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1、4.14.1 概概 述述4.24.2 外力虚功与虚变形功外力虚功与虚变形功4.34.3 变形体的虚功原理变形体的虚功原理4.44.4 虚功原理的应用虚功原理的应用4.64.6 荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结构的位移计算4.54.5 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式4.74.7 图乘法计算结构的位移图乘法计算结构的位移4.84.8 支座移动时静定结构的位移计算支座移动时静定结构的位移计算4.94.9 温度改变时静定结构的位移计算温度改变时静定结构的位移计算4.104.10 线性变形体系的互等定理线性变形体系的互等定理8/25/20242扬州大学水利科学与工程学院一、结构的变形与
2、位移变形结构原有形状的改变。位移结构上各点的移动和杆件截面的转动。qADA线位移、角位移、相对线位移、相对角位移等统称为广义位移广义位移。线位移角位移相对线位移CDFPAD相对角位移4.1 概 述8/25/20243扬州大学水利科学与工程学院二、位移产生的原因 刚度校核的需要吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；高层建筑的最大位移 1/1000 高度。最大层间位移 1/800 层高。 施工的要求荷载作用、温度变化、支座移动等各种外部作用。三、结构位移计算的目的 4.1 概 述8/25/20244扬州大学水利科学与工程学院四、本章位移计算的基本假设 线弹性 小变形线性变形体系位移与荷载成比例的体系
3、。叠加原理适用位移计算的理论基础虚功原理位移与荷载成比例 超静定结构分析以及结构动力分析、稳定分析等的基础。三、结构位移计算的目的 刚度校核的需要 施工的要求4.1 概 述8/25/20245扬州大学水利科学与工程学院4.2 外力虚功与虚变形功一、实功与虚功 a功力与沿力的方向的位移的乘积。虚功广义力与广义位移无关时所作的功。实功广义力在自身所产生的位移上所作的功。实功计算不满足叠加原理；虚功计算满足叠加原理。 广义力功的表达式中，与广义位移相对应的项。实功计算和虚功计算具有不同的性质： 8/25/20246扬州大学水利科学与工程学院二、结构的外力虚功静力状态（k状态） 作功的力所处的状态。位
4、移状态（m状态） 作功的位移所处的状态。 结构的外力虚功静力状态中结构的所有外力（包括荷载与支座反力）在位移状态中相应位移上所作的功。FPk静力状态中结构在k处所方向所受的广义力。Dkm位移状态中结构与FPk相应的广义位移。4.2 外力虚功与虚变形功8/25/20247扬州大学水利科学与工程学院1）集中力的虚功2）集中力偶的虚功4.2 外力虚功与虚变形功8/25/20248扬州大学水利科学与工程学院3）分布力的虚功q均匀分布4.2 外力虚功与虚变形功8/25/20249扬州大学水利科学与工程学院4）等量反向共面二力偶的虚功4.2 外力虚功与虚变形功8/25/202410扬州大学水利科学与工程学
5、院5）等量反向共线二集中力的虚功4.2 外力虚功与虚变形功8/25/202411扬州大学水利科学与工程学院三、结构的虚变形功 截面内力分解4.2 外力虚功与虚变形功8/25/202412扬州大学水利科学与工程学院三、结构的虚变形功 形变位移分解4.2 外力虚功与虚变形功8/25/202413扬州大学水利科学与工程学院三、结构的虚变形功 微段静力状态中截面内力在位移状态的形变位移上所作的虚功为：静力状态k位移状态m4.2 外力虚功与虚变形功8/25/202414扬州大学水利科学与工程学院三、结构的虚变形功 静力状态k位移状态m略去二阶微量得4.2 外力虚功与虚变形功8/25/202415扬州大学
6、水利科学与工程学院三、结构的虚变形功 对第i杆件，该虚功为：对整个杆系结构，该虚功为：结构的虚变形功 静力平衡状态微段横截面上的结构内力在位移状态中相应形变位移上所作的虚功之总和。4.2 外力虚功与虚变形功8/25/202416扬州大学水利科学与工程学院 结构的虚变形功静力平衡状态微段横截面上的结构内力在位移状态中相应形变位移形变位移上所作的虚功之总和。 结构的外力虚功静力状态中结构的所有外力（包括荷载与支座反力）在位移状态中相应位移上所作的功。4.2 外力虚功与虚变形功8/25/202417扬州大学水利科学与工程学院一、虚功原理 位移协调系：在结构的边界和内部都必须是分段光滑连续的，在边界上
