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1、第一讲实数一、实数的定义及分类一、实数的定义及分类1.1.定义定义: :有理数和有理数和_统称实数统称实数. .2.2.性质性质: :实数与数轴上的点实数与数轴上的点_._.无理数无理数一一对应一一对应3.3.分类分类:(1):(1)按定义分类按定义分类: :0 0无限循环无限循环分数分数无理数无理数无限不循环无限不循环(2)(2)按正负分类按正负分类: :实数分为正实数、实数分为正实数、_和负实数和负实数. .二、实数的相关概念二、实数的相关概念1.1.数轴数轴: :规定了原点、正方向、规定了原点、正方向、_的直线的直线. .2.2.相反数相反数:a:a的相反数是的相反数是_,_,若若a a
2、与与b b互为相反数互为相反数, ,则则a+ba+b=_.=_.0 0单位长度单位长度-a-a0 03.3.倒数倒数: :乘积为乘积为_的两个数互为倒数的两个数互为倒数,a(a0),a(a0)的倒数是的倒数是_,0_,0没有倒数没有倒数. .1 14.4.绝对值绝对值: :(1)(1)从从“数数”的角度看的角度看:|a|= :|a|= (2)(2)从从“形形”的角度看的角度看: :一个数的绝对值就是表示这个一个数的绝对值就是表示这个数的点到数的点到_的距离的距离. .(3)(3)性质性质:|a|_0.:|a|_0.若若|a|+|b|=0,|a|+|b|=0,则则a=_;b=_.a=_;b=_.
3、原点原点0 00 0三、科学记数法与近似数三、科学记数法与近似数1.1.科学记数法科学记数法: :把一个绝对值大于把一个绝对值大于1010的数记成的数记成_的的形式形式, ,其中其中_|a|_,n_|a|ON=OQOM,OPON=OQOM,P P离原点最远离原点最远. .p p的绝的绝对值最大对值最大. .3.(20163.(2016威海中考威海中考) )实数实数a,ba,b在数轴上的位置如图所示在数轴上的位置如图所示, ,则则|a|-|b|a|-|b|可化简为可化简为( () )A.a-bA.a-bB.b-aB.b-aC.a+bC.a+bD.-a-bD.-a-b【解析解析】选选C.C.原式原
4、式=a-(-b)=a+b.=a-(-b)=a+b.【方法指导方法指导】绝对值符号化简的方法绝对值符号化简的方法首先判断绝对值符号里面的式子的正负情况首先判断绝对值符号里面的式子的正负情况; ;然后根据正负情况然后根据正负情况, ,把式子变成原式或其相反数把式子变成原式或其相反数. .考点三考点三 平方根、算术平方根、立方根平方根、算术平方根、立方根【典例典例3 3】(1)(2016(1)(2016襄阳中考襄阳中考)-8)-8的立方根是的立方根是( () )A.2 B.-2 C.2 D.- A.2 B.-2 C.2 D.- (2)(2015(2)(2015凉山州中考凉山州中考) ) 的平方根是的
5、平方根是_._.【思路点拨思路点拨】(1)(1)根据立方根的定义计算根据立方根的定义计算. .(2)(2)先求先求8181的算术平方根的算术平方根, ,再求平方根再求平方根. .【自主解答自主解答】(1)(1)选选B.B.因为因为(-2)(-2)3 3=-8,=-8,所以所以-8-8的立方根的立方根为为-2.-2.(2) =9,9(2) =9,9的平方根是的平方根是3,3,所以所以 的平方根是的平方根是3.3.答案答案: :33【名师点津名师点津】平方根与立方根的性质平方根与立方根的性质正数正数0 0负数负数平方根平方根有两个平方根有两个平方根, ,它们互为相反数它们互为相反数0 0没有平方根
6、没有平方根立方根立方根有一个立方根有一个立方根0 0有一个立方根有一个立方根【题组过关题组过关】1.(20151.(2015宜昌中考宜昌中考) )下列式子没有意义的是下列式子没有意义的是( () ) 【解析解析】选选A.A.负数不能开平方负数不能开平方, ,所以选项所以选项A A错误错误. .2.(20162.(2016毕节中考毕节中考) ) 的算术平方根是的算术平方根是( () ) 【解析解析】选选C.C.因为因为 =2,=2,所以所以,2,2的算术平方根为的算术平方根为 . .3.(20163.(2016宁波中考宁波中考) )实数实数-27-27的立方根是的立方根是_._.【解析解析】(-
