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1、第3章 快速傅里叶变换 第十三讲第十三讲 FFTFFT的应用的应用 3.7 利用利用FFT分析时域连续信号频谱分析时域连续信号频谱 3.8 FFT的其他应用的其他应用 第3章 快速傅里叶变换 3.7 利用利用FFT分析时域连续信号频谱分析时域连续信号频谱 3.7.1 基本步骤基本步骤 图3-21时域连续信号离散傅里叶分析的处理步骤在实际应用中，前置低通滤波器的阻带不可能是无限衰减的，故由Xc(j)周期延拓得到的X(ej)有非零重叠，即出现频谱混叠现象。由于进行FFT的需要，必须对序列x(n)进行加窗处理，即v(n)=x(n)w(n)，加窗对频域的影响，是导致频谱泄漏。第3章 快速傅里叶变换 因
2、为DFT对应的数字域频率间隔为=2/N，且模拟频率和数字频率间的关系为=，其中=2f。所以，离散的频率函数第k点对应的模拟频率为:数字域频率间隔=2/N对应的模拟域谱线间距为谱线间距，又称频谱分辨率（单位：Hz）。所谓频谱分辨率是指可分辨两频率的最小间距。它的意思是，如设某频谱分析的F=5Hz，那么信号中频率相差小于5Hz的两个频率分量在此频谱图中就分辨不出来。第3章 快速傅里叶变换 图3-22T为采样时间间隔（单位：s）；fs为采样频率（单位：Hz）；tp为截取连续时间信号的样本长度（又称记录长度，单位：s）；F为谱线间距，又称频谱分辨率（单位：Hz）。第3章 快速傅里叶变换 在实际应用中,
3、要根据信号最高频率fh和频谱分辨率F的要求，来确定T、tp和N的大小。（1）首先，由采样定理，为保证采样信号不失真，fs2fh(fh为信号频率的最高频率分量，也就是前置低通滤波器阻带的截止频率)，即应使采样周期T满足（2）由频谱分辨率F和T确定N,为了使用FFT运算，这里选择N为2的幂次即N=2m，N大，分辨率好，但会增加样本记录时间tp。（3）最后由N,T确定最小记录长度，tp=NT。第3章 快速傅里叶变换 例例 3-3有一频谱分析用的FFT处理器，其采样点数必须是2的整数幂，假定没有采用任何特殊的数据处理措施，已给条件为:频率分辨率10Hz;信号最高频率4kHz。试确定以下参量：(1)最小
4、记录长度tp；(2)最大采样间隔T（即最小采样频率）；(3)在一个记录中的最少点数N。第3章 快速傅里叶变换 解解(1)由分辨率的要求确定最小长度tp所以记录长度为(2)从信号的最高频率确定最大可能的采样间隔T（即最小采样频率fs=1/T）。按采样定理即(3)最小记录点数N应满足取第3章 快速傅里叶变换 如果我们事先不知道信号的最高频率，可以根据信号的时域波形图来估计它。例如，某信号的波形如图3-23所示。先找出相邻的波峰与波谷之间的距离，如图中t1，t2，t3，t4。然后，选出其中最小的一个如t4。这里,t4可能就是由信号的最高频率分量形成的。峰与谷之间的距离就是周期的一半。因此，最高频率为
5、知道fh后就能确定采样频率图3-23估算信号最高频率fh第3章 快速傅里叶变换 3.7.2 可能出现的误差可能出现的误差利用FFT对连续信号进行傅里叶分析时可能造成的误差如下。1. 频谱混叠失真频谱混叠失真为了不产生混叠，必须满足也就是采样间隔T满足对于FFT来说，频率函数也要采样，变成离散的序列，其采样间隔为F(即频率分辨率)。信号的最高频率分量fh与频率分辨率F存在矛盾关系，要想fh增加，则时域采样间隔T就一定减小，而fs就增加，此时若是固定N，必然要增加F，即分辨率下降。第3章 快速傅里叶变换 反之，要提高分辨率（减小F），就要增加tp，当N给定时，必然导致T的增加（fs减小）。要不产生
6、混叠失真，则必然会减小高频容量（信号的最高频率分量）fh。要想兼顾高频容量fh与频率分辨率F，即一个性能提高而另一个性能不变（或也得以提高）的惟一办法就是增加记录长度的点数N，即要满足这个公式是未采用任何特殊数据处理（例如加窗处理）的情况下，为实现基本FFT算法所必须满足的最低条件。如果加窗处理，相当于时域相乘，则频域周期卷积，必然加宽频谱分量，频率分辨率就可能变差，为了保证频率分辨率不变，则须增加数据长度tp。第3章 快速傅里叶变换 2. 栅栏效应栅栏效应利用FFT计算频谱，只给出离散点k=2k/N或k=2k/(NT)上的频谱采样值，而不可能得到连续频谱函数，这就像通过一个“栅栏”观看信号频
