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1、问题一：数问题一：数学是被发明的还是发现的？学是被发明的还是发现的？ 美国物理学家维格纳：美国物理学家维格纳：“数学有一部分是被数学有一部分是被发明的，有一部分是被发现的。通常情况下，人发明的，有一部分是被发现的。通常情况下，人类发明了数学概念，之后则是发现了概念之间的类发明了数学概念，之后则是发现了概念之间的联系。联系。” 数数学思想方法是数学发现、发明的关键和动学思想方法是数学发现、发明的关键和动力。力。 层次层次 1层次层次 2层次层次 3问题二：数学的最高教育价值追求是什么？问题二：数学的最高教育价值追求是什么？知识知识与与技能技能思想思想与与方法方法数学数学观念观念数学观念数学观念
2、数学观念属于哲学范畴。它主要是指人们对于数学本数学观念属于哲学范畴。它主要是指人们对于数学本数学观念属于哲学范畴。它主要是指人们对于数学本数学观念属于哲学范畴。它主要是指人们对于数学本质的基本看法和概括认识，是数学文化的主体即数学共同质的基本看法和概括认识，是数学文化的主体即数学共同质的基本看法和概括认识，是数学文化的主体即数学共同质的基本看法和概括认识，是数学文化的主体即数学共同体在长期的数学活动中形成的数学价值观和行为规范。体在长期的数学活动中形成的数学价值观和行为规范。体在长期的数学活动中形成的数学价值观和行为规范。体在长期的数学活动中形成的数学价值观和行为规范。 主要表现为对数学的根本
3、态度以及运用数学精神、主要表现为对数学的根本态度以及运用数学精神、主要表现为对数学的根本态度以及运用数学精神、主要表现为对数学的根本态度以及运用数学精神、数学意识或数学思维方式考察和处理事物的意识或习惯。数学意识或数学思维方式考察和处理事物的意识或习惯。数学意识或数学思维方式考察和处理事物的意识或习惯。数学意识或数学思维方式考察和处理事物的意识或习惯。包括数学观、数学价值观和行为规范。包括数学观、数学价值观和行为规范。包括数学观、数学价值观和行为规范。包括数学观、数学价值观和行为规范。 课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认课程
4、内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。蕴涵的数学思想方法。蕴涵的数学思想方法。蕴涵的数学思想方法。数学课程标准数学课程标准数学课程标准数学课程标准20112011版版版版P2P2数学思想与方法数学思想与方法 教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，教师教学应该以学生的认知发展水平和
5、已有的经验为基础，教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用，面向全体学生，注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用，面向全体学生，注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用，面向全体学生，注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握
6、基本的数学知识与技能、数学索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。思想和方法，获得基本的数学活动经验。思想和方法，获得基本的数学活动经验。思想和方法，获得基本的数学活动经验。数学课程标准数学课程标准数学课程标准数学课程标准20112011版版版版P3P3 通过义务教育阶段的数学学习，学生能：通过义务教育阶段的数学学习，学生能：通过义务教育阶段的数学学习，学生能：通过义务教育阶段的数学学习，学生能： 1. 1.获得适应社会生活和进一步
7、发展所必需的数学的基础知识、获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。（四基）基本技能、基本思想、基本活动经验。（四基）基本技能、基本思想、基本活动经验。（四基）基本技能、基本思想、基本活动经验。（四基） 2. 2.体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考
8、，增强发现和提出问题间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。（四能）的能力、分析和解决问题的能力。（四能）的能力、分析和解决问题的能力。（四能）的能力、分析和解决问题的能力。（四能）数学课程标准数学课程标准数学课程标准数学课程标准20112011版版版版P8P8 最有价值的知识最有价值的知识是关于方法的知识。是关于方法的知识。达尔文达尔文 作作作作为为为为知知知知识识识识的的的的数数数数学学学学，通通通通常常常常在在在在出出出出校校校校门
9、门门门不不不不到到到到两两两两年年年年可可可可能能能能就就就就忘忘忘忘了了了了，惟惟惟惟有有有有深深深深深深深深铭铭铭铭记记记记在在在在头头头头脑脑脑脑中中中中的的的的是是是是数数数数学学学学的的的的精精精精神神神神、数数数数学学学学的的的的思思思思想想想想和和和和研研研研究究究究方方方方法法法法等，这些随时随地发生作用，使学生终身受益。等，这些随时随地发生作用，使学生终身受益。等，这些随时随地发生作用，使学生终身受益。等，这些随时随地发生作用，使学生终身受益。日本数学教育家米山国藏日本数学教育家米山国藏日本数学教育家米山国藏日本数学教育家米山国藏 史史史史宁宁宁宁中中中中教教教教授授授授在在
10、在在数数数数学学学学思思思思想想想想概概概概论论一一一一书书这这样样写写写写到到到到“ “数数数数学学学学发发展展展展所所所所依依依依赖赖的的的的思思思思想想想想在在在在本本本本质质上上上上有有有有三三三三个个个个：抽抽抽抽象象象象、推推推推理理理理、模型，其中抽象是最核心的模型，其中抽象是最核心的模型，其中抽象是最核心的模型，其中抽象是最核心的” ”。 数学是抽象的科学。数学是抽象的科学。数学是抽象的科学。数学是抽象的科学。 数学是推理的科学。数学是推理的科学。数学是推理的科学。数学是推理的科学。 数学是模式的科学。数学是模式的科学。数学是模式的科学。数学是模式的科学。 数学是思数学是思数学
11、是思数学是思维维的体操。的体操。的体操。的体操。一流的数学老师教思想，一流的数学老师教思想，一流的数学老师教思想，一流的数学老师教思想，二流的数学老师教方法，二流的数学老师教方法，二流的数学老师教方法，二流的数学老师教方法，三流的数学老师教知识。三流的数学老师教知识。三流的数学老师教知识。三流的数学老师教知识。 一一一一个个个个优优优优秀秀秀秀的的的的数数数数学学学学老老老老师师师师不不不不仅仅仅仅要要要要教教教教看看看看得得得得见见见见的的的的知知知知识识识识，还还还还要要要要教教教教看看看看不不不不见见见见的的的的知知知知识识识识。因因因因为为为为看看看看不不不不见见见见的的的的知知知知识
12、识识识才才才才是是是是学学学学生生生生能能能能带带带带走走走走的的的的真能力。真能力。真能力。真能力。 数数数数学学学学的的的的历历史史史史发发展展展展始始始始终终反反反反映映映映着着着着两两两两条条条条线线，即即即即数数数数学学学学知知知知识识的的的的积积累累累累与与与与数数数数学学学学思思思思想想想想方方方方法法法法的的的的创创新新新新。数数数数学学学学思思思思想想想想方方方方法法法法伴伴伴伴随随随随着着着着数数数数学学学学知知知知识识体体体体系系系系的的的的建建建建立立立立而而而而确确确确立立立立，数数数数学学学学思思思思想想想想方方方方法法法法寓寓寓寓于于于于数数数数学学学学知知知知识
13、识之之之之中中中中，没没没没有有有有游游游游离离离离于于于于数数数数学学学学之之之之外外外外的的的的数数数数学学学学思思思思想想想想方方方方法法法法，同同同同时时也也也也没没没没有有有有不不不不包包包包含含含含数数数数学学学学思思思思想想想想方方方方法法法法的数学知的数学知的数学知的数学知识识。 摘自摘自摘自摘自数学思想方法通数学思想方法通数学思想方法通数学思想方法通论论 课程观点课程观点 数数数数学学学学教教教教学学学学有有有有两两两两条条条条线线，一一一一条条条条是是是是明明明明线线即即即即数数数数学学学学知知知知识识的的的的教教教教学学学学，一一一一条条条条是是是是暗暗暗暗线线即即即即数
