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1、第三讲 用空间向量的方法解立体几何问题一、主干知识一、主干知识空间直线、平面间的平行、垂直的向量表示空间直线、平面间的平行、垂直的向量表示设直线设直线l，m m的方向向量分别为的方向向量分别为a(a(a1 1,b,b1 1,c,c1 1),),b=(a=(a2 2,b,b2 2,c,c2 2).).平平面面，的法向量分别为的法向量分别为 (a(a3 3,b,b3 3,c,c3 3),), =(a=(a4 4,b,b4 4,c,c4 4).).(1)(1)线线平行：线线平行：lmmaba=k=kb_._.a a1 1=ka=ka2 2,b,b1 1=kb=kb2 2,c,c1 1=kc=kc2
2、2(2)(2)线线垂直：线线垂直：lmmabab=_=_._.(3)(3)线面平行：线面平行：la a =_ =_._.(4)(4)线面垂直：线面垂直：la a=k =k _._.(5)(5)面面平行：面面平行： =k =k _._.0 0a a1 1a a2 2+b+b1 1b b2 2+c+c1 1c c2 2=0=00 0a a1 1a a3 3+b+b1 1b b3 3+c+c1 1c c3 3=0=0a a1 1=ka=ka3 3,b,b1 1=kb=kb3 3,c,c1 1=kc=kc3 3a a3 3=ka=ka4 4,b,b3 3=kb=kb4 4,c,c3 3=kc=kc4
3、4(6)(6)面面垂直：面面垂直： =_ =_._.0 0a a3 3a a4 4+b+b3 3b b4 4+c+c3 3c c4 4=0=0二、必记公式二、必记公式1.1.异面直线所成的角：设异面直线所成的角：设a, ,b分别为异面直线分别为异面直线a,ba,b的方向向量，的方向向量，则两异面直线所成的角满足则两异面直线所成的角满足coscos =_. =_.2.2.线面角：设线面角：设l是斜线是斜线l的方向向量，的方向向量，n是平面是平面的法向量，则斜的法向量，则斜线线l与平面与平面所成的角满足所成的角满足sin =_.sin =_.3.3.二面角：二面角：(1)(1)如图如图，ABAB，
4、CDCD是二面角是二面角-l-的两个半平面内与棱的两个半平面内与棱l垂直垂直的直线，则二面角的大小的直线，则二面角的大小=_.=_.(2)(2)如图如图，n1 1，n2 2分别是二面角分别是二面角-l-的两个半平面的两个半平面，的法向量，则二面角的大小的法向量，则二面角的大小满足满足coscos =_ =_._.-cos-cosn1 1，n2 2或或coscosn1 1，n2 21.(20131.(2013金华模拟金华模拟) )已知正三棱柱已知正三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1的侧棱长与底面的侧棱长与底面边长相等，则边长相等，则ABAB1 1与侧面与侧面ACCACC1
5、1A A1 1所成角的正弦值等于所成角的正弦值等于( )( )【解析解析】选选A.A.建立如图所示空间直角坐标系，设正三棱柱的棱建立如图所示空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为长为2 2，A(0A(0，-1,0)-1,0)，则则 O(0,0,0)O(0,0,0)，则则 为侧面为侧面ACCACC1 1A A1 1的法向量，的法向量，2.(20132.(2013宁波模拟宁波模拟)ABCD)ABCD是正方形，是正方形，PAPA平面平面ACAC，且，且PAPAABAB，则二面角则二面角B-PC-DB-PC-D的度数为的度数为( )( )A.60A.60 B.90 B.90 C.120C.120 D.13
6、5D.135【解析解析】选选C.C.由题意可得，由题意可得，AP,ABAP,AB，ADAD两两垂直，所以可建立两两垂直，所以可建立如图所示的空间直角坐标系如图所示的空间直角坐标系. .令令AB=1AB=1，则则A(0A(0，0 0，0)0)，B(0B(0，1 1，0)0)，C(1C(1，1 1，0)0)，D(1D(1，0 0，0)0)，P(0P(0，0 0，1)1)，所以所以设平面设平面PCDPCD的法向量为的法向量为n=(=(x,y,zx,y,z),),则则 得得令令x=1x=1，则，则z=1,y=0,z=1,y=0,所以所以n(1,0,1).(1,0,1).同理可得平面同理可得平面PBCP