7、谱，只能在离散点上看到信号频谱，称之为“栅栏效应”,如果在两个离散的谱线之间有一个特别大的频谱分量，就无法检测出来。第3章 快速傅里叶变换 减小栅栏效应的一个方法就是要使频域采样更密，即增加频域采样点数N，在不改变时域数据的情况下，必然是在数据末端添加一些零值点，使一个周期内的点数增加，但并不改变原有的记录数据。频谱采样为2k/N，N增加，必然使样点间距更近（单位圆上样点更多），谱线更密，谱线变密后原来看不到的谱分量就有可能看到了。必须指出，补零以改变计算FFT的周期时，所用窗函数的宽度不能改变。换句话说，必须按照数据记录的原来的实际长度选择窗函数，而不能按照补了零值点后的长度来选择窗函数。补
8、零不能提高频率分辨率，这是因为数据的实际长度仍为补零前的数据长度。第3章 快速傅里叶变换 3. 频谱泄漏与谱间干扰频谱泄漏与谱间干扰对信号进行FFT计算，首先必须使其变成有限时宽的信号，这就相当于信号在时域乘一个窗函数如矩形窗，窗内数据并不改变。时域相乘即v(n)=x(n)w(n)，加窗对频域的影响，可用式卷积公式表示卷积的结果，造成所得到的频谱V(ej)与原来的频谱X(ej)不相同，有失真。这种失真最主要的是造成频谱的“扩散”（拖尾、变宽），这就是所谓的“频谱泄漏”。第3章 快速傅里叶变换 由上可知，泄漏是由于我们截取有限长信号所造成的。对具有单一谱线的正弦波来说，它必须是无限长的。也就是说
9、，如果我们输入信号是无限长的，那么FFT就能计算出完全正确的单一线频谱。可是我们不可能这么做，而只能取有限长记录样本。如果在该有限长记录样本中，正弦信号又不是整数个周期时，就会产生泄漏。例如，一个周期为N=16的余弦信号x(n)=cos(2n）截取一个周期长度的信号即x1(n)=cos(2n/16)R16(n), 其16点FFT的谱图见3-24上图，若截取的长度为13，则其16点FFT的谱图见3-24下图。由此可见，频谱不再是单一的谱线，它的能量散布到整个频谱的各处。这种能量散布到其他谱线位置的现象即为“频谱泄漏”。第3章 快速傅里叶变换 图3-24余弦信号频谱泄漏示例图第3章 快速傅里叶变换
10、 应该说明，泄漏也会造成混叠，因为泄漏将会导致频谱的扩展，从而使最高频率有可能超过折叠频率（fs/2），造成频率响应的混叠失真。泄漏造成的后果是降低频谱的分辨率。此外，由于在主谱线两边形成很多旁瓣，引起不同频率分量间的干扰(简称谱间干扰)，特别是强信号谱的旁瓣可能湮没弱信号的主谱线，或者把强信号谱的旁瓣误认为是另一信号的谱线，从而造成假信号，这样就会使谱分析产生较大偏差。在进行FFT运算时，时域截断是必然的，从而频谱泄漏和谱间干扰也是不可避免的。为尽量减小泄漏和谱间干扰的影响，需增加窗的时域宽度(频域主瓣变窄)，但这又导致运算量及存储量的增加；其次，数据不要突然截断，也就是不要加矩形窗，而是加
11、各种缓变的窗（例如：三角形窗、升余弦窗、改进的升余弦窗等），使得窗谱的旁瓣能量更小，卷积后造成的泄漏减小。第3章 快速傅里叶变换 3.7.3 应用实例应用实例一个长度为N的时域离散序列x(n)，其离散傅里叶变换X(k)（离散频谱）是由实部和虚部组成的复数，即对实信号x(n)，其频谱是共轭偶对称的，故只要求出k在0，1，2，,N/2上的X(k)即可。将X(k)写成极坐标形式式中，|X(k)|称为幅频谱，argX(k)称为相频谱。第3章 快速傅里叶变换 实际中也常常用信号的功率谱表示，功率谱是幅频谱的平方，功率谱PSD定义为功率谱具有突出主频率的特性，在分析带有噪声干扰的信号时特别有用。由频谱图可