14、数数数学学学学思思思思想想想想方方方方法法法法的的的的教教教教学学学学。而而而而数数数数学学学学思思思思想想想想方方方方法法法法是是是是数数数数学学学学的的的的精精精精髓髓髓髓，是是是是学学学学生生生生形形形形成成成成良良良良好好好好认认知知知知结结构构构构的的的的纽纽带带，是知是知是知是知识转识转化化化化为为能力的能力的能力的能力的桥桥梁，是培养学生良好的数学梁，是培养学生良好的数学梁，是培养学生良好的数学梁，是培养学生良好的数学观观念和念和念和念和创创新思新思新思新思维维的的的的载载体。体。体。体。 目目 录录123什么是数学思想方法什么是数学思想方法什么是数学思想方法什么是数学思想方法如
15、何开展数学思想方法的渗透教学如何开展数学思想方法的渗透教学如何开展数学思想方法的渗透教学如何开展数学思想方法的渗透教学小学数学思想方法小学数学思想方法小学数学思想方法小学数学思想方法( ( ( (教材中的体现、教学中的实施）教材中的体现、教学中的实施）教材中的体现、教学中的实施）教材中的体现、教学中的实施） 数数数数学学学学思思思思想想想想方方方方法法法法是是是是数数数数学学学学思思思思想想想想与与与与数数数数学学学学方方方方法法法法的的的的合合合合称称称称。所所所所谓谓谓谓数数数数学学学学思思思思想想想想是是是是指指指指从从从从具具具具体体体体的的的的数数数数学学学学内内内内容容容容提提提提
16、炼炼炼炼出出出出来来来来的的的的对对对对数数数数学学学学知知知知识识识识的的的的本本本本质质质质认认认认识识识识，是是是是建建建建立立立立数数数数学学学学理理理理论论论论和和和和解解解解决决决决问问问问题题题题的的的的指指指指导导导导思想。思想。思想。思想。一、什么是数学思想方法一、什么是数学思想方法 数学方法是指研究数学问题过程中所采用的手段、数学方法是指研究数学问题过程中所采用的手段、数学方法是指研究数学问题过程中所采用的手段、数学方法是指研究数学问题过程中所采用的手段、途径、方式、步骤、程序等，它通过一些规则或模式达途径、方式、步骤、程序等，它通过一些规则或模式达途径、方式、步骤、程序等
17、，它通过一些规则或模式达途径、方式、步骤、程序等，它通过一些规则或模式达到某种预期的目的。到某种预期的目的。到某种预期的目的。到某种预期的目的。形而上形而上形而下形而下 1 1 1 1数学思想方法的教学数学思想方法的教学数学思想方法的教学数学思想方法的教学规规定定定定（课标、课程）（课标、课程）（课标、课程）（课标、课程）1950195019501950年的年的年的年的小学算小学算小学算小学算术课术课程程程程暂暂行行行行标标准准准准( ( ( (草案草案草案草案) ) ) )1952195219521952年的年的年的年的小学算小学算小学算小学算术术教学大教学大教学大教学大纲纲( ( ( (草
18、案草案草案草案) ) ) )1956195619561956年的年的年的年的小学算小学算小学算小学算术术教学大教学大教学大教学大纲纲( ( ( (修修修修订订草案草案草案草案) ) ) )1963196319631963年的年的年的年的全日制小学算全日制小学算全日制小学算全日制小学算术术教学大教学大教学大教学大纲纲( ( ( (草案草案草案草案) ) ) )1978197819781978年的年的年的年的全日制十年制学校小学数学教学大全日制十年制学校小学数学教学大全日制十年制学校小学数学教学大全日制十年制学校小学数学教学大纲纲( ( ( (试试行草案行草案行草案行草案) ) ) )198619
19、8619861986年的年的年的年的全日制小学数学教学大全日制小学数学教学大全日制小学数学教学大全日制小学数学教学大纲纲1992199219921992年的年的年的年的九年九年九年九年义务义务教育全日小学数学教学大教育全日小学数学教学大教育全日小学数学教学大教育全日小学数学教学大纲纲( ( ( (试试用用用用) ) ) )2001200120012001年的年的年的年的数学数学数学数学课课程程程程标标准准准准2011201120112011年的数学年的数学年的数学年的数学课课程程程程标标准准准准 二、如何开展数学思想方法的渗透教学二、如何开展数学思想方法的渗透教学二、如何开展数学思想方法的渗透
20、教学二、如何开展数学思想方法的渗透教学2001200120012001年年年年数学数学数学数学课课程程程程标标准准准准（实验实验稿）：稿）：稿）：稿）： 教教教教师师应应激激激激发发学学学学生生生生的的的的学学学学习习积积极极极极性性性性，向向向向学学学学生生生生提提提提供供供供充充充充分分分分从从从从事事事事数数数数学学学学活活活活动动的的的的机机机机会会会会，帮帮帮帮助助助助他他他他们们在在在在自自自自主主主主探探探探索索索索和和和和合合合合作作作作交交交交流流流流的的的的过过程程程程中中中中真真真真正正正正理理理理解解解解和和和和掌掌掌掌握握握握基基基基本本本本的的的的数数数数学学学学知
21、知知知识识与与与与技技技技能能能能、数数数数学学学学思思思思想想想想和和和和方方方方法法法法，获获得得得得广广广广泛泛泛泛的的的的数数数数学学学学活活活活动经验动经验。数学数学数学数学课课程程程程标标准准准准（2011201120112011版）：版）：版）：版）： 教教教教师师要要要要发发挥挥主主主主导导作作作作用用用用，处处理理理理好好好好讲讲授授授授与与与与学学学学生生生生自自自自主主主主学学学学习习的的的的关关关关系系系系，引引引引导导学学学学生生生生独独独独立立立立思思思思考考考考、主主主主动动探探探探索索索索、合合合合作作作作交交交交流流流流，使使使使学学学学生生生生理理理理解解解
22、解和和和和掌掌掌掌握握握握基基基基本本本本的的的的数数数数学学学学知知知知识识与与与与技技技技能能能能，基基基基本本本本的的的的数数数数学学学学思思思思想想想想和和和和方方方方法法法法，获获得得得得基基基基本本本本的的的的数数数数学学学学活活活活动经验动经验。 帮助他帮助他帮助他帮助他们们在自主探索和合作交流的在自主探索和合作交流的在自主探索和合作交流的在自主探索和合作交流的过过程中程中程中程中处处理好理好理好理好讲讲授与学生自主学授与学生自主学授与学生自主学授与学生自主学习习的关系的关系的关系的关系 基本的数学知基本的数学知基本的数学知基本的数学知识识与技能、数学思想和方法，与技能、数学思想
23、和方法，与技能、数学思想和方法，与技能、数学思想和方法，获获得广泛的数学活得广泛的数学活得广泛的数学活得广泛的数学活 动经验动经验。 基本基本基本基本的数学知的数学知的数学知的数学知识识与技能，基本的数学思想和方法，与技能，基本的数学思想和方法，与技能，基本的数学思想和方法，与技能，基本的数学思想和方法，获获得基本的数学活得基本的数学活得基本的数学活得基本的数学活动经验动经验。从整体把握从整体把握从整体把握从整体把握小学数学课程小学数学课程小学数学课程小学数学课程的角度来看数学思想方法的角度来看数学思想方法的角度来看数学思想方法的角度来看数学思想方法整体把握小学数学课程整体把握小学数学课程整体
24、把握小学数学课程整体把握小学数学课程数学课程目标数学课程目标数学课程目标数学课程目标学生的数学学习学生的数学学习学生的数学学习学生的数学学习学习内容及其教育价值学习内容及其教育价值学习内容及其教育价值学习内容及其教育价值学生的学习任务学生的学习任务学生的学习任务学生的学习任务学习活动的系列设计及教学策略学习活动的系列设计及教学策略学习活动的系列设计及教学策略学习活动的系列设计及教学策略数学课程内容数学课程内容数学课程内容数学课程内容数学数学课程目程目标 基基础知知识和基本技能和基本技能 基本活基本活动经验 基本思想基本思想 发现和提出和提出问题、分析和解决、分析和解决问题 情感情感态度价度价值
