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1、 耐心+坚持+努力 成功第十二章 积分变换法 积分变换法是物理学与其他应用科学中求解数学物理方程的一种重要方法， 它适用于求解无界区域及半无界区域的定解问题。积分变换法是积分变换法是 l通过对数理方程的积分变换，减少自变量的个数，通过对数理方程的积分变换，减少自变量的个数，直至化为常微分方程，使求解问题大为简化。直至化为常微分方程，使求解问题大为简化。l此外，此外，积分变换法积分变换法还可以用来计算定积分，求解常还可以用来计算定积分，求解常微分方程和积分方程微分方程和积分方程l本章介绍应用最广的本章介绍应用最广的傅里叶变换法傅里叶变换法及及拉普拉斯变换拉普拉斯变换法法。312. 1 傅里叶变换
2、本节介绍傅里叶级数、傅里叶积分、傅里叶变换和傅里叶变换的性质。12.1.1 傅里叶傅里叶级数和复数形式的傅里叶数和复数形式的傅里叶级数数1.傅里叶级数傅里叶级数l一个以一个以 2l 为周期的函数为周期的函数f (x)，若在区间，若在区间- -l, l上满足上满足狄利克雷条件（即连续或有有限个第一类间断点，狄利克雷条件（即连续或有有限个第一类间断点，并只有有限个极大值和极小值），则在并只有有限个极大值和极小值），则在- -l, l 上可展上可展开为傅里叶级数开为傅里叶级数52.复数形式的傅里叶级数复数形式的傅里叶级数l它可由式它可由式(12.1.1)导出，为此令导出，为此令kn=np p/l,则
3、则6l用用e-iknx乘上式两边，再对乘上式两边，再对x从从- -l到到l积分积分, 利用利用l进行求和之后，将所得公式的哑指标进行求和之后，将所得公式的哑指标m全部改用全部改用n表表示，即得展开系数示，即得展开系数712.1.2 傅里叶傅里叶积分分1. 傅里叶积分和傅里叶积分定理傅里叶积分和傅里叶积分定理l周期函数的性质是周期函数的性质是f(x+2l)=f(x), x每增大每增大2l，函，函数值就有一次重复数值就有一次重复; l非周期函数没有这个性质，但可认为它是周非周期函数没有这个性质，但可认为它是周期期2l 的的“周期函数周期函数”，从而可以由式，从而可以由式 (12.1.4)和式和式(
4、12.1.6)出发，利用出发，利用l , 把符合把符合一定条件的非周期函数展开为傅里叶积分一定条件的非周期函数展开为傅里叶积分8l可以证明可以证明，如果定义在，如果定义在(-,)的函数的函数f(x) ,在任一在任一有限区间上满足狄利克雷条件，且绝有限区间上满足狄利克雷条件，且绝 对可积对可积 = 有界有界 ，则在，则在 f(x) 的连的连续点处，傅里叶积分存在续点处，傅里叶积分存在l在在f(x)的第一类间断点处，积分等于的第一类间断点处，积分等于 l这称为傅里叶积分定理这称为傅里叶积分定理9现在将傅里叶级数过渡到傅里叶积分现在将傅里叶级数过渡到傅里叶积分l由于由于l , 相邻两相邻两kn，值之
5、差为，值之差为l将式将式(12.1.6)与式与式(12.1.8)代入式代入式(12.1.4)，得，得l后式利用了定积分的定义，上式就是傅里叶积分后式利用了定积分的定义，上式就是傅里叶积分式式(12.1.7).Cn1/l102. 三维形式的傅里叶积分三维形式的傅里叶积分l现在，将傅里叶积分由一维推广到三维现在，将傅里叶积分由一维推广到三维l则式则式(12.1.9)可写成可写成 采用矢量记号采用矢量记号113. 傅里叶积分的三角形式傅里叶积分的三角形式l由式由式(12.1.7)出发，交换积分次序，并利用欧出发，交换积分次序，并利用欧拉公式可得拉公式可得 l被积函数的正弦项是被积函数的正弦项是k的奇
6、函数，对的奇函数，对k的积分的积分为零；余弦项是为零；余弦项是k的偶函数，为的偶函数，为(0,)积分值的积分值的2倍。故倍。故121312.1.3 傅里叶傅里叶变换1.傅里叶变换的定义傅里叶变换的定义l在傅里叶积分公式在傅里叶积分公式(12.1.7)中，令中，令l这表明这表明 f(x)与与 是互相对应的：是互相对应的： f(x) 描述的物理描述的物理问题，也可以等效地用问题，也可以等效地用 来描述来描述14l从数学上讲，函数从数学上讲，函数f(x)与与 的关系就是一个积分的关系就是一个积分变换的关系我们称变换的关系我们称 为为f(x)的傅里叶变换，记的傅里叶变换，记作作 = Ff(x)，即，即
