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1、1.1 命题及其关系命题及其关系高二数学高二数学 选修选修2-1 第一章第一章 常用逻辑用语常用逻辑用语 歌德是歌德是1818世纪德国的一位著名文艺世纪德国的一位著名文艺大师，一天，他与一位批评家大师，一天，他与一位批评家“狭路相狭路相逢逢”，这位文艺批评家生性古怪，遇到，这位文艺批评家生性古怪，遇到歌德走来，不仅没有相让，反而卖弄聪歌德走来，不仅没有相让，反而卖弄聪明，一边趾高气扬地往前走。一边大声明，一边趾高气扬地往前走。一边大声说道：说道：“我从来不给傻子让路！我从来不给傻子让路！”而对而对如此的尴尬的局面，歌德只是笑容可掏，如此的尴尬的局面，歌德只是笑容可掏，谦恭的闪在一旁，一边有礼貌
2、回答道谦恭的闪在一旁，一边有礼貌回答道“呵呵，我可恰恰相反。呵呵，我可恰恰相反。”结果故作聪明结果故作聪明的批评家，反倒自讨没趣。的批评家，反倒自讨没趣。 你能分析此故事中歌德与批评家你能分析此故事中歌德与批评家的言行语句吗？的言行语句吗？ 常用逻辑用语常用逻辑用语 “数学是思维的科学数学是思维的科学” 逻辑是研究思维形式和规律的科学逻辑是研究思维形式和规律的科学. . 逻辑用语是我们必不可少的工具逻辑用语是我们必不可少的工具. . 通过学习和使用常用逻辑用语通过学习和使用常用逻辑用语, ,掌握常用逻掌握常用逻辑用语的用法辑用语的用法, ,纠正出现的逻辑错误纠正出现的逻辑错误, ,体会运用体会
3、运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简捷性常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简捷性. .1.1.1 命题命题思思考考?特点：特点：都是陈述句都是陈述句;都可以判断真假都可以判断真假. 下列语句的表述形式有什么特点下列语句的表述形式有什么特点? 你能判断它们的真假吗你能判断它们的真假吗?(1)若直线若直线ab,则直线则直线a和直线和直线b无公共点无公共点;(2)2+4=7;(3)垂直于同一条直线的两个平面平行垂直于同一条直线的两个平面平行;(4)若若x2=1,则则x=1;(5)两个全等三角形的面积相等两个全等三角形的面积相等;(6)3能被能被2整除整除.（）（）（）（）（）（）命题的概念命题的
4、概念 一般地一般地, ,在数学中在数学中, ,我们把用语言、符号我们把用语言、符号或式子表达的或式子表达的, ,可以判断真假的陈述句叫做可以判断真假的陈述句叫做命题命题判断为真的语句叫判断为真的语句叫真命题真命题。判断为假的语句叫判断为假的语句叫假命题假命题。命题的定义的要点：命题的定义的要点：能判断真假的陈述句能判断真假的陈述句 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述陈述句句叫做叫做命题命题。如何判断一个语句是不是命题？。如何判断一个语句是不是命题？判断一个语句是不是命题，关键看这语句是否符合判断一个语句是不是命题，关键看这语句是否符合“是陈述句
5、是陈述句”和和“可以判断真假可以判断真假” 这两个基本条件。这两个基本条件。有些语句中含有变量，在不给定变量的值之前，我们无法确定有些语句中含有变量，在不给定变量的值之前，我们无法确定这语句的真假，这样的语句叫这语句的真假，这样的语句叫开语句开语句，以后会专门研究。，以后会专门研究。开语句开语句(1) 7是是23的约数吗的约数吗? (2) x5. (3) -2a3。（6） x4。看看下列语句是不是命题？看看下列语句是不是命题？不是（疑问句）不是（疑问句）不是（疑问句）不是（疑问句）不是（感叹句）不是（感叹句） 是是 是是 不是不是 例例1. 下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？下列语句中