7、满足位移边界条件且是微小的位移系。(位移状态m) 静力平衡系：满足结构整体和局部平衡条件以及静力边界条件，并遵循作用和反作用定律的力系。(静力状态k) 虚功原理：设一变形体系，存在两个独立无关的静力平衡系和位移协调系，让静力平衡系中的力在位移协调系中的位移上作功，则体系的总外力虚功恒等于体系的总虚变形功。 W=U外力虚功虚变形功虚功方程4.3 变形体的虚功原理8/25/202418扬州大学水利科学与工程学院杆系结构的虚功方程一、虚功原理FPk、FNk、FQk、Mk静力平衡系中的外力和内力。Dkm、em、gm、 位移协调系中的位移与变形。其中：可以单根直杆为例加以证明4.3 变形体的虚功原理8/
8、25/202419扬州大学水利科学与工程学院二、虚功原理的讨论 (1) 虚功原理实际上综合反映了静力平衡条件（平衡方程）和变形协调条件（几何方程）。 (2) 适用线性、非线性、小变形问题；只要求力系是平衡的，位移系是协调且微小的。 (3) 静力平衡系和位移协调系是彼此独立无关的。应用二：虚设力系，利用虚功原理解决真实位移系的几何问题（求未知位移）。 应用一：虚设位移系，利用虚功原理解决真实力系的平衡问题（求未知力）。4.3 变形体的虚功原理8/25/202420扬州大学水利科学与工程学院杆系结构的虚功方程一、虚位移原理与单位位移法力系真实的位移系虚拟的 虚位移原理：变形体系在力系作用下成平衡的
9、必要与充分条件是：对任意虚拟的位移协调系(即虚位移) ，让力系中的力经位移系中的位移作虚功，则外力虚功恒等于变形体系的虚变形功。 4.4 虚功原理的应用8/25/202421扬州大学水利科学与工程学院 单位位移法 求解步骤：(1) 解除所求约束力的约束，代之以约束力，得k状态；(2) 沿所求约束力的方向给以一单位虚位移，得m状态；(3) 由虚位移原理建立虚功方程，求解约束力。 杆系结构的虚功方程一、虚位移原理与单位位移法力系真实的位移系虚拟的4.4 虚功原理的应用8/25/202422扬州大学水利科学与工程学院解：1、求支座反力FRD静力状态k虚位移状态m（1）解除支座D，代之以约束力FRD，
10、得静力状态k。（2）沿FRD方向给一单位虚位移DDm=1，得虚位移状态k。（3）建立虚功方程FRD10FRD0U=0？例： 用单位位移法求支座D的反力和截面E的弯矩。4.4 虚功原理的应用8/25/202423扬州大学水利科学与工程学院解：2、求截面E的弯矩ME静力状态k虚位移状态m（1）将截面E换成铰，解除抗弯约束，代之以约束力ME ，得静力状态k。（2）沿ME正方向给一单位虚位移（相对转角）qEm=1，得虚位移状态k。（3）建立虚功方程U=0( )4.4 虚功原理的应用8/25/202424扬州大学水利科学与工程学院杆系结构的虚功方程4.4 虚功原理的应用二、虚力原理与单位荷载法 虚力原理
11、：变形体系在任意外来因素作用下的位移系协调的必要与充分条件是：对任意虚拟的静力平衡系，让力系中的力经位移系中的位移作虚功，则外力虚功恒等于变形体系的虚变形功。 位移系真实的力系虚拟的8/25/202425扬州大学水利科学与工程学院 单位荷载法 求解步骤：(1)沿所要求位移的方向加上对应的单位虚力，得静力状态k ；(2)根据虚拟静力状态k与实际位移状态m， 由虚力原理建立虚功方程，计算所要求位移。 杆系结构的虚功方程二、虚力原理与单位荷载法位移系真实的力系虚拟的4.4 虚功原理的应用8/25/202426扬州大学水利科学与工程学院解：虚力状态k位移状态m（1）虚设一竖向单位力FPC=1作用于铰C
12、，得虚力状态k。（2）建立虚功方程U0例： 用单位荷载法求图示两跨静定梁由于支座B向下移动 时，中间铰结点C的竖向位移 。4.4 虚功原理的应用8/25/202427扬州大学水利科学与工程学院KK4.5 结构位移计算的一般公式虚功方程为：c2mKKKt2t1c1m位移状态m虚力状态k8/25/202428扬州大学水利科学与工程学院一般公式的普遍性表现在：2. 结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构； 静定和超静定结构；1. 位移原因：荷载、温度改变、支座移动等；3. 材料性质：线弹性、非线弹性；4. 变形类型：弯曲变形、拉(压)变形、剪切变形；5. 位移种类：线位移、角位移；相对线位移和相对角
