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1、 EOFEOF分析及其应用分析及其应用 一、引一、引 言言 经经验验正正交交函函数数（EOFEOF）方方法法：最最早早由由统统计计学学家家pearsonpearson（19021902）提提出出，由由LorenzLorenz（19561956）引引入入气气象象问问题题分分析析中中。该该方方法法以以场场的的时时间间序序列列为为分分析析对对象象，由由于于对对计计算算条条件件要要求求甚甚高高，直直到到2020世世纪纪6060年年代代后后期期才在实际工作中得到广泛应用。才在实际工作中得到广泛应用。近近3030年来，出现了适合于各种分析目的的年来，出现了适合于各种分析目的的EOFEOF分析方分析方法，如
2、法，如扩展扩展EOFEOF（EEOFEEOF）方法）方法，旋转旋转EOFEOF（REOFREOF）方）方法，风场法，风场EOFEOF（EOFWEOFW）方法，复变量）方法，复变量EOFEOF（CEOFCEOF）方）方法。法。EOFEOF分解的优点分解的优点l1，没有固定的函数；没有固定的函数；l2 2，能在有限区域对不规则分布的站点进行分解；，能在有限区域对不规则分布的站点进行分解；l3 3，展开收敛快，很容易将变量场的信息集中在几个模，展开收敛快，很容易将变量场的信息集中在几个模态上；态上；l4 4，分离出的空间结构具有一定的物理意义；，分离出的空间结构具有一定的物理意义；l EOFEOF方
3、法不但用于观测资料的分析，还用方法不但用于观测资料的分析，还用于于GCMGCM资料的分析和数值模式的设计。现在，资料的分析和数值模式的设计。现在，EOFEOF方法已作为一种基本的分析手段频繁地出方法已作为一种基本的分析手段频繁地出现在大气科学研究的文献中。现在大气科学研究的文献中。二、二、EOF分析方法原理分析方法原理 将某气候变量场的观测资料以矩阵形将某气候变量场的观测资料以矩阵形式给出式给出m是空间点（观测站或网格点），是空间点（观测站或网格点），n是时间序列长度（观测次数）。是时间序列长度（观测次数）。气象场的自然正交展开，是将气象场的自然正交展开，是将X X分解为时间函分解为时间函数数
4、Z Z和空间函数和空间函数V V两部分两部分, ,即即或者或者含义：含义：场中第场中第i i个格点上的第个格点上的第t t次观测值，可以次观测值，可以看作是看作是p p个空间函数个空间函数 和时间函数和时间函数 的线性组的线性组合合 。其中，其中， 是第是第j个典型场，只是空间的函数。个典型场，只是空间的函数。第第t个空间场可表示为个空间场可表示为或者或者 上式表明，第上式表明，第t t个场可以表示为个场可以表示为m个空间个空间典型场，按照不同的权重线性叠加而成。典型场，按照不同的权重线性叠加而成。V的每一列表示一个空间典型场，由于这个场的每一列表示一个空间典型场，由于这个场由实际资料确定，故
5、又叫经验正交函数。由实际资料确定，故又叫经验正交函数。 上述分解要求满足下列两个条件：上述分解要求满足下列两个条件：性性质质三、分解方法三、分解方法A为实对称矩阵，根据实对称矩阵分解原理，为实对称矩阵，根据实对称矩阵分解原理，一定有一定有 或者或者 V的列就是的列就是A的特征向量的特征向量， 是是A的的特征值特征值组成的对角矩阵。组成的对角矩阵。Z就是时间系数矩阵就是时间系数矩阵， 第第i个格点上的个格点上的第第t 个时间系数。个时间系数。四、误差估计和计算四、误差估计和计算 是拟合场是拟合场.可以证明误差可以证明误差第第i个特征向量对个特征向量对X场的贡献率场的贡献率前前p个特征向量对个特征
6、向量对X场的贡献率场的贡献率五、重要参数五、重要参数六、计算步骤六、计算步骤1）根根据据分分析析目目的的，对对原原始始资资料料矩矩阵阵X作作距距平或者标准化处理；平或者标准化处理；2）由）由X求协方差矩阵求协方差矩阵 ；3）求求实实对对称称矩矩阵阵A的的全全部部特特征征值值 、特特征征向量向量 ，h=1H（通常使用（通常使用Jacobi法）；法）； 4）将将特特征征值值作作非非升升序序排排列列（通通常常使使用用沉浮法），并对特征向量序数作相应变动；沉浮法），并对特征向量序数作相应变动； 5）根据）根据 , ,h=1H和和X总方差，求出全总方差，求出全部部 、 , , h=1H； 6 6）由由X