6、哪些是命题？是真命题还是假命题？(1)空集是任何集合的子集空集是任何集合的子集;(2)若整数若整数a是是素数素数，则，则a是奇数是奇数;(3)指数函数是增函数吗？指数函数是增函数吗？(4)若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行;(5) ;(6) x15.真命题真命题真命题真命题真命题真命题真命题真命题假命题假命题假命题假命题假命题假命题假命题假命题上面上面上面上面(2)(4)(2)(4)具有具有具有具有“ “若若若若p p, ,则则则则q q” ”的形式的形式的形式的形式. .本章中我们只讨论这种形式本章中我们只讨论这种形式本章中我们只讨论这种形式本章
7、中我们只讨论这种形式. .“ “若若若若p p, ,则则则则q q” ”也可写成也可写成也可写成也可写成“ “如果如果如果如果p p, ,那么那么那么那么q q”“”“只要只要只要只要p p, ,就有就有就有就有q q” ”等形式等形式等形式等形式. .其中其中其中其中p叫做命题的叫做命题的叫做命题的叫做命题的条件条件条件条件, ,q叫做命题的叫做命题的叫做命题的叫做命题的结论结论结论结论. .记做记做:（不是命题）（不是命题）（不是命题）（不是命题） 命题命题“若整数若整数a是素数，则是素数，则a是奇数。是奇数。”具有具有“若若p则则q”的形的形式。式。 qpl通常通常,我们把这种形式的命题
8、中的我们把这种形式的命题中的p叫做命题的叫做命题的条件条件, q叫做命题的叫做命题的结论结论。l“若若p则则q”形式的命题是命题的一种形式而不是唯一的形式形式的命题是命题的一种形式而不是唯一的形式, 也可写成也可写成“如果如果p,那么那么q” ，“只要只要p,就有就有q”等形式。等形式。l其中其中p和和q可以是命题也可以不是命题可以是命题也可以不是命题.l“若若p则则q”形式的命题的优点是条件与结论容易辨别形式的命题的优点是条件与结论容易辨别, 缺点是太格式化且不灵活缺点是太格式化且不灵活.“若若p则则q”形式的命题形式的命题例例2 指出下列命题的条件指出下列命题的条件p和结论和结论q： （1
9、）若整数若整数a能被能被2整除，则整除，则a是偶数；是偶数； （2）若四边形是菱形，则它的对角线）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分互相垂直且平分 解：解：(1) 条件条件p：整数整数a能被能被2整除，整除， 结论结论q：整数整数a 是偶数。是偶数。 (2) 写成若写成若p，则，则q 的形式：若四边形是菱形，的形式：若四边形是菱形， 则它的对角线互相垂直且平分。则它的对角线互相垂直且平分。 条件条件p：四边形是菱形，四边形是菱形， 结论结论q：四边形的对角线互相垂直且平分。四边形的对角线互相垂直且平分。 数数学学中中有有一一些些命命题题虽虽然然表表面面上上不不是是“若若p，则则q”的的
10、形形式式,例例如如“垂垂直直于于同同一一条条直直线线的的两两个个平平面面平平行行”，但但是是把把它它的的形形式式作作适适当当改改变变，就就可可以以写写成成“若若p，则则q”的形式：的形式： 若两个平面垂直于同一条直线，若两个平面垂直于同一条直线， 则这两个平面平行则这两个平面平行这样，它的条件和结论就很清楚了这样，它的条件和结论就很清楚了 “若若p则则q”形式的命题的书写形式的命题的书写例例3. 将下列命题改写成将下列命题改写成“若若p,则则q”的形式的形式,并判断真假并判断真假:（1）垂直于同一条直线的两条直线平行；）垂直于同一条直线的两条直线平行；若若两条直线垂直于同一直线，则这两条直线平