13、位移。4.5 结构位移计算的一般公式8/25/202429扬州大学水利科学与工程学院4.6 荷载作用下结构的位移计算实际荷载作用下的形变位移对线线弹性弹性结构，有轴力项剪力项弯矩项这里，l是切应力不均匀系数，对矩形截面l =6/5；圆形截面l =10/98/25/202430扬州大学水利科学与工程学院例1 求刚架A点的竖向位移。解：位移状态m 分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程（或画出内力图），如：虚力状态k 构造虚力状态k4.6 荷载作用下结构的位移计算8/25/202431扬州大学水利科学与工程学院荷载内力图1xxlx1单位内力图qxxqlqlx轴力 以拉力为正；剪力 使微段顺时针
14、转动者为正；弯矩 使杆件同侧纤维受拉时，正负号相同。4.6 荷载作用下结构的位移计算8/25/202432扬州大学水利科学与工程学院轴力项剪力项弯矩项引入符号将内力方程代入公式 ，有：讨论：讨论：记 ，4.6 荷载作用下结构的位移计算8/25/202433扬州大学水利科学与工程学院问题： 的取值范围是什么？设杆件截面为 bh 的矩形截面杆，有：取 ，有：4.6 荷载作用下结构的位移计算8/25/202434扬州大学水利科学与工程学院因此，对受弯细长杆件,通常略去FN, FQ的影响。取 ，则：即：4.6 荷载作用下结构的位移计算8/25/202435扬州大学水利科学与工程学院一般来说，剪切变形影
15、响很小，通常忽略不计。1. 对梁和刚架：2. 对桁架：3. 对组合结构：受弯杆拉压杆4.6 荷载作用下结构的位移计算8/25/202436扬州大学水利科学与工程学院例2 求图示四分之一圆弧曲梁自由端的角位移与线位移。解：1、角位移位移状态m（2）列弯矩方程虚力状态k（1）构造虚力状态（3）计算位移4.6 荷载作用下结构的位移计算8/25/202437扬州大学水利科学与工程学院2、竖向线位移位移状态m（2）列弯矩方程虚力状态k（1）构造虚力状态（3）计算位移4.6 荷载作用下结构的位移计算8/25/202438扬州大学水利科学与工程学院3、水平线位移位移状态m（2）列弯矩方程虚力状态k（1）构造
16、虚力状态（3）计算位移自由端总的线位移4.6 荷载作用下结构的位移计算8/25/202439扬州大学水利科学与工程学院例 3：求图示对称桁架在荷载作用下结点4的竖向位移。设E=2100kN/cm2，右半部分杆旁数值为杆的横截面积A（cm2）。解：位移状态m虚力状态k实际荷载作用下的状态为位移状态m；-55.628.520-60404040kN40kN00.707-0.7070.707-0.7070-1.0-1.00.50.50.50.5000.50.5FNP(kN)桁架位移计算公式计算桁架在实际荷载和虚单位力作用下的轴力FNP和 构造虚力状态k4.6 荷载作用下结构的位移计算8/25/2024
17、40扬州大学水利科学与工程学院8/25/202441扬州大学水利科学与工程学院例例: 1)求求A点水平位移点水平位移 所加单位广义力与所求广义位移相对应所加单位广义力与所求广义位移相对应,该单位广义该单位广义力在所求广义位移上做功力在所求广义位移上做功.讨论：虚力状态（单位力状态）的确定2)求求A截面转角截面转角3)求求AB两点相对水平位移两点相对水平位移4)求求AB两截面相对转角两截面相对转角8/25/202442扬州大学水利科学与工程学院试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。A(a)FPk=1FPk=1FPk=1BA(b)讨论：虚力状态（单位力状态）的确定