7、BC的法向量的法向量m=(0,1,1).=(0,1,1).所以所以所以所以 =60=60. .从图中可以看出：二面角从图中可以看出：二面角B-PC-DB-PC-D的大小应为一个钝角的大小应为一个钝角. .所以二面角所以二面角B-PC-DB-PC-D的度数的度数=180=180-60-60=120=120. .故选故选C.C.3.(20133.(2013嘉兴模拟嘉兴模拟) )已知正四棱柱已知正四棱柱ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，AAAA1 12AB2AB，则，则CDCD与平面与平面BDCBDC1 1所成角的正弦值等于所成角的正弦值等于( )( )【解析
8、解析】选选A.A.设设ABAB1 1，则，则AAAA1 12 2，分别以，分别以 的方的方向为向为x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：示：则则D(0D(0，0 0，2)2)，C C1 1(0(0，1 1，0)0)，B(1B(1，1 1，2)2)，C(0C(0，1 1，2)2)，设设n=(=(x,y,zx,y,z) )为平面为平面BDCBDC1 1的一个法向量，的一个法向量，则则 即即 取取n=(-2,2,1),=(-2,2,1),设设CDCD与平面与平面BDCBDC1 1所成角为所成角为，则则4.(20134.(2013
9、福州模拟福州模拟) )直三棱柱直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，中，ACBACB9090，BACBAC3030，BCBC1 1， M M是是CCCC1 1的中点，则异面直线的中点，则异面直线ABAB1 1与与A A1 1M M所成的角为所成的角为_._.【解析解析】建立空间直角坐标系如图所示，建立空间直角坐标系如图所示，易得易得所以所以所以所以所以所以 即即ABAB1 1AA1 1M.M.答案答案: :9090热点考向热点考向 1 1 利用空间向量求线线角、线面角利用空间向量求线线角、线面角【典例典例1 1】(2013(2013绍兴模拟绍兴模拟) )如图，四边形如图
10、，四边形ABCDABCD为正方形，为正方形，BEBE平面平面ABCDABCD，EBFAEBFA，FAFAABAB(1)(1)证明：平面证明：平面AFDAFD平面平面AFB.AFB.(2)(2)求异面直线求异面直线EDED与与CFCF所成角的余弦值所成角的余弦值. .(3)(3)求直线求直线ECEC与平面与平面BCFBCF所成角的正弦值所成角的正弦值. .【解题探究解题探究】(1)(1)本题要证明平面本题要证明平面AFDAFD平面平面AFBAFB，可证，可证ADAD平面平面AFBAFB，只需证，只需证明明ADABADAB，ADFA.ADFA.(2)(2)以以B B为原点，为原点，BEBE，BAB
11、A，BCBC分别为分别为x,y,zx,y,z轴能建立空间直角坐轴能建立空间直角坐标系吗？标系吗？提示：提示：能能. .(3) (3) (-2(-2，0 0，1)1)，平面，平面BCFBCF的法向量的法向量n(1(1，-1-1，0).0).【解析解析】(1)(1)因为四边形因为四边形ABCDABCD为正方形，为正方形，所以所以ADABADAB，因为因为BEBE平面平面ABCDABCD，EBFAEBFA，所以所以FAFA平面平面ABCD.ABCD.因为因为ADAD 平面平面ABCDABCD，所以，所以FAADFAAD，因为因为ABAB，FAFA 平面平面AFBAFB，ABFA=A,ABFA=A,所
12、以所以ADAD平面平面AFBAFB，因为，因为ADAD 平面平面AFDAFD，所以平面所以平面AFDAFD平面平面AFB.AFB.(2)(2)以以B B为原点，为原点，BEBE，BABA，BCBC分别为分别为x,y,zx,y,z轴建立空间直角坐标轴建立空间直角坐标系，设系，设EBEB2 2，则，则AFAFABAB1 1，故故E(2E(2，0 0，0)0)，D(0D(0，1 1，1)1)，C(0C(0，0 0，1)1)，F(1F(1，1 1，0)0)，B(0B(0，0 0，0)0)，所以直线所以直线EDED的方向向量为的方向向量为 (-2(-2，1 1，1)1)，直线，直线CFCF的方向向的方向