11、行。两条直线垂直于同一直线，则这两条直线平行。假假（2） 负数的立方是负数负数的立方是负数;（3） 对顶角相等对顶角相等.若一个数是负数，则这个数的立方是负数。若一个数是负数，则这个数的立方是负数。若两个角是对顶角，则这两个角相等。若两个角是对顶角，则这两个角相等。真真真真例例3. 将下列命题改写成将下列命题改写成“若若p,则则q”的形式的形式,并判断真假并判断真假:（4）垂直于同一条直线的两个平面平行；）垂直于同一条直线的两个平面平行；（5）两个全等三角形的面积相等；）两个全等三角形的面积相等；（6） 3能被能被2整除；整除；若若两个平面垂直于同一直线，则这两个平面平行。两个平面垂直于同一直
12、线，则这两个平面平行。若若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等。两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等。若若一个数是一个数是3，则这个数能被，则这个数能被2整除。整除。真真假假真真习题：课本习题：课本P 2. 判断下列命题的真假：判断下列命题的真假：（1）能被）能被6整除的整数一定能被整除的整数一定能被3整除；整除；（2）若一个四边形的四条边相等，）若一个四边形的四条边相等， 则这个四边形是正方形；则这个四边形是正方形；（3）二次函数的图象是一条抛物线；）二次函数的图象是一条抛物线；（4）两个内角等于）两个内角等于450 的三角形的三角形 是等腰三角形是等腰三角形（真真命题命题）（真真命
13、题命题）（真真命题命题）（假命题假命题）3把下列命题改写成把下列命题改写成“若若p，则则q”的的形式，并判断它们的真假：形式，并判断它们的真假：（1）等腰三角形两腰的中线相等；）等腰三角形两腰的中线相等；（2）偶函数的图象关于）偶函数的图象关于y轴对称；轴对称；（3）垂直于同一个平面的两个平面平行）垂直于同一个平面的两个平面平行解：解：（1）若一个三角形是等腰三角形，则该三角形）若一个三角形是等腰三角形，则该三角形 的两腰上的中线相等的两腰上的中线相等, 它是它是真真命题命题;（2）若一个函数是偶函数，则它的图象关于）若一个函数是偶函数，则它的图象关于 y轴对称轴对称, 它是它是真真命题命题;
14、（3）若两个平面垂直于同一个平面，）若两个平面垂直于同一个平面， 则这两个平面平行则这两个平面平行, 它是它是假假命题命题.练习练习1.将命题将命题“a0时，函数时，函数y=ax+b的值随的值随x值的增加而增加值的增加而增加” 改写成改写成“若若p，则则q”的形式，并判断命题的真假。的形式，并判断命题的真假。解解: a0时，若时，若x增加，则函增加，则函数数y=ax+b 的值也的值也随随之增之增加，它是加，它是真真命题命题 在在本题中，本题中，a0是大前提，应单独给出，是大前提，应单独给出，不能把大前提也放在命题的条件部分内不能把大前提也放在命题的条件部分内2. 设有两个命题：设有两个命题：p
15、：|x|+|x-1|m的解集为的解集为R; q：函数：函数f(x)= - (7-3m)x 是减函数，是减函数， 若两个命题中有且只有一个真命题，若两个命题中有且只有一个真命题， 求实数求实数m的取值范围。的取值范围。解：解：若命题若命题p为真命题，则为真命题，则m1； 若命题若命题q为真命题，则为真命题，则7-3m1,即即m2.当当p真真q假时，假时，当当p假假q真时，真时， 故故m取值范围是取值范围是1m2.变式：变式：小小 结结1.1.2 四种四种命题命题思思 考：考： 下下列列四四个个命命题题中中，命命题题（）与与命命题题（）（）（）的条件和结论之间分别有什么关系？（）的条件和结论之间分
16、别有什么关系？（）若（）若f (x) 是正弦函数，则是正弦函数，则f (x) 是周期函数；是周期函数；（）若（）若f (x) 是周期函数，则是周期函数，则f (x) 是正弦函数；是正弦函数；（）若（）若f (x) 不是正弦函数，则不是正弦函数，则f (x) 不是周期函数；不是周期函数；（）若（）若f (x) 不是周期函数，则不是周期函数，则f (x) 不是正弦函数；不是正弦函数；思思 考考 下下列列四四个个命命题题中中，命命题题（）与与命命题题（）的条件和结论之间分别有什么关系？（）的条件和结论之间分别有什么关系？ （）若（）若f (x) 是正弦函数，则是正弦函数，则f (x) 是周期函数；是