18、8/25/202443扬州大学水利科学与工程学院试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。讨论：虚力状态（单位力状态）的确定ABCd(c)8/25/202444扬州大学水利科学与工程学院FPk=1FPk=1试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。讨论：虚力状态（单位力状态）的确定ABCd(d)8/25/202445扬州大学水利科学与工程学院C(e)FPk=1FPk=1试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。讨论：虚力状态（单位力状态）的确定8/25/202446扬州大学水利科学与工程学院(f)ABFP
19、k=1FPk=1试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。讨论：虚力状态（单位力状态）的确定8/25/202447扬州大学水利科学与工程学院4.7 图乘法计算结构的位移1、均质等截面直杆；2、位移状态内力图（荷载内力图）与静力状态内力图（单位内力图）中，至少有一个图形是直线变化。 若以上两个条件满足，则可将位移计算公式中的积分计算换成用内力图的一些相关量相乘来计算。图乘法8/25/202448扬州大学水利科学与工程学院SyMPMP图dWAB4.7 图乘法计算结构的位移8/25/202449扬州大学水利科学与工程学院荷载作用下位移计算公式必须注意必须注意适用条件适用
20、条件1、均质等截面直杆；、均质等截面直杆；2、荷载内力图与单位内力图中，至少有一个图形是、荷载内力图与单位内力图中，至少有一个图形是直线变化。直线变化。4.7 图乘法计算结构的位移8/25/202450扬州大学水利科学与工程学院几种常见图形的面积与形心位置（熟记）4.7 图乘法计算结构的位移8/25/202451扬州大学水利科学与工程学院几种常见图形的面积与形心位置（熟记）切点切点切点切点指曲线在该点的切指曲线在该点的切线与基线重合或平行线与基线重合或平行4.7 图乘法计算结构的位移“ “标准抛物线标准抛物线标准抛物线标准抛物线” ”8/25/202452扬州大学水利科学与工程学院几种常见图形
21、的面积与形心位置（熟记）切点CC切点4.7 图乘法计算结构的位移8/25/202453扬州大学水利科学与工程学院简单图形相乘结果（熟记）ycycyc4.7 图乘法计算结构的位移8/25/202454扬州大学水利科学与工程学院简单图形相乘结果（熟记）ycycyc4.7 图乘法计算结构的位移8/25/202455扬州大学水利科学与工程学院图乘法应用中注意点注意应用条件；面积W为曲线图形的面积，坐标yc取自直线图形，而且是W的形心所对应的竖标；当W与yc在杆轴同侧时，相乘结果为正，异侧相乘结果为负。（对剪力图和轴力图则是同号为正、异号为负）两图形相乘后要除以杆段的相应刚度。若直线图形是由若干个直线段
22、组成，则相乘时应分段图乘。复杂图形可分为几个简单图形的叠加。4.7 图乘法计算结构的位移8/25/202456扬州大学水利科学与工程学院W1y1W2y2W3y3MP4.7 图乘法计算结构的位移8/25/202457扬州大学水利科学与工程学院W1y1W2y2MPW1y1W2y24.7 图乘法计算结构的位移8/25/202458扬州大学水利科学与工程学院图图解：1、求DCyCABFP=1图图对吗？对吗？例 1. 设 EI 为常数，求 和 。（1）建立静力状态（2）作荷载内力图和单位荷载内力图（3）图乘BAqC应分段！应分段！应分段！应分段！4.7 图乘法计算结构的位移8/25/202459扬州大学
23、水利科学与工程学院BAq图图（ ）图图1CAB12、求qB（1）建立静力状态（2）作荷载内力图和单位荷载内力图（3）图乘4.7 图乘法计算结构的位移8/25/202460扬州大学水利科学与工程学院例2 已知AB和BC的截面惯性矩分别为I和1.2I，求图示刚架在荷载作用下C点的水平位移DCP。解：1、建立虚力状态 2、作MP图、 图4.7 图乘法计算结构的位移8/25/202461扬州大学水利科学与工程学院 2、作MP图、 图4.7 图乘法计算结构的位移8/25/202462扬州大学水利科学与工程学院 2、作MP图、 图3、图乘4.7 图乘法计算结构的位移8/25/202463扬州大学水利科学与