7、3)(-3)3 3=-27,=-27,-27-27的立方根是的立方根是-3.-3.答案答案: :-3-34.(20154.(2015安顺中考安顺中考) ) 的平方根是的平方根是_._.【解析解析】 的平方根是的平方根是 . .答案答案: : 考点四考点四 实数大小比较及无理数的估算实数大小比较及无理数的估算【典例典例4 4】(1)(2016(1)(2016北京中考北京中考) )实数实数a,ba,b在数轴上的对在数轴上的对应点的位置如图所示应点的位置如图所示, ,则正确的结论是则正确的结论是( () )A.a-2A.a-2B.a-3B.a-bC.a-bD.a-bD.a”“”“”或或“=”)=”)
8、【思路点拨思路点拨】(1)(1)数距离原点越远数距离原点越远, ,绝对值越大绝对值越大. .(2)(2)先估计先估计 在哪两个整数之间在哪两个整数之间, ,然后计算两个整数的然后计算两个整数的平均数平均数, ,与与 比较比较, ,做出判断做出判断. .(3)(3)比较比较 与与2 2和和3 3的大小的大小, ,再判断再判断. .【自主解答自主解答】(1)(1)选选D.D.由数轴可知由数轴可知,-3a-2,-3a-2,故故A,BA,B错误错误;1b2,-2-b-1,;1b2,-2-b-1,即即-b-b在在-2-2与与-1-1之间之间, ,所以所以,a-b.,a-b.(2)(2)选选C.25313
9、6C.2531365 6, 5 0,a-b0,则则ab;ab;若若a-b0,a-b0,则则ab;ab;若若a-a-b=0,b=0,则则a=b.a=b.【题组过关题组过关】1.(20161.(2016淮安中考淮安中考) )估计估计 +1+1的值的值( () )A.A.在在1 1和和2 2之间之间B.B.在在2 2和和3 3之间之间C.C.在在3 3和和4 4之间之间D.D.在在4 4和和5 5之间之间【解析解析】选选C.2 3,3 +14, +1C.2 3,3 +14, +1在在3 3和和4 4之间之间. .【方法指导方法指导】无理数的估算方法无理数的估算方法(1)(1)估算一个无理数介于哪两个
10、整数之间估算一个无理数介于哪两个整数之间( (或求无理数或求无理数的整数部分的整数部分),),如如n n+1,n n+1,可以采用同时平方的方法可以采用同时平方的方法, ,即计算即计算n n2 2a(n+1)a0- -2.0- -2.3.(20153.(2015资阳中考资阳中考) )如图如图, ,已知数轴上的点已知数轴上的点A,B,C,DA,B,C,D分分别表示数别表示数-2,1,2,3,-2,1,2,3,则表示数则表示数3- 3- 的点的点P P应落在线段应落在线段 ( () )A.AOA.AO上上B.OBB.OB上上C.BCC.BC上上D.CDD.CD上上【解析解析】选选B.B.由由 位于
11、位于2 2和和3 3之间可得之间可得3- 3- 位于位于0 0和和1 1之之间间, ,符合条件的只有选项符合条件的只有选项B.B.考点五考点五 实数的运算实数的运算【考情分析考情分析】实数的运算的层级为了解实数的运算的层级为了解, ,但有理数的运算的层级但有理数的运算的层级为理解和运用为理解和运用, ,且有理数的运算法则及运算律在实数范且有理数的运算法则及运算律在实数范围内同样适用围内同样适用, ,并且实数的运算在各地中考试题中均有并且实数的运算在各地中考试题中均有体现体现, ,是实数的一个重要考向是实数的一个重要考向, ,与实数的相关概念、开与实数的相关概念、开方、零指数幂、负指数幂、特殊角
12、的三角函数值、新方、零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值、新定义型计算等一起考查定义型计算等一起考查, ,各种题型均有涉及各种题型均有涉及. . 命题角度命题角度1:1:有理数的运算有理数的运算【典例典例5 5】(2015(2015淮安中考淮安中考) )计算计算|-4|+2|-4|+23 3+3(-5).+3(-5).【思路点拨思路点拨】根据乘方的意义、乘法法则及有理数的根据乘方的意义、乘法法则及有理数的混合运算法则进行计算混合运算法则进行计算. .【自主解答自主解答】|-4|+2|-4|+23 3+3(-5)+3(-5)=4+8+(-15)=4+8+(-15)=12+(-15)=-3.=1
13、2+(-15)=-3.【母题变式母题变式】( (改变条件改变条件) )改变幂的底数为改变幂的底数为-2(-2(即即(-(-2)2)3 3),),则该题的计算结果是多少则该题的计算结果是多少? ?提示提示: :-19.-19.命题角度命题角度2:2:与实数的相关概念有关的简单计算与实数的相关概念有关的简单计算【典例典例6 6】(2015(2015大庆中考大庆中考) )求值求值: : 【思路点拨思路点拨】根据开方、乘方的意义解答根据开方、乘方的意义解答. .【自主解答自主解答】原式原式= = 【母题变式母题变式】( (改变条件改变条件) )改变改变-1-1的指数为的指数为2016,2016,则该题