7、及及主主要要 求求其其时时间间系系数数 、h h=1=1H，主要的数量由分析目的及分析对象定；，主要的数量由分析目的及分析对象定； 7 7）输出主要计算结果。）输出主要计算结果。 七七 经验正交函数的物理意义经验正交函数的物理意义 特征向量以及时间系数的分析。特征向量以及时间系数的分析。 vvvv第一特征向量（第一空间典型场）是与第一特征向量（第一空间典型场）是与n n张张X X图平均最相似的，或者说具有与所要展开的图平均最相似的，或者说具有与所要展开的资料矩阵的资料矩阵的n n个样本最相似的特征。比如：若原个样本最相似的特征。比如：若原始资料矩阵是始资料矩阵是7 7月份月份5050年实测将水
8、场（非距平场）年实测将水场（非距平场），则第一特征向量就可以解释为这，则第一特征向量就可以解释为这5050年的平均场年的平均场，其相应的时间系数基本对应我国大尺度旱涝年，其相应的时间系数基本对应我国大尺度旱涝年。但当降水场由距平组成，第一特征向量就解释。但当降水场由距平组成，第一特征向量就解释为与为与5050年夏季距平场最相似的特征场，它指出了年夏季距平场最相似的特征场，它指出了我国夏季经常出现的大尺度涝区和旱区。我国夏季经常出现的大尺度涝区和旱区。八、八、时空转换问题时空转换问题 当当 时，先求出时，先求出 的特征值，的特征值，然后求然后求 的特征向量，这种方法叫时的特征向量，这种方法叫时空
9、转换。空转换。 令令 的特征值为的特征值为 ，其特征向量，其特征向量为为 ， 的特征值也为的特征值也为 ，其，其特征向量为特征向量为 南亚夏季风爆发前后降水量时空变化特征l分析表明，南亚夏季风的爆发主要体现在降水的突然增加和季风雨带的快速推进上，雨带的时空分布有突变的特点。l第1模态降水量的突然增加。l第2模态从南向北的快速推进过程。l第3模态东西分布型态，及在季风爆发后印度半岛降水快速增加的过程。l第4模态印度次大陆东海岸降水的准双周振荡型态。第1 模态降水量的突然增加降水量的第2 模态-从南向北的快速推进过程降水量的第3 模态东西分布型态，及在季风爆发后印度半岛降水快速增加东西分布型态，及
10、在季风爆发后印度半岛降水快速增加的过程的过程降水量的第4 模态印度次大陆东海岸降水的准双周振荡型态我国盛夏我国盛夏500 hPa 风场的风场的EOF 分析及分析及其与大尺度气候异常的关系其与大尺度气候异常的关系l将东亚500hPa风场,温度场,降水量场进行经验正交分解,得到它们的主要模态的时空变化特征。结果表明东亚风场EOF的主要模态与我国温度,降水量的EOF的主要模态对应,其第一EOF模态与盛夏温度,降水量的关系密切。1951 - 2004 1951 - 2004 年年500 hPa 7 - 8 500 hPa 7 - 8 月平均风场月平均风场EOF EOF 分解的第一特征向量分解的第一特征
11、向量图图(a)(a)和标准化的时间权重系数和标准化的时间权重系数(b) (b) (图中斜直线是回归线图中斜直线是回归线) )盛夏盛夏500 hPa 500 hPa 第一时间权重系数与我国同期平均温度第一时间权重系数与我国同期平均温度(a) (a) 和月总降水量和月总降水量(b) (b) 的相关系数图的相关系数图图中,淡灰(灰,黑色)是0.05(0.01,0.001)信度的相对区1951 - 2004 1951 - 2004 年我国年我国7 - 8 7 - 8 月月平均温度月月平均温度(a) (a) 和月总降水量和月总降水量(b) (b) 的第一的第一特征向量图特征向量图图a图b参考文献l魏凤英
12、，现代气候统计诊断与预测技术，气象出版社，北京，2007;lEOF在大气科学研究中的新进展；丁裕国；气象科技199303期；l近年来中国统计气象学的新进展；周家斌黄嘉佑；气象学报1997年03期；l我国盛夏500hPa风场的EOF分析及其与大尺度气候异常的关系。顾泽，封国林，顾骏强，施能；l南亚夏季风爆发前后降水量时空变化特征。朱敏，张铭；Thankyou!Karl PearsonlKarlPearson（18571936）统计统计学学之父之父。lK.Pearson1879年毕业于剑桥大学数学系；1884年进入伦敦大伦敦大学学院学学院 。lK.Pearson最重要的学术成就，是为现代统计学打下
13、基础。K.Pearson在1893-1912年间写出18篇在演化论上的数学贡献的文章，而这门算术，也就是今日的统计。许多熟悉的统计名词如标准差，成分分析，卡方检定都是他提出的。Lorenz，Edward Nortonl混沌理论之父、MIT教授lOneofthegreatmodernsciencestoriesistheso-calledButterflyEffect.Itsuggeststhattheweatherissosensitivetotinychanges,thatsomethingasmicroscopicasabutterflyflappingitswingsinBrazilcouldsetoffatornadoinTexasButterfly Effect
