游戏中的数学问题

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1、1 个人简介：个人简介： 康淑瑰，女，康淑瑰，女， 1964年生，教授，年生，教授，博士，博士， 硕士生导师硕士生导师, 山西省教学名师，山西省山西省教学名师，山西省“131”领军人才中青年拨尖创新人才，山西大同大领军人才中青年拨尖创新人才，山西大同大学数学与计算机科学学院院长学数学与计算机科学学院院长. 1984年于山西师范年于山西师范学院数学系毕业获理学学士学位学院数学系毕业获理学学士学位, 1998年于北京师年于北京师范大学数学系获理学硕士学位范大学数学系获理学硕士学位, 2008年于海军航空年于海军航空工程学院控制工程系毕业获博士学位工程学院控制工程系毕业获博士学位.1992年任讲师年

2、任讲师, 1998年任副教授年任副教授, 2003年任教授年任教授.主持和参与各类项主持和参与各类项目目16项项, 其中主持国家自然科学基金面上项目其中主持国家自然科学基金面上项目1项项（68万）万）, 山西省自然科学基金山西省自然科学基金1项（项（4万）万）, 山西省山西省高校科技研究开发项目高校科技研究开发项目1项项, 山西省教育科学山西省教育科学“十一十一五五”规划项目、规划项目、“十二五十二五”规划项目各规划项目各1项项.参与山参与山西省高校科技研究开发项目西省高校科技研究开发项目4项项.在国内外重要学术在国内外重要学术刊物发表论文刊物发表论文60余篇，其中余篇，其中SCI检索检索17

3、篇。获得山篇。获得山西省优秀教学成果二等奖西省优秀教学成果二等奖1项、山西省高等学校优项、山西省高等学校优秀成果奖（科学技术）一等奖秀成果奖（科学技术）一等奖1项。项。2游戏中的数学问题游戏中的数学问题山西大同大学 康淑瑰3两句耐人寻味的话两句耐人寻味的话一个人不识字可以生活，但是若不识数，一个人不识字可以生活，但是若不识数，就很难生活了就很难生活了 。一个国家的科学的进步，可以用它消耗一个国家的科学的进步，可以用它消耗的数学来度量的数学来度量 。 4游戏中学习数学，是加强师生关系的纽带，游戏中学习数学，是加强师生关系的纽带，通过做游戏，会使教师和学生的关系变得十通过做游戏，会使教师和学生的关

4、系变得十分融洽。分融洽。在游戏中学习数学，可以培养学生学习在游戏中学习数学，可以培养学生学习 数学的兴趣，提高学生的数学素养。数学的兴趣，提高学生的数学素养。逻辑推理使人聪明！逻辑推理使人聪明！5 （一 ）数学素养才使人终身受益 一个人的学历教育中，从小学一年级到大学一年级，一个人的学历教育中，从小学一年级到大学一年级，一般要学十三年的数学课程，但许多人并未因为学的时间一般要学十三年的数学课程，但许多人并未因为学的时间长就掌握了数学的精髓。相反，大多数学生仍然对数学的长就掌握了数学的精髓。相反，大多数学生仍然对数学的思想、精神了解得较肤浅，对数学的宏观认识和总体把握思想、精神了解得较肤浅，对数

5、学的宏观认识和总体把握较差，数学素养较差；甚至误以为学数学就是为了会做题、较差，数学素养较差；甚至误以为学数学就是为了会做题、能应付考试，不知道能应付考试，不知道“数学方式的理性思维数学方式的理性思维”的重大价值，的重大价值，不了解数学在生产、生活实践中的重要作用，不理解数学不了解数学在生产、生活实践中的重要作用，不理解数学文化与诸多文化的交汇。文化与诸多文化的交汇。6 实际上实际上 ，学生毕业后走入社会，如果不是在与数学相学生毕业后走入社会，如果不是在与数学相关的领域工作（从事与数学直接相关工作的人不到关的领域工作（从事与数学直接相关工作的人不到1%），他），他们学过的具体的数学定理、公式和

6、解题方法可能大多用不上，们学过的具体的数学定理、公式和解题方法可能大多用不上，以至很快就忘记了；而他们有所欠缺的数学素养，反而是数学以至很快就忘记了；而他们有所欠缺的数学素养，反而是数学让人终生受益的精华。让人终生受益的精华。 一位数学教育家说，不管人们从事什么工作，深深铭刻一位数学教育家说，不管人们从事什么工作，深深铭刻在头脑中的数学的思想精神、数学的思维方法和看问题的着眼在头脑中的数学的思想精神、数学的思维方法和看问题的着眼点等，都会随时随地发生作用，使人们终生受益。点等，都会随时随地发生作用，使人们终生受益。 7重视数学素养，提高数学素养重视数学素养，提高数学素养 “数学素养数学素养”的

7、通俗说法的通俗说法把所学的数学知识都排除或忘掉后，剩下的东西从数学角度看问题的出发点；有条理地理性思维，严密地思考、求证，简洁、清晰、 准确地表达；在解决问题时、总结工作时，逻辑推理的意识和能力；对所从事的工作，合理地量化和简化，周到地运筹帷幄。8（1） 社会重视数学素养社会重视数学素养某外企招考员工的一道题某外企招考员工的一道题 有两只乌龟一起赛跑。甲龟到达有两只乌龟一起赛跑。甲龟到达10米终点线米终点线时，乙龟才跑到时，乙龟才跑到9米。现在如果让甲龟的起跑线退米。现在如果让甲龟的起跑线退后后1米，这时两龟再同时起跑比赛，问比赛结果将米，这时两龟再同时起跑比赛，问比赛结果将怎样？怎样？ （假