14、则该题的计算结果是多少的计算结果是多少? ?提示提示: : 命题角度命题角度3:3:与零指数幂、负指数幂、锐角三角函数值与零指数幂、负指数幂、锐角三角函数值结合考查结合考查【典例典例7 7】(2016(2016巴中中考巴中中考) )计算计算: :2sin45-32sin45-3-2-2+ + 【思路点拨思路点拨】先计算绝对值、负整数指数幂、零指数先计算绝对值、负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值幂、特殊角的三角函数值, ,再算加减再算加减. .【自主解答自主解答】原式原式= = 【名师点津名师点津】实数运算的三个关键实数运算的三个关键(1)(1)运算法则运算法则: :乘方和开方运算、幂的
15、运算、指数乘方和开方运算、幂的运算、指数( (特别特别是负整数指数是负整数指数,0,0指数指数) )运算、根式运算、特殊三角函数运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等值的计算以及绝对值的化简等. .(2)(2)运算顺序运算顺序: :乘方、开方为三级运算乘方、开方为三级运算, ,乘、除为二级运乘、除为二级运算算, ,加、减为一级运算加、减为一级运算, ,如果没有括号如果没有括号, ,在同一级运算中在同一级运算中要从左到右依次运算要从左到右依次运算, ,有括号的先算括号里的有括号的先算括号里的. .(3)(3)运算律的使用运算律的使用: :使用运算律可以简化运算使用运算律可以简化运
16、算, ,提高运算提高运算速度和准确度速度和准确度. .【备选例题备选例题】(2015(2015怀化中考怀化中考) )计算计算: : 【解析解析】原式原式= = 【题组过关题组过关】1.(20161.(2016泰安中考泰安中考) )计算计算(-2)(-2)0 0+9(-3)+9(-3)的结果是的结果是 ( () )A.-1A.-1B.-2B.-2C.-3C.-3D.-4D.-4【解析解析】选选B.B.原式原式=1+(-3)=-2.=1+(-3)=-2.2.(20152.(2015淄博中考淄博中考) )下列式子中正确的是下列式子中正确的是( () )A. =-9A. =-9B.(-2)B.(-2)
17、3 3=-6=-6C. =-2C. =-2D.(-3)D.(-3)0 0=1=1【解析解析】选选D.A. =9,D.A. =9,故本项错误故本项错误;B.(-2);B.(-2)3 3= =-8,-8,故本项错误故本项错误;C. =2,;C. =2,故本项错误故本项错误;D.(-3);D.(-3)0 0=1,=1,故本项正确故本项正确. .3.(20153.(2015济南中考济南中考) )计算计算: +(-3): +(-3)0 0=_.=_.【解析解析】 +(-3) +(-3)0 0=2+1=3.=2+1=3.答案答案: :3 34.(20164.(2016重庆中考重庆中考) )计算计算: +(
18、-1): +(-1)0 0= = _._.【解析解析】原式原式=-2+9+1=8.=-2+9+1=8.答案答案: :8 85.(20155.(2015莱芜中考莱芜中考) )计算计算: -|-2|+(-1): -|-2|+(-1)0 0+2+2-1-1= = _._.【解析解析】原式原式=3-2+1+ =3-2+1+ 答案答案: :6.(20166.(2016枣庄中考枣庄中考) )计算计算: -2: -2-1-1+ -|-2|=_.+ -|-2|=_.【解析解析】 -2-2-1-1+ -|-2|=3- +2-2=2 .+ -|-2|=3- +2-2=2 .答案答案: :2 27.(20167.(
19、2016成都中考成都中考) )计算计算:(-2):(-2)3 3+ -2sin30 + -2sin30 +(2016-)+(2016-)0 0. .【解析解析】(-2)(-2)3 3+ -2sin30+(2016-)+ -2sin30+(2016-)0 0=-8+4-1+1=-8+4-1+1=-4.=-4.8.(20168.(2016内江中考内江中考)|-3|+ tan30- -(2016-)|-3|+ tan30- -(2016-)0 0+ .+ .【解析解析】原式原式=3+ =3+ -2-1+ -2-1+ =3+1-2-1+2=3.=3+1-2-1+2=3.考点六考点六 科学记数法与近似数
