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1、2.4.1 等比数列等比数列第一课时第一课时实例实例1、观察细胞分裂的过程：、观察细胞分裂的过程：构成数列：1，2，4，8，古语：一尺之棰，古语：一尺之棰， 日取其半，万世不竭。日取其半，万世不竭。木棒每天的长度构成一个数列：木棒每天的长度构成一个数列：实例实例2：实例3.银行有一种支付利息的方式复利，即是把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再算下一期的利息，也就是通常所说的“利滚利”.比如，现在存入银行1万元钱，年利率是1.98%时间时间年初本金（元）年初本金（元） 年末本利和（元）年末本利和（元）第第1 1年年100001000010000100001.01981.0198第第2 2年年
2、10000100001.01981.0198第第3 3年年第第4 4年年第第5 5年年10000100001.01981.01982 210000100001.01981.01982 210000100001.01981.01983 310000100001.01981.01983 310000100001.01981.01984 410000100001.01981.01984 410000100001.01981.01985 51、观察下列数列，指出它们的共同特征：、观察下列数列，指出它们的共同特征：(1)1，2，4，8，(2) (3)1，20，202，203，(4)活期存入活期存入100
3、00元，年利率是元，年利率是1.98%，按照复利，按照复利，5年内年内各年末本利和分别是各年末本利和分别是10000(1+0.0198)，10000(1+0.0198)2，10000(1+0.0198)3，10000(1+0.0198)4，10000(1+0.0198)5一、引入一、引入共同特征：共同特征：第二项起，每一项与它的前一项的比第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数都等于同一个常数 一般地，如果一个数列从一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫那么这个数列就叫做等比数列。这个常
4、数就叫做等比数列的做等比数列。这个常数就叫做等比数列的公比公比， 公比公比通常用字母通常用字母 q 表示。表示。1.等比数列的定义：等比数列的定义：或或二、新课二、新课2.等比数列的定义的符号语言：等比数列的定义的符号语言： 注注：(1)等比数列的首项不为等比数列的首项不为0, 即即a10。 (2)等比数列的每一项都不为等比数列的每一项都不为0，即，即an0。 (3)公比不为公比不为0，即，即q0。1. 下列数列是等比数列吗？是的话，请指出它们下列数列是等比数列吗？是的话，请指出它们的公比的公比q.思考：思考：在等比数列中，各项的符号与公比在等比数列中，各项的符号与公比q有什么关系？有什么关系
5、？若若q0，则各项的符号，则各项的符号与与a1相同；相同；若若q0，则各项的符号，则各项的符号正负相间正负相间.是，是，q=1/2是，是，q= -1是，是，q=1不一定是不一定是三、练习三、练习当当 a0时时; 它只是等差数列。它只是等差数列。当当 a0时时; 它既是等差数列又是等比数列。它既是等差数列又是等比数列。2.用下列方法表示的数列中能确定是等比数列的是用下列方法表示的数列中能确定是等比数列的是 .已知已知a1=2，an=3an+1；1，0，1，0，； 1，-1，1，(-1)n+1；sin1，sin2，sin4，sin8，sin2n-1；2a，2a，2a，2a三、练习三、练习 如果在如
6、果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数G，使，使a，G，b组成一个组成一个等比数列，则中间的数等比数列，则中间的数G叫做叫做a与与b的的等比中项等比中项，且，且注意注意：（1）若实数）若实数a、b有等比中项，则有等比中项，则a、b符号相同；符号相同；（2）若实数若实数a、b有等比中项，则该等比中项必有两个值；有等比中项，则该等比中项必有两个值；二、新课二、新课练习练习: 能否在下列两个数中间再插入一个数，使这三个能否在下列两个数中间再插入一个数，使这三个数组成一个等比数列？可以的话，请求出插入的数字数组成一个等比数列？可以的话，请求出插入的数字.（1） -12，0 ； （2） 2，8 ；（3
7、） -3，3 ； （4） -6，-1.5 ； an2=an-1 an+1 .等差数列通项公式的推导等差数列通项公式的推导: :(n-1)个 式子 方法一方法一:(累加累加法法) 方法二方法二:(迭代法迭代法)等比数列通项公式的推导：等比数列通项公式的推导：(n-1)个 式子 方法一方法一:累乘法累乘法 方法二方法二:迭代法迭代法11-=nnqaa考考你考考你由常数由常数所组成的数列所组成的数列一定为等比数列吗一定为等比数列吗? 不一定是等比数列。不一定是等比数列。若此常数列为若此常数列为00，则此数列从第二项起，则此数列从第二项起，第二项与它前一项的比将没有意义，故非第二项与它前一项的比将没有
8、意义，故非零常数列才是等比数列。零常数列才是等比数列。因此，常数列一定是等差数列因此，常数列一定是等差数列, ,但但不一定但但不一定是等比数列是等比数列. .数列：数列：1，2，4，8，16，1234567891024681012141618200 数列：数列： 12345678910123456789100数列：数列：4，4，4，4，4，4，4，12345678910123456789100数列：数列：1，-1，1，-1，1，-1，1，12345678910123456789100二、新课二、新课3.已知等比数列已知等比数列an的首项是的首项是a1，公比是，公比是q，则则通项公式是通项公式是
9、_;an=a1qn-1例例1.某种放射性物质不断变化为其他物质，若每经过某种放射性物质不断变化为其他物质，若每经过一年，剩留的这种物质是原来的一年，剩留的这种物质是原来的 84%，则这种物质的，则这种物质的半衰期为多少？（精确到半衰期为多少？（精确到1年）年）解：解：设这种物质最初的质量为设这种物质最初的质量为1，经过，经过n年剩留量是年剩留量是an， 则由条件可知，数列则由条件可知，数列an是一个等比数列，是一个等比数列， 其中其中a1=0.84，q=0.84 设设an=0.5，则，则0.84n=0.5 即即 n=log0.840.5 由计算器可算得由计算器可算得 n4答：这种物质的半衰期大
10、约为答：这种物质的半衰期大约为4年。年。不完全归不完全归纳法纳法即通项公式为即通项公式为：an=a1qn-1分析：分析：n=1时上式仍成立时上式仍成立n1个个二、新课二、新课3.已知等比数列已知等比数列an的首项是的首项是a1，公比是，公比是q，则则通项公式是通项公式是_;累乘法累乘法an=a1qn-1探究：探究：已知等比数列已知等比数列an的首项为的首项为a1，公比为，公比为q，试讨论，试讨论该数列的类型该数列的类型.分析分析：（1）当）当q0时，时， an为摆动数列；为摆动数列；（2）当）当0q0，则，则an为递减数列；为递减数列； 若若a11时，时， 若若a10，则，则an为递增数列；为
11、递增数列； 若若a10，则，则an为递减数列；为递减数列；二、新课二、新课an=a1qn-13. 在等比数列在等比数列an中，中，（1）a1=3，an=192，q=2，求，求n；（2） a3=12，a4=18，求，求a1和和a2；（3）a3=48，a7=3，求，求a1和和q ；（4）a1+a2=3， a4+a5=24，求，求an；n=7三、练习三、练习an =2n-1思考：思考：我们知道，等差数列我们知道，等差数列an满足下列公式满足下列公式（1）an=am+(n-m)d；（2）若）若m+n=p+q，则，则am+an =ap+aq 那么，等比数列是否也有类似的公式呢？那么，等比数列是否也有类似的公式呢？四、小结四、小结1.定义：定义：2. 通项公式：通项公式： an =a1qn-1 3. 等比中项：等比中项：若若a，G，b成等比数列，则成等比数列，则an2=an-1 an+1 五、作业五、作业P53 A 1