8、设两龟均作匀速直线运动）9某外企招考员工的又一道题某外企招考员工的又一道题 有三个筐，一个筐装着柑子，一个筐装着有三个筐，一个筐装着柑子，一个筐装着 苹果，一个筐混装着柑子和苹果。装完后封苹果，一个筐混装着柑子和苹果。装完后封 好了。好了。 然后做了然后做了“柑子柑子”、“苹果苹果”、“混装混装”三个三个标签，标签， 分别往上述三个筐上贴。由于马虎，结果全分别往上述三个筐上贴。由于马虎，结果全 都贴错了。都贴错了。 请你想一个办法，只许从某一个筐中拿出请你想一个办法，只许从某一个筐中拿出 一个水果，就能够纠正所有的标签一个水果，就能够纠正所有的标签。10某外企招考员工的又一道题某外企招考员工的

9、又一道题 老师让老师让6名学生围坐成一圈，另让一名学生坐在中央，并名学生围坐成一圈，另让一名学生坐在中央，并拿出七顶帽子，其中四顶白色，三顶黑色。然后让七名学生都戴拿出七顶帽子，其中四顶白色，三顶黑色。然后让七名学生都戴上眼罩，并给每个学生戴一顶帽子；再只解开坐在圈上的六名学上眼罩，并给每个学生戴一顶帽子；再只解开坐在圈上的六名学生的眼罩。这时，由于坐在中央的学生的阻挡，每个人只能看到生的眼罩。这时，由于坐在中央的学生的阻挡，每个人只能看到五个人的帽子。老师说：五个人的帽子。老师说：“现在，你们七人猜一猜自己戴的帽子现在，你们七人猜一猜自己戴的帽子颜色。颜色。”大家静静地思索了好大一会。最后，

10、坐在中央的、被蒙大家静静地思索了好大一会。最后，坐在中央的、被蒙住双眼的学生说：住双眼的学生说：“我猜到了。我猜到了。” 问：中央的被蒙住双眼的学生带的是什么颜色的帽子？问：中央的被蒙住双眼的学生带的是什么颜色的帽子？他是怎样猜到的他是怎样猜到的?11微软公司招考员工的一道面试题微软公司招考员工的一道面试题 一个屋子里面有五十个人，每个人领着一条狗，而这一个屋子里面有五十个人，每个人领着一条狗，而这些狗中有一部分病狗。些狗中有一部分病狗。 假定有如下条件：假定有如下条件：1、狗的病不会传染，也不会不治而、狗的病不会传染，也不会不治而愈；愈；2、狗的主人不能直接看出自己的狗是否有病、狗的主人不能

11、直接看出自己的狗是否有病, 只能靠只能靠看别人的狗和推理，来发现自己的狗是否有病；看别人的狗和推理，来发现自己的狗是否有病；3、一旦主、一旦主人发现自己的狗是一只病狗，就会在当天开枪打死这条狗；人发现自己的狗是一只病狗，就会在当天开枪打死这条狗； 4、狗只能由他的主人开枪打死。、狗只能由他的主人开枪打死。 如果他们在一起，第一天没有枪声、第二天没有枪声如果他们在一起，第一天没有枪声、第二天没有枪声第十天发出了一片枪声，问有几条狗被打死第十天发出了一片枪声，问有几条狗被打死？ （ 不是“脑筋急转弯”！是归纳法） 12着力提高数学素养着力提高数学素养 数学素养不是与生俱来的，是在学习和实践中数学素

12、养不是与生俱来的，是在学习和实践中培养的。教师在数学教学中，不但要向学生传授数培养的。教师在数学教学中，不但要向学生传授数学知识，更要让学生体会数学知识中蕴涵的数学文学知识，更要让学生体会数学知识中蕴涵的数学文化，了解化，了解“数学方式的理性思维数学方式的理性思维”，提高学生的数，提高学生的数学素养。学素养。13（三）趣味题一找次品找次品： 1）有有5个个外外形形相相同同的的乒乒乓乓球球，其其中中只只有有 1个重量不标准的次品乒乓球。个重量不标准的次品乒乓球。 现再给你一个标准球；请用一架不带现再给你一个标准球；请用一架不带砝码的天平，最多两次使用该天平，找砝码的天平，最多两次使用该天平，找出

13、上述次品乒乓球。出上述次品乒乓球。14最优化思想最优化思想最少次数完成预定任务最大限度发挥该天平的作用15趣味题二：抓单堆趣味题二：抓单堆1. 1. 抓单堆抓单堆： 有一堆谷粒（例如有一堆谷粒（例如100100粒），粒），甲、乙轮流抓，每次可抓甲、乙轮流抓，每次可抓1 15 5粒，甲先抓，规粒，甲先抓，规定谁抓到最后一把谁赢。问：甲应该如何抓？定谁抓到最后一把谁赢。问：甲应该如何抓？为什么？为什么？16趣味题三：抓两堆趣味题三：抓两堆1. 1. 抓两堆抓两堆： 有两堆谷粒（每堆有十几有两堆谷粒（每堆有十几粒），甲、乙轮流抓，每次可抓粒），甲、乙轮流抓，每次可抓1 1粒，也可以粒，也可以抓抓1