12、以知道信号存在哪些频率分量，它们就是谱图中峰值对应的点。谱图中最低频率为k=0，对应实际频率为0（即直流）；最高频率为k=N/2，对应实际频率为f=fs/2；第3章 快速傅里叶变换 对处于0，1，2，N/2上的任意点k，对应的实际频率为f=kF=kfs/N。由于所取单位不同，频率轴有几种定标方式。图3-25列出频率轴几种定标方式的对应关系。上图中f为归一化频率，定义为 f无量纲，在归一化频率谱图中，最高频率为0.5。专用频谱分析仪器常用归一化频率表示。第3章 快速傅里叶变换 第3章 快速傅里叶变换 例例3-4已知信号x(t)=0.15sin(2f1t)+sin(2f2t)-0.1sin(2f3
13、t)，其中,f1=1Hz，f2=2Hz，f3=3Hz。x(t)包含三个正弦波，但从时域波形图3-26（a）来看，似乎是一个正弦信号，很难看到小信号的存在，因为它被大信号所掩盖。取fs=32Hz作频谱分析。解解 因fs=32Hz，故第3章 快速傅里叶变换 该信号为周期信号，其周期为N=32。现对x(n)作32点的离散傅里叶变换(DFT)，其幅度特性|X(k)|如图3-26(b)所示。图中仅给出了k=0,1,15的结果。k=16,17,32的结果可由|X(N-k)|=|X(k)|得出。因N=32, 故频率分辨率F=fs/N=1Hz。 由图3-26(b)可知, k=1,2,3所对应的频谱即为频率f1
14、=1Hz，f2=2Hz,f3=3Hz的正弦波所对应的频谱。幅频图如图3-26（b）,该图中小信号成分清楚显示出来。可见小信号成分在时域中很难辨识而在频域中容易识别。第3章 快速傅里叶变换 图3-26已知信号的时域图和幅频图第3章 快速傅里叶变换 3.8 FFT的其他应用的其他应用 3.8.1 线性卷积的线性卷积的FFT算法算法快速卷积快速卷积 1. FFT的快速卷积法的快速卷积法以FIR滤波器为例，因为它的输出等于有限长单位脉冲响应h(n)与有限长输入信号x(n)的离散线性卷积。设x(n)为L点，h(n)为M点，输出y(n)为第3章 快速傅里叶变换 y(n)也是有限长序列，其点数为L+M-1点
15、。下面首先讨论直接计算线性卷积的运算量。由于每一个x(n)的输入值都必须和全部的h(n)值相乘一次，因而总共需要LM次乘法，这就是直接计算的乘法次数，以md表示为md=LM用FFT算法也就是用圆周卷积来代替这一线性卷积时，为了不产生混叠，其必要条件是使x(n)，h(n)都补零值点，补到至少N=M+L-1，即:0nL-1LnN-10nM-1MnN-1第3章 快速傅里叶变换 然后计算圆周卷积N这时，y(n)就能代表线性卷积的结果。用FFT计算y(n)的步骤如下：求H(k)=DFTh(n)，N点；求X(k)=DFTx(n),N点；计算Y(k)=X(k)H(k);求y(n)=IDFTY(k)，N点。第
16、3章 快速傅里叶变换 步骤、都可用FFT来完成。此时的工作量如下：三次FFT运算共需要次相乘，还有步骤的N次相乘，因此共需要相乘次数为比较直接计算线性卷积(简称直接法)和FFT法计算线性卷积(简称FFT法)这两种方法的乘法次数。设其比值为Km，则第3章 快速傅里叶变换 分两种情况讨论如下：（1）x(n)与h(n)点数差不多。例如，M=L，则N=2M-12M，则这样可得下表：M=L8163264128256512102420484096Km0.572 0.9411.62.785.928.821629.2453.999.9当M=8时，FFT法的运算量大于直接法；当M=32时，二者相当；当M=512
17、时，FFT法运算速度可快16倍；当M=4096时，FFT法约快100倍。可以看出，当M=L且M超过32以后，M越长，FFT法的好处越明显。因而将圆周卷积称为快速卷积。第3章 快速傅里叶变换 （2）当x(n)的点数很多时，即当LM。通常不允许等x(n)全部采集齐后再进行卷积;否则，使输出相对于输入有较长的延时。此外，若N=L+M-1太大，h(n)必须补很多个零值点，很不经济，且FFT的计算时间也要很长。这时FFT法的优点就表现不出来了，因此需要采用分段卷积或称分段过滤的办法。即将x(n)分成点数和h(n)相仿的段，分别求出每段的卷积结果，然后用一定方式把它们合在一起，便得到总的输出，其中每一段的