24、工程学院W4W3W1W2y3=4my4=3my1=4my2=3m4.7 图乘法计算结构的位移8/25/202464扬州大学水利科学与工程学院例 3. 已知 EI 、EA为常数，求 。1mq=1kN/m2m2m2m2mGFEDCBAFk=1解：1、建立虚力状态2.02.08.08.968.96-4.0-4.0MPFNP1.01.02.02.242.24-1.0-1.0 2、作MP、FNP 图及 、 图 3、图乘4.7 图乘法计算结构的位移8/25/202465扬州大学水利科学与工程学院1mq=1kN/m2m2m2m2mGFEDCBAFk=1 3、图乘2.02.08.08.968.96-4.0-4
25、.0MPFNP1.01.02.02.242.24-1.0-1.04.7 图乘法计算结构的位移8/25/202466扬州大学水利科学与工程学院例 4. 已知 EI 为常数，求 。ABCqABC图图A1图图解：1、建立虚力状态 2、作MP图、 图 3、图乘4.7 图乘法计算结构的位移8/25/202467扬州大学水利科学与工程学院A1图图一种算法一种算法ABC结果正确否？结果正确否？?4.7 图乘法计算结构的位移8/25/202468扬州大学水利科学与工程学院解法一qABC图图qABC图图4.7 图乘法计算结构的位移8/25/202469扬州大学水利科学与工程学院解法二A1图图AABC图图4.7
26、图乘法计算结构的位移8/25/202470扬州大学水利科学与工程学院 静定结构中支座移动不产生内力和变形，只有刚体位移。4.8 支座移动时静定结构位移计算即：所以其中， 为虚力状态的支座反力，以与cim方向相同为正。 8/25/202471扬州大学水利科学与工程学院例：图示结构，若支座B发生水平移动，即B点向右移动一间距a，试求铰C左、右两截面的相对转角j。解：（2）求虚力状态的支座反力（3）计算位移位移状态m虚力状态k( )（1）建立虚力状态4.8 支座移动时静定结构位移计算8/25/202472扬州大学水利科学与工程学院4.9 温度改变时静定结构位移计算 静定结构中温度改变不产生内力，但材
27、料的自由膨胀或收缩将引起变形和位移。 已知杆件上、下边缘的温度变化为t1、t2，设温度沿杆件截面高度按设温度沿杆件截面高度按线性分布线性分布，则上、下边缘的温差为：杆轴温度为：矩形横截面矩形横截面8/25/202473扬州大学水利科学与工程学院温度变化时，微段的形变位移为：线膨胀系数由于温度变化时不引起切应变，故：代入公式，可得4.9 温度改变时静定结构位移计算8/25/202474扬州大学水利科学与工程学院 图面积图面积 图面积图面积等等截面截面直杆直杆沿杆长沿杆长温度变温度变化相同化相同4.9 温度改变时静定结构位移计算8/25/202475扬州大学水利科学与工程学院正、负号规定：正、负号
28、规定：1、温度变化t1、t2以升高为正；对梁和刚架：对 桁 架：几种情况：几种情况：2、轴力 以拉为正；3、弯矩 以使t2侧受拉为正。 温度引起的轴向变温度引起的轴向变形影响不能少。形影响不能少。4.9 温度改变时静定结构位移计算8/25/202476扬州大学水利科学与工程学院例：图示结构，外侧温度升高t1=+10，内侧温度升高t2= +20 ，线膨胀系数a=12010-7/ ，矩形截面高度h=20cm，求C点的竖向位移。解：（1）建立虚力状态（2）作 、 图4.9 温度改变时静定结构位移计算8/25/202477扬州大学水利科学与工程学院解：（1）建立虚力状态（3）计算位移（2）作 、 图t
29、0=15 ， Dt=10 （）4.9 温度改变时静定结构位移计算8/25/202478扬州大学水利科学与工程学院4.10 线性变形体系的互等定理2第 II 状态第 状态状态：内力FN1、FQ1、M1，变形状态：内力FN2、FQ2、M2，变形以 状态为静力状态，状态为位移状态，由虚功原理1、虚功互等定理8/25/202479扬州大学水利科学与工程学院以 状态为静力状态，状态 为位移状态对线性变形体，有W12=W214.10 线性变形体系的互等定理8/25/202480扬州大学水利科学与工程学院W12=W21 在线性变形体系中，在线性变形体系中，在线性变形体系中，在线性变形体系中，I I I I