14、1粒粒3 3粒，每次只能在一堆中取，下一次可粒，每次只能在一堆中取，下一次可以换堆。甲、乙轮流抓，规定谁抓到最后一粒以换堆。甲、乙轮流抓，规定谁抓到最后一粒谁赢。问：如何抓？为什么？谁赢。问：如何抓？为什么？17趣味题三：抓两堆趣味题三：抓两堆 定理定理1 1：在：在抓两堆游戏中，限定最多抓抓两堆游戏中，限定最多抓3 3粒，并约定拿到最后一颗者赢，那么把两堆相粒，并约定拿到最后一颗者赢，那么把两堆相等的局面留给对方，则稳操胜券。等的局面留给对方，则稳操胜券。 证明：甲在某一堆中取几颗，乙另一堆中证明：甲在某一堆中取几颗，乙另一堆中也取几颗，总可以拿成（也取几颗，总可以拿成（1 1，1 1）的局

15、面。此后，）的局面。此后，只能是甲取只能是甲取1 1，乙取最后一个，乙取最后一个1 1。如果当（。如果当（A A，A A）中的）中的A A小于或等于小于或等于3 3时，甲一次把一堆拿光，时，甲一次把一堆拿光，乙也把另一堆一次拿光。乙也把另一堆一次拿光。18趣味题三：抓两堆趣味题三：抓两堆 定理定理2 2：在：在抓两堆游戏中，限定最多抓抓两堆游戏中，限定最多抓3 3粒，并约定拿到最后一颗者赢，那么把两堆之粒，并约定拿到最后一颗者赢，那么把两堆之差为差为4 4的倍数之局面留给对方，则稳操胜券。的倍数之局面留给对方，则稳操胜券。 证明：用数学归纳法。问题是对所有自然证明：用数学归纳法。问题是对所有自

16、然数数K K，把（，把（A A，A+4KA+4K）留给对方，准赢。）留给对方，准赢。19趣味题四：抓三堆趣味题四：抓三堆1. 1. 抓三堆抓三堆：有三堆谷粒，第一堆有三堆谷粒，第一堆3 3粒粒，第二，第二堆堆5 5粒粒，第三堆，第三堆7 7粒粒，甲、乙轮流抓，每次可抓，甲、乙轮流抓，每次可抓1 1粒、粒、2 2粒、粒、也可以把整堆拿完，每次只、也可以把整堆拿完，每次只能在一堆中取，下一次可以换堆。甲、乙轮流能在一堆中取，下一次可以换堆。甲、乙轮流抓，规定谁抓到最后一粒谁赢。问：如何抓？抓，规定谁抓到最后一粒谁赢。问：如何抓？为什么？为什么？20趣味题四：抓三堆趣味题四：抓三堆（1 1） 当剩当

17、剩1 1堆时堆时：先拿者可以一下子拿完，无疑先拿者赢。：先拿者可以一下子拿完，无疑先拿者赢。（2） 当剩当剩2堆时堆时：若两堆的个数相同，甲在某堆中拿几粒，：若两堆的个数相同，甲在某堆中拿几粒，乙在另一堆中拿几粒，所以后拿者赢。若两堆的个数不相等，乙在另一堆中拿几粒，所以后拿者赢。若两堆的个数不相等，甲只需把相差的个数拿掉，把个数相等的局面留给对方，他就甲只需把相差的个数拿掉，把个数相等的局面留给对方，他就立于不败之地了，所以先拿者赢。立于不败之地了，所以先拿者赢。（3） 当剩当剩3堆时堆时：可分情况讨论。：可分情况讨论。 如果其中两如果其中两堆个数相等，则先拿者赢。因为只要把第堆个数相等，则

18、先拿者赢。因为只要把第3 3堆拿堆拿掉，就把两个相等的局面留给对方了。掉，就把两个相等的局面留给对方了。 如果任意两堆的个数均不相等，即状况为（如果任意两堆的个数均不相等，即状况为（A A，B B，C C），），A AB BC C。21趣味题五：隔墙猜数趣味题五：隔墙猜数 隔墙猜物是西游记中的一个戏法。我隔墙猜物是西游记中的一个戏法。我们不会隔墙猜物，但我们可以猜你手中有们不会隔墙猜物，但我们可以猜你手中有几个物体。几个物体。 如果我左右手中分别有几个粉笔头，如果我左右手中分别有几个粉笔头，右手中的比左手中的多右手中的比左手中的多3个，你们能猜出个，你们能猜出我左右手中有几个粉笔头吗？一般不行

