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1、对外经济贸易大学金融学院对外经济贸易大学金融学院 田秀娟田秀娟第二章第二章 马科维茨投资组合理马科维茨投资组合理论（均方模型）论（均方模型） v教学目的及要求教学目的及要求 o1、掌握多元化投资分散风险的原理、掌握多元化投资分散风险的原理o2、掌握均值方差模型描述的构建有效、掌握均值方差模型描述的构建有效投资组合的技术路径投资组合的技术路径o3、掌握证券投资组合的系统性风险和非、掌握证券投资组合的系统性风险和非系统性风险的内涵及与市场收益的关系系统性风险的内涵及与市场收益的关系o本章重点掌握马科维兹投资组合理论的本章重点掌握马科维兹投资组合理论的假设条件的合理性及有效投资组合选择，假设条件的合
2、理性及有效投资组合选择，及其中蕴涵的多元化投资、风险、收益及其中蕴涵的多元化投资、风险、收益间关系。重点内容间关系。重点内容 。 第第一一节节 马马科科维维兹兹投投资资组组合合理理论论的的假假设设和和主主要要内内容容第第二二节节 证证券券收收益益与与风风险险的的度度量量均均值值、方方差差及协方差与投资组合的风险分散效应及协方差与投资组合的风险分散效应第第三三节节 证证券券投投资资组组合合的的可可行行集集、有有效效集集与与最最优优投资组合投资组合第一节第一节 马科维兹投资组合理论马科维兹投资组合理论 的假设条件和主要内容的假设条件和主要内容一、一、主要内容主要内容二、假设条件二、假设条件三、投资
3、者的无差异曲线三、投资者的无差异曲线一、主要内容o马科维茨马科维茨(H. (H. Markowitz, 1927Markowitz, 1927) ) 证券组合选择理论证券组合选择理论o有着棕黄色头发，高大有着棕黄色头发，高大身材，总是以温和眼神身材，总是以温和眼神凝视他人，说话细声细凝视他人，说话细声细语并露出浅笑。语并露出浅笑。v瑞典皇家科学院决定将1990年诺贝尔奖授予纽约大学哈利.马科维茨（Harry Markowitz）教授,为了表彰他在金融经济学理论中的先驱工作资产组合选择理论资产组合选择理论。o发展了一个在不确定条件下严格陈述的可操作的选发展了一个在不确定条件下严格陈述的可操作的选
4、择资产组合理论：均值方差方法择资产组合理论：均值方差方法 Mean-Variance Mean-Variance methodology. methodology. o这个理论演变成进一步研究金融经济学的基础这个理论演变成进一步研究金融经济学的基础. . 这这一理论通常被认为是现代金融学的发端一理论通常被认为是现代金融学的发端. . o这一理论的问世，使金融学开始摆脱了纯粹的描述这一理论的问世，使金融学开始摆脱了纯粹的描述性研究和单凭经验操作的状态性研究和单凭经验操作的状态, , 标志着数量化方法标志着数量化方法进入金融领域。进入金融领域。 马科维茨的工作所开始的数量化马科维茨的工作所开始的数
5、量化分析和分析和MMMM理论中的无套利均衡思想相结合理论中的无套利均衡思想相结合, ,酝酿了酝酿了一系列金融学理论的重大突破一系列金融学理论的重大突破。 主要贡献Markowitz 的基本思想o风险在某种意义下是可以度量的。o各种风险有可能互相抑制，或者说可能“对冲”。因此，投资不要“把鸡蛋放在一个篮子里”，而要“分散化”。o在某种“最优投资”的意义下，收益大意味着要承担的风险也更大。马科维兹模型概要o马科维兹于1952年提出的“均值方差组合模型”是在禁止融券和没有无风险借贷的假设下，以资产组合中个别股票收益率的均值和方差找出投资组合的有效边界(Efficient Frontier)，即一定收