25、观数学数学课程内容程内容 （1 1 1 1）渗透数学思想方法三个时期：）渗透数学思想方法三个时期：）渗透数学思想方法三个时期：）渗透数学思想方法三个时期： 潜意识时期潜意识时期潜意识时期潜意识时期明朗和形成时期明朗和形成时期明朗和形成时期明朗和形成时期深化时期深化时期深化时期深化时期2 2 2 2数学思想方法的渗透教学数学思想方法的渗透教学数学思想方法的渗透教学数学思想方法的渗透教学（2 2 2 2）设计一个具体的数学思想方法的教学过程分为三个）设计一个具体的数学思想方法的教学过程分为三个）设计一个具体的数学思想方法的教学过程分为三个）设计一个具体的数学思想方法的教学过程分为三个阶段阶段阶段阶
26、段多次孕育（渗透）多次孕育（渗透）多次孕育（渗透）多次孕育（渗透） “ “教者有意、学者无心教者有意、学者无心教者有意、学者无心教者有意、学者无心” ” 初步形成（介绍）初步形成（介绍）初步形成（介绍）初步形成（介绍） “ “理性认识理性认识理性认识理性认识” ” 应用发展（突出）应用发展（突出）应用发展（突出）应用发展（突出） “ “选用善用选用善用选用善用选用善用” ”三、小学数学思想方法三、小学数学思想方法（教材中的体（教材中的体现、教学中的、教学中的实施）施） 在小学数学体系中最基本的、最核心的数学思想是数学抽象在小学数学体系中最基本的、最核心的数学思想是数学抽象在小学数学体系中最基本
27、的、最核心的数学思想是数学抽象在小学数学体系中最基本的、最核心的数学思想是数学抽象、数学推理、数学模型。、数学推理、数学模型。、数学推理、数学模型。、数学推理、数学模型。 十大核心概念本十大核心概念本十大核心概念本十大核心概念本质质上体上体上体上体现现的是数学的基本思想。如的是数学的基本思想。如的是数学的基本思想。如的是数学的基本思想。如“ “数与代数与代数与代数与代数数数数” ”领领域内容直接关域内容直接关域内容直接关域内容直接关联联的数感、符号意的数感、符号意的数感、符号意的数感、符号意识识、运算能力、推理能力、运算能力、推理能力、运算能力、推理能力、运算能力、推理能力和模型思想等核心概念
28、就不同程度地直接体和模型思想等核心概念就不同程度地直接体和模型思想等核心概念就不同程度地直接体和模型思想等核心概念就不同程度地直接体现现了抽象、推理和模了抽象、推理和模了抽象、推理和模了抽象、推理和模型的基本思想的要求。型的基本思想的要求。型的基本思想的要求。型的基本思想的要求。 十大核心概念：数十大核心概念：数十大核心概念：数十大核心概念：数感、符号意感、符号意感、符号意感、符号意识识、空、空、空、空间观间观念、几何直念、几何直念、几何直念、几何直观观、运、运、运、运算能力算能力算能力算能力、数据分析、数据分析、数据分析、数据分析观观念、推念、推念、推念、推理理理理能力、模能力、模能力、模能
29、力、模型型型型思想、思想、思想、思想、应应用意用意用意用意识识和和和和创创新新新新意意意意识识。 在小学数学体系中有哪些基本思想方法呢？在小学数学体系中有哪些基本思想方法呢？在小学数学体系中有哪些基本思想方法呢？在小学数学体系中有哪些基本思想方法呢？1.1.1.1.符号化思想符号化思想符号化思想符号化思想 2.2.2.2.分分分分类类思想思想思想思想 3.3.3.3.对应对应思想思想思想思想 4.4.4.4.转转化思想化思想化思想化思想 5.5.5.5.模型思想模型思想模型思想模型思想 7.7.7.7.数形数形数形数形结结合思想合思想合思想合思想 6.6.6.6.类类比思想比思想比思想比思想
30、8.8.8.8.集合思想集合思想集合思想集合思想 9.9.9.9.极限思想极限思想极限思想极限思想 10.10.10.10.函数思想函数思想函数思想函数思想 11.11.11.11.优优化思想化思想化思想化思想 13.13.13.13.代代代代换换思想思想思想思想 12.12.12.12.方程思想方程思想方程思想方程思想 14.14.14.14.统计统计思想思想思想思想 15.15.15.15.归纳归纳思想思想思想思想 16.16.16.16.演演演演绎绎思想思想思想思想 17.17.17.17.分析法与分析法与分析法与分析法与综综合法合法合法合法 抽象抽象抽象抽象1.1.1.1.符号化思想符
31、号化思想符号化思想符号化思想 2.2.2.2.分分分分类类思想思想思想思想 3.3.3.3.对应对应思想思想思想思想 4.4.4.4.转转化思想化思想化思想化思想 5.5.5.5.模型思想模型思想模型思想模型思想 7.7.7.7.数形数形数形数形结结合思想合思想合思想合思想 6.6.6.6.类类比思想比思想比思想比思想 8.8.8.8.集合思想集合思想集合思想集合思想 9.9.9.9.极限思想极限思想极限思想极限思想 10.10.10.10.函数思想函数思想函数思想函数思想 11.11.11.11.优优化思想化思想化思想化思想 13.13.13.13.代代代代换换思想思想思想思想 12.12.
32、12.12.方程思想方程思想方程思想方程思想 14.14.14.14.统计统计思想思想思想思想 15.15.15.15.归纳归纳思想思想思想思想 16.16.16.16.演演演演绎绎思想思想思想思想 推理推理推理推理模型模型模型模型17.17.17.17.分析法与分析法与分析法与分析法与综综合法合法合法合法 抽象抽象抽象抽象1.1.1.1.符号化思想符号化思想符号化思想符号化思想 2.2.2.2.分分分分类类思想思想思想思想 3.3.3.3.对应对应思想思想思想思想 4.4.4.4.转转化思想化思想化思想化思想 5.5.5.5.模型思想模型思想模型思想模型思想 7.7.7.7.数形数形数形数形
33、结结合思想合思想合思想合思想 6.6.6.6.类类比思想比思想比思想比思想 8.8.8.8.集合思想集合思想集合思想集合思想 9.9.9.9.极限思想极限思想极限思想极限思想 10.10.10.10.函数思想函数思想函数思想函数思想 11.11.11.11.优优化思想化思想化思想化思想 13.13.13.13.代代代代换换思想思想思想思想 12.12.12.12.方程思想方程思想方程思想方程思想 14.14.14.14.统计统计思想思想思想思想 15.15.15.15.归纳归纳思想思想思想思想 16.16.16.16.演演演演绎绎思想思想思想思想 推理推理推理推理模型模型模型模型17.17.1
34、7.17.分析法与分析法与分析法与分析法与综综合法合法合法合法 符号化思想就是用符号化的符号化思想就是用符号化的符号化思想就是用符号化的符号化思想就是用符号化的语语言（包括字母、数字、言（包括字母、数字、言（包括字母、数字、言（包括字母、数字、图图形和形和形和形和各种特定的符号）来描述数学的内容。各种特定的符号）来描述数学的内容。各种特定的符号）来描述数学的内容。各种特定的符号）来描述数学的内容。1、符号化思想（抽象）、符号化思想（抽象） 小学数学小学数学小学数学小学数学课课程中的数学符号大致可分程中的数学符号大致可分程中的数学符号大致可分程中的数学符号大致可分为为数字符号、运算符号、数字符号
35、、运算符号、数字符号、运算符号、数字符号、运算符号、关系符号和关系符号和关系符号和关系符号和计计量符号四大量符号四大量符号四大量符号四大类类。 符号的特点：符号的特点：符号的特点：符号的特点： （1 1）简洁性：简单明了）简洁性：简单明了）简洁性：简单明了）简洁性：简单明了（2 2）统一性：世界性语言，方便交流与表达）统一性：世界性语言，方便交流与表达）统一性：世界性语言，方便交流与表达）统一性：世界性语言，方便交流与表达（3 3）一般性：得到的结论具有一般性）一般性：得到的结论具有一般性）一般性：得到的结论具有一般性）一般性：得到的结论具有一般性“数与代数数与代数数与代数数与代数”版块版块版
36、块版块符号化思想在教材中的体现符号化思想在教材中的体现符号化思想在教材中的体现符号化思想在教材中的体现用字母表示计量单位（如质量单位、时间单位等）用字母表示计量单位（如质量单位、时间单位等）用字母表示计量单位（如质量单位、时间单位等）用字母表示计量单位（如质量单位、时间单位等）用字母表示数、数量关系用字母表示数、数量关系用字母表示数、数量关系用字母表示数、数量关系数的认识（分数），运算符号，关系符号，比号，百分号数的认识（分数），运算符号，关系符号，比号，百分号数的认识（分数），运算符号，关系符号，比号，百分号数的认识（分数），运算符号，关系符号，比号，百分号“图形与几何图形与几何图形与几何图