17、周期函数； （）若（）若f (x) 是周期函数，则是周期函数，则f (x) 是正弦函数；是正弦函数；特点：特点：条件和结论互换了条件和结论互换了 一一般般地地，对对于于两两个个命命题题，如如果果一一个个命命题题的的条条件件和和结结论论分分别别是是另另一一个个命命题题的的结结论论和和条条件件，那那么么我我们们把把这这样样的的两两个个命命题题叫叫做做互互逆逆命命题题其其中中一一个个命命题题叫叫做做原原命命题题，另另一个叫做原命题的一个叫做原命题的逆命题逆命题 即若将原命题表示为：即若将原命题表示为：若若p，则则q 则它的逆命题为：则它的逆命题为：若若q，则，则p 即交换原命题的条件和结论即得其逆命
18、题即交换原命题的条件和结论即得其逆命题例：给出命题例：给出命题“同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行”写出其逆命题写出其逆命题 分析分析: 条件条件: 同位角相等同位角相等; 结论：两直线平行结论：两直线平行(原命题原命题)条件条件: 两直线平行两直线平行; 结论结论: 同位角相等同位角相等(逆命题逆命题)其其逆命题逆命题：两：两条条直线平行，同位角相等直线平行，同位角相等探究：探究：如果原命题是真命题，那么它的逆命题一定是真命题吗？如果原命题是真命题，那么它的逆命题一定是真命题吗？ 例例1等边三角形的三个内角相等等边三角形的三个内角相等例例2若若f (x) 是正弦函数，则是正弦函数，
19、则f (x) 是周期函数；是周期函数； 逆命题：逆命题：三个内角相等的三角形是等边三角形三个内角相等的三角形是等边三角形逆命题：逆命题：若若f (x) 是周期函数，则是周期函数，则f (x) 是正弦函数是正弦函数 （真真命题命题）（真真命题命题）（假命题假命题）（真真命题命题）原原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题思考思考下下列列四四个个命命题题中中，命命题题（）与与命命题题（3）的条件和结论之间分别有什么关系？）的条件和结论之间分别有什么关系？ （）若（）若f (x) 是正弦函数，则是正弦函数，则f (x) 是周期函数；是周期函数；（ 3）若）若f
20、(x) 不是正弦函数，则不是正弦函数，则f (x)不不 是周期函数；是周期函数；特点：特点：将条件和结论同时否定了将条件和结论同时否定了 一一般般地地，对对于于两两个个命命题题，如如果果一一个个命命题题的的条条件件和和结结论论恰恰好好是是另另一一个个命命题题的的条条件件的的否否定定和和结结论论的的否否定定，我我们们把把这这样样的的两两个个命命题题叫叫做做互互否否命命题题如如果果把把其其中中的的一一个个命命题题叫叫做做原原命题命题，那么另一个叫做原命题的的，那么另一个叫做原命题的的否命题否命题 即若将原命题表示为：若即若将原命题表示为：若p，则则q 则它的否命题为：则它的否命题为： 若若p，则，
21、则q.即同时否定原命题的条件和结论，即得其否命题即同时否定原命题的条件和结论，即得其否命题.例：写出例：写出命题命题“同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行” 的否命题的否命题. 条件条件: 同位角同位角不不相等相等; 结论结论: 两直线两直线不不平行平行(否命题否命题)分析分析: 条件条件: 同位角相等同位角相等; 结论：两直线平行结论：两直线平行(原命题原命题)否否命题：命题：同位角不相等，两直线不平行同位角不相等，两直线不平行.分析分析: 条件：整数条件：整数a不能被整除不能被整除 ; 结论：结论：a是奇数是奇数(原命题原命题)例：写出命题例：写出命题“若整数若整数a不能被整除，不