6、益率水平下方差最小的投资组合，并导出投资者只在有效边界上选择投资组合。根据马科维兹资产组合的概念，欲使投资组合风险最小，除了多样化投资于不同的股票之外，还应挑选相关系数较低的股票。因此，马科维兹的“均值方差组合模型”不只隐含将资金分散投资于不同种类的股票，还隐含应将资金投资于不同产业的股票。同时马科维兹均值方差模型也是提供确定有效边界的技术路径的一个规范性数理模型。 v实现方法：q收益证券组合的期望报酬q风险证券组合的方差q风险和收益的权衡求解二次规划 q首首先先，投投资资组组合合的的两两个个相相关关特特征征是是：（1 1）它它的的期期望望回回报报率率（2 2）可可能能的的回回报报率率围围绕绕
7、其其期期望望偏偏离离程程度度的的某某种种度度量量，其其中中方方差差作作为为一一种种度度量量在在分分析析上上是是最易于处理的。最易于处理的。q其其次次，理理性性的的投投资资者者将将选选择择并并持持有有有有效效率率投投资资组组合合，即即那那些些在在给给定定的的风风险险水水平平下下的的期期望望回回报报最最大大化化的的投投资资组组合合，或或者者那那些些在在给给定定期期望望回回报报率率水水平平上的使风险最小化的投资组合。上的使风险最小化的投资组合。q再再次次，通通过过对对某某种种证证券券的的期期望望回回报报率率、回回报报率率的的方方差差和和某某一一证证券券与与其其它它证证券券之之间间回回报报率率的的相相
8、互互关关系系（用用协协方方差差度度量量）这这三三类类信信息息的的适适当当分分析，辨识出有效投资组合在理论上是可行的。析，辨识出有效投资组合在理论上是可行的。q最后，通过求解二次规划，可以算出有效投资最后，通过求解二次规划，可以算出有效投资组合的集合，计算结果指明各种证券在投资者组合的集合，计算结果指明各种证券在投资者的资金中占多大份额，以便实现投资组合的效的资金中占多大份额，以便实现投资组合的效性性即对给定的风险使期望回报率最大化，即对给定的风险使期望回报率最大化，或对于给定的期望回报使风险最小化。或对于给定的期望回报使风险最小化。二、假设 p投资者将一笔资金在给定时期(持有期)里进行投资,在
9、期初,他购买一些证券,然后在期末全部卖出,那么在期初他将决定购买哪些证 券,资 金 在 这 些 证 券 上 如 何 分 配 ？p投资者的选择应该实现两个相互制约的目标预预期期收收益益率率最最大大化化和和收收益益率率不不确确定定性性（ 风风 险险 ） 的的 最最 小小 化化 之之 间间 的的 某某 种种 平平 衡衡 。 马科维兹投资组合理论的假设为马科维兹投资组合理论的假设为：1.单期投资 单单期期投投资资是指投资者在期初投资，在期末获得回报。单期模型是对现实的一种近似描述，如对零息债券、欧式期权等的投资。虽然许多问题不是单期模型，但作为一种简化，对单期模型的分析成为我们对多时期模型分析的基础。
10、2.投资者事先知道投资收益率的概率分布，并且收益率满足正态分布的条件。 3.3.资者的效用函数是二次的，即资者的效用函数是二次的，即u(W)=a+bW+CWu(W)=a+bW+CW2 2。（注意：假设（注意：假设2 2和和3 3成立可保证期望效用仅仅是财富期成立可保证期望效用仅仅是财富期望和方差的函数）望和方差的函数）4.4.投投资资者者以以期期望望收收益益率率（亦亦称称收收益益率率均均值值）来来衡衡量量未未来来实实际际收收益益率率的的总总体体水水平平，以以收收益益率率的的方方差差（或或标标准准差差）来来衡衡量量收收益益率率的的不不确确定定性性（风风险险），因因而而投投资者在决策中只关心投资的