19、，我左右手中有几个粉笔头吗？一般不行，如果我猜你们的，一般能行。如果我猜你们的，一般能行。22趣味题五：隔墙猜数趣味题五：隔墙猜数 李老师拿几根牙签分别攥在左右手中，我问李老李老师拿几根牙签分别攥在左右手中，我问李老师，哪只手多，多几根？他回答，右手多，多师，哪只手多，多几根？他回答，右手多，多3根。根。于是我攥了于是我攥了4根牙签，我说我手中也攥了几根牙签，根牙签，我说我手中也攥了几根牙签，牙签的根数和你左手中的一样多，在我们张开手验证牙签的根数和你左手中的一样多，在我们张开手验证之前，还需要做一件事情，请把你右手中的牙签变成之前，还需要做一件事情，请把你右手中的牙签变成7根，如果多于根，如

20、果多于7根，把多余的给我，如果少于根，把多余的给我，如果少于7根，根，用我的牙签给你补，交换之后，张开手验证。我手中用我的牙签给你补，交换之后，张开手验证。我手中的牙签恰好和李老师手中的一样多，不信我们可以一的牙签恰好和李老师手中的一样多，不信我们可以一起做。请大家悟出其中的道理。起做。请大家悟出其中的道理。23趣味题五：隔墙猜数趣味题五：隔墙猜数 设李老师左手中的牙签数为设李老师左手中的牙签数为X，右手便有，右手便有X+3根，根，如果我手中有如果我手中有4根，李老师右手中和我手中共有根，李老师右手中和我手中共有X+7根，交换后，李老师右手中变成根，交换后，李老师右手中变成7根，我手中就成了根

21、，我手中就成了X根了。根了。 一般情况下，对方告诉你多一般情况下，对方告诉你多B，你的中有，你的中有A，让，让对方手中变成（对方手中变成（A+B），你手中就是），你手中就是X了。其原理是了。其原理是下面的恒等式：下面的恒等式： （X+B）+A=（A+B）+X24趣味题六：老板损失了多少钱？趣味题六：老板损失了多少钱？ 老师拿着老师拿着8顶帽子走进教室，对同学们说：顶帽子走进教室，对同学们说：“刚才去买帽子，遇到一刚才去买帽子，遇到一件新鲜事，卖帽子的老板娘被人骗了，正在骂大街呢件新鲜事，卖帽子的老板娘被人骗了，正在骂大街呢”。 事情是这样的：一顶帽子的进价是事情是这样的：一顶帽子的进价是2元，

22、售价是元，售价是4元，一顶帽子赚元，一顶帽子赚2元。元。有一个染了黄头发的年轻人要买有一个染了黄头发的年轻人要买10顶帽子，他给老板娘顶帽子，他给老板娘100元整票，老板元整票，老板娘没有零钱找。于是找卖鞋的老板换了娘没有零钱找。于是找卖鞋的老板换了100元零钱。年轻人拿着帽子和元零钱。年轻人拿着帽子和60元钱匆匆地走了。元钱匆匆地走了。 老板娘正为赚了老板娘正为赚了20元钱高兴呢，卖鞋的老板找来了，说：元钱高兴呢，卖鞋的老板找来了，说：“这这100元元是假钞。是假钞。”老板娘只好给人家换了老板娘只好给人家换了100元真钞。老板娘愉快的心情一下子元真钞。老板娘愉快的心情一下子掉到了冰谷，拿着掉

23、到了冰谷，拿着100元假钞，一遍又一遍地唠叨：元假钞，一遍又一遍地唠叨：“天杀的黄毛，坑了天杀的黄毛，坑了老娘老娘180元钱，你不得好死元钱，你不得好死”。 老板娘到底损失了多省钱？请先择：老板娘到底损失了多省钱？请先择： A：160元元 B：180元元 C：大于：大于100元元 D：小于：小于100元元25趣味题七：一元钱哪里去了？趣味题七：一元钱哪里去了？ 三个穷学生去一个农村小镇旅馆投宿，每三个穷学生去一个农村小镇旅馆投宿，每人拿了人拿了10元合租一间客房，交了元合租一间客房，交了30元钱。老板元钱。老板发善心，只收了发善心，只收了25元。叫服务生退给学生元。叫服务生退给学生5元。元。服

24、务员想：三个如何分服务员想：三个如何分5元钱呀？于是私自扣元钱呀？于是私自扣下下2元，只退给学生元，只退给学生3元。请问：每个学生交了元。请问：每个学生交了9元，服务员拿了元，服务员拿了2元，共元，共29元，另外元，另外1元哪里元哪里去了？去了？26趣味题八：实话城与谎话城趣味题八：实话城与谎话城 有两座相邻的城市座落在同一条河畔，城门相对，城市建有两座相邻的城市座落在同一条河畔，城门相对，城市建筑具有同样的风格，规模大小相同，城门楼上也都没有写城市筑具有同样的风格，规模大小相同，城门楼上也都没有写城市的名称。两座城市的居民相互往来频繁，过着安居乐业的和谐的名称。两座城市的居民相互往来频繁，过

25、着安居乐业的和谐生活。生活。 但有一点不同，一座城市的居民，个个都很诚实，句句说但有一点不同，一座城市的居民，个个都很诚实，句句说的都是实话，不妨称这座城市为的都是实话，不妨称这座城市为“实话城实话城”；另一座城市的居；另一座城市的居民，个个都很滑稽，从来不说一句实话，姑且称这座城市为民，个个都很滑稽，从来不说一句实话，姑且称这座城市为“谎话城谎话城”。 27趣味题八：实话城与谎话城趣味题八：实话城与谎话城 假定有一外乡人要去假定有一外乡人要去“实话城实话城”办事，走到两座办事，走到两座城门之间，不知道该进哪座城。他问一位老乡：城门之间，不知道该进哪座城。他问一位老乡：“劳劳驾，请问哪是实话城