22、能被整除， 则则a是奇数是奇数”的否命题的否命题. 条件：整数条件：整数a能能被整除被整除 ; 结论：结论：a不不是奇数是奇数(否命题否命题)否命题：否命题：若整数若整数a能被整除，则能被整除，则a是偶数是偶数.探究：探究：如果原命题是真命题，那么它的如果原命题是真命题，那么它的 否命题一定是真命题吗？否命题一定是真命题吗？ 否否命题：同位角不相等，两直线不平行命题：同位角不相等，两直线不平行.例例1.原命题原命题：同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行.例例2.原命题原命题：若若f (x) 是正弦函数，则是正弦函数，则f (x) 是周期函数是周期函数.否否命题：命题：若若f (x) 不
23、是正弦函数，则不是正弦函数，则f (x)不不 是周期函数是周期函数.（真真命题命题）（真真命题命题）（真真命题命题）（假命题假命题）原原命题是真命题，它的否命题不一定是真命题命题是真命题，它的否命题不一定是真命题.思思 考考: 下列四个命题中，命题（）与命题下列四个命题中，命题（）与命题（4）的条件和结论之间分别有什么关系？）的条件和结论之间分别有什么关系？ （）（） 若若f (x) 是正弦函数，则是正弦函数，则f (x) 是周期函数；是周期函数； （）（） 若若f (x) 不是周期函数，则不是周期函数，则f (x)不不 是正弦函数；是正弦函数；特点：特点：交换原命题的条件和结论，交换原命题的
24、条件和结论， 并且同时否定并且同时否定了了 一一般般地地，对对于于两两个个命命题题，如如果果一一个个命命题题的的条条件件和和结结论论恰恰好好是是另另一一个个命命题题的的结结论论的的否否定定和和条条件件的的否否定定，我我们们把把这这样样的的两两个个命命题题叫叫做做互互为为逆逆否否命命题题其其中中一一个个命命题题叫叫做做原原命命题题，另一个叫做原命题的的，另一个叫做原命题的的逆否命题逆否命题 即若将原命题表示为：若即若将原命题表示为：若p，则，则q, 则它的逆否命题为：若则它的逆否命题为：若q，则，则p. 即即交交换换原原命命题题的的条条件件和和结结论论，并并且且同同时否定，则得其逆否命题时否定，
25、则得其逆否命题.例：写出例：写出命题命题“同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行” 的逆否命题的逆否命题. 分析分析: 条件条件: 同位角相等同位角相等; 结论：两直线平行结论：两直线平行(原命题原命题)条件条件: 两直线两直线不不平行平行; 结论结论: 同位角同位角不不相等相等(逆否命题逆否命题)其逆否命题：两直线不平行，同位角不相等其逆否命题：两直线不平行，同位角不相等.探究：探究：如果原命题是真命题，那么它如果原命题是真命题，那么它 的逆否命题一定是真命题吗？的逆否命题一定是真命题吗？ 例例1.原命题：同位角相等，两直线平行原命题：同位角相等，两直线平行. 逆否命题：两直线不平行，
26、同位角不相等逆否命题：两直线不平行，同位角不相等.例例2.原命题：原命题：f (x) 是正弦函数，则是正弦函数，则f (x) 是周期函数；是周期函数；若逆否若逆否命题：命题：f (x) 不是周期函数，则不是周期函数，则f (x)不不 是正弦函数；是正弦函数；（真真命题命题）（真真命题命题）（真真命题命题）（真真命题命题）原原命题是真命题，它的逆否命题一定是真命题命题是真命题，它的逆否命题一定是真命题.四种命题的概念与表示形式，四种命题的概念与表示形式，即如果原命题为：若即如果原命题为：若p，则则q，则它的：，则它的： 逆命题为：若逆命题为：若q，则则p，即交换原命题的条件和结论即得其逆命题即交