11、期望收益率和方差。资者在决策中只关心投资的期望收益率和方差。5.5.投资者都是不知足的和厌恶风险的，遵循占优原则，投资者都是不知足的和厌恶风险的，遵循占优原则，即：在同一风险水平下，选择收益率较高的证券；即：在同一风险水平下，选择收益率较高的证券；在同一收益率水平下，选择风险较低的证券。在同一收益率水平下，选择风险较低的证券。 三、投资者的无差异曲线 在不同的系统性风险中，投资者之所以选择不同的投资组合，是因为他们对风险的厌恶程度和对收益的偏好程度是不同的。对一个特定的投资者而言，任意给定一个证券组合，根据他对期望收益率和风险的偏好态度，按照期望收益率对风险补偿的要求，可以得到一系列满意程度相
12、同的（无差异）证券组合。所有这些组合在均值方差（或标准差）坐标系中形成一条曲线，这条曲线就称为该投资者的一条无无差异曲线差异曲线。 无差异曲线n风险厌恶者的无差异曲线风险厌恶者的无差异曲线n不同风险厌恶程度n无差异曲线不能相交n假设：所有风险厌恶者的无差异曲线如假设：所有风险厌恶者的无差异曲线如上图所示，在均值上图所示，在均值-标准差平面上，为严标准差平面上，为严格增的凸函数，并且，越在西北方向的格增的凸函数，并且，越在西北方向的无差异曲线，其效用越高。无差异曲线，其效用越高。无差异曲线同一条无差异曲线上的组合满意程度相同；无差异曲线位置越高，该曲线上的组合的满意程度越高。无差异曲线满足下列特
13、征：(1)无差异曲线向右上方倾斜。 (2)无差异曲线是下凹的。 (3)同一投资者有无数条无差异曲线。 (4)同一投资者在同一时间、同一时点的任何两条无差异曲线都不相交。 n无差异曲线第二节第二节 证券收益与风险的度量及证券证券收益与风险的度量及证券组合的风险分散化效应组合的风险分散化效应一、一、价格与回报率价格与回报率二、二、期望收益率期望收益率三、三、方差方差四、协方差四、协方差五、相关系数五、相关系数六、证券组合的方差六、证券组合的方差 、协方差和风险的分散、协方差和风险的分散化化什么是投资组合什么是投资组合o狭义的定义：是指如何构筑各种有价证券的头寸（包括多头和空头）来最好地符合投资者的
14、收益和风险的权衡。o广义的定义：包括对所有资产和负债的构成做出决策，甚至包括人力资本（如教育和培训）的投资在内。我们的讨论限于狭义的含义。 尽管存在一些对理性的投资者来说应当遵循的一般性规律，但在金融市场中，并不存在一种对所有投资者来说都是最佳的投资组合或投资组合的选择策略，原因如下： 投资者的具体情况 投资周期的影响 对风险的厌恶程度 投资组合的种类一、价格与回报率 对于单期投资而言，假设你在时间0（今天）以价格S0购买一种资产，在时间1（明天）卖出这种资产，得到收益S1。那么，你的投资回报率为 r=(S1-S0)/S0 。对于证券组合而言，它的回报率可以用同样的方法计算：q 这里，W0记t
15、=0时包含在组合中的证券的综合价格，W1是t=1时这些证券的综合价格，以及t=0与t=1之间收到的现金（或等价的现金）的综合值。 o我们注意到，投资者必须在t=0时刻对购买一个什么样的组合做出决策。在这样做的时候，对于大多数所考虑的各种组合，投资者不知道W1的值，因为他们不知道这些组合的回报率是多少。从而，根据马科维茨的理论，投资者应该讲这些组合中的任一组合的回报率视为统计中所称的一个随机变量；这样的变量可以通过它们的矩阵来描述，其中的两个是预期值（或均值）和标准差。 二、证券的二、证券的期望收益率期望收益率 第一个概念：第一个概念：单个证券的期望单个证券的期望值定义为值定义为：式中：式中：E
16、(r)收益率期望值；收益率期望值；R(s)s状态下的收益率；状态下的收益率；Pr(s)r(s)状态的发生概状态的发生概率率 o o或者或者;E(r;E(rp p)=X)=XE(r)E(r)o第二个概念：第二个概念：一个证券组合的预期收益率：一个证券组合的预期收益率：是其所含证券的预期收益率的加权平均，以构成比例为权重。每一证券对组合的预期收益率的贡献依赖于它的预期收益率，以及它在组合初始价值中所占份额，而与其他一切无关。那么，一位仅仅希望预期收益率最大的投资者将持有一种证券，这种证券是他认为预期收益率最大的证券。很少有投资者这样做，也很少有投资顾问会提供这样一个极端的建议。相反，投资者将分散化