13、向量量 (1(1，1 1，-1)-1)，设直线设直线EDED与与CFCF所成的角为所成的角为，则则(3)(3)直线直线ECEC的方向向量为的方向向量为 (-2(-2，0 0，1)1)， (0(0，0 0，1)1)， (1(1，1 1，0)0)，设平面设平面BCFBCF的法向量为的法向量为n=(=(x,y,zx,y,z),),则则故故取取 则则n=(1,-1,0),=(1,-1,0),设直线设直线ECEC与平面与平面BCFBCF所成的角为所成的角为，则则【方法总结方法总结】1.1.利用空间向量求空间角的一般步骤利用空间向量求空间角的一般步骤(1)(1)建立恰当的空间直角坐标系建立恰当的空间直角坐
14、标系. .(2)(2)求出相关点的坐标求出相关点的坐标, ,写出相关向量的坐标写出相关向量的坐标. .(3)(3)结合公式进行论证、计算结合公式进行论证、计算. .(4)(4)转化为几何结论转化为几何结论. .2.2.利用空间向量求线线角、线面角的思路利用空间向量求线线角、线面角的思路(1)(1)异面直线所成的角异面直线所成的角,可以通过两直线的方向向量的夹角可以通过两直线的方向向量的夹角求得，即求得，即coscos = =coscos . .(2)(2)直线与平面所成的角直线与平面所成的角主要通过直线的方向向量与平面的主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角法向量的夹角求得，即求得，即si
15、n =sin =coscos . .【变式训练变式训练】(2013(2013新课标全国卷新课标全国卷)如图，三棱柱如图，三棱柱ABC-ABC-A A1 1B B1 1C C1 1中，中，CA=CBCA=CB，AB=AAAB=AA1 1，BAABAA1 1=60=60. .(1)(1)证明证明ABAABA1 1C.C.(2)(2)若平面若平面ABCABC平面平面AAAA1 1B B1 1B B，AB=CB,AB=CB,求直线求直线A A1 1C C与平面与平面BBBB1 1C C1 1C C所所成角的正弦值成角的正弦值. .【解析解析】(1)(1)取取ABAB的中点的中点O O，连接，连接OCO
16、C，OAOA1 1，A A1 1B.B.因为因为CA=CBCA=CB，所以，所以OCAB.OCAB.由于由于AB=AAAB=AA1 1，BAABAA1 1=60=60，故故AAAA1 1B B为等边三角形，所以为等边三角形，所以OAOA1 1AB.AB.因为因为OCOAOCOA1 1=O=O，所以，所以ABAB平面平面OAOA1 1C.C.又又A A1 1C C 平面平面OAOA1 1C C，故，故ABAABA1 1C.C.(2)(2)由由(1)(1)知，知，OCABOCAB，OAOA1 1ABAB，又平面又平面ABCABC平面平面AAAA1 1B B1 1B B，交线为，交线为ABAB，所以
17、，所以OCOC平面平面AAAA1 1B B1 1B B，故，故OAOA，OAOA1 1，OCOC两两相互垂直两两相互垂直. .以以O O为坐标原点，为坐标原点，OAOA的方向为的方向为x x轴的正方向，建立如图所示的空轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系间直角坐标系O-xyzO-xyz，设，设|OA|=1.|OA|=1.由题设知由题设知A(1,0,0)A(1,0,0)，A A1 1(0, 0),(0, 0),C(0,0, ),B(-1,0,0).C(0,0, ),B(-1,0,0).则则设平面设平面BBBB1 1C C1 1C C的法向量为的法向量为n=(=(x,y,zx,y,z) )，则
18、有则有 即即可取可取故故所以直线所以直线A A1 1C C与平面与平面BBBB1 1C C1 1C C所成角的正弦值为所成角的正弦值为热点考向热点考向 2 2 利用空间向量求二面角利用空间向量求二面角【典例典例2 2】(2013(2013烟台模拟烟台模拟) )如图，直三棱柱如图，直三棱柱ABC-ABCABC-ABC，BAC=90BAC=90，AB=AC=AB=AC=AAAA,点点M M，N N分别为分别为ABAB和和BCBC的中的中点点. .(1)(1)证明：证明：MNMN平面平面AACC.AACC.(2)(2)若二面角若二面角A-MN-CA-MN-C为直二面角，求为直二面角，求的值的值. .