26、？驾，请问哪是实话城？”老乡指了指左边的城市说：老乡指了指左边的城市说：“这一座。这一座。”他不放心，又问另一位老乡：他不放心，又问另一位老乡：“劳驾，劳驾，请问哪是实话城？请问哪是实话城？”这位老乡却指了指右边的城市说：这位老乡却指了指右边的城市说：“这一座。这一座。”外乡人无所适从了。外乡人无所适从了。 请你设计一句话，无论问到请你设计一句话，无论问到“实话城实话城”的人，还的人，还是问到是问到“谎话城谎话城”的人，都能立刻得到正确的答案的人，都能立刻得到正确的答案。 28趣味题八：实话城与谎话城趣味题八：实话城与谎话城 指着左边的城市问老乡：指着左边的城市问老乡：“劳驾，请问你是这座劳驾

27、，请问你是这座城市的居民吗？城市的居民吗？” 老乡回答说：老乡回答说：“是是”。则左边的城市就是实话城。则左边的城市就是实话城。因为，这位老乡如果是因为，这位老乡如果是“实话城实话城”的居民，他当然回的居民，他当然回答答“是是”；这位老乡如果是；这位老乡如果是“谎话城谎话城”的居民，他把的居民，他把话反说，也会回答话反说，也会回答“是是”。 老乡回答说：老乡回答说：“不是不是”。则左边的城市就是谎话。则左边的城市就是谎话城。因为，这位老乡不论是城。因为，这位老乡不论是“实话城实话城”的居民，还是的居民，还是“谎话城谎话城”的居民，他都会回答的居民，他都会回答“不是不是”。 29趣味题八：实话城

28、与谎话城趣味题八：实话城与谎话城 指着左边的城市问老乡：指着左边的城市问老乡：“劳驾，你不是劳驾，你不是这座城市的居民吗？这座城市的居民吗？” 如果老乡穿着白色的衣服，接着问他：如果老乡穿着白色的衣服，接着问他：“你的衣服是白色的吗？你的衣服是白色的吗？”回答说回答说“是是”，则是，则是“实话城实话城”的人；回答说的人；回答说“不是不是”，则是，则是“谎谎话城话城”的人。的人。 30（三）韩信点兵与中国剩余定理（三）韩信点兵与中国剩余定理 31 一、一、“韩信点兵韩信点兵”的故事和的故事和孙子算经孙子算经中的题目中的题目 1.“韩信点兵韩信点兵”的故事的故事 韩信阅兵时，让一队士兵韩信阅兵时，

29、让一队士兵5人一行排队从他面前走人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（过，他记下最后一行士兵的人数（1人）；再让这队士兵人）；再让这队士兵6人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（5人）；再让这队士兵人）；再让这队士兵7人一行排队从他面前走过，他记人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（下最后一行士兵的人数（4人），再让这队士兵人），再让这队士兵11人一行人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（10人）。人）。 然然后后韩韩信信就就凭凭这这些些数数，可可以以求求

30、得得这这队队士士兵兵的的总总人人数数。32 33 2.孙子算经孙子算经中的题目中的题目 我国古代数学名著我国古代数学名著孙子算经孙子算经中有中有“物不知数物不知数”的的 题目：题目： 今有物不知其数，今有物不知其数， 三三数之剩三三数之剩2， 五五数之剩五五数之剩3， 七七数之剩七七数之剩2， 问物几何？问物几何？ 34 35孙子算经孙子算经36 二问题的解答二问题的解答 1从另一个问题入手从另一个问题入手 问题：问题：今有物不知其数，二二数之剩今有物不知其数，二二数之剩1，三三，三三数之剩数之剩2，四四数之剩，四四数之剩3，五五数之剩，五五数之剩4，六六数，六六数之剩之剩5，七七数之剩，七七

31、数之剩6，八八数之剩，八八数之剩7，九九数之，九九数之剩剩8，问物几何？，问物几何？37 1）筛法）筛法1，3，5，7，9，11，13，15，17，19， 21，23，25， （ 用用2除余除余1）5， 11， 17， 23， （ 用用3除余除余2）11， 23， （ 用用4除余除余3）38 再从中挑再从中挑“用用5除余除余4”的数，的数， 一直筛选下去，舍得下功夫，就一定可一直筛选下去，舍得下功夫，就一定可得结果。得结果。 并且看起来，解，还不是唯一的；可能并且看起来，解，还不是唯一的；可能有无穷多个解。有无穷多个解。39 化繁为简化繁为简的思想的思想 当问题中有很多类似的条件时，我们先只看