7、l称称f(x)是是 的傅里叶逆变换，这个运算称为反演，的傅里叶逆变换，这个运算称为反演，记作记作 ，即，即l通常还把通常还把 称为称为f(x)的像函数，把的像函数，把 f(x) 称为称为 的像原函数的像原函数 15由式由式(12.1.16)和式和式(12.1.17)可得，可得， f(x)的傅里的傅里叶变换的逆变换等于叶变换的逆变换等于f(x)的自身，即的自身，即 l在量子力学中，粒子的状态是用波函数来描在量子力学中，粒子的状态是用波函数来描述的以粒子动量为自变量的波函数述的以粒子动量为自变量的波函数c(p, t)就就是以粒子坐标为自变量的波函数是以粒子坐标为自变量的波函数cc(x, t)的傅里
8、叶变换。的傅里叶变换。162.傅里叶的正弦变换和余弦变换傅里叶的正弦变换和余弦变换l若若f(x)为奇函数，记作为奇函数，记作fs(x) ，代入式，代入式(12.1.12)和式和式(12.1.13)，由被积函数的奇偶性易见，由被积函数的奇偶性易见A(k)=0，将，将B(k)记作记作 。 将结果代入式将结果代入式(12.1.11)，并采用记号，并采用记号l上两式称为傅里叶正弦变换及其逆变换上两式称为傅里叶正弦变换及其逆变换172.傅里叶的正弦变换和余弦变换傅里叶的正弦变换和余弦变换l若若f(x)为偶函数，记作为偶函数，记作fC(x) ，代入式，代入式(12.1.12)和式和式(12.1.13)，由
9、被积函数的奇偶性易见，由被积函数的奇偶性易见B(k)=0，将，将A(k)记作记作 。 将结果代入式将结果代入式(12.1.11)，并采用记号，并采用记号l上两式称为傅里叶余弦变换及其逆变换上两式称为傅里叶余弦变换及其逆变换183. 三维傅里叶变换三维傅里叶变换l正如由式正如由式(12.1.7)可以得到式可以得到式(12.1.14)，式，式(12.1.15)一样，由式一样，由式(12.1.10)可得可得19【例例12.1.1】求求 的傅里叶变换的傅里叶变换l解解 20【例例12.1.2】求求f(x)=exp2 2ax2 的傅里叶变换，的傅里叶变换，其中其中a为正数为正数l解解 由傅里叶变换的定义
10、出发，并利用由傅里叶变换的定义出发，并利用4.2节节例例4.2.7 的结果，便有的结果，便有21【例例12.1.3】求单位阶跃函数求单位阶跃函数H(x-a) = 的傅里叶变换的傅里叶变换(a0)解解 由定义由定义l由于积分不收敛由于积分不收敛, 故单位阶跃函数的傅里叶变换不存故单位阶跃函数的傅里叶变换不存在在. 为改善其收敛性质为改善其收敛性质, 考虑函数考虑函数(bb0)22【例例12.1.4 】试证明试证明l解解 题设的积分不易直接计算。考虑到题设的积分不易直接计算。考虑到 是奇函数，是奇函数，l 由傅里叶正弦变换的定义由傅里叶正弦变换的定义l可见，只要证明可见，只要证明 , 也即证明也即
11、证明e- -k满足傅满足傅里叶正弦逆变换里叶正弦逆变换(见式见式(12.1.20)则本题得证则本题得证23l实际上，通过两次分部积分可证，留给读者作为练实际上，通过两次分部积分可证，留给读者作为练习习244. dd函数的傅里叶展开函数的傅里叶展开ldd函数可以表示为指数函数与三角函数的傅里叶积分函数可以表示为指数函数与三角函数的傅里叶积分l证明证明 令令f(x)=d =d (x-x)代入式代入式(12.1.14), 得得l将上式代入式将上式代入式(12.1.15) 即有即有(12.1.25b)25利用欧拉公式及奇函数的积分性质，可得利用欧拉公式及奇函数的积分性质，可得l式式(12.1.25a)