37、形与几何”版块版块版块版块用字母表示计量单位（如长度、面积、体积单位等）用字母表示计量单位（如长度、面积、体积单位等）用字母表示计量单位（如长度、面积、体积单位等）用字母表示计量单位（如长度、面积、体积单位等）用字母表示图形的计算公式用字母表示图形的计算公式用字母表示图形的计算公式用字母表示图形的计算公式用数对确定位置用数对确定位置用数对确定位置用数对确定位置各各各各类类类类图图图图形形形形、位位位位置置置置关关关关系系系系等等等等的的的的符符符符号号号号（如如如如角角角角，直直直直线线线线、线线线线段段段段、射射射射线线线线，垂垂垂垂直，平行等）直，平行等）直，平行等）直，平行等）“统计与概
38、率统计与概率统计与概率统计与概率”版块版块版块版块统计中整理与记录的符号（如统计中整理与记录的符号（如统计中整理与记录的符号（如统计中整理与记录的符号（如“正正正正”字记录法）字记录法）字记录法）字记录法）用分数表示概率的大小用分数表示概率的大小用分数表示概率的大小用分数表示概率的大小符号化思想典型案例分享符号化思想典型案例分享符号化思想典型案例分享符号化思想典型案例分享用字母表示数用字母表示数用字母表示数用字母表示数 类类比推理是根据两个或两比推理是根据两个或两比推理是根据两个或两比推理是根据两个或两类对类对象在某方面相同或相似的性象在某方面相同或相似的性象在某方面相同或相似的性象在某方面相
39、同或相似的性质质，通，通，通，通过过推理得出它推理得出它推理得出它推理得出它们们在其他方面也相同或者相似的一种思在其他方面也相同或者相似的一种思在其他方面也相同或者相似的一种思在其他方面也相同或者相似的一种思维维方法。方法。方法。方法。2、类比思想（合情推理）、类比思想（合情推理） 类比思想是以比较为基础。首先对两类或两个不同的事物的类比思想是以比较为基础。首先对两类或两个不同的事物的类比思想是以比较为基础。首先对两类或两个不同的事物的类比思想是以比较为基础。首先对两类或两个不同的事物的部分性质进行比较，找出它们的一些相同点或相似点，再以此为部分性质进行比较，找出它们的一些相同点或相似点，再以
40、此为部分性质进行比较，找出它们的一些相同点或相似点，再以此为部分性质进行比较，找出它们的一些相同点或相似点，再以此为基础由一事物所具有的性质推断出另一事物也具有这些性质。基础由一事物所具有的性质推断出另一事物也具有这些性质。基础由一事物所具有的性质推断出另一事物也具有这些性质。基础由一事物所具有的性质推断出另一事物也具有这些性质。类比思想在教材中的体现类比思想在教材中的体现类比思想在教材中的体现类比思想在教材中的体现“ “数与代数数与代数数与代数数与代数” ”版块版块版块版块 万以内数的加减法与万以内数的加减法与万以内数的加减法与万以内数的加减法与100100以内数的加减法类比，得出竖式计算的
41、方法。以内数的加减法类比，得出竖式计算的方法。以内数的加减法类比，得出竖式计算的方法。以内数的加减法类比，得出竖式计算的方法。 如：如：如：如：650+220650+220，65+22=65+20+2=85+2=8765+22=65+20+2=85+2=87，650+220=870650+220=870 三位数乘两位数与两位数乘两位数的加减法类比，得出竖式计算方法。（除三位数乘两位数与两位数乘两位数的加减法类比，得出竖式计算方法。（除三位数乘两位数与两位数乘两位数的加减法类比，得出竖式计算方法。（除三位数乘两位数与两位数乘两位数的加减法类比，得出竖式计算方法。（除法同理）法同理）法同理）法同理
42、） 小数乘（除）法同整数乘（除）法进行类比，得出运算律和四则运算顺序同小数乘（除）法同整数乘（除）法进行类比，得出运算律和四则运算顺序同小数乘（除）法同整数乘（除）法进行类比，得出运算律和四则运算顺序同小数乘（除）法同整数乘（除）法进行类比，得出运算律和四则运算顺序同样适用于小数。样适用于小数。样适用于小数。样适用于小数。 万以上数的认识、大小比较可以与万以内数的认识、大小比较进行类比，发万以上数的认识、大小比较可以与万以内数的认识、大小比较进行类比，发万以上数的认识、大小比较可以与万以内数的认识、大小比较进行类比，发万以上数的认识、大小比较可以与万以内数的认识、大小比较进行类比，发现它们的方
43、法是相似的。现它们的方法是相似的。现它们的方法是相似的。现它们的方法是相似的。类比思想在教材中的体现类比思想在教材中的体现类比思想在教材中的体现类比思想在教材中的体现“ “图形与几何图形与几何图形与几何图形与几何” ”版块版块版块版块 将平行四边形面积公式、三角形面积公式、梯形面积公式的将平行四边形面积公式、三角形面积公式、梯形面积公式的将平行四边形面积公式、三角形面积公式、梯形面积公式的将平行四边形面积公式、三角形面积公式、梯形面积公式的推导过程进行类比，发现它们都是利用转化思想而推导出来的。推导过程进行类比，发现它们都是利用转化思想而推导出来的。推导过程进行类比，发现它们都是利用转化思想而
44、推导出来的。推导过程进行类比，发现它们都是利用转化思想而推导出来的。类比思想典型案例分享类比思想典型案例分享类比思想典型案例分享类比思想典型案例分享 3、归纳思想（合情推理）、归纳思想（合情推理） 归纳思想是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推理归纳思想是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推理得出这类事物的所有对象都具有这种性质的思想（简称归纳），得出这类事物的所有对象都具有这种性质的思想（简称归纳），即从特殊到一般的过程，它属于合情推理。即从特殊到一般的过程，它属于合情推理。 归纳分为完全归纳和不完全归纳，完全归纳是必然推理，归纳分为完全归纳和不完全归纳，完全归纳是必然推理，不完全归纳是
45、或然推理（合情推理）。小学阶段更多的是不完不完全归纳是或然推理（合情推理）。小学阶段更多的是不完全归纳。（合情推理）全归纳。（合情推理） 归纳思想在教材中的体现归纳思想在教材中的体现归纳思想在教材中的体现归纳思想在教材中的体现 万以内或万以上数的认识中读法、写法、大小比万以内或万以上数的认识中读法、写法、大小比较等都是与已经知识进行类比、比较后，归纳出方法。较等都是与已经知识进行类比、比较后，归纳出方法。 运算法则的得出都是通过几个式子的计算，然后运算法则的得出都是通过几个式子的计算，然后观察、比较，归纳出计算方法。观察、比较，归纳出计算方法。 “ “数与代数数与代数数与代数数与代数” ”版块
46、版块版块版块 探索规律：观察探索规律：观察- -猜想猜想- -验证验证- - （归纳）结论。（归纳）结论。 归纳思想在教材中的体现归纳思想在教材中的体现 多边形面积公式的推导，总体思想是转化，具体多边形面积公式的推导，总体思想是转化，具体方法是几何变换，实际上用到了归纳，即通过几个不方法是几何变换，实际上用到了归纳，即通过几个不同的图形进行研究，然后得出一个普遍的结论。同的图形进行研究，然后得出一个普遍的结论。 “ “图形与几何图形与几何图形与几何图形与几何” ”版块版块版块版块4、分类思想（抽象）、分类思想（抽象） 分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学分类思想是根据数学本质属性
47、的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。分类以比较为基础，研究对象分为不同种类的一种数学思想。分类以比较为基础，比较是分类的前提，分类是比较的结果。比较是分类的前提，分类是比较的结果。 分类的结果有两种：一种是不重不漏的分类（完全分类），分类的结果有两种：一种是不重不漏的分类（完全分类），分类的结果有两种：一种是不重不漏的分类（完全分类），分类的结果有两种：一种是不重不漏的分类（完全分类），例如三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。另一种例如三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。另一种例如三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。另一种例如三角形分为锐角
