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1、1复变函数论特殊函数论数学物理方程数学物理方法复变函数、解析函数（积分、展开）、留数定理等勒让德函数、delta 函数波动方程、输运方程、稳定场方程2数学物理方程：从物理问题中导出的函数方程，特别 是偏微分方程和积分方程。重点讨论：二阶线性偏微分方程。第三篇第三篇 数学物理方程数学物理方程第9章 定解问题（波动、输运、稳定场方程）第10章行波法第11章分离变量法第12章积分变换法其他：格林函数法、 保角变换法、变分法等31. 物理规律的数学表示泛定方程 物理规律 物理量u在空间和时间中的变化规律，即物理量u在各个地点和各个时刻所取的值之间的联系。第第9章章 定解问题定解问题 有可能从边界条件和
2、初始条件去推算u在任意地点 (x,y,z)和任意时刻 t 的值 u(x,y,z,t).(2) 只能是u在邻近地点和邻近时刻所取的值之间的关系式。这种邻近地点、邻近时刻之间的关系往往是偏微分方程。泛定方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体条件无关。例：牛顿第二定律反映的是力学现象的普遍规律，跟具体条件无关。 4方程：两种情况下都为2. 定解条件的提出同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性，即个性。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即个性境和历史，即个性。t=0(初始)：例：一个物体做竖直上抛运动，一个物体斜抛运动。5由初始条件得特解
3、：(1)对竖直上抛：(2)对斜向上抛：6结论：不同的初始条件 不同的运动状态，但都服从 牛顿第二定律。综上所述，定解问题的完整提法： 在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，解出某个物理量u 在给定的区域里随着地点(x,y,z)和时刻t怎样变化，即求u(x,y,z,t)。7另外，数理方程理论还有三个主要问题：(1) 解的存在性问题 (2) 解的唯一性问题 讨论在什么定解条件下，对于哪一函数类，方程的解是唯一的。通过唯一性问题的研究，可以明确：对于一定的方程，需要多少个以及哪一些定解条件才能唯一确定一个解。此外，用不同方法解同一个问题时，得到的解式可能不一样，如果在理论上能证明解是唯一
4、的，则这两个形式不同的解必相等。8(3)稳定性问题(初始条件微变时，解的变化也很小， 称解是稳定的)讨论当定解条件略微改变时，解的变化如何。这个问题的重要性在于：把一个物理问题表示成数学问题时，一般总是作了一些简化或理想化的假定，与真实情况有出入。研究稳定性问题，就可以对解的近似程度作出估计。若解不稳定，定解条件的细小误差导致了解的极大变化，则定解问题的解就不能正确地反映其确定的物理现象。9数学物理方程的导出 下面导出常见的一些数学物理方程： 波动方程 （双曲型偏微分方程） 1、杆的纵振动方程 2、弦的横振动 输运方程 （抛物型）3、热传导方程 4、扩散方程 稳定场方程（椭圆型）5、静电场6、
5、稳定温度场7、稳定浓度场 10 x x+dx u(x,t) u(x+dx,t)9.1 波动问题波动问题11沿x方向的合力：由牛顿第二定律：得令 ， 并记： ，有 x x+dx u(x,t) u(x+dx,t)(1)(2)12说明：在以上推导中所作的简化假定 (1) 杆作小振动，这样才能应用胡克定律，并略去由于杆的伸缩所引起的密度的变化，从而得到一个线性方程； (2) 杆很细，则在任意时刻每一截面上各点位移相同，这样可只用一个变量x来标志同一截面上的各个点，否则u将不只是 x 和 t 的函数。 问题：方程中a的物理意义？(从其表达式看出，它是反映 杆本身性质的一个量)13ds14(线性化)并且由