12、的三维形式为的三维形式为 l这几个这几个dd公式公式(12.1.25)和和 (12.1.26)在量子力在量子力学中有着广泛的应用学中有着广泛的应用2612.1.4 傅里叶傅里叶变换的性的性质l假定下面需要取傅里叶变换的函数，均假定下面需要取傅里叶变换的函数，均满足傅里叶变换的条件满足傅里叶变换的条件271.1.线性定理线性定理l若若a1 、a2为任意常数，则对任意函数为任意常数，则对任意函数f1(x)及及f2(x) ，有，有28证明证明 由定义出发由定义出发 29 2.2.延迟定理延迟定理l设设x0为任意常数，则为任意常数，则 l证明由定义出发，令证明由定义出发，令u=x- -x0可得可得 l
13、由式由式(12.1.16)可见可见,Ff(x)仅为仅为k的函数，与的函数，与x无关无关(x是是定积分的积分变量定积分的积分变量)故故 Ff(u)=Ff(x) (12.1.30)30 3. 3.位移定理位移定理l设设ko为任意常数，则为任意常数，则(见习题见习题12.1.9)31 4. 4.相似定理相似定理l设设a为不等于零的常数，则为不等于零的常数，则l证明证明 令令u=ax，分别讨论，分别讨论a0与与a0两种情形两种情形l注意当注意当a 0)l若若s s足够大，函数足够大，函数 f1(t) 的傅里叶变换就有可能存在的傅里叶变换就有可能存在(见拉氏变换存在定理见拉氏变换存在定理)，于是，于是l
14、它的傅里叶逆变换为它的傅里叶逆变换为 73作变量变换作变量变换 p = s s+iw (12.3.4) l定义函数定义函数 为为f1(t) 的傅里叶变换的傅里叶变换l将式将式(12.3.5)，式，式(12.3.4)代入式代入式(12.3.2)l在在0,内，内，fl(t)e-s s t f(t) ，将式，将式(12.3.1)、式、式(12.3.4)、式式(12.3.5)代入式代入式74两边乘两边乘 e-s s t l这样，式这样，式(12.3.6 )与式与式(12.3.7)构成一对新的积分变构成一对新的积分变换，并称换，并称 为为 f(t) 的拉氏变换，记作的拉氏变换，记作l式式(12.3.7)
15、 称为梅林称为梅林(Mellin)反演公式，亦即反演公式，亦即 的拉氏逆变换，记作的拉氏逆变换，记作 l称称 为为f(t)的像函数的像函数, f(t)为为 的像原函数的像原函数7512.3.2 拉氏拉氏变换的存在定理的存在定理l若函数若函数f(t)满足下述条件满足下述条件l(1) 当当ts s0上存在且解析上存在且解析图图12.376证明证明 (1) 证明证明 存在。由存在。由l所以积分式所以积分式(12.3.6)绝对收敛，且绝对收敛，且 在右半平在右半平面面Re p = s ss s0存在存在.(2) 证明证明 解析。在式解析。在式(12.3.12)的积分号内对的积分号内对p求求偏导，并取偏
16、导，并取 (s s1为任意实常数为任意实常数)，则有，则有(12.3.12)77这表明这表明 在半平面在半平面Re p = s ss s0上一致收敛，交换积分与微商上一致收敛，交换积分与微商的次序，得的次序，得l既然既然 的导数在的导数在Re p = s ss s0上存在且有限，故上存在且有限，故 在在Re p = s ss s0内解析内解析.7812.3.3 常用函数的拉氏常用函数的拉氏变换(1) 若若f(t)Ceat (a为复数为复数)，则，则(12.3.13) (2) 若若f(t)sinbt 或或 cosbt (b为复数为复数)，则，则(12.3.14) (12.3.15) 79(3)
17、若若 f(t) = = tb b (Reb b -1-1)，则，则l分别令分别令b b =-1/2 及及b b =n (式中式中n=0,1,2,), 则则Rep 0 (12.3.16)80其他函数的拉氏变换其他函数的拉氏变换l可以通过上述函数的拉氏变换及拉氏变换的性质求可以通过上述函数的拉氏变换及拉氏变换的性质求得，也可直接由定义出发计算，得，也可直接由定义出发计算，还可直接查阅拉还可直接查阅拉氏变换表氏变换表( (表表12-1).12-1).表表 12-181表表 12-1 续续8212.3.4 拉氏拉氏变换的性的性质l假定取拉氏变换的函数，均满足拉氏变换的条件假定取拉氏变换的函数，均满足拉