20、科学记数法与近似数【典例典例8 8】(1)(2016(1)(2016衢州中考衢州中考) )据统计据统计,2015,2015年十一国年十一国庆长假期间庆长假期间, ,衢州市共接待国内外游客约衢州市共接待国内外游客约319319万人次万人次, ,与与20142014年同比增长年同比增长16.43%,16.43%,数据数据319319万用科学记数法表示万用科学记数法表示为为( () )A.3.1910A.3.19105 5B.3.1910B.3.19106 6C.0.31910C.0.319107 7D.31910D.319106 6(2)(2015(2)(2015黔南州中考黔南州中考) )下列各数
21、表示正确的是下列各数表示正确的是 ( () )A.57 000 000=5710A.57 000 000=57106 6B.0.015 8(B.0.015 8(用四舍五入法精确到用四舍五入法精确到0.001)0.0150.001)0.015C.1.804(C.1.804(用四舍五入法精确到十分位用四舍五入法精确到十分位)1.8)1.8D.0.0000257=2.5710D.0.0000257=2.5710-4-4【思路点拨思路点拨】(1)(1)把把319319万写成原数万写成原数, ,再用科学记数法表再用科学记数法表示示. .(2)(2)根据科学记数法及精确度的有关概念进行判断根据科学记数法及
22、精确度的有关概念进行判断. .【自主解答自主解答】(1)(1)选选B.319B.319万万=3190000=3.1910=3190000=3.19106 6. .故选故选B.B.(2)(2)选选C.A.57000000=5.710C.A.57000000=5.7107 7, ,错误错误; ;B.0.0158(B.0.0158(用四舍五入法精确到用四舍五入法精确到0.001)0.016,0.001)0.016,错误错误; ;C.1.804(C.1.804(用四舍五入法精确到十分位用四舍五入法精确到十分位)1.8,)1.8,正确正确; ;D.0.0000257=2.5710D.0.0000257=
23、2.5710-5-5, ,错误错误. .【名师点津名师点津】用科学记数法表示数用科学记数法表示数用科学记数法表示数用科学记数法表示数, ,关键是确定关键是确定a a和和n:n:(1)1|a|10.(1)1|a|10.(2)(2)当原数的绝对值大于或等于当原数的绝对值大于或等于1 1时时,n,n等于原数的整数等于原数的整数位数减位数减1;1;当原数的绝对值小于当原数的绝对值小于1 1时时,n,n是负整数是负整数, ,它的绝它的绝对值等于原数中左起第一位非零数字前所有零的个数对值等于原数中左起第一位非零数字前所有零的个数( (含小数点前的含小数点前的0).0).(3)(3)有数字单位的科学记数法有
24、数字单位的科学记数法, ,先把数字单位化去先把数字单位化去, ,再用再用科学记数法表示科学记数法表示. .【题组过关题组过关】1.(20161.(2016泰安中考泰安中考) )国家统计局的相关数据显示国家统计局的相关数据显示,2015,2015年我国国民生产总值年我国国民生产总值(GDP)(GDP)约为约为67.6767.67万亿元万亿元, ,将这个数将这个数据用科学记数法表示为据用科学记数法表示为( () )A.6.76710A.6.767101313元元B.6.76710B.6.767101212元元C.67.6710C.67.67101212元元D.6.76710D.6.76710141
25、4元元【解析解析】选选A.67.67A.67.67万亿万亿=67 670 000 000 000= =67 670 000 000 000= 6.7676.76710101313. .2.(20152.(2015福州中考福州中考) )计算计算3.8103.8107 7-3.710-3.7107 7, ,结果用科结果用科学记数法表示为学记数法表示为( () )A.0.110A.0.1107 7B.0.110B.0.1106 6C.110C.1107 7D.110D.1106 6【解析解析】选选D.3.8D.3.810107 7-3.7-3.710107 7=0.1=0.110107 7=1=110106 6. .3.(20153.(2015自贡中考自贡中考) )将将2.05102.0510-3-3用小数表示为用小数表示为 ( () )A.0.000 205A.0.000 205B.0.020 5B.0.020 5C.0.002 05C.0.002 05D.-0.00205D.-0.00205【解析解析】选选C.2.05C.2.051010-3-3=2.05=2.050.001=0.00205.0.001=0.00205.
