线性代数4-2向量组的线性相关性

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1、 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组所组成的集合叫做向量组例如例如一、向量、向量组与矩阵一、向量、向量组与矩阵向量组向量组 , , ， 称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵成一个矩阵.线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应一一对应定义定义线性组合线性组合 向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示定理定理1 1定义定义向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性表示线

2、性表示向量组等价向量组等价从而从而注意注意定义定义二、线性相关性的概念二、线性相关性的概念则称则称向量组向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关定理向量组定理向量组 （当（当 时）线性相关时）线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是 中至少有一个向中至少有一个向量可由其余量可由其余 个向量线性表示个向量线性表示证明证明 充分性充分性 设设 中有一个向量（比如中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.即有即有三、线性相关性的判定三、线性相关性的判定故故因因 这这 个数不全为个数不全为0，故故 线性相关线性相关.必要性必要性设设 线性相关，线性相关

3、，则有不全为则有不全为0的数使的数使 因因 中至少有一个不为中至少有一个不为0，不妨设则有不妨设则有即即 能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.证证毕毕.线性相关性在线性方程组中的应用线性相关性在线性方程组中的应用结论结论定理定理2 2下面举例说明定理的应用下面举例说明定理的应用.证明证明（略）（略）解解例例解解例例分析分析证证定理定理3 3证明证明说明说明说明说明. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；在线性方程组中的应用；（重点重点）. 线性相关与线性无关的判定方法：定义，线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理两个定理（难点难点）四、小结四、小结思考题思考题证明证明（）、（）略（）、（）略（）充分性充分性必要性必要性思考题解答思考题解答