6、此导出弦的长度近似不变： (3)弦的重量与张力相比很小，可以忽略。ds15ds16 将(3)，(4)代入(2)，且张力与x无关：定义： ，则有 弦的强迫振动方程17讨论：(a) 弦不受外力时，即F(x,t)=0，则有：比较杆和弦的振动方程，发现它们遵守完全相同的运动方程。(b) 二维、三维振动方程略。18三、波动方程的定解条件1. 初始条件描述系统的初始状态振动方程含有对时间的二阶偏导数 两个初始条件 系统各点的初位移 系统各点的初速度2. 边界条件描述系统在边界上的状况(1)第一类边界条件：给出未知函数 u 在边界上的值 例：对于两端固定的弦的横振动，其边界条件为： 19(2) 第二类边界条
7、件：给定未知函数u在边界上的法向 导数值例：杆在x=0端固定，在x=l 端受外力F(t)的作用，边界条件 (第一类) (第二类)推导：考虑细杆x=l 端的一小段 ，这一小段受 到的力20由牛顿第二定律得： 令 ，且 有限讨论：若x=l 端既不固定，又不受 F(t) 作用，即x=l为 自由端，则有21(3) 第三类边界条件：给出边界上未知数u及其法向导 数之间的线性关系例：杆在x=0端固定，在x=l端受到弹性系数为k的弹簧 的拉力，其边界条件为 (第一类) (第三类)推导：在x=l 端受的力为F(t)=ku(l, t)弹力，代入 ，则有 22232425单位时间内， 中介质温度升高所需的热量:能
8、量守恒定律：262728对于扩散现象，有斐克定律： 扩散强度与浓度的负梯度成正比，即 D：扩散系数扩散导致 内粒子增加的数量：粒子源 粒子增加的数量： 内粒子数总的增加数：29粒子数守恒：若D为常数，且设 ，则 内无粒子源：F=030总结：热传导：热量的传递；扩散：粒子的运动，两 者物理本质不同，但满足同一微分方程。三、热传导方程的定解条件1.初始条件 热传导方程含有对时间的一阶偏导数，因此只需要一个初始条件初始时刻的温度分布： 2.边界条件(1) 第一类边界条件：给定温度在边界上的值导热杆（一维问题）在x=0端保持为零度，x=l端保持为T度31三维： （S给定区域v的边界）(2) 第二类边界
9、条件：给定温度在边界上的法向导数值 (关键：物理意义) 导热杆(一维) ：x=0 端绝热、x=l 端有热流流出即单位时间内通过边界面单位面积沿法线方向流出的热量为q(t)x=0端：32三维：有热流流出界面： ： 的法线分量 若边界面绝热： 3334令 ，则同理：x=0端自由冷却35小结：确定边界条件的基本方法与导出方程的基本方法 类似，即从所讨论现象服从的一般规律出发，考察 与边界相连的代表元，得到函数在界面上满足的关 系式。要求对物理规律熟悉。36证明：电磁学高斯定理换成体积分V的任意性37无电荷分布： ，则代入(2)式：即：可用电势来描述静电场。推导电势满足的方程：对于任意的标量函数有引入
10、电势38二、稳定温度场 温度场：温度在空间的分布构成一个标量场。规律： 稳定状态：温度u 不随时间变化，则 泊松方程无热源：f=0 拉普拉斯方程39三、稳定浓度场：方法同稳定温度场四、稳定场方程的定解条件 不含初始条件，只含边界条件或其他条件。边界条件三类：第一、二、三类边界条件。见教材p194表9-1。分类第一类第二类第三类边界条件40衔接条件：有限性条件：见教材p196。两种介质分界面上，静电场电势 u 的边值关系：界面上的自由电荷面密度周期性条件：物理量在同一点同一时刻有确定值，采用球坐标系时41（泊松方程）重点讨论：二阶线性偏微分方程。波动方程波动方程1、杆的纵振动方程2、弦的横振动输运方程输运方程( 不可逆过程）3、热传导方程4、扩散方程稳定场方程稳定场方程（与时间无关）5、静电场6、稳定温度场7、稳定浓度场（可逆过程）（可逆过程）3类典型方程类典型方程具体物理问题具体物理问题泛定方程泛定方程物理现象物理现象（双曲型）（抛物线型）（椭圆型）