48、三角形、直角三角形、钝角三角形。另一种是套桶式的分类，例如等边三角形在等腰三角形之内，等腰三角是套桶式的分类，例如等边三角形在等腰三角形之内，等腰三角是套桶式的分类，例如等边三角形在等腰三角形之内，等腰三角是套桶式的分类，例如等边三角形在等腰三角形之内，等腰三角形套在三角形之内。形套在三角形之内。形套在三角形之内。形套在三角形之内。 分类时要明确：为什么要分类？怎样分类？（标准的确定）分类时要明确：为什么要分类？怎样分类？（标准的确定）分类时要明确：为什么要分类？怎样分类？（标准的确定）分类时要明确：为什么要分类？怎样分类？（标准的确定）分类的结果怎样？分类的结果怎样？分类的结果怎样？分类的结
49、果怎样？分类思想在教材中的体现分类思想在教材中的体现分类思想在教材中的体现分类思想在教材中的体现 数认识的分类（如整数、小数、分数、负数；非零自然数分为质数、合数认识的分类（如整数、小数、分数、负数；非零自然数分为质数、合数和数和1 1，或者偶数和奇数；小数分为有限小数和无限小数等），或者偶数和奇数；小数分为有限小数和无限小数等） 数运算的分类（如整数乘除法、小数乘除法、分数乘除法；四则运算等）数运算的分类（如整数乘除法、小数乘除法、分数乘除法；四则运算等）数运算的分类（如整数乘除法、小数乘除法、分数乘除法；四则运算等）数运算的分类（如整数乘除法、小数乘除法、分数乘除法；四则运算等） 数字编码
50、的分类（如邮政编码是按照一定标准把全国划分为不同的邮区和数字编码的分类（如邮政编码是按照一定标准把全国划分为不同的邮区和数字编码的分类（如邮政编码是按照一定标准把全国划分为不同的邮区和数字编码的分类（如邮政编码是按照一定标准把全国划分为不同的邮区和投递局进行编码；身份证号码是按照省、市、区（县）为标准，把每个人以出投递局进行编码；身份证号码是按照省、市、区（县）为标准，把每个人以出投递局进行编码；身份证号码是按照省、市、区（县）为标准，把每个人以出投递局进行编码；身份证号码是按照省、市、区（县）为标准，把每个人以出生地为依据来确生地为依据来确生地为依据来确生地为依据来确定的）定的）定的）定的）
51、“ “数与代数数与代数数与代数数与代数” ”版块版块版块版块分类思想在教材中的体现分类思想在教材中的体现分类思想在教材中的体现分类思想在教材中的体现 图形认识的分类（如长方形、正方形、平行四边形、梯形、圆等）图形认识的分类（如长方形、正方形、平行四边形、梯形、圆等） 立体图形认识的分类（如长方体、正方体、圆柱、圆锥等）立体图形认识的分类（如长方体、正方体、圆柱、圆锥等）立体图形认识的分类（如长方体、正方体、圆柱、圆锥等）立体图形认识的分类（如长方体、正方体、圆柱、圆锥等） 同一平面上两条直线的位置关系：相交（垂直）、平行同一平面上两条直线的位置关系：相交（垂直）、平行同一平面上两条直线的位置关
52、系：相交（垂直）、平行同一平面上两条直线的位置关系：相交（垂直）、平行“ “图形与几何图形与几何图形与几何图形与几何” ”版块版块版块版块分类思想在教材中的体现分类思想在教材中的体现分类思想在教材中的体现分类思想在教材中的体现 统计表的分类（如单式统计表、复式统计表等）统计表的分类（如单式统计表、复式统计表等） 统计图的分类（如条形统计图、拆线统计图、扇形统计图等）统计图的分类（如条形统计图、拆线统计图、扇形统计图等）统计图的分类（如条形统计图、拆线统计图、扇形统计图等）统计图的分类（如条形统计图、拆线统计图、扇形统计图等）“ “统计与概率统计与概率统计与概率统计与概率” ”版块版块版块版块
53、事件发生的分类（如确定事件、不确定事件事件发生的分类（如确定事件、不确定事件事件发生的分类（如确定事件、不确定事件事件发生的分类（如确定事件、不确定事件- - - -概率等）概率等）概率等）概率等）分类分类分类分类思想思想思想思想典典典典型型型型案例案例案例案例分分分分享享享享 数学模型是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言，数学模型是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言，数学模型是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言，数学模型是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言，去抽象地、概括地表征所研究对象的主要特征、关系所形成的一去抽象地、概括地表征所研究对象的主要特征、关系所形成的一
54、去抽象地、概括地表征所研究对象的主要特征、关系所形成的一去抽象地、概括地表征所研究对象的主要特征、关系所形成的一种数学结构。种数学结构。种数学结构。种数学结构。5、模型思想（抽象、模型思想（抽象/模型）模型） 小学阶段的数学模型是指针对特定现实问题或具体实物对象小学阶段的数学模型是指针对特定现实问题或具体实物对象小学阶段的数学模型是指针对特定现实问题或具体实物对象小学阶段的数学模型是指针对特定现实问题或具体实物对象进行数学抽象所得到的数学结构。如用字母、数字及其他符号建进行数学抽象所得到的数学结构。如用字母、数字及其他符号建进行数学抽象所得到的数学结构。如用字母、数字及其他符号建进行数学抽象所
55、得到的数学结构。如用字母、数字及其他符号建立起来的代数式、关系式、方程，各种图表、图形等。立起来的代数式、关系式、方程，各种图表、图形等。立起来的代数式、关系式、方程，各种图表、图形等。立起来的代数式、关系式、方程，各种图表、图形等。 模型思想是一种数学的基本思想，建立模型思想的本质是使模型思想是一种数学的基本思想，建立模型思想的本质是使模型思想是一种数学的基本思想，建立模型思想的本质是使模型思想是一种数学的基本思想，建立模型思想的本质是使学生体会和理解数学与外界世界的联系。学生体会和理解数学与外界世界的联系。学生体会和理解数学与外界世界的联系。学生体会和理解数学与外界世界的联系。 数学模型的
56、建立需要让学生经历数学模型的建立需要让学生经历数学模型的建立需要让学生经历数学模型的建立需要让学生经历“ “问题情境问题情境问题情境问题情境- -建立模型建立模型建立模型建立模型- -求解求解求解求解验证验证验证验证” ”的过程。的过程。的过程。的过程。模型思想在教材中的体现模型思想在教材中的体现 常见的数量关系式（如速度常见的数量关系式（如速度常见的数量关系式（如速度常见的数量关系式（如速度 时间时间时间时间= =路程，单位路程，单位路程，单位路程，单位 数数数数量量量量= =总价等）总价等）总价等）总价等）“数与代数数与代数”版块版块 植树问题，出勤率、发芽率、成活率等植树问题，出勤率、发
57、芽率、成活率等植树问题，出勤率、发芽率、成活率等植树问题，出勤率、发芽率、成活率等 四则运算意义的模型（如乘法四则运算意义的模型（如乘法四则运算意义的模型（如乘法四则运算意义的模型（如乘法- -几个几，除法几个几，除法几个几，除法几个几，除法- -平均平均平均平均分、包分、包分、包分、包含）；计算法则。含）；计算法则。含）；计算法则。含）；计算法则。 各类图形周长、面积、体积的计算公式各类图形周长、面积、体积的计算公式各类图形周长、面积、体积的计算公式各类图形周长、面积、体积的计算公式 如：长方形周长计算公式如：长方形周长计算公式如：长方形周长计算公式如：长方形周长计算公式C=2C=2（a+b
58、a+b）“图形与几何图形与几何”版块版块 图形概念的建立图形概念的建立图形概念的建立图形概念的建立 如：相交（垂直）、平行如：相交（垂直）、平行如：相交（垂直）、平行如：相交（垂直）、平行模型思模型思想典想典型案型案例分例分享享模型模型思想思想典典型型案例案例分分享享 转化（化归）思想是指数学中把待解决的问题，通过转化成转化（化归）思想是指数学中把待解决的问题，通过转化成转化（化归）思想是指数学中把待解决的问题，通过转化成转化（化归）思想是指数学中把待解决的问题，通过转化成已经解决或者比较容易解决的问题，最终求获原问题之解答的一已经解决或者比较容易解决的问题，最终求获原问题之解答的一已经解决或