27、换原命题的条件和结论即得其逆命题. 否命题为：若否命题为：若p，则，则q，即同时否定原命题的条件和结论，即得其否命题即同时否定原命题的条件和结论，即得其否命题. 逆否命题为：若逆否命题为：若q，则，则p，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定，则得其逆否命题则得其逆否命题.总总 结结练习：练习：6 写写出出下下列列命命题题的的逆逆命命题题、否否命命题题和和逆逆否否命命题题，并判断它们的真假：并判断它们的真假： （1）若一个整数的末位数字是）若一个整数的末位数字是0， 则这个整数能被则这个整数能被5整除；整除； （2）若一个三角形的两条边相等，）若一个三角
28、形的两条边相等， 则这个三角形的两个角相等；则这个三角形的两个角相等； （3）奇函数的图象关于原点对称）奇函数的图象关于原点对称.补补 充充 题：题： 写出命题写出命题“若若 xy= 0, 则则 x = 0或或 y = 0”的逆命题、否命题、逆否命题的逆命题、否命题、逆否命题.解：解：逆命题：若逆命题：若 x = 0或或 y = 0,则则 xy = 0; 否命题：若否命题：若 xy 0 ,则则 x 0且且 y 0; 逆否命题：若逆否命题：若 x 0且且 y 0 , 则则 xy 0. 1.命题的概念，如何判断命题？命题的概念，如何判断命题？2.四种命题的概念及其形式，四种命题的概念及其形式， 怎
29、样写出一个简单的命题怎样写出一个简单的命题 （原命题）的逆命题、（原命题）的逆命题、 否命题、逆否命题否命题、逆否命题小小 结：结：1.1.3 四种四种命题命题间间 的相互关系的相互关系（）若（）若f (x) 是正弦函数，则是正弦函数，则f (x) 是周期函数；是周期函数；（）若（）若f (x) 是周期函数，则是周期函数，则f (x) 是正弦函数；是正弦函数；（）若（）若f (x) 不是正弦函数，则不是正弦函数，则f (x) 不是周期函数；不是周期函数；（）若（）若f (x) 不是周期函数，则不是周期函数，则f (x) 不是正弦函数；不是正弦函数；pqqppqpq 我们已经知道命题我们已经知道
30、命题(1)(1)与命题与命题(2)(2)(3)(4)(3)(4)之间的关系之间的关系你能说出其中任你能说出其中任意两个命题之间的相互关系吗？意两个命题之间的相互关系吗？原命题原命题逆命题逆命题否命题否命题逆否命题逆否命题思思考考?四四 种种 命命 题题 之之 间间 的的 关关 系系 总总 结结原命题原命题若若p则则q逆命题逆命题若若q则则p否命题否命题若若 p则则 q逆否命题逆否命题若若 q则则p互为逆否互为逆否 同同真真同同假假互为逆否互为逆否 同同真真同同假假互逆命题互逆命题 真假真假无关无关互逆命题互逆命题 真假真假无关无关互互否否命命题题真真假假无无关关互互否否命命题题真真假假无无关关
31、例例1 “若若x2+y20，则，则x，y至少有一个不为至少有一个不为0”是命题是命题A的否命题，写出命题的否命题，写出命题A及其逆命题、及其逆命题、逆否命题并判断它们的真假。逆否命题并判断它们的真假。解：解：命题命题A:若若x2+y2=0，则，则x，y全都为全都为0； 逆命题：若逆命题：若x，y全都为全都为0，则，则x2+y2=0； 逆否命题：若逆否命题：若x，y至少有一个不为至少有一个不为0，则，则x2+y20 否命题否命题逆命题逆命题互为互为 逆否逆否四种命题的真假性是否四种命题的真假性是否也有一定的相互关系呢？也有一定的相互关系呢？真真真真真真知识探究知识探究 例例2.原命题原命题：“若
32、若x23x20，则则x2”，那么其逆命题、否命题和逆否，那么其逆命题、否命题和逆否命题分别是什么？这些命题的真假如何？命题分别是什么？这些命题的真假如何？原命题：若原命题：若x23x20，则，则x2；逆命题：若逆命题：若x2，则，则x23x20；否命题：若否命题：若x23x20，则，则x2；逆否命题：若逆否命题：若x2，则，则x23x20.（假）（假）（假）（假）（真）（真）（真）（真）知识探究知识探究 例例3.已知原命题：已知原命题：“若若x0，y0，则则xy0”，那么其逆命题、否命题和逆否，那么其逆命题、否命题和逆否命题分别是什么？这些命题的真假如何？命题分别是什么？这些命题的真假如何？原