32、其中两三个条件，这当问题中有很多类似的条件时，我们先只看其中两三个条件，这就是就是化繁为简化繁为简。 一个复杂的问题，如果在简化时仍然一个复杂的问题，如果在简化时仍然保留了原来问题的特点和本保留了原来问题的特点和本质质，那么简化就，那么简化就“不失一般性不失一般性”。 学会学会“简化问题简化问题”与学会与学会“推广问题推广问题”一样，是一种重要的数学一样，是一种重要的数学能力。能力。 寻找规律寻找规律的思想的思想 把我们的解题方法总结为把我们的解题方法总结为筛法筛法，是重要的进步，是质的飞跃：，是重要的进步，是质的飞跃： 找到规律了。找到规律了。 筛法是一般性方法，还可以用来解决其他类似的问题

33、。筛法是一般性方法，还可以用来解决其他类似的问题。40 2 2）公倍数法）公倍数法 化繁为简化繁为简 我们还是先看只有前两个条件的简化题目。我们还是先看只有前两个条件的简化题目。 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25， （ 用用2除余除余1） 5， 11， 17， 23， （ 用用3除余除余2） 上述筛选过程的第一步，得到上述筛选过程的第一步，得到: :1 1，3 3，5 5，7 7，9 9，1111，1313，1515，1717，1919，2121，2323，2525， 其实是列出了其实是列出了“用用2 2除余除余1 1”的数组成的数列。这个数列的数组成的数列。

34、这个数列实际上是用实际上是用带余除法带余除法的式子得到的。的式子得到的。41 所谓所谓“带余除法带余除法”，是指，是指整数整数的如下的如下“除法除法”： 被除数被除数 ，除数，除数 , 必唯一必唯一存在商存在商 和余和余 ，使，使 42 当余当余 时，则时，则 ，称为，称为 “ 整除整除”，或，或 “ 整除整除 ”，这是通常除，这是通常除法法“ ” 的另一种表达形式。所以，的另一种表达形式。所以，带余带余除法是通常除法的推广。除法是通常除法的推广。43 回到求回到求“用用2除余除余1的数的数”的问题。设的问题。设这这样的数为样的数为 ，则，则 。这里。这里 是是被除数，被除数，2是除数，是除数

35、， 是商，是商，1是余，是余，且且 。44 这就是这就是“带余除带余除法法”的式子。当取的式子。当取 时，时，用上式求得的用上式求得的 正好组成上述数列正好组成上述数列 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25， 45 接接着着从从中中筛筛选选出出“用用3除除 余余2”的的数数，就就是是挑挑出出符符合合下下面面“带带余余除除法法”表表达达式式的数，这里的数，这里 可取可取0，1，2，3，4， 再继续做下去。再继续做下去。46 如果我们不分上面两步，而是一上来如果我们不分上面两步，而是一上来就就综合综合考虑考虑两者两者，则就是要解联立方程，则就是要解联立方程组组 47

36、那么，为了解这个方程组，除了刚才的筛法外，那么，为了解这个方程组，除了刚才的筛法外，还有没有更加巧妙的解法？还有没有更加巧妙的解法？ 我们考察上边两个方程的特点，发现，两个我们考察上边两个方程的特点，发现，两个“带余除法带余除法”的式子，都是的式子，都是“余数比除数少余数比除数少1 1”。 于是想到，如果于是想到，如果把被除数再加把被除数再加1 1，不是余数就为，不是余数就为0 0了吗？换句话说，不是就出现了吗？换句话说，不是就出现整除整除的情况了吗？的情况了吗？48 于是把上边每个方程两边都加上于是把上边每个方程两边都加上1，成为，成为 这这说说明明， 既既是是2的的倍倍数数，又又是是3的的

37、倍倍数数，因因此此，它它是是2与与3的的公公倍倍数数。由由此此想想到到49对整个问题寻找规律对整个问题寻找规律问题：问题： 今有物不知其数，二二数之剩今有物不知其数，二二数之剩1，三三，三三数之剩数之剩2，四四数之剩，四四数之剩3，五五数之剩，五五数之剩4，六六，六六数之剩数之剩5，七七数之剩，七七数之剩6，八八数之剩，八八数之剩7，九九，九九数之剩数之剩8，问物几何？，问物几何？50 寻找规律寻找规律 设问题中，需要求的数是设问题中，需要求的数是 ，则，则 被被2，3，4，5，6，7，8，9去除，所得的余数都去除，所得的余数都是比除数少是比除数少1，于是我们把被除数，于是我们把被除数 再加再

38、加1， 则则 就可被就可被2，3，4，5，6，7，8，9均均整除。也就是说，整除。也就是说， 是是2,3,4,5,6,7,8,9的公倍数，从而是其最小公倍数的公倍数，从而是其最小公倍数2,3,4,5,6,7,8,9的倍数。的倍数。51 即即 52 思思： 求求“用用2除余除余1，3除余除余2， 用用m除余除余 m 1”的数。的数。 求求“用用a除余除余a 1，用，用b除余除余b1，用，用c除余除余c1”的数。的数。 （a,b,c是任意大于是任意大于1的自然数）的自然数） 求求“用用2，3，4，5，6，7，8，9除除 都都余余1”的数。的数。 求求“用用5，7，9，11 除都余除都余2”的数。的