59、者比较容易解决的问题，最终求获原问题之解答的一已经解决或者比较容易解决的问题，最终求获原问题之解答的一种手段和方法。种手段和方法。种手段和方法。种手段和方法。6、转化（化归）思想（推理）转化（化归）思想（推理） 转化（化归）的总方向是转化（化归）的总方向是转化（化归）的总方向是转化（化归）的总方向是“ “由未知到已知，由复杂到简单，由未知到已知，由复杂到简单，由未知到已知，由复杂到简单，由未知到已知，由复杂到简单，由困难到容易由困难到容易由困难到容易由困难到容易” ”。 转化（化归）解决问题的三个环节：转化、求解、还原。转化（化归）解决问题的三个环节：转化、求解、还原。转化（化归）解决问题的三
60、个环节：转化、求解、还原。转化（化归）解决问题的三个环节：转化、求解、还原。待解决的问题待解决的问题A A（化归对象）（化归对象） 转化（化归）解决问题的三个要素：化归对象（即对什么化转化（化归）解决问题的三个要素：化归对象（即对什么化转化（化归）解决问题的三个要素：化归对象（即对什么化转化（化归）解决问题的三个要素：化归对象（即对什么化归）、化归的目标（即化归到何处去）和化归途径（即如何化归归）、化归的目标（即化归到何处去）和化归途径（即如何化归归）、化归的目标（即化归到何处去）和化归途径（即如何化归归）、化归的目标（即化归到何处去）和化归途径（即如何化归）。）。）。）。可以解决的问题可以解
61、决的问题B B（化归对象）（化归对象）问题问题A A的解答的解答问题问题B B的解答的解答转化转化（化归途径）（化归途径）求解求解还原还原转化思想在教材中的体现转化思想在教材中的体现 “数与代数数与代数”版块版块 100 100 100 100以内数的加减法转化成以内数的加减法转化成以内数的加减法转化成以内数的加减法转化成20202020以内的加减法来计算。以内的加减法来计算。以内的加减法来计算。以内的加减法来计算。 小数乘法转化成整数乘法计算出积，再根据乘法积小数乘法转化成整数乘法计算出积，再根据乘法积小数乘法转化成整数乘法计算出积，再根据乘法积小数乘法转化成整数乘法计算出积，再根据乘法积的
62、变化规律和小数点移动的规律，点上小数点。的变化规律和小数点移动的规律，点上小数点。的变化规律和小数点移动的规律，点上小数点。的变化规律和小数点移动的规律，点上小数点。 除数是小数的除法运用商不变除数是小数的除法运用商不变除数是小数的除法运用商不变除数是小数的除法运用商不变的性质转的性质转的性质转的性质转化成除数是整数的除化成除数是整数的除化成除数是整数的除化成除数是整数的除法。法。法。法。 分数除法根据分数的分数除法根据分数的分数除法根据分数的分数除法根据分数的意义、分意义、分意义、分意义、分数与除法的关系，转化分数乘数与除法的关系，转化分数乘数与除法的关系，转化分数乘数与除法的关系，转化分数
63、乘法来进行计算。法来进行计算。法来进行计算。法来进行计算。转化思想在教材中的体现转化思想在教材中的体现 “图形与几何图形与几何”版块版块 由于千米概念不容易理解，转化成由于千米概念不容易理解，转化成由于千米概念不容易理解，转化成由于千米概念不容易理解，转化成10101010个个个个100100100100米跑道米跑道米跑道米跑道或或或或2 2 2 2圈半的标准圈半的标准圈半的标准圈半的标准400400400400米跑道。米跑道。米跑道。米跑道。 多边形面积公式的推导，总体思想是运用转化，把多边形面积公式的推导，总体思想是运用转化，把多边形面积公式的推导，总体思想是运用转化，把多边形面积公式的推
64、导，总体思想是运用转化，把新的图形转化为已知学过的图形计算面积，具体方法是新的图形转化为已知学过的图形计算面积，具体方法是新的图形转化为已知学过的图形计算面积，具体方法是新的图形转化为已知学过的图形计算面积，具体方法是平移和旋转。平移和旋转。平移和旋转。平移和旋转。 “ “多边形的面积多边形的面积多边形的面积多边形的面积” ”组合图形的面积，把组合图形分组合图形的面积，把组合图形分组合图形的面积，把组合图形分组合图形的面积，把组合图形分割后转化成几个简单的能够直接计算面积的图形。割后转化成几个简单的能够直接计算面积的图形。割后转化成几个简单的能够直接计算面积的图形。割后转化成几个简单的能够直接
65、计算面积的图形。 圆柱体积公式的推导转化为长方体来计算。圆柱体积公式的推导转化为长方体来计算。圆柱体积公式的推导转化为长方体来计算。圆柱体积公式的推导转化为长方体来计算。转化思想转化思想典型案例典型案例分享分享 数形结合思想是通过数与形之间的对应和转化来解决数学数形结合思想是通过数与形之间的对应和转化来解决数学数形结合思想是通过数与形之间的对应和转化来解决数学数形结合思想是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题。它包括问题。它包括问题。它包括问题。它包括“ “以形助数以形助数以形助数以形助数” ”和和和和“ “以数解形以数解形以数解形以数解形” ”两个方面。两个方面。两个方面。两个方面。7、
66、数形结合思想、数形结合思想（抽象）（抽象） 它是一种基本的数学思想方法。它是一种基本的数学思想方法。它是一种基本的数学思想方法。它是一种基本的数学思想方法。 特点特点特点特点： （1 1）复杂问题简单化；复杂问题简单化；复杂问题简单化；复杂问题简单化； （2 2）抽象问题具体化；）抽象问题具体化；）抽象问题具体化；）抽象问题具体化； （3 3）兼具数的严谨、形的直观）兼具数的严谨、形的直观）兼具数的严谨、形的直观）兼具数的严谨、形的直观数形结合思想在教材中的体现数形结合思想在教材中的体现 “数与代数数与代数”版块（以形助数）版块（以形助数） “ “数的认识数的认识数的认识数的认识” ”运用大量
67、的图形作为直观手段及操作学具帮助运用大量的图形作为直观手段及操作学具帮助运用大量的图形作为直观手段及操作学具帮助运用大量的图形作为直观手段及操作学具帮助理解与计算理解与计算理解与计算理解与计算- - - -以形助数。以形助数。以形助数。以形助数。 “ “数的运算数的运算数的运算数的运算” ”运用大量的图形作为直观手段帮助理解算理和运用大量的图形作为直观手段帮助理解算理和运用大量的图形作为直观手段帮助理解算理和运用大量的图形作为直观手段帮助理解算理和算法算法算法算法- - - -以形助数。以形助数。以形助数。以形助数。 “ “问题解决问题解决问题解决问题解决” ”运用线段图等作为直观手段帮助理解
68、数量关系，运用线段图等作为直观手段帮助理解数量关系，运用线段图等作为直观手段帮助理解数量关系，运用线段图等作为直观手段帮助理解数量关系，解决问题解决问题解决问题解决问题- - - -以形助数。以形助数。以形助数。以形助数。“图形与几何图形与几何”版块版块 “ “多边形周长、面多边形周长、面多边形周长、面多边形周长、面积的计积的计积的计积的计算算算算” ”用数量描述多边形的特征用数量描述多边形的特征用数量描述多边形的特征用数量描述多边形的特征- - - -以以以以数解形。数解形。数解形。数解形。“统计与概率统计与概率”版块版块 “ “条形统计图条形统计图条形统计图条形统计图” ”描述生活中的各种
69、数据时，在直角坐标系里描述生活中的各种数据时，在直角坐标系里描述生活中的各种数据时，在直角坐标系里描述生活中的各种数据时，在直角坐标系里画长方形（直条），具有直观、易比较等特点画长方形（直条），具有直观、易比较等特点画长方形（直条），具有直观、易比较等特点画长方形（直条），具有直观、易比较等特点- - - -以形助数的直观以形助数的直观以形助数的直观以形助数的直观性。性。性。性。 “ “扇形统计图扇形统计图扇形统计图扇形统计图” ”体会把圆作为单位体会把圆作为单位体会把圆作为单位体会把圆作为单位“ “1 1 1 1” ”，然后用圆中的一，然后用圆中的一，然后用圆中的一，然后用圆中的一些扇形表示