33、命题：若原命题：若x0，y0，则，则xy0； 逆命题：若逆命题：若xy0，则，则x0，y0； 否命题：若否命题：若x0，y0，则，则xy0； 逆否命题：若逆否命题：若xy0，则，则x0，y0. （假）（假） （假）（假） （假）（假） （假）（假） 知识探究知识探究原命题原命题逆命题逆命题否命题否命题逆否命题逆否命题 一般地一般地, ,四种命题的真假性四种命题的真假性, ,有而且仅有下面四种情况有而且仅有下面四种情况: :思思考考? 通过我们做过的例题和练习题，你能从中通过我们做过的例题和练习题，你能从中发现四种命题的真假性间有什么规律吗？发现四种命题的真假性间有什么规律吗？真真真真真真真真真
34、真假假假假假假假假假假假假假假假假真真真真真真l 四种命题的真假性之间的关系：四种命题的真假性之间的关系：(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆或互否命题，两个命题为互逆或互否命题，它们的真假性没有关系它们的真假性没有关系.例例4. 证明：若证明：若x2+y2=0，则，则x=y=0.证明：证明：若若x，y中至少有一个不为中至少有一个不为0，不妨设，不妨设x0， 则则x20，所以，所以x2+y2 0， 也就是说也就是说x2+y2 0. 因此，原命题的逆否命题为真命题，因此，原命题的逆否命题为真命题， 从而原命题为真命题从而原
35、命题为真命题.分析分析:因为原命题和它的逆否命题有相同的真假性，因为原命题和它的逆否命题有相同的真假性， 所以当直接证明某一命题为真命题有困难的时，所以当直接证明某一命题为真命题有困难的时， 可以通过证明它的可以通过证明它的逆否命题逆否命题:若若x，y中至少有一中至少有一 个不为个不为0，则，则x2+y2 0. 为真命题，来间接证明原命题为真命题。为真命题，来间接证明原命题为真命题。证明：证明：若若a-b=1，则，则 a2-b2+2a-4b-3 =(a+b)(a-b)+2a-4b-3 =a+b+2a-4b-3 =3a-3b-3=3(a-b)-3 =31-3=0 所以原命题的逆否命题为真命题，所
36、以原命题的逆否命题为真命题， 所以原命题也为真命题。所以原命题也为真命题。P8 P8 练习练习反证法反证法l欲证欲证“若若p,p,则则q q”为真命题，从否定其结论即为真命题，从否定其结论即“非非q q”出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而“非非q q”为假，即原命题为真，这样的证明方法称为为假，即原命题为真，这样的证明方法称为反证法反证法。l反证法的步骤：反证法的步骤：(1)(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；(2)(2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾；从这个假设出发，通过推理论证，得出
37、矛盾；(3)(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确. .证明命题的方法证明命题的方法l方法一：方法一：直接法，直接法，从命题的条件从命题的条件p p出发，经出发，经推理直接得出结论推理直接得出结论p p，证明其为真命题；，证明其为真命题；l方法二：方法二：等价法，等价法，证明命题（若证明命题（若p p，则，则q q）的）的等价命题等价命题逆否命题（若逆否命题（若q q，则，则q q）为）为真，则原命题也为真；真，则原命题也为真；l方法三：方法三：反证法，反证法，证明证明命题的否定（若命题的否定（若p p，则，则q q）为假命题，从而间接地
