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1、寄寄 语语 You cannot eat your cake Do not work hard,and have it.work smart!第第2222章章 第一节、第一型曲面积分(或：对面积的曲面积分) 第三节、高斯(Gauss)公式与斯托克(Stokes)公式曲面积分曲面积分 第22章 本章内容：本章内容：第二节、第二型曲面积分(或：对坐标的曲面积分) 第四节、场论初步第3节 高斯(Gauss)公式 与斯托克(Stokes)公式一、高斯一、高斯(Gauss)公式公式二、斯托克二、斯托克(Stokes)公式公式 第22章 本节内容：本节内容：一、高斯一、高斯 ( Gauss ) 公式公式定
2、理定理21.3 设空间闭区域 V 由分片光滑的闭曲V 上有连续的一阶偏导数 ,下面先证:函数 P, Q, R 在面S 所围成, S的方向取外侧, 则有 ( Gauss 公式公式 )Green 公式Gauss 公式推广推广高斯高斯(1777 1855)德国数学家、天文学家和物理学家, 是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家, 他的数学成就遍及各个领域 , 在数论、 级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创性的贡献, 他还十分重视数学的应用, 地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、 曲面论和位势论等. 他在学术上十分谨慎, 代数、非欧几何、 微分几何、 超几何 在对天文学、大恪守这样的
3、 “问题在思想上没有弄通之前决不动笔”. 原则: 返回证明证明: (1) 设为XY型区域 , 则所以(2)若 V 不是 XY型区域 ,则可引进辅助面将其分割成若干个 XY型区域,故上式仍成立 .正反两侧面积分正负抵消,在辅助面类似可证 三式相加, 即得所证 Gauss 公式：例例1. 用Gauss 公式计算其中S 为柱面闭域 V 的整个边界曲面的外侧. 解解: 这里利用Gauss 公式, 得原式 =(用柱坐标)及平面 z = 0 , z = 3 所围空间思考思考: 若 S改为内侧, 结果有何变化? 若 S 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算? 例例2. 利用Gauss 公式计算积分其中 S 为
4、锥面解解: 作辅助面取上侧介于 z = 0 及 z = h 之间部分的下侧. 所围区域为V, 则 利用重心公式, 注意例例3. 设S 为曲面取上侧, 求 解解: 作取下侧的辅助面用用柱坐标柱坐标用用极坐标极坐标在闭区域 上具有一阶和二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式例例4. 设函数其中 S 是整个 V 边界面的外侧. 分析分析: 高斯公式证证:令由Gauss公式得移项即得所证公式.斯托克斯斯托克斯(1819-1903)英国数学物理学家. 他是19世纪英国数学物理学派的重要代表人物之一, 其主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题的有效且一般的新方法, 在1845年他导出了著名的粘性
5、流体运动方程 ( 后称之 为纳维 斯托克斯方程 ), 1847年先于 柯西提出了一致收敛的概念. 他提出的斯托克斯公式 是向量分析的基本公式. 他一生的工作先后分 五卷 出版 .二二、 斯托克斯斯托克斯( Stokes ) 公式公式 定理定理22. 4 设光滑曲面 S 的边界 L是分段光滑曲线, ( Stokes公式公式 )个空间域内具有连续一阶偏导数,S 的侧与 L 的正向符合右手法则, 在包含S 在内的一证证:情形情形1 S 与平行 z 轴的直线只交于 一点, 设其方程为为确定起见, 不妨设S 取上侧 (如图).则有则(利用格林公式) 因此同理可证三式相加, 即得斯托克斯公式 ;情形情形2
6、 曲面S 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可通过作辅助线面把 S 分成与z 轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用 Stokes 公式 , 然后相加, 由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立. 注意注意: 如果 S 是 xoy 面上的一块平面区域, 则 Stokes公式就是Green公式,故Green公式是Stokes公式的特例.证毕为便于记忆, Stokes公式还可写作:或用第一类曲面积分表示:例例5. 利用斯托克斯公式计算积分其中L为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个解解: 记三角形域为S, 取上侧, 则边界, 方向如
7、图所示. 利用对称性例例6. L 为柱面与平面 y = z 的交线,从 z 轴正向看为顺时针, 计算解解: 设S为平面 z = y 上被 所围椭圆域 ,且取下侧,利用斯托克斯公式得则其法线方向余弦三、空间曲线积分与路径无关的条件三、空间曲线积分与路径无关的条件定理定理22.5 设 G 是空间一维单连通域, 具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价: (1) 对G内任一分段光滑闭曲线 L, 有(2) 对G内任一分段光滑曲线 L, 与路径无关(3) 在G内存在某一函数 u, 使(4) 在G内处处有证证:由斯托克斯公式可知结论成立;(自证) 设函数 则同理可证 故有若(3)成立, 则必有因P, Q, R 一阶偏导数连续, 故有同理证毕与路径无关, 并求函数解解: 令 积分与路径无关, 因此例例7. 验证曲线积分思考与练习思考与练习所围立体,判断下列演算是否正确?(1)(2) 为S作业作业P295 1(1)，( 3), (5) 3 (1); 4 (1) ;7 ;9 备用题备用题 设 S 是一光滑闭曲面, 所围立体 的体 是 S 外法线向量与点 ( x , y , z ) 的向径试证证证: 设 S 的单位外法向量为 则的夹角,积为V,
