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1、2.3.4 2.3.4 平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质1.1.使学生掌握平面与平面垂直的性质定理；（使学生掌握平面与平面垂直的性质定理；（重点重点）2.2.能运用性质定理解决一些简单问题；（能运用性质定理解决一些简单问题；（难点难点）3.3.了解平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相了解平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。互联系。墙角线与地面有何位置关系？墙角线与地面有何位置关系？lmnl与平面与平面 有什么关系？有什么关系？思考思考1 1 黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，黑板所在的平面与地面所在的平面垂直， 你能否在黑板上画出一条直线与地面垂直你能否在黑板上画出一
2、条直线与地面垂直? ?EF思考思考2 2 如图，长方体中，如图，长方体中，, ,(1)(1)里的直线都和里的直线都和垂直吗？垂直吗？(2)(2)什么情况下什么情况下里的直线和里的直线和垂直？垂直？与与ADAD垂直垂直不一定不一定思考思考3 3 垂足为垂足为B B，那么直线，那么直线ABAB与平面与平面的位置关系如何？的位置关系如何？ 为什么？为什么？A AB BD DC CE E垂直垂直 , ABBE., ABBE.又由题意知又由题意知ABCD,ABCD,且且BE CD=BBE CD=B垂足为垂足为B.B.ABAB则则ABEABE就是二面角就是二面角 的平面角的平面角. .证明证明: :在平面
3、在平面 内作内作BECD,BECD,A AB BD DC CE E平面与平面垂直的性质定理平面与平面垂直的性质定理符号表示符号表示: :D DC CA AB B 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直个平面垂直（线线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）面面垂直面面垂直线面垂直线面垂直作用：作用： 它能判定线面垂直它能判定线面垂直. . 它能在一个平面内作与这个平面垂它能在一个平面内作与这个平面垂 直的垂线直的垂线. .关键点：关键点： 线在平面内线在平面内. .线垂直于交线线垂直于交
4、线. .D DC CA AB B思考思考4 4 设平面设平面 平面平面 ，点，点P P在平面在平面 内，过点内，过点P P作平作平面面 的垂线的垂线a，直线，直线a与平面与平面 具有什么位置关系具有什么位置关系? ?aa直线直线a a在平面在平面 内内PP两个平面垂直，则过某个平面内一点垂直于另一个平面的两个平面垂直，则过某个平面内一点垂直于另一个平面的直线在该平面内直线在该平面内. .AbalB垂直垂直Abal分析：分析：寻找平面寻找平面内与内与a a平行的直线平行的直线. .解：解：在在内作垂直于内作垂直于 交线交线的直线的直线b b， ab. 又又 a. 即直线即直线a与平面与平面平行平
5、行.结论：结论：垂直于同一平面的直线和平面平行（垂直于同一平面的直线和平面平行（ ）.Abal (2012 (2012北京模拟北京模拟) )如图，正方形如图，正方形ADEFADEF与梯形与梯形ABCDABCD所在的所在的平面互相垂直，平面互相垂直，ADCDADCD，ABCDABCD，AB=AD=2AB=AD=2，CD=4CD=4，M M为为CECE的的中点中点. .(1)(1)求证：求证：BMBM平面平面ADEFADEF；(2)(2)求证：平面求证：平面BDEBDE平面平面BEC.BEC.【证明证明】(1)(1)取取DEDE中点中点N N，连接，连接MNMN，AN.AN.在在EDCEDC中，中
6、，M M，N N分别为分别为ECEC，EDED的中点，的中点，所以所以MNCDMNCD，且，且MN= CD.MN= CD.由已知由已知ABCDABCD，AB= CDAB= CD，所以所以MNAB,MNAB,且且MN=AB,MN=AB,所以四边形所以四边形ABMNABMN为平行为平行四边形四边形. .所以所以BMAN.BMAN.又因为又因为ANAN平面平面ADEFADEF，且，且BMBM 平面平面ADEFADEF，所以所以BMBM平面平面ADEF.ADEF.(2)(2)因为四边形因为四边形ADEFADEF为正方形，为正方形，所以所以EDADEDAD，又因为平面又因为平面ADEFADEF平面平面A
7、BCDABCD，且平面且平面ADEFADEF平面平面ABCD=AD.ABCD=AD.又因为又因为EDED 平面平面ADEFADEF，所以所以EDED平面平面ABCD.ABCD.所以所以EDBC.EDBC.在直角梯形在直角梯形ABCDABCD中，中，AB=AD=2AB=AD=2，CD=4CD=4，可得可得BC= BC= ，在在BCDBCD中，中，BD=BC= BD=BC= ，CD=4CD=4，所以，所以BCBDBCBD，BDED=D,BDED=D,所以所以BCBC平面平面BDEBDE，又因为又因为BCBC平面平面BCEBCE，所以平面所以平面BDEBDE平面平面BEC.BEC.1.(20121.