17、投资，即他们的组合将包含不止一种证券。这是因为分散化可以减少由标准差所测度的风险。 三、方差 一个证券预期收益的方差（第三个概念）o一个证券的预期收益率描述了以概率为权数的平均收益率。但是这是不够的，我们还需要一个有用的风险测度，其应该以某种方式考虑各种可能的“坏”结果的概率以及“坏”结果的量值。取代测度大量不同可能结果的概率，风险测度将以某种方式估计实际结果与期望结果之间可能的偏离程度，方差方差就是这样一个测度，因为它估计实际回报率与预期回报率之间的可能偏离。o在证券投资中，一般认为投资收益的分布是对称的，即实际收益低于预期收益的可能性与实际收益高于预期收益的可能性是一样大的。实际发生的收益
18、率与预期收益率的偏差越大，投资于该证券的风险也就越大，因此对单个证券的风险，通常用统计学中的方差或标准差来表示。o沿用上面的表示方法，一个证券在该时期的方差是未来收益可能值对期望收益率的偏离（通常称为离差）的平方的加权平均，权数是相应的可能值的概率。记方差为2，即有 方差越大风险越大投 资 者 选择 方 差 较小 的 证 券三、方差三、方差两个证券组合预期收益的方差两个证券组合预期收益的方差（第四个概念）（第四个概念）方差分别为方差分别为 与与 的两个资产以的两个资产以w1与与w2的权重构的权重构成一个资产组合成一个资产组合 的方差为，的方差为，如果一个无风险资产与一个风险资产构成组合如果一个
19、无风险资产与一个风险资产构成组合（第（第五个概念）五个概念），则该组合的标准差等于风险资产的，则该组合的标准差等于风险资产的标准差乘以该组合投资于这部分风险资产的比例。标准差乘以该组合投资于这部分风险资产的比例。四、协方差o协方差（第六个概念）是两个随机变量相互关系的一种统计测度，即它测度两个随机变量，如证券A和B的收益率之间的互动性。o协方差为正值表明证券的回报率倾向于向同一方向变动例如，一个证券高于预期收益率的情形很可能伴随着另一个证券的高于预期收益率的情形。一个负的协方差则表明证券与另一个证券相背变动的倾向例如，一种证券的高于预期收益率的情形很可能伴随着另一个证券的低于预期收益率的情形。
20、一个相对小的或者0值的协方差则表明两种证券之间只有很小的互动关系或没有任何互动关系。 五、相关系数与协方差密切相关的另一个统计测量度是相关相关系数系数（第七个概念）（第七个概念）。事实上，两个随机变量间的协方差等于这两个随机变量之间的相关系数乘以它们各自的标准差的积。证券A与B的相关系数为 o测量两种股票收益共同变动的趋势: Corr(rA, rB) 或 A,B-1.0 +1.0o完全正相关: +1.0o完全负相关: -1.0o完全负相关会使风险消失o完全正相关不会减少风险o在 -1.0 和 +1.0 之间的相关性可减少风险但不是全部六、方差多个证券组合的方差协方差矩阵（第八个概念）七、证券组
21、合的方差和风险的分散化证券组合的方差和风险的分散化 （一）证券组合风险分散的原因（一）证券组合风险分散的原因总结以上：证券组合的预期收益和方差是，总结以上：证券组合的预期收益和方差是，假定市场上有证券假定市场上有证券1，2，N证证券券i的的期期望望收收益益率率为为Ei,方方差差为为 i,证证券券i与与证证券券j的的协协方方差差为为 ij（或或相相关关系系数数为为 ij）（i=1，2，n，j=1，2，m）投投资资者者的的投投资资组组合合为为：投投资资于于证证券券i的的比比例例为为wi，i=1，2，N，则，则o那么该投资组合的期望收益率和方差为假定资产1在组合中的比重是w，则资产2的比重就是1-w