70、各部分数量与总量之间的关系些扇形表示各部分数量与总量之间的关系些扇形表示各部分数量与总量之间的关系些扇形表示各部分数量与总量之间的关系- - - -以形助数。以形助数。以形助数。以形助数。 对应是现代数学中重要的基本概念之一。它所反对应是现代数学中重要的基本概念之一。它所反对应是现代数学中重要的基本概念之一。它所反对应是现代数学中重要的基本概念之一。它所反映的是两个集合的元素间的关系。对应思想是许多数学映的是两个集合的元素间的关系。对应思想是许多数学映的是两个集合的元素间的关系。对应思想是许多数学映的是两个集合的元素间的关系。对应思想是许多数学概念与数学方法的基础。概念与数学方法的基础。概念与
71、数学方法的基础。概念与数学方法的基础。8、对应思想（模型）、对应思想（模型） “数与代数数与代数”版块版块对应思想在教材中的体现对应思想在教材中的体现 “ “植树问题植树问题植树问题植树问题” ”关于封闭路线的植树问题，间隔数与植树的棵关于封闭路线的植树问题，间隔数与植树的棵关于封闭路线的植树问题，间隔数与植树的棵关于封闭路线的植树问题，间隔数与植树的棵数一一对应。数一一对应。数一一对应。数一一对应。 “ “倍的认识倍的认识倍的认识倍的认识” ”用一倍量与几倍量的去一一对应。用一倍量与几倍量的去一一对应。用一倍量与几倍量的去一一对应。用一倍量与几倍量的去一一对应。 “ “数的大小比较、数量多少
72、的比较数的大小比较、数量多少的比较数的大小比较、数量多少的比较数的大小比较、数量多少的比较” ”采用一一对应找出相同采用一一对应找出相同采用一一对应找出相同采用一一对应找出相同的部分，剩下的部分就是多的。的部分，剩下的部分就是多的。的部分，剩下的部分就是多的。的部分，剩下的部分就是多的。 “图形与几何图形与几何”版块版块 “ “位置位置位置位置” ”一个有序数对（一个有序数对（一个有序数对（一个有序数对（a,ba,b）对应平面上一个点，数）对应平面上一个点，数）对应平面上一个点，数）对应平面上一个点，数a a对应对应对应对应横轴上的一个点，数横轴上的一个点，数横轴上的一个点，数横轴上的一个点，
73、数b b对应纵轴上的一个点。对应纵轴上的一个点。对应纵轴上的一个点。对应纵轴上的一个点。 极限思想是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从极限思想是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从极限思想是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从极限思想是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想方法。它是事物转化的重要环节量变中认识质变的一种数学思想方法。它是事物转化的重要环节量变中认识质变的一种数学思想方法。它是事物转化的重要环节量变中认识质变的一种数学思想方法。它是事物转化的重要环节，极限方法的实质正是通过量变的无限过程达到质变，了解它有，极限方法的实质正是通
74、过量变的无限过程达到质变，了解它有，极限方法的实质正是通过量变的无限过程达到质变，了解它有，极限方法的实质正是通过量变的无限过程达到质变，了解它有重要意义。重要意义。重要意义。重要意义。9、极限思想（抽象、极限思想（抽象/推理）推理）“ “数的认识数的认识数的认识数的认识” ”关于自然数（质数与合数，关于自然数（质数与合数，关于自然数（质数与合数，关于自然数（质数与合数， 偶数与奇数）的个数偶数与奇数）的个数偶数与奇数）的个数偶数与奇数）的个数极限思想在教材中的体现极限思想在教材中的体现“数与代数数与代数”版块版块“ “循环小数的认识循环小数的认识循环小数的认识循环小数的认识” ”通过无限小数
75、位数去感受极限思想。通过无限小数位数去感受极限思想。通过无限小数位数去感受极限思想。通过无限小数位数去感受极限思想。 “ “直直直直线线线线、射射射射线线线线、平平平平行行行行线线线线的的的的认认认认识识识识” ”让让让让学学学学生生生生想想想想像像像像两两两两端端端端无无无无限限限限延延延延长长长长，体会无限思想。体会无限思想。体会无限思想。体会无限思想。“ “图形与几何图形与几何图形与几何图形与几何” ”版块版块版块版块 “ “圆的面积圆的面积圆的面积圆的面积” ”把圆转化成近似的长方形，当分的份数越来越把圆转化成近似的长方形，当分的份数越来越把圆转化成近似的长方形，当分的份数越来越把圆转
76、化成近似的长方形，当分的份数越来越多，最后就变成了长方形，让学生体会极限思想。多，最后就变成了长方形，让学生体会极限思想。多，最后就变成了长方形，让学生体会极限思想。多，最后就变成了长方形，让学生体会极限思想。 “ “圆柱的体积圆柱的体积圆柱的体积圆柱的体积” ”把圆柱转化成近似的长方体，当分的份数越把圆柱转化成近似的长方体，当分的份数越把圆柱转化成近似的长方体，当分的份数越把圆柱转化成近似的长方体，当分的份数越来越多，最后就变成了长方体，让学生体会极限思想。来越多，最后就变成了长方体，让学生体会极限思想。来越多，最后就变成了长方体，让学生体会极限思想。来越多，最后就变成了长方体，让学生体会极
77、限思想。 把一定程度抽象了的思维对象，如数学上的点、数、式放在把一定程度抽象了的思维对象，如数学上的点、数、式放在把一定程度抽象了的思维对象，如数学上的点、数、式放在把一定程度抽象了的思维对象，如数学上的点、数、式放在一起作为研究对象，运用集合的概念、逻辑语言、运算、图形等一起作为研究对象，运用集合的概念、逻辑语言、运算、图形等一起作为研究对象，运用集合的概念、逻辑语言、运算、图形等一起作为研究对象，运用集合的概念、逻辑语言、运算、图形等来解决数学问题或非纯数学问题的思想来解决数学问题或非纯数学问题的思想来解决数学问题或非纯数学问题的思想来解决数学问题或非纯数学问题的思想方法。让方法。让方法。
78、让方法。让他们感知圈内的他们感知圈内的他们感知圈内的他们感知圈内的物体具有某种共同的属性，可以看作一个整体，这个整体就是一物体具有某种共同的属性，可以看作一个整体，这个整体就是一物体具有某种共同的属性，可以看作一个整体，这个整体就是一物体具有某种共同的属性，可以看作一个整体，这个整体就是一个集合。利用图形间的关系向学生渗透集合之间的关系，这种思个集合。利用图形间的关系向学生渗透集合之间的关系，这种思个集合。利用图形间的关系向学生渗透集合之间的关系，这种思个集合。利用图形间的关系向学生渗透集合之间的关系，这种思想就是集合思想。想就是集合思想。想就是集合思想。想就是集合思想。10、集合思想（推理）
79、、集合思想（推理）“ “数与代数数与代数数与代数数与代数” ”版块版块版块版块集合思想在教材中的体现集合思想在教材中的体现 “ “四四四四则则则则运运运运算算算算的的的的意意意意义义义义” ”关关关关于于于于每每每每种种种种运运运运算算算算意意意意义义义义的的的的理理理理解解解解，让让让让学学学学生生生生体体体体会会会会每每每每种运算就是一个集合。种运算就是一个集合。种运算就是一个集合。种运算就是一个集合。 “ “数的整除数的整除数的整除数的整除” ”关于因数和倍数，质数和合数，关于因数和倍数，质数和合数，关于因数和倍数，质数和合数，关于因数和倍数，质数和合数，2 2、3 3、5 5倍数的倍数
80、的倍数的倍数的特征，公因数和公倍数，最大公因数和最小公倍数等，都可以让特征，公因数和公倍数，最大公因数和最小公倍数等，都可以让特征，公因数和公倍数，最大公因数和最小公倍数等，都可以让特征，公因数和公倍数，最大公因数和最小公倍数等，都可以让体会集合的意义。体会集合的意义。体会集合的意义。体会集合的意义。 “ “平平平平行行行行四四四四边边边边形形形形、长长长长方方方方形形形形与与与与正正正正方方方方形形形形的的的的关关关关系系系系” ”通通通通过过过过感感感感受受受受它它它它们们们们之之之之间间间间的的的的包含关系，体会集合思想的意义。包含关系，体会集合思想的意义。包含关系，体会集合思想的意义。
81、包含关系，体会集合思想的意义。“ “图形与几何图形与几何图形与几何图形与几何” ”版块版块版块版块 “ “图图图图形形形形的的的的分分分分类类类类” ”通通通通过过过过分分分分类类类类，把把把把相相相相同同同同性性性性质质质质的的的的每每每每类类类类事事事事物物物物放放放放在在在在一一一一起起起起就就就就是一个集合，体会集合思想的意义。是一个集合，体会集合思想的意义。是一个集合，体会集合思想的意义。是一个集合，体会集合思想的意义。 函数思想方法就是运用运动和变化的观点、集合和对应的思函数思想方法就是运用运动和变化的观点、集合和对应的思函数思想方法就是运用运动和变化的观点、集合和对应的思函数思想