30、状态的外力在状态的外力在状态的外力在状态的外力在 II II II II 状态位移上状态位移上状态位移上状态位移上所做虚功，恒等于所做虚功，恒等于所做虚功，恒等于所做虚功，恒等于 II II II II 状态外力在状态外力在状态外力在状态外力在 I I I I 状态位移上所做虚状态位移上所做虚状态位移上所做虚状态位移上所做虚功。功。功。功。虚功互等定理虚功互等定理2第 II 状态第 状态4.10 线性变形体系的互等定理8/25/202481扬州大学水利科学与工程学院2第 II 状态状态、状态都只受一个单位力作用由虚功互等定理，得2、位移互等定理第 状态 在线性变形体系中，第一个单位力引起的与第
31、二个单在线性变形体系中，第一个单位力引起的与第二个单在线性变形体系中，第一个单位力引起的与第二个单在线性变形体系中，第一个单位力引起的与第二个单位力相应的位移，恒等于第二个单位力引起的与第一个单位力相应的位移，恒等于第二个单位力引起的与第一个单位力相应的位移，恒等于第二个单位力引起的与第一个单位力相应的位移，恒等于第二个单位力引起的与第一个单位力相应的位移。位力相应的位移。位力相应的位移。位力相应的位移。位移互等定理位移互等定理4.10 线性变形体系的互等定理8/25/202482扬州大学水利科学与工程学院状态：支座1发生单位位移由虚功互等定理，得3、反力互等定理 在线性变形体系中，支座在线性
32、变形体系中，支座在线性变形体系中，支座在线性变形体系中，支座1 1 1 1由于支座由于支座由于支座由于支座2 2 2 2发生单位位移所发生单位位移所发生单位位移所发生单位位移所引起的反力，恒等于支座引起的反力，恒等于支座引起的反力，恒等于支座引起的反力，恒等于支座2 2 2 2由于支座由于支座由于支座由于支座1 1 1 1发生单位位移所引起发生单位位移所引起发生单位位移所引起发生单位位移所引起的反力。的反力。的反力。的反力。反力互等定理反力互等定理k21k12状态：支座2发生单位位移4.10 线性变形体系的互等定理8/25/202483扬州大学水利科学与工程学院状态：只受单位力FP2=1作用，
33、设在支座1引起约束反力k12由虚功互等定理，得4、反力位移互等定理 在线性变形体系中，由于单位荷载引起的某一支座的在线性变形体系中，由于单位荷载引起的某一支座的在线性变形体系中，由于单位荷载引起的某一支座的在线性变形体系中，由于单位荷载引起的某一支座的反力，恒等于该支座发生单位位移所引起的与单位荷载相反力，恒等于该支座发生单位位移所引起的与单位荷载相反力，恒等于该支座发生单位位移所引起的与单位荷载相反力，恒等于该支座发生单位位移所引起的与单位荷载相应的位移，但符号相反。应的位移，但符号相反。应的位移，但符号相反。应的位移，但符号相反。反力位移互等定理反力位移互等定理状态：支座1发生与k12相应
34、的单位位移，设产生与FP2相应的位移d21FP2=1k124.10 线性变形体系的互等定理8/25/202484扬州大学水利科学与工程学院1ECB0.30.40.3DAFDECBAF80kN50kN60kNl2llll(a)(b)利用虚功互等定理，有()再利用平衡条件，可得FRFFHAFRDFVA4.10 线性变形体系的互等定理8/25/202485扬州大学水利科学与工程学院8/25/202486扬州大学水利科学与工程学院8/25/202487扬州大学水利科学与工程学院8/25/202488扬州大学水利科学与工程学院8/25/202489扬州大学水利科学与工程学院FP1在D11上所作的功为实功
35、FDFP1D11k1FP1在D12上所作的功为虚功8/25/202490扬州大学水利科学与工程学院静力状态k 位移状态m 虚功方程8/25/202491扬州大学水利科学与工程学院考察静力平衡系 静力边界条件为： 取微段dx，受力如图略去二阶以上微量后，得静力平衡方程8/25/202492扬州大学水利科学与工程学院考察位移协调系 位移边界条件为： 取微段dx，变形如图位移协调方程（几何方程）为8/25/202493扬州大学水利科学与工程学院由静力平衡方程得 8/25/202494扬州大学水利科学与工程学院静力边界条件位移边界条件WU8/25/202495扬州大学水利科学与工程学院若从变形协调条件 (几何方程)出发也可导出虚功方程 再利用边界条件和静力平衡方程即可导出虚功方程 。自行推导！8/25/202496扬州大学水利科学与工程学院