22、。它们的预期收益率和收益率的方差分别记为E(r1)和E(r2)，21和22，组合的预期收益率和收益率的方差则记为E(r)和2。那么， E(r)=wE(r1)+(1-w)E(r2) 2=w221+(1-w)222+2w(1-w) 1212因为-1+1，所以有w1-(1-w) 222w1+(1-w) 22 由上面右方的不等式可以看出，组合的标准差不会大于标准差的组合。事实上，只要1，就有，1); 1); 防御型股票防御型股票 ( ( 1)2种风险资产，允许卖空。假设期望收益率为 ej ，j=1,n. 权重为wj.o假设任一资产的收益率不能由其他资产的收益率线性表出，方差-协方矩阵V满足对称非奇异正
23、定的o定义: 称一个证券组合 是前沿证券组合(a frontier portfolio),如果它在所有等均值收益率的证券组合中具有最小方差值。o用数学语言描述为： 是一个前沿证券组合当且仅当它的证券组合权重是下列二次规划问题的解。求解结果：任何前沿资产组合都可用上式表示,另一方面,任何可用上式表示的资产组合都是前沿边界的资产组合.o性质1 g是具有0期望收益率的前沿边界资产组合相应的权重向量。g+h是期望收益率为1的前沿边界资产权重向量。o性质2 整个资产组合的前沿边界可以由g和g+h这两个前沿边界的资产组合生成。o性质3 由性质2得出:资产组合前沿边界可以由任意两个相异的前沿边界资产组合生成
24、。（由此我们可以得到两基金分离定理）o性质4 最小方差组合与任何投资组合的收益的协方差总是等于最小方差组合的方差，即对于所有的投资组合p（不限于前沿边界投资组合），均有 成立。均方平面的几何结构o任何两个前沿边界资产组合p和q的收益率协方差为：o对于任意前沿组合的资产收益率的标准差与期望收益率之间的关系：o由以上等式整理得到：在均方平面上这个等式是以（0，A/C)为中心，以 为渐进线的双曲线。 MVPA/C有效前沿有效前沿，是那些期望收益大于等于最小方差组合期望收益的前沿边界投资组合。Markowitz组合投资理论运用o第一步，根据事前掌握的信息估计单个证券的期望收益、方差以及各证券之间的协方
25、差或相关系数。o第二步，根据第一步所形成的期望收益向量以及协方差矩阵，计算前沿边界的权重向量表达式或前沿边界的双曲线（或抛物线）表达式，进而在标准差-期望收益平面上描绘出前沿边界，确定最小方差组合，明确有效前沿。o第三步，明确投资者的偏好关系，即明确投资者风险收益权衡态度，在标准差-期望收益平面上画出无差异曲线；然后据此在有效前沿上选择最优组合。总结总结 马科维茨对现代金融投资理论的贡献主要在以下几方面的命题1.传统上人们将预期收益最大化看作是投资组合的目标，实际上，分散投资行为与此目标相矛盾，但分散投资行为却与均值方差的目标函数一致。2.提出了与现实更为接近的目标函数均值方差的目标函数：Ma
26、x UE（r），解决了过去金融经济学以预期收益最大化作为证券组合目标与实际中的分散投资者投资行为相矛盾的问题。3.证明了上述目标函数与具有二次效用函数的投资者追求预期效用最大化的目标一致。4.提出了单一证券的风险取决于它与其他证券的相关性的论点。投资组合的方差是证券方差和对偶协方差的函数，因此，单一证券对于投资组合风险的贡献取决于它与其它证券的相关性。5.理性的投资者将选择并持有有效投资组合，即哪些在给定的风险水平下的期望回报最大化的投资组合，这就是有效集；或那些在给定期望回报率水平上的使风险最小化的投资组合这是最小方差集。6.二次规划可用于计算有效投资组合集。 缺憾缺憾:1.计算量太大。2.排除了消费对投资的影响，假定期初投资额是一个固定值。这虽然对单阶段情况下影响不大，但不适用动态多阶段的情况。3.用方差作为资产风险的度量这只适用于对称分布的资产收益，不具备一般性。4.均值方差理论不能确定具体投资者的最优组合，投资者还需根据风险偏好从有效集中选择最优组合。