82、方法就是运用运动和变化的观点、集合和对应的思想去分析问题的数量关系，通过类比、联想、转化，合理地构造想去分析问题的数量关系，通过类比、联想、转化，合理地构造想去分析问题的数量关系，通过类比、联想、转化，合理地构造想去分析问题的数量关系，通过类比、联想、转化，合理地构造函数，运用函数的图像和性质使问题获得解决。函数，运用函数的图像和性质使问题获得解决。函数，运用函数的图像和性质使问题获得解决。函数，运用函数的图像和性质使问题获得解决。11、函数思想（模型、函数思想（模型/推理）推理）“ “积的变化规律积的变化规律积的变化规律积的变化规律” ”结合乘法中积的变化规律体会函数思想。结合乘法中积的变化
83、规律体会函数思想。结合乘法中积的变化规律体会函数思想。结合乘法中积的变化规律体会函数思想。函数思想在教材中的函数思想在教材中的体现体现“ “数与代数数与代数数与代数数与代数” ”版块版块版块版块“ “商不变的性质商不变的性质商不变的性质商不变的性质” ”结合除法中商的变化规律体会结合除法中商的变化规律体会结合除法中商的变化规律体会结合除法中商的变化规律体会函数思想。函数思想。“ “常见的数量关系式常见的数量关系式常见的数量关系式常见的数量关系式” ”如单价如单价如单价如单价 数量数量数量数量= =总价。总价。总价。总价。“ “正比例和反比例正比例和反比例正比例和反比例正比例和反比例” ”通过画
84、正反比例的图像，感受函数思想。通过画正反比例的图像，感受函数思想。通过画正反比例的图像，感受函数思想。通过画正反比例的图像，感受函数思想。“ “问题解决问题解决问题解决问题解决” ”如出租车计费。通过出租车计费的计算体会分段函如出租车计费。通过出租车计费的计算体会分段函如出租车计费。通过出租车计费的计算体会分段函如出租车计费。通过出租车计费的计算体会分段函数的思想，即打车计费分两种情况考虑。数的思想，即打车计费分两种情况考虑。数的思想，即打车计费分两种情况考虑。数的思想，即打车计费分两种情况考虑。y=10+1.8(x-3)y=10+1.8(x-3)。 “ “图图图图形形形形的的的的计计计计算算
85、算算公公公公式式式式” ”如如如如圆圆圆圆的的的的周周周周长长长长C=d=2rC=d=2r和和和和面面面面积积积积S=rS=r2 2 ，让让让让学学学学生生生生体体体体会会会会到到到到函函函函数数数数思思思思想想想想，即即即即圆圆圆圆的的的的周周周周长长长长和和和和面面面面积积积积是是是是随随随随着着着着圆圆圆圆的的的的半半半半径径径径变变变变化化化化而而而而变变变变化的。化的。化的。化的。“ “图形与几何图形与几何图形与几何图形与几何” ”版块版块版块版块函数思想典型案例分享函数思想典型案例分享 优化问题是人们经常要遇到的问题。当年，华罗庚先生提出优化问题是人们经常要遇到的问题。当年，华罗庚
86、先生提出优化问题是人们经常要遇到的问题。当年，华罗庚先生提出优化问题是人们经常要遇到的问题。当年，华罗庚先生提出的的的的“ “优选法优选法优选法优选法” ”已经广泛的应用于人们的生产和生活中了。现在，已经广泛的应用于人们的生产和生活中了。现在，已经广泛的应用于人们的生产和生活中了。现在，已经广泛的应用于人们的生产和生活中了。现在，这些思想已经形成了数学中一门应用性很强的分支这些思想已经形成了数学中一门应用性很强的分支这些思想已经形成了数学中一门应用性很强的分支这些思想已经形成了数学中一门应用性很强的分支运筹学。运筹学。运筹学。运筹学。12、优化思想（推理）、优化思想（推理）“ “数学广角数学广
87、角数学广角数学广角” ”中的烙饼问题、沏茶问题、码头卸货、赛马问题中的烙饼问题、沏茶问题、码头卸货、赛马问题中的烙饼问题、沏茶问题、码头卸货、赛马问题中的烙饼问题、沏茶问题、码头卸货、赛马问题优化思想在教材中的体现优化思想在教材中的体现“ “计算教学与问题解决计算教学与问题解决计算教学与问题解决计算教学与问题解决” ”对多种算法的择优选择对多种算法的择优选择对多种算法的择优选择对多种算法的择优选择 等量代换是用一种量（或一种量的一部分）来代替和它相等等量代换是用一种量（或一种量的一部分）来代替和它相等等量代换是用一种量（或一种量的一部分）来代替和它相等等量代换是用一种量（或一种量的一部分）来代
88、替和它相等的另一种量（或另一种量的一部分）。的另一种量（或另一种量的一部分）。的另一种量（或另一种量的一部分）。的另一种量（或另一种量的一部分）。13、等量代换（推理、等量代换（推理/模型）模型） 它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础。它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础。它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础。它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础。狭义的等量代换思想用等式的性质来体现就是等式的传递性：如狭义的等量代换思想用等式的性质来体现就是等式的传递性：如狭义的等量代换思想用等式的性质来体现就是等式的传递性：如狭义的等量代换思想
89、用等式的性质来体现就是等式的传递性：如果果果果a=b,b=c,a=b,b=c,a=b,b=c,a=b,b=c,那么那么那么那么a=ca=ca=ca=c。 解方程解方程解方程解方程 数学广角（等量代换）数学广角（等量代换）数学广角（等量代换）数学广角（等量代换）等量代换在教材中的体现等量代换在教材中的体现等量代换典型案例分享等量代换典型案例分享一、什么是数学思想方法一、什么是数学思想方法一、什么是数学思想方法一、什么是数学思想方法 二、如何开展数学思想方法的渗透教学二、如何开展数学思想方法的渗透教学二、如何开展数学思想方法的渗透教学二、如何开展数学思想方法的渗透教学 三、小学数学思想方法三、小学
90、数学思想方法三、小学数学思想方法三、小学数学思想方法 ( ( ( (教材中的体现、教学中的实施）教材中的体现、教学中的实施）教材中的体现、教学中的实施）教材中的体现、教学中的实施）回顾梳理回顾梳理符号符号符号符号化化化化； 类比；类比；类比；类比； 归纳；归纳；归纳；归纳； 分类；分类；分类；分类； 模型；模型；模型；模型；数形结合；数形结合；数形结合；数形结合； 对应；对应；对应；对应； 转化；转化；转化；转化； 极限；极限；极限；极限； 集合；集合；集合；集合；函数；函数；函数；函数； 优化；优化；优化；优化； 等量代换。等量代换。等量代换。等量代换。回顾梳理回顾梳理小学阶段小学阶段1 1
91、3 3个重要的数学思想与方法个重要的数学思想与方法 符号符号符号符号- - - -用字母表示数；用字母表示数；用字母表示数；用字母表示数； 分类分类分类分类- - - -三角形的分类；三角形的分类；三角形的分类；三角形的分类； 模型模型模型模型- - - -平行线；平行线；平行线；平行线； 运筹运筹运筹运筹- - - -烙饼问题；烙饼问题；烙饼问题；烙饼问题； 等量代换等量代换等量代换等量代换- - - -数学广角。数学广角。数学广角。数学广角。回顾梳理回顾梳理分享了分享了分享了分享了5 5 5 5个详细实践案例个详细实践案例个详细实践案例个详细实践案例 “通过直观通过直观, ,使学生尽早接触集合、函数、统使学生尽早接触集合、函数、统计等一些现代数学的思想。如集合思想从一年级认计等一些现代数学的思想。如集合思想从一年级认数起就开始渗透数起就开始渗透, ,以后以后, ,在认数、认识几何图形以及在认数、认识几何图形以及数的整除等内容中数的整除等内容中, ,陆续陆续渗透渗透子集子集、交集交集等等思想。函数思想也从低年级起就注意渗透思想。函数思想也从低年级起就注意渗透, ,高年级讲高年级讲比例时继续加强。在百分数和统计图表等内容中比例时继续加强。在百分数和统计图表等内容中, ,注注意使学生接触一些初步的统计思想和方法意使学生接触一些初步的统计思想和方法”
