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1、勾股定理看数学思想【附练习】 1.数形转化 “勾股定理”定理是“形数”的转化。条件是形- “直角三角形”，得出的结论是数- “边之间的数量关系”。 标准格式是：ABC 是直角三角形，C 是直角，CA2+CB2=AB2 “勾股定理” 的逆定理是 “数形” 的转化。 条件是数- “边之间的数量关系”，得出的结论是形- “直角三角形”。 标准格式：CA2+CB2=AB2，ABC 是直角三角形，C 是直角 应用举例： 如图所示，有一块地，已知 AD=4 米，CD=3 米，ADC=90 ，AB=13 米，BC=12 米，则这块地的面积为多少？ 解：ADC 是直角三角形 AC2=AD2+DC2=42+32
2、=52 （注：这是在用勾股定理） AC2+BC2=52+122=169 AB2=132=169 AC2+BC2=AB2 ABC 是直角三角形（注：这是在用勾股定理的逆定理） S地=SABC-SADC=24243251222ADCDBCAC（米2） 2.方程思想 我们知道，知道直角三角形的两条边，可以借助勾股定理求出第三边。 但是有的问题只知道直角三角形的一条边， 这时候， 要考虑借助勾股定理列方程解决问题。 例 1：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC6cm， BC8cm，先将直角边 AC 沿 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上， 且与 AE 重合，则 CD 等于（ ） 2 4 3 5
3、解：在 RtABC 中， AB2=AC2+BC2=62+82=100=102 AB=10（cm） AE=AC=6cm ， EB=4cm AED=C=90 DEB=90 DEB 是直角三角形 DE2+EB2=DB2 设 CD=xcm ，则 DE=CD=xcm ，DB=（8-x）cm x2+42=(8-x)2 解得 x=3，所以，CD=3cm 例 2：在笔直的公路上 A、B 两点相距 20km，在 A 的正南方 8km 处有村庄 D，在 B 的正南方 11km 处有村庄 C.现在要在 AB 上建一个中转站 E，是的 C、D 两村庄到 E 站的距离相等。 (1) 利用尺规作图，做出点 E 的位置。
4、(2) 计算点 E 距离点 A 多远？ ECABD解：（1）如图，点 E 就是要建中转站的位置 （2）设 AE=xkm ，则 EB=(20-x)km 在 RtADE 中 DE2=AD2+AE2=82+x2 在 RtEBC 中 EC2=EB2+BC2=(20-x)2+112 DE=EC 82+x2=(20-x)2+112 解得 x=40457km 所以，点 E 与点 A 的距离是40457km 典型题目练习 一折叠问题 1.一张直角三角形的纸片，如图所示折叠，使两个锐角的顶点 A、B 重合，若AC=6，BC=8，求 DC 的长。 2.如图所示， 将长方形纸片 ABCD 的一边 AD 向下折叠，点
5、 D 落在 BC边的 F 处。已知 AB=CD=8cm ，BC=AD=10cm ，求 EC 的长。 其他折叠问题常见图形： 二最短问题 1. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别为 50 寸，30 寸和 10 寸，A 和 B 是这个台阶的两个相对端点，A 点上有一只蚂蚁想到 B 点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长是多少？ 2. 如图，长方体的长，宽，高分别为 8，4，10 若一只蚂蚁从 P 点开始经过 4 个侧面爬行一圈到达 Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为多少？ 3. 如图，一圆柱体的底面周长为 16 ，高 AB 为 15 ，BC 是上底面的直径一只昆虫从点 A 出发， 沿着圆
6、柱的侧面爬行到点 C， 则昆虫爬行的最短路程为多少？ 4. 如图,长方体的长为 15, 宽为 10, 高为 20, 点 B 离点 C 的距离为5, 一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点 B,需要爬行的最短距离是多少？ 5. 如图所示，有一根高为 2m 的木柱，它的底面周长为 0.3m ，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕圈，一直缠到起点的正上方为止，问：小明至少需要准备多长的一根彩带？ 三梯子问题 1. 如图，一架云梯 AC 长为 25m ，斜靠在一竖直的墙 CO 上，这时梯子底端 A离墙的距离 AO 是 7m ，如果梯子的顶端 C 沿墙下滑了 4m ，那
7、么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？ 2. 如图，两墙之间的距离 BC=22米，当云梯靠在西墙的时候，此时可以达到的高度 AB=24米；若云梯底部 O 不动，使云梯靠在东墙上，此时云梯可以达到的高度 DC=20米，试求 BO 的距离。 四芦苇问题 EDCBA(B)直角三角形标准格式是直角三角形是直角应用举例如图所示有一块地已知米米米米则这块地的面积为多少解是直角三条边可以借助勾股定理求出第三边但是有的问题只知道直角三角形的一条边这时候要考虑借助勾股定理列方程解决问则解得所以例在笔直的公路上两点相距在的正南方处有村庄在的正南方处有村庄现在要在上建一个中转站是的两村庄1.有一个边长为 1O 尺的正
8、方形水池，一棵芦苇 AB 生长在它的中央，高出水面BC 为 l 尺如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部 B碰到岸边的 B（如图）时，水恰好没过芦苇问水深和长各多少？ 2. 如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆 8m 处，发现此时绳子末端距离地面 2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为多少米？ 五构造直角三角形 1. 如图，每个小正方形的边长为 1，A、B、C 是小正方形的顶点，则ABC 的度数为（ ） A90 B60 C45 D30 2. 如图，A，B 是公路 l（l 为东西走向）两旁的两个村庄，A 村到公路 l
9、的距离 AC1km B 村到公路 l 的距离 BD2km，CD=4km （1）求出 A，B 两村之间的距离； （2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站 P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点 P 的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法） 六综合题目 1. 如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直如果小明站在南京路与八一街的交叉口， 准备去书店，按图中的街道行走， 最近的路程约多少米？ 2. 如图，ACB 和ECD 都是等腰直角三角形，ACBECD90 ，D 为AB 边上一点，求证： （1）ACEBCD；（2）222ADDBDE CBA直角三角形标准格式是直角三角形是直角应用举例如图所示有一块地已知米米米米则这块地的面积为多少解是直角三条边可以借助勾股定理求出第三边但是有的问题只知道直角三角形的一条边这时候要考虑借助勾股定理列方程解决问则解得所以例在笔直的公路上两点相距在的正南方处有村庄在的正南方处有村庄现在要在上建一个中转站是的两村庄