19、【解题探究解题探究】(1)(1)点点M M，N N分别为分别为ABAB和和BCBC的中点，能构造三角形使的中点，能构造三角形使MNMN为为中位线吗？中位线吗？提示：提示：可构造可构造ABC.ABC.(2)(2)根据二面角根据二面角A-MN-CA-MN-C为直二面角，如何确定等量关系？为直二面角，如何确定等量关系？提示：提示：两个平面的法向量数量积为零两个平面的法向量数量积为零. .【解析解析】(1)(1)连接连接ABAB，ACAC，由已知，由已知BAC=90BAC=90，AB=ACAB=AC，三，三棱柱棱柱ABC-ABCABC-ABC为直三棱柱，为直三棱柱，所以所以M M为为ABAB的中点的中
20、点. .又因为又因为N N为为BCBC的中点，所以的中点，所以MNAC.MNAC.又又MNMN平面平面AACCAACC，ACAC 平面平面AACCAACC，因此因此MNMN平面平面AACC.AACC.(2)(2)以以A A为坐标原点，分别以直线为坐标原点，分别以直线ABAB，ACAC，AAAA为为x x轴，轴，y y轴，轴，z z轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系A-xyz,A-xyz,如图所示如图所示. .设设AA=1.AA=1.则则AB=AC=,AB=AC=,于是于是A(0A(0，0 0，0)0)，B(,0,0),C(0,0),A(0,0,1),B(,0,0),C(0,0),A(0,
21、0,1),B(,0,1),C(0,1),B(,0,1),C(0,1),所以所以设设m=(x=(x1 1,y,y1 1,z,z1 1) )是平面是平面AMNAMN的法向量，的法向量，由由 得得可取可取m=(1,-1,).=(1,-1,).设设n=(x=(x2 2,y,y2 2,z,z2 2) )是平面是平面MNCMNC的法向量，的法向量，由由 得得可取可取n=(-3,-1,).=(-3,-1,).因为因为AA- -MNMN- -C C为直二面角，所以为直二面角，所以mn=0.=0.即即-3+(-1)-3+(-1)(-1)+(-1)+2 2=0,=0,解得解得【互动探究互动探究】若本题条件不变，试
22、通过面面平行来证明第若本题条件不变，试通过面面平行来证明第(1)(1)小题小题. .【解析解析】取取ABAB中点中点P P，连接，连接MPMP，NPNP，而而M M，N N分别为分别为ABAB与与BCBC的中点，的中点，所以所以MPAAMPAA，PNACPNAC，所以所以MPMP平面平面AACCAACC，PNPN平面平面AACC.AACC.又又MPNP=PMPNP=P，因此平面因此平面MPNMPN平面平面AACC.AACC.而而MNMN 平面平面MPNMPN，因此因此MNMN平面平面AACC.AACC.【方法总结方法总结】1.1.向量法求二面角的思路向量法求二面角的思路二面角的大小可以利用分别
23、在两个半平面内与棱垂直的直线的二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量的夹角方向向量的夹角( (或其补角或其补角) )或通过二面角的两个面的法向量的或通过二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角. .2.2.求平面的法向量的方法求平面的法向量的方法(1)(1)待定系数法：设出法向量坐标，利用垂直关系建立坐标的待定系数法：设出法向量坐标，利用垂直关系建立坐标的方程求解方程求解. .(2)(2)先确定平面的垂线，然后取相关线段对应的向量，即确定先确定平面的垂线，然后取相关线段对应的向量，即确定了平面的法向量了平面
24、的法向量. .【变式备选变式备选】如图，如图， 在矩形在矩形ABCDABCD中，点中，点E E，F F分别在线段分别在线段ABAB，ADAD上，上，AE=EB=AF= FD=4.AE=EB=AF= FD=4.沿直线沿直线EFEF将将AEFAEF翻折成翻折成AEFAEF，使平面使平面AEFAEF平面平面BEF. BEF. (1)(1)求二面角求二面角A-FD-CA-FD-C的余弦值的余弦值. .(2)(2)点点M M，N N分别在线段分别在线段FDFD，BCBC上，若沿直线上，若沿直线MNMN将四边形将四边形MNCDMNCD向向上翻折，使上翻折，使C C与与AA重合，求线段重合，求线段FMFM的