8、(2012合肥模拟合肥模拟) )设设m m、n n是两条不同直线，是两条不同直线，、是是三个不同平面，给出下列四个命题：三个不同平面，给出下列四个命题：若若m,nm,n, ,则则mnmn若若,m,m, ,则则mm若若m,mm,m, ,则则若若, ,则则其中正确命题的序号是其中正确命题的序号是 _._.解：解：nn,过过n n的一个平面的一个平面与与的交线的交线nn平平行于行于n,n,又又m,mnm,mn,而而nn,mnnn,mn. ., ,又又m,mm,m. .m,mm,m，则，则与与可能平行，也可能相交可能平行，也可能相交. .,时，时，与与可能平行，也可能相交可能平行，也可能相交. .答案
9、答案: :2.2.已知两个平面垂直，下列命题中正确的有（已知两个平面垂直，下列命题中正确的有（ ）. .一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意直线；一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意直线；一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；直线；一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；过一个平面内的任意一点做交线的垂线，则此垂线必垂过一个平面内的任意一点做交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面直于另一个平面. .A.3A.3个个 B. 2B. 2个个 C.1C.1个个 D.0D.0
10、个个B B3.3.下列命题中，正确的是（下列命题中，正确的是（ ）A.A.过平面外一点，可作无数条直线和这个平面垂直过平面外一点，可作无数条直线和这个平面垂直B.B.过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直C.C.若若a,ba,b异面，过异面，过a a一定可作一个平面与一定可作一个平面与b b垂直垂直D.a,bD.a,b异面，过不在异面，过不在a,ba,b上的点上的点M M，一定可以作一个平面，一定可以作一个平面和和a,ba,b都垂直都垂直. .B B4.4.如图，已知如图，已知PAPA平面平面ABCABC，平面，平面PABPAB平面平面PBCPBC，求证：
11、求证：BCBC平面平面PAB.PAB.EPABCEPAPA平面平面ABCABC，BC BC 平面平面ABC,ABC,PABCPABC，又，又PAAE=A,PAAE=A,故故BCBC平面平面PABPAB证明：证明：过点过点A A作作AEPBAEPB，垂足为，垂足为E E，平面平面PABPAB平面平面PBCPBC， 平面平面PABPAB平面平面PBC=PBPBC=PB，AEAE平面平面PBC.PBC.BC BC 平面平面PBC,AEBCPBC,AEBC分析：分析：作出图形作出图形. .ablmnablnmA（法二）（法二）（法一）（法一）在在内作直线内作直线a n证法证法1 1：设设在在内作直线内
12、作直线bmlabmn在在内过内过A点作直线点作直线 a n，证法证法2 2：设设在在内过内过A点作直线点作直线 bm，同理同理在在内任取一点内任取一点A A（不在（不在m,n上），上），ablnmA如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个平面的交线垂直于这个平面平面的交线垂直于这个平面. .结论结论l判断线面垂直的两种方法判断线面垂直的两种方法：线线垂直线线垂直线面垂直；线面垂直；面面垂直面面垂直线面垂直线面垂直.如图：如图：aAB线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直线线平行线线平行面面平行面面平行面面垂直面面垂直垂直、平行关系小结垂直、平行关系小结2.2.面面垂直的性质推论：面面垂直的性质推论：1.1.平面与平面垂直的性质定理：平面与平面垂直的性质定理：面面垂直面面垂直线面垂直线面垂直lAbalPaaaD DC CA AB B