18、氏变换的条件(见见拉氏变换的存在定理拉氏变换的存在定理) 1. 1. 线性定理线性定理l若若al、 a2为任意常数，则为任意常数，则(12.3.20) (12.3.19) 83证明证明 只证明式只证明式(12.3.19)(12.3.19)，第二式的证明留作练习，第二式的证明留作练习. . 由定义出发由定义出发 84【例例12.3.1】求求Lshat和和Lchat的值的值.l 解解 852.2.延迟定理延迟定理l设设 t t 为非负实数，则为非负实数，则Lf(t-t t) = e- -pt t Lf(t) (12.3.21)l证明证明 由定义出发由定义出发u = t-t-t , 可得可得l利用利
19、用us s0是一致收敛的，上面交换积分次序是是一致收敛的，上面交换积分次序是“合法合法的的 ”94 9. 9.卷积定理卷积定理L f1(t)f2(t) = L f1(t)L f2(t) (12.3.31)l证明证明 由卷积及拉氏变换的定义出发，交换积分次序，由卷积及拉氏变换的定义出发，交换积分次序，作变量代换作变量代换 u = t-t-t ，可得，可得95下限可写成零，将下限可写成零，将exp(- -pt t)提出积分号外，有提出积分号外，有l计算计算 l对上式作逆变换，即有对上式作逆变换，即有由于当由于当u0时时f(u)=0 的积分的积分96l根据梅林定理导出拉普拉斯变换普遍的反演根据梅林定
20、理导出拉普拉斯变换普遍的反演公式公式-展开定理展开定理l10.10.展开定理展开定理展开定理展开定理l若当若当 一致地趋于零，一致地趋于零， 且且 只有有限个孤立奇点只有有限个孤立奇点bk( k =1,2,)，则，则97证明证明 梅林公式为梅林公式为l梅林公式的积分路线是梅林公式的积分路线是p平面上平面上与虚轴平行的直线与虚轴平行的直线 l (图图12.4)l为了运用留数定理进行计算，为了运用留数定理进行计算，选择一条闭合回路选择一条闭合回路L：以坐标：以坐标原点为圆心原点为圆心, R为半径作一圆弧为半径作一圆弧CR，使，使CR与与L构成一闭合回路构成一闭合回路L = CR + l98仿照若当
21、引理，可以证明仿照若当引理，可以证明l回路回路L由由 l +CR构成，由上式及留数定理可得构成，由上式及留数定理可得l式中式中bk为为 在在p平面上有限远处的全部平面上有限远处的全部奇点。拉普拉斯变换的存在定理指出，奇点。拉普拉斯变换的存在定理指出， 在在直线直线L的右侧解析的右侧解析99【例例12.3.4】已知已知 l解解 首先将首先将 之积，其中之积，其中 l 由式由式(12.3.13)得得 l 其拉氏逆变换为其拉氏逆变换为100由例由例12.3.3得得l其拉氏逆变换为其拉氏逆变换为l 差一个因子差一个因子p，利用微分定理于，利用微分定理于g(t) =te-b-b t ,便有便有l其拉氏逆
22、变换为其拉氏逆变换为101将式将式(12.3.33)及式及式(12.3.35)代入卷积定理代入卷积定理l对上式作拉氏逆变换，因为已假设作拉氏变换的函对上式作拉氏逆变换，因为已假设作拉氏变换的函数满足存在数满足存在定理的条件定理的条件(1)，即函数的宗量小于零时，即函数的宗量小于零时, 该函数为零该函数为零.l由由t- -t t0 0及及t t0 0得得t t 的积分区域为的积分区域为0到到 t102据此得据此得l最后的等式是利用分部积分法求得的最后的等式是利用分部积分法求得的.103【例例12.3.512.3.5】求解常微分方程的初值问题求解常微分方程的初值问题l(1)对初值问题作拉氏变换对初
23、值问题作拉氏变换.利用微分定理及初始条件利用微分定理及初始条件可得可得 l(2)求解像函数求解像函数 解上述代数方程，得解上述代数方程，得 104(3) 对像函数作拉氏逆变换对像函数作拉氏逆变换.l利用卷积定理可得利用卷积定理可得l由由例例12.3.1得得 C0ch(at) 及及 C0/ach(at) 105将以上三式代入式将以上三式代入式(12.3.36)，得，得106【例例12.3.6】已知已知l解解 f(p)为多值函数，支点为为多值函数，支点为-1-1到到。从从-1-1到到- -沿负实轴沿负实轴作割线，规定割线上岸作割线，规定割线上岸l (p+1)的辐角值为的辐角值为p p，割线下，割线
