有限个孤立奇点孤立奇点, 那末那末在所有各奇点在所有各奇点 (包括包括 点点)的留数的总和必等于零的留数的总和必等于零.证毕第12页/共31页第十二页，共32页。13说明说明(shumng): 由定理得由定理得(留数定理(dngl)计算(j sun)积分计算无穷远点的留数.优点: 使计算积分进一步得到简化. (避免了计算诸有限点处的留数)第13页/共31页第十三页，共32页。143.在无穷远点处留数的计算(js
5、un)规则规则(guz)4(guz)4说明说明: 定理定理(dngl)二和规则二和规则4提供了计算函数沿闭曲线提供了计算函数沿闭曲线积分的又一种方法: 此法在很多情况下此法更为简单.第14页/共31页第十四页，共32页。15现取正向(zhn xin)简单闭曲线C为半径足够大的正向(zhn xin)圆周 :于是(ysh)有证证第15页/共31页第十五页，共32页。16内除在外无其他奇点 .证毕第16页/共31页第十六页，共32页。17四、典型(dinxng)例题例例1 求在的留数.解解第17页/共31页第十七页，共32页。18例例2 求在的留数.分析分析(fnx)是的三级零点由规则(guz)3得
6、计算(j sun)较麻烦.第18页/共31页第十八页，共32页。19如果利用洛朗展开式求较方便:解解第19页/共31页第十九页，共32页。20说明说明(shumng): 如 为 m 级极点，当 m 较大而导数又难以计算时, 可直接展开洛朗级数求来计算留数 .2. 在应用(yngyng)规则2时, 取得比实际(shj)的级数高.级数高反而使计算方便. 1. 在实际计算中应灵活运用计算规则. 为了计算方便一般不要将m但有时把m取得比实际的如上例取第20页/共31页第二十页，共32页。21例例3 求在的留数.解解 是的四级极点.在内将展成洛朗级数:第21页/共31页第二十一页，共32页。22例例4
7、计算积分C为正向圆周:解解为一级极点,为二级极点,第22页/共31页第二十二页，共32页。23第23页/共31页第二十三页，共32页。24例例5 计算积分C为正向圆周:函数在的外部, 除点外没有其他(qt)奇点. 解解 根据(gnj)定理 2与规则4: 第24页/共31页第二十四页，共32页。25与以下解法(ji f)作比较 :被积函数有四个一级极点都在圆周的内部 , 所以由规则(guz)3 第25页/共31页第二十五页，共32页。26可见(kjin), 利用无穷远点的留数更简单.例例6 计算积分C为正向圆周 :解解 除被积函数点外, 其他奇点为第26页/共31页第二十六页，共32页。27由于
8、与 1在C的内部, 则所以(suy)第27页/共31页第二十七页，共32页。28五、小结(xioji)与思考 本节我们学习了留数的概念、计算(j sun)以及留数定理. 应重点掌握计算(j sun)留数的一般方法,尤其是极点处留数的求法, 并会应用留数定理计算(j sun)闭路复积分.第28页/共31页第二十八页，共32页。29思考题思考题第29页/共31页第二十九页，共32页。30思考题答案思考题答案(d n)放映结束放映结束(jish)(jish)，按，按EscEsc退退出出. .第30页/共31页第三十页，共32页。31感谢您的观看(gunkn)！第31页/共31页第三十一页，共32页。内容(nirng)总结1。第2页/共31页。任意一条简单闭曲线 C 的积分。外处处解析, C 是 D内包围(bowi)诸奇。两边同时除以 且。如果 为 的一级极点, 那末。+(含有 正幂的项)。其中 在 解析且。为 的一级极点,。在所有各奇点 (包括 点)。的留数的总和必等于零.。说明: 由定理得。说明: 定理二和规则4提供了计算函数沿闭曲线。例1 求第三十二页，共32页。