39、数。53 2孙子算经孙子算经中中“有物不知其数有物不知其数” 问题的解答问题的解答 问题：问题：今有物不知其数，今有物不知其数， 三三数之剩三三数之剩2， 五五数之剩五五数之剩3， 七七数之剩七七数之剩2， 问物几何？问物几何？541）筛法）筛法.2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，（用（用3除余除余2）8，23， （用（用5除余除余3）23， （用（用7除余除余2） 由此得到，由此得到，23是最小的一个解。是最小的一个解。 至于下一个解是什么，要把至于下一个解是什么，要把“”写出来才知道；写出来才知道； 实践以后发现，是要费一点儿功夫的。实践以后发现，是要费一点儿功夫的。5

40、5 当当然然，解解，不不是是唯唯一一的的，每每差差105，都都是是另另一一个个解解答答，但但如如果果结结合合实实际际问问题题，答答案案往往往往就就是是唯唯一一的的了了。例例如如一一队队士士兵兵的的大约人数，韩信应是知道的。大约人数，韩信应是知道的。56 当当然然，解解，不不是是唯唯一一的的，每每差差105，都都是是另另一一个个解解答答，但但如如果果结结合合实实际际问问题题，答答案案往往往往就就是是唯唯一一的的了了。例例如如一一队队士士兵兵的的大约人数，韩信应是知道的。大约人数，韩信应是知道的。57 （四）有趣的应用（四）有趣的应用 某单位有某单位有100把锁，分别编号为把锁，分别编号为1，2，

41、3，100。现在要对钥匙编号，使外单位的。现在要对钥匙编号，使外单位的人看不懂，而本单位的人一看见锁的号码就人看不懂，而本单位的人一看见锁的号码就知道该用哪一把钥匙。知道该用哪一把钥匙。 58 能采用的方法很多，其中一种就是利用中国能采用的方法很多，其中一种就是利用中国剩余定理，把锁的号码被剩余定理，把锁的号码被3，5，7去除所得的三个去除所得的三个余数来作钥匙的号码（首位余数是余数来作钥匙的号码（首位余数是0时，也不能省时，也不能省略）。略）。 这样每把钥匙都有一个三位数编号。这样每把钥匙都有一个三位数编号。 例如例如23号锁的钥匙编号是号锁的钥匙编号是232号，号，52号锁的钥匙号锁的钥匙

42、编号是编号是123号。号。59 8号锁号锁231 19号锁号锁145 45号锁号锁003 52号锁号锁123 因为只有因为只有100把锁，不超过把锁，不超过105，所以锁的号与，所以锁的号与钥匙的号是一一对应的。钥匙的号是一一对应的。 如果希望保密性再强一点儿，则可以把刚才所如果希望保密性再强一点儿，则可以把刚才所说的钥匙编号加上一个固定的常数作为新的钥匙编说的钥匙编号加上一个固定的常数作为新的钥匙编号系统。甚至可以每过一个月更换一次这个常数。号系统。甚至可以每过一个月更换一次这个常数。这样，仍不破坏锁的号与钥匙的号之间的一一对应，这样，仍不破坏锁的号与钥匙的号之间的一一对应，而外人则更难知道

43、了。而外人则更难知道了。60（五）整数表示为连续整数的和61 有一个数学现象是很有趣而且奇怪的，不知道大家是否注意到，我们来看一看，并想想为什么？ 我们看自然数1，2，3，4，5，一直下去，其中有许多整数是有这样奇怪性质，它可以用前面的一串连续整数的和得到，例如： 3=1+2，4不行，5=2+3，6=1+2+3， 7=3+4，8不行，9=4+5，10=1+2+3+4， 11=5+6，12=3+4+5，13=6+7， 14=2+3+4+5，15=7+8=1+2+3+4+5， 16不行， 62 大家可以一直算下去，你们发现什么？ 如果你一直算到200，你会发现从100开始，我们有 100=18+1

44、9+20+21+22，101=50+51， 102=33+34+35， 103=51+52， 104=2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14等等，而从100到200之间，只有一个数128是唯一你没法用连续整数和来表示它。对于这个问题我敢和你们打赌，因为世界上没有一个人能表示128为连续整数的和。63 我们现在问几个为什么？（1）什么样的整数才能表示为连续整数的和？我们看2，4，8，16，32，64，128， 等等都不行，这些数都是 的样子，是否形如 的数都不能有这样的表示？（2）那些能表示为连续整数的整数的个数是否无穷还是有限？从实际验算，我们多数会猜测它应该是无穷，可是

45、怎么证明呢？64 假如我们现在有一个整数N，而我们能找到一串连续整数的和来表示它，我们现在假定这连续整数开头是x,x+1,y,即 N=x+(x+1)+y 我们都知道高斯怎么算1+2+3+100的故事吧， N=1+2+3+（ x-1 ）+x+(x+1)+y -1+2+3+（ x-1 ） =y(1+y)/2-(x-1)x/2 现在假定x+d=y，(这里d大于等于1)，代入上式可得6566 现在我们对d来考虑： 情形1： d是偶数，则1+d是奇数，而( 2x+d )/2是整数； 情形2： d是奇数，则1+d是偶数，而2x+d是奇数； 因此不管d是偶数还是奇数，N一定有一个因子是奇数，现在我们见到凡是