18、卷积均采用FFT方法处理。有两种分段卷积的办法:重叠相加法和重叠保留法。第3章 快速傅里叶变换 2重叠相加法重叠相加法设h(n)的点数为M，信号x(n)为很长的序列。我们将x(n)分解为很多段，每段为L点，L选择成和M的数量级相同，用xi(n)表示x(n)的第i段：iLn(i+1)L-1其他ni=0,1,则输入序列可表示成第3章 快速傅里叶变换 这样，x(n)和h(n)的线性卷积等于各xi(n)与h(n)的线性卷积之和，即每一个xi(n)*h(n)都可用上面讨论的快速卷积办法来运算。由于xi(n)*h(n)为L+M-1点，故先对xi(n)及h(n)补零值点，补到N点。为便于利用基-2FFT算法
19、，一般取N=2mL+M-1，然后作N点的圆周卷积：N由于xi(n)为L点，而yi(n)为（L+M-1）点（设N=L+M-1），故相邻两段输出序列必然有（M-1）个点发生重叠，即前一段的后（M-1）个点和后一段的前（M-1）个点相重叠，如图3-27所示。应该将重叠部分相加再和不重叠的部分共同组成输出y(n)。第3章 快速傅里叶变换 图3-27重叠相加法图形第3章 快速傅里叶变换 图3-27重叠相加法图形第3章 快速傅里叶变换 和上面的讨论一样，用FFT法实现重叠相加法的步骤如下:计算N点FFT，H(k)=DFTh(n)；计算N点FFT，Xi(k)=DFTxi(n)；相乘，Yi(k)=Xi(k)H
20、(k)；计算N点IFFT，yi(n)=IDFTYi(k)； 将各段 yi(n)（ 包括重叠部分）相加， 。重叠相加的名称是由于各输出段的重叠部分相加而得名的。第3章 快速傅里叶变换 3 重叠保留法重叠保留法此方法与上述方法稍有不同。先将x(n)分段，每段L=N-M+1个点，这是相同的。不同之处是，序列中补零处不补零，而在每一段的前边补上前一段保留下来的（M-1）个输入序列值，组成L+M-1点序列xi(n)，如图3-28（a）所示。如果L+M-12m，则可在每段序列末端补零值点，补到长度为2m，这时如果用DFT实现h(n)和xi(n)圆周卷积，则其每段圆周卷积结果的前（M-1）个点的值不等于线性
21、卷积值，必须舍去。第3章 快速傅里叶变换 图3-28重叠保留法示意图第3章 快速傅里叶变换 图3-28重叠保留法示意图第3章 快速傅里叶变换 图图 3-29 用用保保留留信信号号代代替替补补零零后后的的局局部部混混叠叠现现象象 第3章 快速傅里叶变换 图图 3-29 用用保保留留信信号号代代替替补补零零后后的的局局部部混混叠叠现现象象 第3章 快速傅里叶变换 为了说明以上说法的正确性，我们来看一看图3-29。任一段xi(n)（为N点）与h(n)（原为M点，补零值后也为N点）的N点圆周卷积N由于h(m)为M点，补零后作N点圆周移位时，在n=0,1,M-2的每一种情况下，h(n-m)NRN(m)在
22、0mN-1范围的末端出现非零值，而此处xi(m)是有数值存在的，图3-29（c），（d）为n=0,n=M-2的情况，所以在0nM-2第3章 快速傅里叶变换 这一部分的yi(n)值中将混入xi(m)尾部与h(n-m)NRN(m)尾部的乘积值，从而使这些点的yi(n)不同于线性卷积结果。但是从n=M-1开始到n=N-1，h(n-m)NRN(m)=h(n-m)（如图3-29（e），（f）所示），圆周卷积值完全与线性卷积值一样，yi(n)就是正确的线性卷积值。因而必须把每一段圆周卷积结果的前(M-1)个值去掉，如图3-29（g）所示。因此，为了不造成输出信号的遗漏，对输入分段时，就需要使相邻两段有M-
23、1个点重叠（对于第一段，即x0(n)，由于没有前一段保留信号，则需要在序列前填充M-1个零值点），这样，若原输入序列为x(n)（n0时有值），则应重新定义输入序列第3章 快速傅里叶变换 0nM-2M-1n而0nN-1其他ni=0,1,第3章 快速傅里叶变换 在这一公式中，已经把每一段的时间原点放在该段的起始点，而不是x(n)的原点。这种分段方法示于图3-28中，每段xi(n)和h(n)的圆周卷积结果以yi(n)表示，如图3-28（b）所示，图中已标出每一段输出段开始的(M-1)个点，0nM-2部分舍掉不用。把相邻各输出段留下的序列衔接起来，就构成了最后的正确输出，即式中:M-1nN-1其他n这