24、下岸辐角为岸辐角为-p-p：l选择积分回路选择积分回路L如图如图12.5所所示示.试利用展开定理，求试利用展开定理，求 f(t).107对于圆弧对于圆弧Ce e上的上的p，有，有|p+1|=e el由小圆弧引理得由小圆弧引理得l由由 在回路在回路L内部解析内部解析, 故回路积分为零故回路积分为零108根据梅林公式及留数定理得根据梅林公式及留数定理得109作变量代换作变量代换u=x x2，利用欧拉积分利用欧拉积分 110作业作业- 12.3 第第271页页1组组2组组3组组1.12.3.42.12.3.63.12.3.71.12.3.22.12.3.63.12.3.71.12.3.32.12.3
25、.63.12.3.711112.4 拉普拉斯变换法本节应用拉氏变换求解波动方程与热传导方程的定解问题.无论方程与边界条件是否为齐次，其求解步骤均为：(1)对方程及边界条件作拉氏变换；(2)求解象函数，(3)对象函数作拉氏逆变换得解.l采用拉氏变换法求解定解问题时采用拉氏变换法求解定解问题时, 往往是针往往是针对对时间变量时间变量t进行的进行的, 特别是对带有边界条件特别是对带有边界条件的定解问题的定解问题.l在解题时，采用简写记号在解题时，采用简写记号 11312.4.1 波波动方程的定解方程的定解问题【例例 12.4.1】求解半无界波动方程的混合问题求解半无界波动方程的混合问题解解 1. 对
26、方程和边界条件作关于对方程和边界条件作关于t 的拉氏变换的拉氏变换.由拉氏由拉氏变换的定义、微分定理及初始条件可得带参数变换的定义、微分定理及初始条件可得带参数 p 的的常微分方程的边值问题常微分方程的边值问题114l2. 2. 求解象函数求解象函数u(x,p)方程方程 (12.4.4)的通解是相应的齐次方程的通解与的通解是相应的齐次方程的通解与(12.4.4)式式的特解之和的特解之和, 即即 l将式将式(12.4.6)代入式代入式(12.4.5), 得得C10, C2 l代入上式，便有代入上式，便有115 (3) (3) 对像函数作拉氏逆变换对像函数作拉氏逆变换. . 利用利用12.3节的节
27、的式式(12.3.18)及及延迟定理延迟定理 l其中，当其中，当t-t-t 0 时时, f(t-t-t) = 0是拉氏变换存在定理要是拉氏变换存在定理要求的条件求的条件.由式由式(12.4.8)、式、式(12.4.9)得得116l当泛定方程的非齐次项不是常数当泛定方程的非齐次项不是常数C时，也可按类似时，也可按类似的方法计算的方法计算. 11712.4.2热传导方程的定解方程的定解问题l【例例12.4.2】半无限长的均匀杆，其端点温度按半无限长的均匀杆，其端点温度按f(t)的规律变化，已知杆的初始温度为零，求杆上的温的规律变化，已知杆的初始温度为零，求杆上的温度分布规律度分布规律.l解解 定解
28、问题为定解问题为l(1)对方程和边界条件作关于对方程和边界条件作关于t的拉氏变换的拉氏变换 118(2) 求像函数求像函数u(x,p)l方程方程(12.4.13)的通解为的通解为119(3)对像函数作拉氏逆变换对像函数作拉氏逆变换 l由拉氏变换表可得由拉氏变换表可得 (12.4.16)120代入微分定理得代入微分定理得l作拉氏逆变换即有作拉氏逆变换即有(见习题见习题12.4.4)l将式将式(12.4.18)代入式代入式(12.4.16)即有即有121122 这题能不能作关于变量这题能不能作关于变量x的拉氏变换呢？尽管的拉氏变换呢？尽管x的的变化范围是变化范围是(0, )，因在边界点，因在边界点x= 0 不可能同时不可能同时给出给出u(0,t)和和ux(0,t)的值，因此不可能由微分定的值，因此不可能由微分定理写出理写出 的值，所以应作关于变量的值，所以应作关于变量 t的拉氏变换的拉氏变换.123作业作业- 12.4 第第273页页1组组2组组3组组1.12.4.12.12.4.21.12.4.12.12.4.21.12.4.12.12.4.2124共同进步共同进步125谢谢!