25、长的长. .【解析解析】(1)(1)取线段取线段EFEF的中点的中点H H，连接，连接AHAH，因为因为AE=AFAE=AF及及H H是是EFEF的中点，的中点，所以所以AHEF,AHEF,又因为平面又因为平面AEFAEF平面平面BEF.BEF.如图建立空间直角坐标系如图建立空间直角坐标系A-xyzA-xyz，则则 C(10C(10，8 8，0)0)，F(4F(4，0 0，0)0)，D(10D(10，0 0，0).0).故故设设n=(=(x,y,zx,y,z) )为平面为平面AFDAFD的一个法向量，的一个法向量，所以所以取取 则则又平面又平面BEFBEF的一个法向量的一个法向量m=(0,0,
26、1)=(0,0,1)，故故所以二面角的余弦值为所以二面角的余弦值为(2)(2)设设FM=FM=x,BNx,BN=a=a，则则M(4+x,0,0)M(4+x,0,0)，N(a,8,0)N(a,8,0)，因为翻折后，因为翻折后，C C与与AA重合，重合，所以所以CM=AMCM=AM，CN=ANCN=AN，故故得得 所以所以热点考向热点考向 3 3 利用空间向量解决探索性问题利用空间向量解决探索性问题【典例典例3 3】(2013(2013长沙模拟长沙模拟) )如图所示，在正方体如图所示，在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E E是棱是棱DDDD1 1的中
27、点的中点. .(1)(1)求直线求直线BEBE和平面和平面ABBABB1 1A A1 1所成的角的正弦值所成的角的正弦值. .(2)(2)在棱在棱C C1 1D D1 1上是否存在一点上是否存在一点F F，使，使B B1 1FF平面平面A A1 1BEBE？证明你的结？证明你的结论论. . 【解题探究解题探究】(1)(1)平面平面ABBABB1 1A A1 1的法向量能直接确定吗的法向量能直接确定吗? ?提示：提示：可直接确定可直接确定, ,向量向量 是平面是平面ABBABB1 1A A1 1的一个法向量的一个法向量. .(2)(2)假设在棱假设在棱C C1 1D D1 1上存在一点上存在一点
28、F F，使，使B B1 1FF平面平面A A1 1BE,BE,则可得到什则可得到什么等量关系么等量关系? ?提示：提示：直线直线B B1 1F F的方向向量与平面的方向向量与平面A A1 1BEBE的法向量的数量积为零的法向量的数量积为零. .【解析解析】设正方体的棱长为设正方体的棱长为1.1.如图所示，如图所示，以以 为单位正交基底建立空间直角坐标系为单位正交基底建立空间直角坐标系A-xyz.A-xyz.(1)(1)依题意，得依题意，得B(1,0,0), A(0,0,0),D(0,1,0)B(1,0,0), A(0,0,0),D(0,1,0)，所以，所以在正方体在正方体ABCD-AABCD-
29、A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，因为因为ADAD平面平面ABBABB1 1A A1 1, ,所以所以 是平面是平面ABBABB1 1A A1 1的一个法向量，的一个法向量，设直线设直线BEBE和平面和平面ABBABB1 1A A1 1所成的角为所成的角为，则则即直线即直线BEBE和平面和平面ABBABB1 1A A1 1所成的角的正弦值为所成的角的正弦值为(2)(2)依题意，得依题意，得A A1 1(0,0,1),(0,0,1),设设n=(=(x,y,zx,y,z) )是平面是平面A A1 1BEBE的一个法向量，的一个法向量，则由则由得得所以所以x=z, x=z, 取取z
30、=2,z=2,得得n=(2,1,2).=(2,1,2).设设F F是棱是棱C C1 1D D1 1上的点，则上的点，则F(t,1,1)(0t1).F(t,1,1)(0t1).又又B B1 1(1,0,1)(1,0,1)，所以所以 而而B B1 1F F 平面平面A A1 1BEBE，于是于是B B1 1FF平面平面A A1 1BEBE (t-1,1,0)(t-1,1,0)(2,1,2)=0(2,1,2)=0，得，得2(t2(t1)+1=01)+1=0，解得，解得 所以所以F F为为C C1 1D D1 1的中点，这说明在棱的中点，这说明在棱C C1 1D D1 1上存在点上存在点F(CF(C1
