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1、二、一阶线性微分方程二、一阶线性微分方程当当 Q(x)=0 时时, 称为称为一阶齐次线性微分方程一阶齐次线性微分方程. Q(x) 称为称为非齐次项非齐次项(9-14)(9-15)1非齐次方程通解的求法非齐次方程通解的求法:两端积分两端积分求出待定函数求出待定函数 C(x), 称为称为常数变易法常数变易法.变形得变形得2常数变异法常数变异法: 设方程设方程 的解为的解为代入原方程代入原方程则则积分得积分得:34例例9-5 求求 的通解的通解解解: 先求对应的齐次线性微分方程先求对应的齐次线性微分方程 的通解的通解设设 y=C(x)e-sinx, 则则 y =C (x)e-sinx-C(x)e-s
2、inx cosx 代入得代入得:5例例9-6 求微分方程求微分方程 满足初始条件满足初始条件 y|x=1=1的特解的特解解解: 由公式由公式由初始条件由初始条件6例例9-7 求微分方程求微分方程 的通解的通解 解解: 由方程中由方程中通解通解7伯努里方程伯努里方程:设设 z=y1-n ,8例例9-8 求微分方程求微分方程 通解通解解解: 令令 z=y-1,将将 z 换成换成 y -1, 得原方程的通解得原方程的通解:9 四四、 建立微分方程法建立微分方程法(二二) 分析法分析法 马尔萨斯人口模型为马尔萨斯人口模型为 N(t)=N0ek(t-t0)假假设: (1) 人口人口总数增数增长率与其当率
3、与其当时的人口的人口总数数成正比成正比, 比例系数比例系数为出生率与死亡率之差出生率与死亡率之差;(2) 出生率和死亡率都是人口出生率和死亡率都是人口总数的数的线性函数性函数, 且且出生率随其出生率随其总数的增加而减少数的增加而减少, 死亡率随其死亡率随其总数的增加而增加数的增加而增加. 设设 t 时刻人口总数为时刻人口总数为 N(t), 出生率为出生率为 p=a-bN, 死死亡率为亡率为 q=g+hN, 其中其中 a, b, g, h 均为正的常数均为正的常数, 且且10根据假设根据假设 Logistic函数函数: 生物群体在受到自然环境生物群体在受到自然环境, 物质资源和社会因素等诸多外界
4、条件影响下的物质资源和社会因素等诸多外界条件影响下的才长规律才长规律, 中晚期肿瘤的生长等中晚期肿瘤的生长等11例例9-13 在一艘载有在一艘载有 1000 人的游船上人的游船上, 发现了一发现了一名传染病患者名传染病患者, 5 小时后又有小时后又有 3 人被传染发病人被传染发病.如果医生如果医生 10 小时后才能赶到小时后才能赶到, 求此时的发病人求此时的发病人数至少是多少数至少是多少?解解: t 时刻染病人数为时刻染病人数为 x(t), 假设传染速度与染病假设传染速度与染病人数和未染病人数的乘积成正比人数和未染病人数的乘积成正比12(三) 微元法微元法例例9-14: 一容器内盛有一容器内盛
5、有 400L 盐水盐水, 含盐含盐 8 kg. 现以现以 8 L/min 的速度注入浓度为的速度注入浓度为 1.5 kg/L 的的盐水盐水, 同时以同时以 4 L/min 的速度抽出混合均匀的速度抽出混合均匀的盐水的盐水. 求求 t 时刻时刻 溶器内盐水的的含盐量溶器内盐水的的含盐量 x(t)解解: 在时间区间在时间区间 t, t+dt 内内, 含盐量的增量含盐量的增量 dx注入的盐量为注入的盐量为: 1.58dt=12dt流出的盐量为流出的盐量为:13含盐量的增量为含盐量的增量为初始条件初始条件: x(0)=8, 求得求得 C=800. t 时刻含盐量为时刻含盐量为 一阶非齐次线性方程公式一阶非齐次线性方程公式14作业: 习题九, 13-1415