24、时，每段输出的时间原点放在yi (n)的起始点，而不是y(n)的原点。第3章 快速傅里叶变换 3.8.2 信号消噪信号消噪假设信号在传输过程中，受到噪声的干扰，则在接收端得到的信号由于受到噪声的干扰，信号将难以辨识。用FFT方法消噪就是对含噪信号的频谱进行处理，将噪声所在频段的X(k)值全部置零后，再对处理后的X(k)进行离散傅里叶反变换（IFFT）可得原信号的近似结果。这种方法要求噪声与信号的频谱不在同一频段，否则，将很难处理。第3章 快速傅里叶变换 例例 3-5将上述消噪原理用于语音消噪。图3-30是一个实际例子，语音信号受到了强烈的啸叫噪声干扰，无法听清语音意思，如图3-30(a)，信号
25、淹没在噪声中（信噪比只有-10dB）。试用FFT方法消噪。先作FFT分析，得到其功率谱如图3-30(b)，可见在频率2.5kHz附近有一极强分量。这就是啸叫噪声干扰。图3-30(b)中频率在30800Hz范围是语音信号。对频谱进行修正，去除噪声频段，即将大于2.5kHz部分的X(k)值全部置为零，图3-30(c)是去噪后的功率谱。再由反变换（IFFT）重构信号得到原语音信号如图3-30(d)。这时信噪比为14dB，提高了24dB。这就是早期的数字式录音音乐中所采用的消噪方法。第3章 快速傅里叶变换 图3-30语音信号消噪过程(a)信号淹没在啸叫噪声中；(b)信号与噪声的功率谱；(b)(c)去噪
26、后的功率谱；(d)重构原语音信号第3章 快速傅里叶变换 3.8.3 FFT在双音多频（在双音多频（DTMF）信号中的应用信号中的应用双音多频信号DTMF是按键式电话信令中的一般名称，它等效于在贝尔系统内部正在使用的按钮式拨号系统。近几年DTMF信号已经可以应用于需要交互控制的系统中，例如，语音控制、电子邮件和ATM交换机等。在DTMF信令系统中共有八个频率，分为四个高频音和四个低频音，用一个高频音和一个低频音的组合来代表某一特定的数字，或字符*和#。按键拨号设计中八个频率的分配方案如图3-31所示。其中，697Hz、770Hz、852Hz和941Hz为低频音，1209Hz、1336Hz和144
27、7Hz为高频音。例如，按下“*”键时，所选频率为941Hz和1209Hz，反之，如果这两个频率被检测出来，也就是收到了“*”。此外，还有第四种高频音，为1633Hz，目前还未被采用，留作日后用于特殊服务的四个附加按钮的应用。第3章 快速傅里叶变换 图3-31按键拨号设计中八个频率的分配方案第3章 快速傅里叶变换 DTMF系统可以用模拟手段或数字手段来实现。当用数字手段实现时，可以通过软件来模拟合成DTMF信号。在检测端可以用八个数字滤波器检测DTMF信号，也可以用其他软件实现信号的检测。当信号需要在模拟信道上发送时还需加A/D和D/A转换器。按键频率的识别方案见图3-32。图中，双音信号先被低
28、通滤波器和高通滤波器分离。低通滤波器的通带截止频率略高于1000Hz，而高通滤波器通带截止频率略低于1200Hz。每一个滤波器的输出被一个限幅器限制在一个方波内，然后进入窄带带通滤波器。低频信道中的四个带通滤波器的中心频率分别为697Hz、770Hz、852Hz和941Hz。高频信道中的四个带通滤波器的中心频率分别为1209Hz、1336Hz、1477Hz和1633Hz。当带通滤波器的输出高于一个特定的门限值时，检波器将显示直流电转换信号。第3章 快速傅里叶变换 对于DTMF数字信号的检测也可以利用FFT算法来实现，首先通过FFT计算DTMF信号的频谱，然后检测八个对应频率点的幅值来确定输入的信号。如在具有DTMF功能的电话机上按数字键时，电话机自动将该信号转换成为DTMF信号，并通过电话线将信号传到交换机，交换机再将该DTMF信号转换为原来的数字，并进行相应的操作。而其中的检测过程则可用上面介绍的方法之一。第3章 快速傅里叶变换 图图 3-32 按键拨号设计中双音检测方案按键拨号设计中双音检测方案