31、 1D D1 1的中点的中点) )，使，使B B1 1FF平面平面A A1 1BE.BE.【方法总结方法总结】利用空间向量巧解探索性问题利用空间向量巧解探索性问题(1)(1)空间向量最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需空间向量最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断. .(2)(2)解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把把“是否存在是否存在”问题转化为问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定点的坐标是否有解，是否有规
32、定范围内的解范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题运用这一方法解题. .【变式训练变式训练】(2013(2013北京高考北京高考) )如图，在三棱柱如图，在三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，中，AAAA1 1C C1 1C C是边长为是边长为4 4的正方形的正方形. .平面平面ABCABC平面平面AAAA1 1C C1 1C C，AB=3AB=3，BC=5.BC=5.(1)(1)求证：求证：AAAA1 1平面平面ABC.ABC.(2)(2)求二面角求二面角A A1 1-BC-BC1 1-B-B1
33、 1的余弦值的余弦值. .(3)(3)证明：在线段证明：在线段BCBC1 1上存在点上存在点D D，使得，使得ADAADA1 1B B，并求，并求 的值的值. .【解析解析】(1)(1)因为因为A A1 1ACCACC1 1是正方形，所以是正方形，所以AAAA1 1AC.AC.又因为平面又因为平面ABCABC平面平面A A1 1ACCACC1 1, ,交线为交线为ACAC，所以所以AAAA1 1平面平面ABC.ABC.(2)(2)因为因为AC=4,BC=5,AB=3AC=4,BC=5,AB=3，所以，所以ACAC2 2+AB+AB2 2=BC=BC2 2，所以，所以ACAB.ACAB.分别以分
34、别以AC,AB,AAAC,AB,AA1 1所在直线为所在直线为x x轴轴,y,y轴，轴，z z轴建立如图所示的空间轴建立如图所示的空间直角坐标系直角坐标系. .则则A A1 1(0,0,4),B(0,3,0),C(0,0,4),B(0,3,0),C1 1(4,0,4),B(4,0,4),B1 1(0,3,4)(0,3,4)，设平面设平面A A1 1BCBC1 1的法向量为的法向量为n1 1=(x=(x1 1,y,y1 1,z,z1 1) )，平面，平面B B1 1BCBC1 1的法向量为的法向量为n2 2=(x=(x2 2,y,y2 2,z,z2 2) )，所以所以 所以所以所以可取所以可取n
35、1 1=(0,4,3).=(0,4,3).由由 可得可得可取可取n2 2=(3,4,0).=(3,4,0).所以所以由图可知二面角由图可知二面角A A1 1-BC-BC1 1-B-B1 1为锐角，所以其余弦值为为锐角，所以其余弦值为(3)(3)设点设点D D的竖坐标为的竖坐标为t(0t4)t(0t4)，在平面，在平面BCCBCC1 1B B1 1中作中作DEBCDEBC于于E,E,根据比例关系可知根据比例关系可知 (0t4) (0t4)，所以，所以又因为又因为 所以所以 所以所以 所以所以利用向量证明空间的平行、垂直关系利用向量证明空间的平行、垂直关系 【典例典例】如图，在四棱锥如图，在四棱锥
36、P-ABCDP-ABCD中，底面中，底面ABCDABCD是正方形，侧棱是正方形，侧棱PDPD底面底面ABCDABCD，PD=DCPD=DC，E E是是PCPC的中点，作的中点，作EFPBEFPB于点于点F F，求证：，求证：(1)PA(1)PA平面平面EDB.EDB.(2)PB(2)PB平面平面EFD.EFD. 【解题探究解题探究】(1)(1)用空间向量怎样证明线面平行？用空间向量怎样证明线面平行？提示：提示：可证明直线的方向向量与平面内的一条直线的方向向量可证明直线的方向向量与平面内的一条直线的方向向量共线或证明直线的方向向量与平面的法向量垂直共线或证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. .