38、证明了命为假命题，从而间接地证明了命题（若题（若p p，则，则q q）为真命题。）为真命题。原词语原词语 否定词否定词 原词语原词语 否定词否定词 等于等于任意的任意的是是 至少有一个至少有一个 都是都是 至多有一个至多有一个 大于大于 至少有至少有n n个个 小于小于 至多有至多有n n个个 一些常见的结论的否定形式一些常见的结论的否定形式 不是不是不都是不都是不大于不大于大于或等于大于或等于一个也没有一个也没有至少有两个至少有两个至多有（至多有（n-1)个个至少有（至少有（n+1)个个不等于不等于某个某个用反证法证明用反证法证明：“上帝不是万能的上帝不是万能的”证明：证明：假设上帝是万能的
39、，那么上帝能假设上帝是万能的，那么上帝能 造出一块他自己都举不动的石头，造出一块他自己都举不动的石头， 否则上帝就不是万能的；但是上否则上帝就不是万能的；但是上 帝又举不起这块石头，因此上帝帝又举不起这块石头，因此上帝 不是万能的，这与假设矛盾。所不是万能的，这与假设矛盾。所 以原假设不成立，即上帝不是万能的。以原假设不成立，即上帝不是万能的。练习练习 证明：证明：若若p pq q2 2，则，则p p2 2q q2 22.2.证明一：证明一：要证要证“若若p pq q2 2，则，则p p2 2q q2 22 2” 只需证它的只需证它的逆否命题逆否命题“若若p p2 2q q2 22 2，则，则
40、p pq2q2”成立。成立。 p p2 2q q2 2=2=2，则，则2=p2=p2 2q q2 22pq pq12pq pq1 （p+qp+q）2 2 =p=p2 2q q2 2+2pq=2+2pq 4+2pq=2+2pq 4 p+qp+q 2 2 逆否命题为真命题，逆否命题为真命题， 故原命题也为真命题。故原命题也为真命题。 证明二：证明二：假设假设p p2 2q q2 2=2=2，则则2=p2=p2 2q q2 22pq pq12pq pq1 （p+qp+q）2 2 =p=p2 2q q2 2+2pq=2+2pq 4+2pq=2+2pq 4 p+qp+q 2 2，这与命题的条件，这与命题
41、的条件p pq q2 2相矛盾，相矛盾， 假设不成立，即假设不成立，即p p2 2q q2 22 2， 故原命题为真命题。故原命题为真命题。（同题多解，学会等价法与反证法的灵活应用）（同题多解，学会等价法与反证法的灵活应用）习题习题1.1 B组组 求证：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分求证：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.已知：如图，在已知：如图，在 O中，弦中，弦AB、CD交于交于P， 且且AB、CD不是直径不是直径.求证：弦求证：弦AB、CD不被不被P平分平分.证明：证明：假设假设AB、CD被被P平分平分， 则则OP是等腰是等腰AOB, COD的底边上的中线，的底边上的中线， 所
42、以，所以，OPAB, OPCD 但但AB和和CD都经过点都经过点P,且与且与OP 垂直，这是不可能的，垂直，这是不可能的， 所以假设不成立，所以假设不成立， 故弦故弦AB、CD不被不被P平分，平分， 命题得证。命题得证。连结连结OA,OB,OC,OD及及OP,P8课堂小结：课堂小结：原命题：原命题： 逆命题：逆命题： 否命题：否命题： 逆否命题：逆否命题： 若若p则则q.若若q则则p.若若p则则q.若若q则则p. 1 1 1 1、四种命题形式：、四种命题形式：、四种命题形式：、四种命题形式：2 2 2 2、四种命题间的相互关系及其真假性的关系、四种命题间的相互关系及其真假性的关系、四种命题间的相互关系及其真假性的关系、四种命题间的相互关系及其真假性的关系. . . .通过这节课的学习，你学到了那些知识呢？通过这节课的学习，你学到了那些知识呢？作业：作业：习题习题1.1 A组组 24题题