46、形如2的整数次幂的数，都没有奇因子，因此这样的数一定不能表示为连续整数的和。67（六）鸽笼原理的日常运用68 鸽笼原理：如果把N1个东西放进N个盒子里，有一些盒子必须包含至少两个东西。 有高六层的鸽笼，每一层有四个间隔，所以总共有24个鸽笼。现在放进25只鸽子，你一定会看到至少有一个鸽笼会有2只鸽子挤在一起。 鸽笼原理就这么简单，3岁以上的小孩子都会明白。 69 可是这原理在数学上却是有很重要的应用。 我们不要小看这个看来简单的原理，如果我们善于运用这个原理，是可以帮助我们解决一些数学问题的。70鸽笼原理的日常运用：（1）月黑风高穿袜子（2）手指纹和头发（3）戏院观众的生日71鸽笼原理在数学上

47、的运用（1）斐波那契数的一个性质1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144， 在18世纪时法国大数学家和物理学家拉格朗日发现这斐波那契数有这样有趣的性质： 如果你用2来除各项，并写下它的余数，你会看到这样的情形1，1，0，1，1，0，1，1，0，72 如果用3来除各项，写下它的余数，你就得到 1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0， 如果用4来除各项，写下它的余数，你就会得到 1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0， 73 拉格朗日发现，不管你用什么数字去除，余数数列会出现有规律的重复现象。为什么会有这样的现象呢？ 用鸽笼原理可以解释。74（2

48、）五个大头钉在等边三角板里的位置 有一个每边长2个单位的正三角形（即三边都相等的三角形）的三角板。你随便在上面钉上五个大头钉，一定会有一对大头钉的距离是小过一个单位。 如果你不相信的话，可以做几次实验看看是否一直如此。75我们用鸽笼原理解决这个问题现在每一个小三角形里任何两点的距离是不会超现在每一个小三角形里任何两点的距离是不会超过过1个单位的。个单位的。76（七）文学作品中的数学问题（七）文学作品中的数学问题1、割草人的故事托尔斯泰十分喜爱数学。他非常喜欢并向人们推荐“割草人”的故事。一组割草人要割完两块地上的草，大的一块草地的面积比小的一块的面积大一倍，全组人员上午都到较大的那块草地上去割

49、草，下午，全组人员平均分成两组，一组人仍在较大的草地上割草，另一组人到较小的那块地上割草，到傍晚时，大草地上的草刚好割完，小草地上的草还剩一小块，第二天正好可由一个人一天割完，问这组割草人共有几人？（设一个人上午和下午割一样多的草）77答案8人。托尔斯泰常用分数来表示人的真实价值。他把别人对一个人的评价比做分子，这往往比较符合实际；把一个人自己对自己的评价比做分母，一部分人往往容易夸大这个分母。在分母固定时，分子越大分数值越大，在分子固定的时候，分母越大分数值越小。这个比喻发人深思。782、托尔斯泰还用数学知识写过一篇小说，讽刺那些贪婪成性，要财不要命的人。小说题目为一个人需要很多土地吗？。大

50、意是：有一个叫巴河姆的人到草原上去买地，卖主卖地的方法很特别。任何一个来买地的人，只要交他1000卢布，他便可以在一天之内，从太阳出山开始行走，由草原上任一点出发；在草原上走到太阳落山，如果在日落之前，他回到了出发点，那么，他这一天所走的路线所围住的土地，就算他买到的土地了，如果他在日落之前没有回到出发地点，那么，他就一寸土地也得不到，白白丢掉1000卢布。79巴河姆认为这样的规定真是有利可图，便爽快地交了1000卢布。第二天太阳刚刚升起，巴河姆就在草原上迈开了大步。他先沿一条直线一口气走了10俄里，然后向左拐弯90度，又沿直线走了很远很远，才又向左拐弯90度，继续前进了2俄里。这时他发现天色

51、已经不早了。至此他总共已走了24.7俄里的路程。于是他不得不改变前进方向，直向出发点跑去。巴河姆终于在日落前又跑了15俄里赶回到了出发点。但是，当巴河姆停下来时，脚跟尚未站稳，便两腿一软，扑倒在地，口吐鲜血，一命呜呼了。80巴河姆付出了生命的代价，究竟换来了多少土地呢？1俄里等于1.0668公里，巴河姆这一天共跑了（24.715）1.066842.35公理的路程，所围的图形是一个直角梯形，面积约为86.72平方公理，亦即8672公顷（约13万亩地）。一下子弄到13万亩地，不可谓不多，但是人都死了，再多的土地还有什么意义呢？81这个故事对于那些贪婪的人是一个讽刺。这篇作品的讽刺意义还不止此。你们知道还有什么吗？82喜爱数学的托尔斯泰在作品中还有更深刻的寓意。巴河姆贪心，并且也很愚蠢。他走的那个直角梯形的两底分别是2俄里和10俄里，而两腰则是12.7俄里和15俄里。如果按一个正方形行走，围同样大的面积只需行走37公里，少走5公里多；如果按一个圆形的路线行走，围同样大的面积则只需要行走33公里，可以少走9公里多。亦即，这里包含着另一个数学问题；在同等面积的情况下求最小周长。如果巴河姆懂得这个道理，也许他既能得到13万亩土地，又不至于累死；贪婪加无知葬送了他的性命。关键仍在他的贪婪，同时，他还不会去计算另一个数字；他应走多少公里才不致送命。83谢谢大家！