37、(2)(2)用空间向量怎样证明线面垂直？用空间向量怎样证明线面垂直？提示：提示：只需证明直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向只需证明直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直或证明直线的方向向量与平面的法向量平行即可向量垂直或证明直线的方向向量与平面的法向量平行即可. .【证明证明】如图所示建立空间直角坐标系，如图所示建立空间直角坐标系，D D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=a.DC=a.(1)(1)连接连接ACAC交交BDBD于于G G，连接，连接EG.EG.依题意得依题意得A(a,0,0),P(0,0,a),A(a,0,0),P(0,0,a),因为底面因为底面ABCDABCD是
38、正方形，是正方形，所以所以G G是此正方形的中心，是此正方形的中心，故点故点G G的坐标为的坐标为所以所以 则则PAEG.PAEG.而而EGEG 平面平面EDBEDB且且PAPA 平面平面EDBEDB，所以所以PAPA平面平面EDB.EDB.(2)(2)依题意得依题意得B(a,a,0), =(B(a,a,0), =(a,aa,a,-a),-a),又又故故所以所以PBDE.PBDE.由已知由已知EFPBEFPB，且，且EFDE=EEFDE=E，所以所以PBPB平面平面EFD.EFD.【方法总结方法总结】1.1.用向量法证明空间的线线、线面、面面平行关系的思路用向量法证明空间的线线、线面、面面平行
39、关系的思路(1)(1)设设a,ba,b是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为a, ,b, ,那那么么ababab. .(2)(2)平面与平面平行可以转化为两个平面的法向量平行平面与平面平行可以转化为两个平面的法向量平行. .(3)(3)直线与平面平行可以转化为证明直线的方向向量与平面的直线与平面平行可以转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，也可以通过证明直线的方向向量与平面内两个不法向量垂直，也可以通过证明直线的方向向量与平面内两个不共线的向量共面来证明直线与平面平行共线的向量共面来证明直线与平面平行. .2.2.空间的线线、线面、面面垂直关系，
40、均可以转化为空间两个空间的线线、线面、面面垂直关系，均可以转化为空间两个向量垂直的问题求证向量垂直的问题求证. .其思路为其思路为(1)(1)设设a, ,b分别为直线分别为直线a,ba,b的一个方向向量，那么的一个方向向量，那么abababab=0;=0;(2)(2)设设a, ,b分别为平面分别为平面,的一个法向量，那么的一个法向量，那么abab=0;=0;(3)(3)设直线设直线l的方向向量为的方向向量为a, ,平面平面的法向量为的法向量为b，那么，那么lab，此外，也可证明，此外，也可证明l的方向向量与平面的方向向量与平面内两条相内两条相交直线所对应的方向向量垂直交直线所对应的方向向量垂直
41、. .【变式备选变式备选】如图，已知如图，已知ABCDABCD是边长为是边长为2 2的正方形，的正方形，DEDE平面平面ABCDABCD，BFBF平面平面ABCDABCD，且，且FB=2DE=2.FB=2DE=2.求证：平面求证：平面AECAEC平面平面AFC.AFC.【解析解析】建立如图所示的空间直角坐标系，建立如图所示的空间直角坐标系，所以所以D(0D(0，0 0，0)0)，E(0E(0，0 0，1)1)，A(2A(2，0 0，0)0)，C(0C(0，2 2，0)0)，F(2F(2，2 2，2)2)，所以所以设设m为平面为平面AECAEC的一个法向量，的一个法向量，m=(x=(x1 1,y
42、,y1 1,z,z1 1) )， m=(1,1,2).=(1,1,2).设设n为平面为平面AFCAFC的一个法向量，的一个法向量，n=(x=(x2 2,y,y2 2,z,z2 2), ), n=(1,1,-1).=(1,1,-1).coscosm，n= =所以所以mn. .所以平面所以平面AECAEC平面平面AFC.AFC.转化与化归思想转化与化归思想利用空间向量解决空间位置关系及求角问题利用空间向量解决空间位置关系及求角问题【思想诠释思想诠释】1.1.主要类型：主要类型：(1)(1)空间中平行或垂直关系的证明空间中平行或垂直关系的证明. .(2)(2)求空间角求空间角, ,如求二面角的大小如
43、求二面角的大小. .(3)(3)判断点的存在性问题判断点的存在性问题. .2.2.解题思路：利用空间向量解决立体几何问题的方法，把所求解题思路：利用空间向量解决立体几何问题的方法，把所求问题转化为空间向量的数量积问题问题转化为空间向量的数量积问题. .3.3.注意事项：注意事项：(1)(1)利用空间向量求异面直线所成的角时利用空间向量求异面直线所成的角时, ,应注意应注意角的取值范围角的取值范围. .(2)(2)利用空间向量求二面角时利用空间向量求二面角时, ,应注意观察二面角是锐角还是钝应注意观察二面角是锐角还是钝角角. .【典例典例】(14(14分分)(2013)(2013黄冈模拟黄冈模拟
44、) )如图，正方形如图，正方形ADEFADEF与梯形与梯形ABCDABCD所在平面互相垂直，所在平面互相垂直，ADADCDCD，ABCDABCD，AB=AD= CD=2AB=AD= CD=2，点，点M M在在线段线段ECEC上且不与上且不与E E，C C重合重合. .(1)(1)当点当点M M是是ECEC中点时，求证：中点时，求证：BMBM平面平面ADEF.ADEF.(2)(2)当平面当平面BDMBDM与平面与平面ABFABF所成锐二面角的余弦值为所成锐二面角的余弦值为 时，求时，求三棱锥三棱锥M-BDEM-BDE的体积的体积. .【审题审题】分析信息，形成思路分析信息，形成思路(1)(1)切
45、入点：利用切入点：利用 与平面与平面ADEFADEF的法向量垂直求解的法向量垂直求解. .关注点：注意法向量的选择关注点：注意法向量的选择. .(2)(2)切入点：从设出点切入点：从设出点M M的坐标入手的坐标入手, ,分别求出两个平面的法向分别求出两个平面的法向量量. .关注点：注意点关注点：注意点M M的坐标的设法的坐标的设法. .【解题解题】规范步骤，水到渠成规范步骤，水到渠成(1)(1)以以DADA，DCDC，DEDE所在直线分别为所在直线分别为x,y,zx,y,z轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系, ,则则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),E(0,0,2),
46、M(0,2,1)A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),E(0,0,2),M(0,2,1)，2 2分分所以所以 平面平面ADEFADEF的一个法向量的一个法向量因为因为 所以所以所以所以BMBM平面平面ADEF.ADEF.6 6分分(2)(2)依题意设依题意设 设平面设平面BDMBDM的法向量的法向量n1 1=(=(x,y,zx,y,z),),则则令令y=-1y=-1，则，则平面平面ABFABF的法向量的法向量n2 2=(1,0,0).=(1,0,0).8 8分分因为因为|cos|cosn1 1, ,n2 2|=|=解得解得t=2.t=2.1010分分所以所以M(0M(0，2 2
47、，1)1)为为ECEC的中点，的中点， B B到平面到平面DEMDEM的的距离距离h=2.h=2.所以所以 1414分分【点题点题】规避误区，失分警示规避误区，失分警示失分点一失分点一题中题中处容易因不会设出点处容易因不会设出点M M的坐标的坐标而无法求解而无法求解失分点二失分点二不会把条件转化为不会把条件转化为处的等式导致处的等式导致思维受阻思维受阻失分点三失分点三不会使用等体积法导致无法解答不会使用等体积法导致无法解答【变题变题】变式训练，能力迁移变式训练，能力迁移(2013(2013金华模拟金华模拟) )如图，已知多面体如图，已知多面体ABCDEABCDE中，中，ABAB平面平面ACDA
48、CD，DEDE平面平面ACDACD，AC=AD=CD=DE=2AC=AD=CD=DE=2，AB=1AB=1，F F为为CDCD的中点的中点(1)(1)求证：求证：AFAF平面平面CDE.CDE.(2)(2)求平面求平面ACDACD和平面和平面BCEBCE所成锐二面角的大小所成锐二面角的大小【解析解析】(1)(1)因为因为DEDE平面平面ACDACD，AFAF 平面平面ACDACD，所以所以DEAFDEAF又因为又因为AC=ADAC=AD，F F为为CDCD中点，中点，所以所以AFCDAFCD，因为因为CDDE=DCDDE=D，所以所以AFAF平面平面CDE.CDE.(2)(2)取取CECE的中
49、点的中点Q Q，连接，连接FQFQ，因为因为F F为为CDCD的中点，的中点，则则FQDEFQDE，因为因为DEDE平面平面ACDACD，所以所以FQFQ平面平面ACDACD，又由又由(1)(1)可知可知FDFD，FQFQ，FAFA两两垂直，以两两垂直，以F F为坐标原点，建立如图为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，所示空间直角坐标系，则则F(0F(0，0 0，0)0)，C(-1C(-1，0 0，0)0)，设平面设平面BCEBCE的法向量的法向量n=(=(x,y,zx,y,z) )，则则即即取取n=(1,-1,0).=(1,-1,0).又平面又平面ACDACD的一个法向量为的一个法向量为 =(0,1,0)=(0,1,0)，则则所以平面所以平面ACDACD和平面和平面BCEBCE所成锐二面角的大小为所成锐二面角的大小为4545. .
